【教案】4.3.2等比數(shù)列的前項(xiàng)和 教學(xué)設(shè)計(jì)-高中數(shù)學(xué)人教版（2019）選擇性必修二

1、4.3.2等比數(shù)列的前項(xiàng)和教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容：等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程、公式的特點(diǎn)及公式的運(yùn)用.2.內(nèi)容解析：等比數(shù)列的前項(xiàng)和是人教A版數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)第四章4.3內(nèi)容，教學(xué)課時(shí)為2課時(shí)，本節(jié)課為第一課時(shí).本節(jié)是數(shù)列這一章中的一個(gè)重要內(nèi)容，它不僅在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，如儲(chǔ)蓄、分期付款的有關(guān)計(jì)算等等，而且公式推導(dǎo)過程中所蘊(yùn)涵的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學(xué)生今后學(xué)習(xí)和工作中必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng).本節(jié)教材的編排與等差數(shù)列前項(xiàng)和完全類似，也利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)導(dǎo)出前項(xiàng)和公式，并舉例說明前項(xiàng)和公式在解決問題中的應(yīng)用.二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)

2、（1）理解等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)研究的探索精神和創(chuàng)新意識(shí).（2）掌握等比數(shù)列前項(xiàng)和公式及應(yīng)用.2.目標(biāo)解析達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：（1）會(huì)通過類比等差數(shù)列前項(xiàng)和的學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)和提出需要研究等比數(shù)列前項(xiàng)和的方向；構(gòu)建研究?jī)?nèi)容和過程.（2）能在對(duì)等比數(shù)列性質(zhì)的深入理解基礎(chǔ)上，理解等比數(shù)列求和的“錯(cuò)位相減法”.（3）能靈活運(yùn)用前項(xiàng)公式解決問題.三、教學(xué)問題診斷分析在此之前，學(xué)生已學(xué)習(xí)了數(shù)列的定義、等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的前項(xiàng)和等知識(shí)內(nèi)容,這為過渡到本節(jié)的學(xué)習(xí)起著鋪墊作用.在研究等比數(shù)列時(shí)，類比等差數(shù)列，構(gòu)建研究?jī)?nèi)容和過程，進(jìn)一步體會(huì)研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的一般過程.但等比數(shù)列

3、求和的“錯(cuò)位相減法”與等差數(shù)列求和的“倒序相加法”一樣，都是歷史上積淀下來的方法，學(xué)生幾乎不可能獨(dú)立創(chuàng)造出它們.通過問題串啟發(fā)學(xué)生，幫助他們認(rèn)識(shí)到認(rèn)識(shí)到這種方法是建立在對(duì)等比數(shù)列性質(zhì)深入理解基礎(chǔ)上的，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法誕生的過程.此外等比數(shù)列前項(xiàng)和公式需要分類討論，在應(yīng)用公式解決問題時(shí)要注意的.教學(xué)難點(diǎn)：由研究等比數(shù)列的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)推導(dǎo)出等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式.四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）激趣入境國(guó)際象棋起源于古代印度.相傳國(guó)王要獎(jiǎng)賞國(guó)際象棋的發(fā)明者，問他想要什么.發(fā)明者說：“請(qǐng)?jiān)谄灞P的第1格子里放上1顆麥粒，第2個(gè)格子里放上2顆麥粒，第3個(gè)格子里放上4顆麥粒，依次類推，每個(gè)格子里放的麥粒都是前一個(gè)格子里放

4、的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個(gè)格子.請(qǐng)給我足夠的麥粒以實(shí)現(xiàn)上述要求.”國(guó)王覺得這個(gè)要求不高，就欣然同意了.假定千粒麥粒的質(zhì)量為40克，據(jù)查，2016-2017年度世界年度小麥產(chǎn)量約為7.5億噸，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷國(guó)王是否能實(shí)現(xiàn)他的諾言.問題1：每個(gè)格子里放的麥粒數(shù)可以構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，請(qǐng)判斷分析這個(gè)數(shù)列是否是等比數(shù)列？并寫出這個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.學(xué)生:是等比數(shù)列,首項(xiàng)是1，公比是2，共64項(xiàng).問題2：請(qǐng)將發(fā)明者的要求表述成數(shù)學(xué)問題.學(xué)生：求這個(gè)等比數(shù)列的前64項(xiàng)的和.問題3.如何求解該問題?下面我們來學(xué)習(xí)等比數(shù)列前項(xiàng)和.設(shè)計(jì)意圖：用廣為流傳的故事，以趣引思,進(jìn)入學(xué)習(xí)情景，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情.(二）探

5、究新知 等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)問題1：如何求一個(gè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和呢？師生互動(dòng)，探究問題：教師引導(dǎo)學(xué)生梳理觀察、討論、分析的結(jié)果.對(duì)于等比數(shù)列,它的前項(xiàng)和是.直接加不行，減也不行，那么就考慮乘以某數(shù)再兩式相加或相減 .問題2：利用它的通項(xiàng)公式,你能轉(zhuǎn)化成什么式子呢?學(xué)生： 問題3：觀察等式右邊的任意相鄰兩項(xiàng),你發(fā)現(xiàn)了什么?學(xué)生：后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比是.問題4：根據(jù)你的發(fā)現(xiàn),你能構(gòu)造一個(gè)新的等式,使得這兩個(gè)等式有很多相同的項(xiàng)嗎?教師和學(xué)生共同探討： 與比較 式的第1-項(xiàng)分別與式2-項(xiàng)相等.問題5：你可以采取什么樣的運(yùn)算,使得這些相同項(xiàng)消失呢?得到了什么?學(xué)生：-得.問題6：在上述運(yùn)算過程中,你發(fā)現(xiàn)

6、什么不妥嗎?請(qǐng)改進(jìn).師生活動(dòng)：學(xué)生邏輯思維還不夠嚴(yán)謹(jǐn)，可能會(huì)說兩邊同時(shí)除以,教師強(qiáng)調(diào)分情況：當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), .問題7：結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式如何把用表示出來？學(xué)生：.綜合上述的過程,請(qǐng)總結(jié)一下等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式及推導(dǎo)方法.學(xué)生總結(jié)：教師總結(jié)：這種推導(dǎo)方法我們稱之為“錯(cuò)位相減法”.有了公式，可以解決故事中的問題了.由,可得.這個(gè)數(shù)很大，超過.如果一千顆麥粒的質(zhì)量約為，那么以上這些麥粒的總質(zhì)量超過7000億噸，約是2016-2017年度世界小麥產(chǎn)量的981倍，因此，國(guó)王根本不可能實(shí)現(xiàn)他的諾言.設(shè)計(jì)意圖：等比數(shù)列前項(xiàng)和的公式推導(dǎo)關(guān)鍵是變“加”為“減”，學(xué)生不可能獨(dú)立創(chuàng)造出來，通過設(shè)問精講讓學(xué)

7、生通過數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理發(fā)現(xiàn)解決問題的途徑，使學(xué)生由簡(jiǎn)單地模仿和接受，變?yōu)閷?duì)知識(shí)的主動(dòng)認(rèn)知，從而進(jìn)一步提高分析、類比和綜合的能力.(三)典例分析例1. 已知數(shù)列是等比數(shù)列(1)若，求；(2)若，求；(3)若，求.設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)兩類公式的聯(lián)用深化學(xué)生對(duì)公式的認(rèn)識(shí)和理解，強(qiáng)化方程的思想,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).通過直接套用公式變式運(yùn)用公式研究公式特點(diǎn)這三個(gè)層次的問題解決，促進(jìn)學(xué)生新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成通過以上形式，讓全體學(xué)生都參與教學(xué).練習(xí)1-1.已知數(shù)列是等比數(shù)列，求.練習(xí)1-2.已知數(shù)列是等比數(shù)列，求和公比.練習(xí)1-3.已知數(shù)列是等比數(shù)列，求和項(xiàng)數(shù).方法歸納: 為等比數(shù)列的求和公式,其中涉及

8、、五個(gè)量，通常已知其中三個(gè)，即可求另外兩個(gè)，方法是解方程組.當(dāng)已知、及時(shí)，用公式；當(dāng)已知、及時(shí)，用公式.另外在兩個(gè)公式中強(qiáng)調(diào)，因此在使用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式計(jì)算時(shí)需要對(duì)公比是否為進(jìn)行分類討論.例2. 已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為，前項(xiàng)和為，若,求公比.設(shè)計(jì)意圖：精講一題，發(fā)散一串的變式教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生分類討論思想，使學(xué)生既鞏固了知識(shí)，又形成了技能練習(xí)2-1.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為.若，求公比.練習(xí)2-2.在等比數(shù)列中,，求.例3. 已知等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為.證明,成等比數(shù)列，并求這個(gè)數(shù)列的公比.結(jié)論：等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為.則,成等比數(shù)列, 公比為.注：當(dāng)時(shí)，此結(jié)論不一定成立，例如此結(jié)論不成立.設(shè)

9、計(jì)意圖：此題是證明一個(gè)新數(shù)列也是等比數(shù)列,亦是等比數(shù)列的一個(gè)性質(zhì). 先讓學(xué)生根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式分類討論證明，再讓他們用不分類的方法求證.一題多解，使學(xué)生加深對(duì)等比數(shù)列定義、性質(zhì)，前項(xiàng)和及公式的理解，提高解決問題能力.練習(xí)3 -1.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，求.練習(xí)3 -2.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，求.例4. 等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知、成等差數(shù)列.(1) 求的公比；(2) 若,求.設(shè)計(jì)意圖：此題先讓學(xué)生熟練掌握等比數(shù)列得通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式及有關(guān)性質(zhì)，處理相關(guān)計(jì)算問題時(shí)，能靈活選用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解，以化簡(jiǎn)計(jì)算過程.(四)歸納總結(jié)：(1)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，對(duì)于公比未知的等比數(shù)列，應(yīng)用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式時(shí)，需討論公比是否為1.(2)