Chapter 6理想不可壓縮流體無(wú)旋運(yùn)動(dòng)

1、Chapter 6 理想不可壓縮流體無(wú)旋運(yùn)動(dòng)本章內(nèi)容：研究定常不可壓縮理想流體的無(wú)旋流動(dòng)1、無(wú)旋流動(dòng)的速度勢(shì)及一般求解方法2、平面無(wú)旋流動(dòng)的復(fù)勢(shì)及一般求解方法6.1不可壓縮理想流體無(wú)旋運(yùn)動(dòng)的基本方程組一、不可壓縮理想流體無(wú)旋運(yùn)動(dòng)模型1）理想：粘性力慣性力的區(qū)域例如繞流問(wèn)題中邊界層以外區(qū)域的流動(dòng)。不脫體繞流流動(dòng)在研究壓力場(chǎng)和速度場(chǎng)時(shí)可不計(jì)邊界層，近似看成理想流體繞流固體的流動(dòng)。2）不可壓縮：液體，通常情況下。 氣體，低速繞流運(yùn)動(dòng)（流速聲速），例如飛機(jī)速度其它兩方向的尺度（細(xì)長(zhǎng)物體），且物體垂直于該方向的截面大小、形狀變化很小，故被繞流的物體可近似看成是均勻截面的細(xì)長(zhǎng)柱體。均勻截面的細(xì)長(zhǎng)柱體的橫向

2、繞流流動(dòng)，除柱體兩端外，在柱體周?chē)拇蟛糠謪^(qū)域有 ， 任一垂直于的平面上的流動(dòng)可表征除兩端以外的區(qū)域內(nèi)的流動(dòng)。此模型使問(wèn)題進(jìn)一步簡(jiǎn)化，更易于求解，研究平面運(yùn)動(dòng)還具有重要的理論意義，通過(guò)它的研究可以對(duì)流動(dòng)的性質(zhì)有更多的了解，并積累處理問(wèn)題的方法，所有這些都是處理復(fù)雜流動(dòng)問(wèn)題所必需的。二、不可壓縮平面流動(dòng)的流函數(shù)1、不可壓縮流體平面流動(dòng)流函數(shù)的引入設(shè)流動(dòng)在平面內(nèi), 證明：若則可以表示為某一函數(shù)的全微分，設(shè)此函數(shù)為，則 于是有。若存在函數(shù)，速度分量可以表示為，則代入即可證明。函數(shù)被稱(chēng)為流函數(shù)，此積分因是全微分的積分而與路徑無(wú)關(guān)，只取決于、點(diǎn)的位置。若取為參考點(diǎn)可設(shè)。2、 流函數(shù)的物理意義：二維流動(dòng)流

3、體體積通量的意義：通過(guò)平面上與連線的流體體積通量 通過(guò)曲線沿平移單位距離時(shí)掃過(guò)的曲面上的流體體積通量。對(duì)不可壓縮流體的流動(dòng)，在無(wú)源或匯的區(qū)域，此通量與連線形狀無(wú)關(guān)，只取決于與兩點(diǎn)的位置。設(shè)通量向右為正，代表線元向右的法向，通過(guò)的向右的流體體積通量I=通過(guò)沿兩坐標(biāo)軸的投影線元上的向右的流體體積通量II+III，即?？梢?jiàn)：是上的流體體積通量， 代表流體向右流過(guò)。討論：沿某曲線此曲線是流線 證明：若沿某曲線，在該曲線上取線元，上有，即，可見(jiàn)該曲線是流線。若某曲線是流線，在該曲線上取線元，則有，于是該線元上流函數(shù)的增量，可見(jiàn)沿該曲線。畫(huà)圖從的物理意義上分析亦可證明上述定理（此時(shí)可表述為沿流線的曲線上的

4、流體體積通量=0）。由還可知與流線處處正交。對(duì)于二維不可壓縮無(wú)旋流動(dòng)，由，即是調(diào)和函數(shù)。任意線元處的法向速度與的關(guān)系：，向右為正。極坐標(biāo)下有 ， 若取為沿流線法向的線元，其方向取為的方向，如圖所示，則，或。 矢量關(guān)系式：沿流線且垂直于等速度勢(shì)線，故流線與等速度勢(shì)線正交。定義在單連通區(qū)域上的平面無(wú)旋不可壓縮流動(dòng)，是單值函數(shù)（可含一任意常數(shù)）；定義在復(fù)連通區(qū)域上的平面無(wú)旋不可壓縮流動(dòng)，可能是多值函數(shù)，其中為內(nèi)邊界上的流體體積通量。例題：均勻流動(dòng)的流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)，取原點(diǎn)為參考點(diǎn)，設(shè)。設(shè)有一均勻流動(dòng)沿方向，此流動(dòng)流函數(shù)；另有一均勻流動(dòng)沿方向，此流動(dòng)流函數(shù)；若空間均勻流動(dòng)，則此流動(dòng)流函數(shù)。三、復(fù)位勢(shì)及復(fù)

5、速度III-1預(yù)備知識(shí)復(fù)變函數(shù)的一些概念1、 解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)復(fù)變函數(shù)，是實(shí)函數(shù)，。若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)可微，則在內(nèi)解析。在內(nèi)解析的充要條件：和滿(mǎn)足柯西黎曼條件：，且和在內(nèi)連續(xù)可微。由柯西黎曼條件知解析函數(shù)的實(shí)部和虛部均為調(diào)和函數(shù)：。解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2、奇點(diǎn)，留數(shù)，留數(shù)定理內(nèi)不解析的點(diǎn)叫奇點(diǎn)，若在某個(gè)奇點(diǎn)的有限小鄰域內(nèi)（不包括該奇點(diǎn)）解析則該奇點(diǎn)是孤立奇點(diǎn)，例如：的點(diǎn)。設(shè)點(diǎn)是復(fù)函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，代表圓周：，設(shè)足夠小，只包圍一個(gè)奇點(diǎn)。稱(chēng)積分的值為函數(shù)在孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)，記為。與無(wú)關(guān)。函數(shù)在孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)=在鄰域內(nèi)羅朗展開(kāi)式中負(fù)一次冪的系數(shù)， 。留數(shù)計(jì)算法則：是的一階奇點(diǎn)則是的階奇點(diǎn)則留數(shù)定理：如果

6、在閉曲線的內(nèi)部?jī)?nèi)除了有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外解析（并且在上除外連續(xù)），那么 證明(定性)：柯西積分公式 在內(nèi)解析，上連續(xù)，則沿區(qū)域的邊界有 .積分，為以為心任意半徑的圓周，則 時(shí) 時(shí) 在孤立奇點(diǎn)附近展開(kāi)成羅朗級(jí)數(shù)， ，閉合曲線包圍孤立奇點(diǎn)。III-2復(fù)勢(shì)和復(fù)速度在除孤立奇點(diǎn)（點(diǎn)渦，點(diǎn)源，點(diǎn)匯）以外的不可壓縮平面無(wú)旋運(yùn)動(dòng)流場(chǎng)中，函數(shù)和滿(mǎn)足柯西黎曼條件，并滿(mǎn)足連續(xù)可微條件，故二者可構(gòu)成一個(gè)解析函數(shù)，被稱(chēng)為復(fù)勢(shì)。幾個(gè)重要關(guān)系式：1）復(fù)速度，引入復(fù)速度。因?yàn)?，所以共軛?fù)速度。2）。和分別代表閉曲線上的速度環(huán)量和流體體積通量。IV定常理想不可壓縮平面無(wú)旋流動(dòng)問(wèn)題的數(shù)學(xué)提法引入復(fù)勢(shì)后，可以利用復(fù)變函數(shù)這一有力的數(shù)

7、學(xué)工具解決這一類(lèi)流動(dòng)問(wèn)題。以繞流流動(dòng)為例，設(shè)固體靜止，固壁邊界c，固壁外無(wú)界空間，求解速度場(chǎng)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為尋找滿(mǎn)足邊界條件的復(fù)勢(shì)，即說(shuō)明：1）復(fù)勢(shì)與平面無(wú)旋運(yùn)動(dòng)一一對(duì)應(yīng)（可含有一個(gè)任意常數(shù)，在復(fù)連通區(qū)域?yàn)槎嘀岛瘮?shù)）任一給定的解析函數(shù)都代表了一個(gè)不可壓縮平面無(wú)旋流動(dòng)，而該解析函數(shù)是否與某一特定流動(dòng)對(duì)應(yīng)則取決于它是否滿(mǎn)足該流動(dòng)的特定邊界條件。因而求解流動(dòng)就是尋找滿(mǎn)足一定邊界條件的復(fù)勢(shì)。2）復(fù)勢(shì)迭加原理解析函數(shù)之和仍為解析函數(shù)，即復(fù)勢(shì)迭加所得到的復(fù)勢(shì)仍對(duì)應(yīng)一個(gè)平面無(wú)旋運(yùn)動(dòng)。至此，我們得到描述不可壓縮理想流體平面無(wú)旋運(yùn)動(dòng)的三組控制方程組，以無(wú)窮遠(yuǎn)來(lái)流繞流固體問(wèn)題為例，分別表述為1）；2）3）V基本流動(dòng)的

8、復(fù)勢(shì)（反問(wèn)題：簡(jiǎn)單復(fù)勢(shì)對(duì)應(yīng)的流動(dòng)）1、線性函數(shù) ，為復(fù)常數(shù) ，說(shuō)明該復(fù)勢(shì)對(duì)應(yīng)均勻直線流動(dòng)。故均勻流動(dòng)對(duì)應(yīng)復(fù)勢(shì)或，其中和分別代表速度大小和方向。2、對(duì)數(shù)函數(shù)，為實(shí)數(shù)，是奇點(diǎn)。將代入得，于是可知，可見(jiàn)流線是發(fā)自原點(diǎn)（奇點(diǎn)）的輻射線。則為點(diǎn)源激發(fā)的流動(dòng)，則為點(diǎn)匯激發(fā)的流動(dòng)。，閉合曲線代表包圍原點(diǎn)的圓周。故強(qiáng)度為的點(diǎn)源（匯）的流場(chǎng)：。3、對(duì)數(shù)函數(shù)，為實(shí)數(shù)，為奇點(diǎn)。，于是知，可見(jiàn)流線為同心圓周。若則速度方向在從方向順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的方向上。該速度代表一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圓周運(yùn)動(dòng)，繞行方向取決于的正負(fù)。上式也說(shuō)明在處有點(diǎn)渦存在（軸為渦絲，強(qiáng)度為），也就是說(shuō)該復(fù)勢(shì)對(duì)應(yīng)直線渦絲誘導(dǎo)的流動(dòng)或點(diǎn)渦誘導(dǎo)的平面流動(dòng)。故點(diǎn)渦的場(chǎng)復(fù)勢(shì)為

9、。4、冪函數(shù) ，為實(shí)數(shù)且（不代表有實(shí)際意義的流動(dòng)） ，； ，；零流線：對(duì)應(yīng)和（一般有，為整數(shù)）。若此二流線處是固壁邊界，則表示繞此角形固壁邊界的“繞角流動(dòng)”。設(shè)，處 ，； 處 ，則流線圖如右側(cè)各圖所示。特例：代表凹角內(nèi)流動(dòng)。時(shí)，處，角點(diǎn)為駐點(diǎn)。特別當(dāng)，代表駐點(diǎn)附近的流動(dòng)或繞直角形邊界的流動(dòng)。，流線是一族雙曲線。代表均勻流動(dòng)表示繞平板前緣的流動(dòng)代表繞凸角的流動(dòng)。5、反比例函數(shù)，為常數(shù)。一對(duì)靠近的等強(qiáng)度的點(diǎn)源和點(diǎn)匯誘導(dǎo)的流動(dòng)，對(duì)于遠(yuǎn)場(chǎng)而言，這一對(duì)點(diǎn)源和點(diǎn)匯可以看成無(wú)限靠近，即點(diǎn)源間距趨近于零，但點(diǎn)源強(qiáng)度和間距的乘積的是確定的，將這樣的一對(duì)點(diǎn)源和點(diǎn)匯稱(chēng)為偶極子，為偶極子強(qiáng)度。偶極子誘導(dǎo)的流動(dòng)的復(fù)勢(shì)等

10、于點(diǎn)源和點(diǎn)匯誘導(dǎo)的流動(dòng)復(fù)勢(shì)的迭加，。如圖所示的偶極子（圖中箭頭連接源和匯并指向源）誘導(dǎo)的流動(dòng)的復(fù)式為O。兩個(gè)解析函數(shù)的和仍為解析函數(shù)，解析函數(shù)的迭加不會(huì)產(chǎn)生新的奇點(diǎn)，因而在除去兩個(gè)孤立奇點(diǎn)（點(diǎn)源和點(diǎn)匯）以外的無(wú)界空間內(nèi)解析，因而對(duì)應(yīng)該空間內(nèi)的上述點(diǎn)源和點(diǎn)匯誘導(dǎo)的不可壓縮平面無(wú)旋流動(dòng)。計(jì)算極限 （上下同時(shí)對(duì)求導(dǎo)） 可見(jiàn)反比例函數(shù)代表偶極子誘導(dǎo)的流動(dòng)。設(shè)，則流線方程為，即 ，可見(jiàn)流線族為與軸相切、圓心在軸上的圓族。遠(yuǎn)場(chǎng)流速。點(diǎn)源的場(chǎng)，相比之下偶極子場(chǎng)隨增大衰減更快。6-5 圓柱繞流一、 無(wú)環(huán)量圓柱繞流通過(guò)基本流動(dòng)復(fù)勢(shì)的迭加可以獲得較復(fù)雜流動(dòng)的復(fù)勢(shì)。下面討論均勻流動(dòng)與偶極子流動(dòng)復(fù)勢(shì)的迭加。均勻來(lái)流沿

11、軸，速度，偶極子逆軸方向放置于原點(diǎn)。 設(shè)。流線方程：。零流線：和如圖所示。當(dāng)時(shí)，即無(wú)窮遠(yuǎn)處是均勻流動(dòng)，速度為，滿(mǎn)足無(wú)窮遠(yuǎn)邊界條件。若取則此復(fù)勢(shì)代表均勻來(lái)流繞流靜止圓柱的流場(chǎng)。因此，均勻來(lái)流繞流半徑為的靜止圓柱的流動(dòng)復(fù)勢(shì)為：，。分析：1）柱面上的速度分布：，可知柱面上速度大小，可見(jiàn)，柱面上速率按正弦分布。駐點(diǎn)：圓柱周線與軸相交的兩點(diǎn)。柱面上流速最大的點(diǎn)在圓柱周線與軸相交的兩點(diǎn)，。2）柱面上的壓力分布略體力，由Bernoulli方程知，在該流場(chǎng)中，。因此，在柱面上，。駐點(diǎn)處的動(dòng)壓=，因而常用表示的特征值。引入無(wú)量綱的壓力系數(shù)反映壓力的相對(duì)分布：。I無(wú)環(huán)量圓柱繞流壓力分布此處，如圖所示，壓力在柱面上

12、、下和前、后對(duì)稱(chēng)分布，因而柱體不受阻力和升力，此即達(dá)朗貝爾佯謬。真實(shí)流動(dòng)由于粘性會(huì)在柱面附近形成邊界層，并且會(huì)發(fā)生流動(dòng)分離，壓力系數(shù)的實(shí)驗(yàn)曲線如圖所示，壓力分布前、后不對(duì)稱(chēng)，因而存在阻力。對(duì)于繞流問(wèn)題，理想流體理論給出的速度和壓力分布在大部分流動(dòng)空間內(nèi)與實(shí)際符合很好，但不能解釋物體所受阻力。觀看繞流流動(dòng)圖片二、有環(huán)量的圓柱繞流1實(shí)驗(yàn)吳望一流體力學(xué)p49圖7.1.11。圓柱體可繞其軸線作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其軸固定在小車(chē)上，小車(chē)可以沿軌道運(yùn)動(dòng)。此裝置置于風(fēng)洞中，當(dāng)柱體不轉(zhuǎn)，風(fēng)以吹來(lái)，此時(shí)柱和小車(chē)系統(tǒng)靜止不動(dòng)。當(dāng)柱體轉(zhuǎn)動(dòng)再吹風(fēng)時(shí)，小車(chē)開(kāi)始沿軌道移動(dòng)。當(dāng)圓柱靜止時(shí)，繞圓柱流動(dòng)的流場(chǎng)即上一節(jié)的圓柱無(wú)環(huán)量繞流。當(dāng)

13、圓柱轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，若不考慮粘性，圓柱的轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)流體沒(méi)有影響（邊界條件不變），仍等同于圓柱無(wú)環(huán)量繞流，那么小車(chē)不可能運(yùn)動(dòng)，因而必須考慮粘性。粘性的存在使界面附近的氣體隨柱轉(zhuǎn)動(dòng)（），邊界條件增加了切向速度連續(xù)要求，粘性引起氣體在壁面上的運(yùn)動(dòng)沿圓形流線，固壁邊界上速度環(huán)量不為零。旋轉(zhuǎn)圓柱引起的粘性流體的二維圓形流線流動(dòng)的等價(jià)于一個(gè)位于圓心的點(diǎn)渦誘導(dǎo)的理想流體無(wú)旋流動(dòng)，所以我們?cè)跓o(wú)環(huán)量圓柱繞流復(fù)勢(shì)的基礎(chǔ)上迭加一個(gè)順時(shí)針點(diǎn)渦誘導(dǎo)的流動(dòng)的復(fù)勢(shì)，得到 其中為內(nèi)邊界上的速度環(huán)量，該復(fù)勢(shì)顯然滿(mǎn)足柱面上和無(wú)窮遠(yuǎn)處的邊界條件，因而是有環(huán)量圓柱繞流的復(fù)勢(shì)。分析： 1、 駐點(diǎn)設(shè)得到駐點(diǎn)位置。若即，則柱外的駐點(diǎn)在柱下方的軸上，對(duì)

14、應(yīng)流動(dòng)狀況如圖1所示。在過(guò)駐點(diǎn)的流線所形成的回線內(nèi)部，流體繞圓柱環(huán)流，總是不進(jìn)入主流。，即，駐點(diǎn)位于柱面上，流動(dòng)狀況如圖2。，即，兩駐點(diǎn)位置和流動(dòng)狀況如圖3。2、升力在柱體上方，環(huán)流引起的速度與來(lái)流速度方向基本一致，故流速增大，而在下方情況正相反，環(huán)流導(dǎo)致流速分布上、下不對(duì)稱(chēng)，從而引起壓力的不對(duì)稱(chēng)分布，于是產(chǎn)生了沿軸方向的升力。若環(huán)流反向則升力方向也變?yōu)槟孑S方向。下面定量計(jì)算升力。單位長(zhǎng)柱體受力，其中代表柱面外法向。根據(jù)伯努利定理，柱面上壓力，其中代表柱面上流體復(fù)速度，。 。關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，因而。記，則。方向與來(lái)流方向垂直，它與來(lái)流速度及環(huán)量之間關(guān)系可表示為矢量關(guān)系。討論：仍與事實(shí)不

15、符，實(shí)際流體粘性邊界層的存在和流動(dòng)分離的發(fā)生導(dǎo)致阻力。實(shí)際流動(dòng)圖片。Magnus效應(yīng)：旋轉(zhuǎn)著前進(jìn)的物體如旋轉(zhuǎn)的乒乓球、排球、足球等均受與前進(jìn)方向垂直的側(cè)向力，從而發(fā)生側(cè)向偏轉(zhuǎn)。無(wú)粘理論可以解釋這一效應(yīng)。例一：點(diǎn)源和點(diǎn)渦迭置于平面上一點(diǎn)（水泵內(nèi)的流動(dòng)），求流動(dòng)復(fù)勢(shì)，流函數(shù)，速度。 ， ，VII平面運(yùn)動(dòng)中的像方法在奇點(diǎn)（點(diǎn)源或點(diǎn)渦）誘導(dǎo)的流動(dòng)中，加入固壁邊界（物體），邊界就會(huì)對(duì)原來(lái)的流動(dòng)產(chǎn)生，影響，改變流動(dòng)狀況。對(duì)于平板和圓這些簡(jiǎn)單的邊界，我們有如下的求復(fù)勢(shì)方法，而于復(fù)雜的邊界，可先利用保角變換將其變成簡(jiǎn)單邊界，然后再使用像方法。首先定義幾種不同形式的共軛運(yùn)算：，僅對(duì)自變量求共軛 e.g. ，奇點(diǎn)

16、是，奇點(diǎn)是。，僅對(duì)函數(shù)形式求共軛e.g. ，奇點(diǎn)為。注意：和的奇點(diǎn)都是奇點(diǎn)的共軛，此結(jié)論普適。，對(duì)自變量和函數(shù)形式都求共軛，實(shí)函數(shù)。VII-1平板邊界的鏡像法（映射定理）例1：點(diǎn)渦和平板邊界，點(diǎn)渦位于右半平面（），求右半平面內(nèi)的流場(chǎng)。分析：假如在左半平面對(duì)稱(chēng)地放置一個(gè)點(diǎn)渦，這樣一對(duì)渦產(chǎn)生的流動(dòng)既滿(mǎn)足了平板處的邊界條件，又未增加右半平面內(nèi)的奇點(diǎn)。點(diǎn)渦誘導(dǎo)的流場(chǎng)：。該點(diǎn)渦及其像的流場(chǎng)迭加即右半平面內(nèi)的流動(dòng)：。常數(shù)對(duì)于流動(dòng)速度場(chǎng)的解沒(méi)有影響，故略去，于是。例2：點(diǎn)渦和平板邊界，點(diǎn)渦位于上半平面（），求上半平面內(nèi)的流場(chǎng)。分析：假如在下半平面對(duì)稱(chēng)地放置一個(gè)點(diǎn)渦，這樣一對(duì)渦產(chǎn)生的流動(dòng)既滿(mǎn)足了平板處的邊界條

17、件，又未增加上半平面內(nèi)的奇點(diǎn)。點(diǎn)渦的流場(chǎng)：。該點(diǎn)渦及其像的流場(chǎng)迭加即上半平面內(nèi)的流動(dòng)：。一般地有如下定理：如果所有奇點(diǎn)都位于右半平面內(nèi)，無(wú)固壁邊界時(shí)其復(fù)勢(shì)為。當(dāng)將平板邊界置于位置后，右半平面內(nèi)流動(dòng)的復(fù)勢(shì)為。證明：在邊界上，故=實(shí)函數(shù)，可知在該邊界上，滿(mǎn)足平板邊界條件。若是的奇點(diǎn)，則是的奇點(diǎn)。的奇點(diǎn)在右半平面，則的奇點(diǎn)在左半平面，故右半平面的奇點(diǎn)與的相同。綜合以上，定理得證。如果所有奇點(diǎn)都在上半平面，無(wú)固壁邊界時(shí)其復(fù)勢(shì)為。當(dāng)將平板邊界置于位置后，上半平面內(nèi)流動(dòng)的復(fù)勢(shì)為。證明：此時(shí)在平板邊界上，故邊界上實(shí)函數(shù)，即，滿(mǎn)足平板邊界條件。的奇點(diǎn)在上半平面，的奇點(diǎn)在下半平面。故上半平面和的奇點(diǎn)相同，綜合以

18、上，定理得證。注意：像點(diǎn)與原奇點(diǎn)位置關(guān)于邊界對(duì)稱(chēng)，強(qiáng)度共軛（源強(qiáng)度不變，渦強(qiáng)度反號(hào)）例：求偶極子相對(duì)某一直線壁的像。無(wú)直線壁時(shí)偶極子的流場(chǎng)，加入直線壁后上半平面流場(chǎng)右圖中紅色線條代表組成偶極子的匯及其像誘導(dǎo)的流動(dòng)的速度矢量。VII-2 Milne一Thomson圓定理內(nèi)容：如果為沒(méi)有任何固體邊界并且在圓內(nèi)無(wú)任何奇點(diǎn)的平面流動(dòng)的復(fù)勢(shì)，在流場(chǎng)中引入圓（柱）邊界后，圓柱外的流動(dòng)復(fù)勢(shì)將為 ， 實(shí)例：無(wú)環(huán)量圓柱繞流 ，均勻來(lái)流關(guān)于圓邊界的像為位于圓心的偶極子，偶極子強(qiáng)度，逆軸放置。定理證明：在柱面上（圓邊界上），故仍有實(shí)函數(shù)，即圓邊界是流線。 若為的奇點(diǎn)，則為奇點(diǎn)，是的奇點(diǎn)。由于，故的奇點(diǎn)均在圓內(nèi)。綜上

19、，在圓外與有相同的奇點(diǎn)，并滿(mǎn)足圓邊界是流線的條件，因而是所求流動(dòng)復(fù)勢(shì)。點(diǎn)關(guān)于圓邊界的鏡像點(diǎn)為。例：求圓柱外的源誘導(dǎo)的流場(chǎng)無(wú)圓邊界時(shí)流動(dòng)復(fù)勢(shì)為，圓柱外的源誘導(dǎo)的流動(dòng)復(fù)勢(shì)為 ，可見(jiàn)此時(shí)柱外的流動(dòng)等價(jià)于三個(gè)點(diǎn)源誘導(dǎo)的流動(dòng)，柱內(nèi)的點(diǎn)源和是柱外點(diǎn)源關(guān)于圓邊界的像，位置分別在點(diǎn)和原點(diǎn)。例：求圓柱外的渦誘導(dǎo)的流動(dòng)無(wú)圓邊界時(shí)流動(dòng)復(fù)勢(shì)為，圓柱外的源誘導(dǎo)的流動(dòng)復(fù)勢(shì)為 ，可見(jiàn)此時(shí)柱外的流動(dòng)等價(jià)于三個(gè)點(diǎn)渦誘導(dǎo)的流動(dòng)，柱內(nèi)的點(diǎn)渦和是柱外點(diǎn)渦關(guān)于圓邊界的像，位置分別在點(diǎn)和原點(diǎn)。VIII定常二維繞流問(wèn)題中物體所受的力問(wèn)題的提出：小鳥(niǎo)扇動(dòng)翅膀（eg蜂鳥(niǎo)吸花蜜時(shí)）就能保持在空中不掉下來(lái)。飛機(jī)翅膀不動(dòng)也能保持在天空中飛行，此時(shí)升力如何產(chǎn)生？小鳥(niǎo)一撲楞翅膀就能飛，大鳥(niǎo)助跑后起飛，為什么？VIII-1 Blasius定理內(nèi)容：理想、不可壓縮流體的二維定常無(wú)旋流動(dòng)，在不脫體前提下，物體所受合力；物體所受合力矩，其中代表物體邊界。推導(dǎo)：設(shè)流動(dòng)復(fù)勢(shì)為，則復(fù)速度為，由Bernoulli eq.，物面上壓力滿(mǎn)足： ，物體邊界上的線元受力，其分力，。引入 ，并在上積分， ，于是，上線元所受