山東省自學考試線性代數(shù)(經管類)

1、線性代數(shù)（經管類）綜合試題一（課程代碼 4184）一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。1.設D=M0，則D1= ( B )A.2M B.2M C.6M D.6M2.設 A、B、C為同階方陣，若由AB = AC必能推出 B = C，則A應滿足 ( D )A. A O B. A = O C.|A|= 0 D. |A|03.設A，B均為n階方陣，則 ( A )A.|A+AB|=0，則|A|=0或|E+B|=0 B.(A+B)2=A2+2AB+B2C.當AB=O時，有A=O或B

2、=O D.(AB)-1=B-1A-14.二階矩陣A，|A|=1，則A-1= ( B ) A. B. C. D.5.設兩個向量組與，則下列說法正確的是( B )A.若兩向量組等價，則s = t .B.若兩向量組等價，則r()= r() C.若s = t，則兩向量組等價.D.若r()= r()，則兩向量組等價.6.向量組線性相關的充分必要條件是 ( C )A. 中至少有一個零向量B. 中至少有兩個向量對應分量成比例C. 中至少有一個向量可由其余向量線性表示D. 可由線性表示7.設向量組有兩個極大無關組與，則下列成立的是( C ) A. r與s未必相等 B. r + s = mC. r = s D.

3、 r + s m8.對方程組Ax = b與其導出組Ax = o，下列命題正確的是( D )A. Ax = o有解時，Ax = b必有解.B. Ax = o有無窮多解時，Ax = b有無窮多解.C. Ax = b無解時，Ax = o也無解.D. Ax = b有惟一解時，Ax = o只有零解.9.設方程組有非零解，則k = ( D )A. 2 B. 3 C. -1 D. 110.n階對稱矩陣A正定的充分必要條件是( D )A. |A|0 B.存在n階方陣C使A=CTCC.負慣性指標為零 D.各階順序主子式均為正數(shù)二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯

4、填、不填均無分。11.四階行列式D中第3列元素依次為 -1，2，0，1，它們的余子式的值依次為5，3，-7，4，則D = -15 12.若方陣A滿足A2 = A，且AE，則|A|= 0 .13.若A為3階方陣，且 ，則|2A|= 4 14.設矩陣的秩為2，則t = -3 15.設向量(6，8，0)，=(4，3，5)，則(,)= 0 16.設n元齊次線性方程組Ax = o，r(A)= r n，則基礎解系含有解向量的個數(shù)為 n-r 個.17.設(1，1，0)，(0，1，1)，=(0，0，1)是R3的基，則=(1，2，3)在此基下的坐標為 (1,1,2) .18.設A為三階方陣，其特征值為1，-1，

5、2，則A2的特征值為 1,1,4 .19.二次型的矩陣A= .20.若矩陣A與B=相似，則A的特征值為 1,2,3 .三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.求行列式的值.解：=. 22.解矩陣方程：. 解：令B=.因為.由23.求向量組=( 1, 1, 2, 3 )，=(1,1, 1, 1 )，=(1, 3, 3, 5 )，=(4,2, 5, 6 )的秩和一個極大線性無關組，并將其余向量用該極大無關組線性表示. 所以， 24. a取何值時，方程組有解？并求其通解（要求用它的一個特解和導出組的基礎解系表示）.解：對方程組的增廣矩陣施以初等行變換：.若方程組有解，則，故a=5.當

6、a=5時，繼續(xù)施以初等行變換得：，原方程組的同解方程組為：，令，得原方程組的一個特解：與導出組同解的方程組為：令得到導出組的基礎解系：，所以，方程組的全部解為：25.已知,求A的特征值及特征向量，并判斷A能否對角化，若能，求可逆矩陣P，使P 1AP =（對角形矩陣）解：矩陣A的特征多項式為：,所以，A的特征值為：對于，求齊次線性方程組，得基礎解系:,從而矩陣A的對應于特征值的全部特征向量為:對于，求齊次線性方程組的基礎解系,得基礎解系:,從而矩陣A的對應于特征值的全部特征向量為:因為三階矩陣A有三個線性無關的特征向量所以，A相似于對角矩陣，且 26.用配方法將下列二次型化為標準形： 解： =

7、= =令得二次型的標準形為：四、證明題（本大題共6分）27.設向量，證明向量組是R3空間中的一個基. 證：因為所以所以向量組 線性代數(shù)（經管類）綜合試題二（課程代碼 4184）一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。1.若三階行列式=0, 則k = (C ).A1 B0 C-1 D-22.設A、B為n階方陣,則成立的充要條件是 ( D ).AA可逆 BB可逆 C|A|=|B| DAB=BA3.設A是n階可逆矩陣, A*是A的伴隨矩陣, 則 ( A ).A BC D4.矩陣的

8、秩為2，則 = ( B ).A2 B1 C0 D5.設34矩陣A的秩r(A)=1，是齊次線性方程組Ax=o的三個線性無關的解向量，則方程組的基礎解系為 (D ).A B C D6.向量線性相關,則( C ).Ak =-4 Bk = 4 Ck =-3 Dk = 3 7.設u1, u2是非齊次線性方程組Ax=b的兩個解, 若是其導出組Ax=o的解, 則有 ( B ).Ac1+c2 =1 Bc1= c2 Cc1+ c2 = 0 Dc1= 2c2 8.設A為n(n2)階方陣，且A2=E，則必有 ( B ).AA的行列式等于1BA的秩等于nCA的逆矩陣等于EDA的特征值均為19.設三階矩陣A的特征值為2

9、, 1, 1， 則A-1的特征值為 ( D ).A1, 2 B2, 1, 1 C, 1 D, 1, 110.二次型是 ( A ).A正定的 B半正定的 C負定的 D不定的二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。11.=_5_12.設A為三階方陣,且|A|=4，則|2A|=_32_13.設A=, B =, 則ATB =_14.設A =,則A-1=_15.向量表示為向量組的線性組合式為_16.如果方程組有非零解, 則k =_-1_17.設向量與正交，則a =_2_18.已知實對稱矩陣A=,寫出矩陣A對應的二次型_19.已知矩陣A與對角矩

10、陣=相似，則A2=_E_20.設實二次型的矩陣A是滿秩矩陣，且二次型的正慣性指數(shù)為3，則其規(guī)范形為_三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.計算行列式的值.原式=22.設矩陣A=，B=，求矩陣A-1B . 所以， 23.設矩陣，求k的值，使A的秩r(A)分別等于1，2，3.解：對矩陣A施行初等變換：當時，矩陣的秩當當 24.求向量組的秩和一個極大線性無關組，并將其余向量用該極大線性無關組線性表示.解：將所給列向量構成矩陣A，然后實施初等行變換：所以，向量組的秩，向量組的一個極大無關組為：且有25. 求線性方程組的基礎解系，并用基礎解系表示其通解.解：對方程組的系數(shù)矩陣（或增廣矩

11、陣）作初等行變換：與原方程組同解的方程組為:令方程組的通解為： 26. 已知矩陣，求正交矩陣P和對角矩陣，使P-1AP=.解：矩陣A的特征多項式為：得矩陣A的所有特征值為：對于求方程組的基礎解系.，得基礎解系為將此線性無關的特征向量正交化，得：.因為將其單位化，得： 則P是正交矩陣，且 四、證明題（本大題共6分）27.設向量組線性無關，證明：向量組也線性無關.證：令整理得：因為線性無關，所以故 . 線性代數(shù)（經管類）綜合試題三（課程代碼 4184）一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選

12、或未選均無分。1.當( D )成立時，階行列式的值為零.A.行列式主對角線上的元素全為零B.行列式中有個元素等于零C.行列式至少有一個階子式為零D.行列式所有階子式全為零2.已知均為n階矩陣，E為單位矩陣，且滿足ABC=E，則下列結論必然成立的是 ( B ).A. ACB=E B. BCA=E C. CBA=E D. BAC=E 3.設A，B均為n階可逆矩陣，則下列等式成立的是 ( D ).A. (AB)-1=A-1B-1 B. (A+B)-1=A-1+B-1 C. (AB)T=ATBT D. 4.下列矩陣不是初等矩陣的是 ( B ). A. B. C. D.5.設是4維向量組，則 ( D )

13、. A.線性無關B.至少有兩個向量成比例C.只有一個向量能由其余向量線性表示D.至少有兩個向量可由其余向量線性表示6.設A為mn矩陣，且m0 B. A的每一個元素都大于零C. D. A的正慣性指數(shù)為n10.設A，B為同階方陣，且r(A) = r(B)，則 ( C ). A. A與B相似 B. A與B合同C. A與B等價 D.|A|=|B|二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。11.行列式 24 .12.設A為三階矩陣，|A|=-2，將矩陣A按列分塊為，其中是A的第j列，,則|B|= 6 .13.已知矩陣方程AX=B，其中A=，B=

14、，則X= .14.已知向量組的秩為2，則k = -2 .15.向量的長度= .16.向量在基下的坐標為 (3,-4,3) .17.設是4元齊次線性方程組Ax=o的基礎解系，則矩陣A的秩r(A)= 1 .18.設是三階矩陣A的特征值，則a = 1 .19.若是正定二次型，則滿足 . 20.設三階矩陣A的特征值為1,2,3，矩陣B=A2+2A,則|B|= 360 .三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.設三階矩陣A=，E為三階單位矩陣.求：(1)矩陣A-2E及|A-2E|；(2).解：（1） （2）因為22.已知向量組求：(1)向量組的秩；(2) 向量組的一個極大線性無關組，并將

15、其余向量用該極大線性無關組線性表示.解：(1)將所給向量按列構成矩陣A，然后實施初等行變換：所以，向量組的秩（2）向量組的一個極大無關組為：，且有.23. 討論a為何值時，線性方程組有解？當方程組有解時，求出方程組的通解.解：對方程組的增廣矩陣實施初等行變換：若方程組有解，則，從而當時，原方程組的通解方程組為：令.導出組的同解方程組為：令分別取得導出組的基礎解系：所以，方程組的通解為： 24. 已知向量組，討論該向量組的線性相關性.解：因為 25.已知矩陣A=，(1)求矩陣A的特征值與特征向量；(2)判斷A可否與對角矩陣相似，若可以，求一可逆矩陣P及相應的對角形矩陣. 解：矩陣A的特征多項式為

16、：,所以，A的特征值為：對于， 求齊次線性方程組的基礎解系，,從而矩陣A的對應于特征值對于，求齊次線性方程組因為三階矩陣A只有兩個線性無關的特征向量，所以，A不能相似于對角矩陣.26.設二次型(1)將二次型化為標準形；(2)求二次型的秩和正慣性指數(shù).解：(1)利用配方法，將二次型化為標準形： 令得二次型的標準形為：（2） 四、證明題（本大題共6分）27. 已知A是n階方陣，且，證明矩陣A可逆，并求證：由 從而 所以A可逆,且 線性代數(shù)（經管類）綜合試題四（課程代碼 4184）一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填

17、寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。1.三階行列式，則a = ( ).A. 2 B. 3 C. D. -3 2.設A，B均為n階非零方陣，下列選項正確的是 ( ).A. (A+B)(A-B) = A2-B2 B. (AB)-1 = B-1A-1 C. 若AB= O, 則A=O或B=O D. |AB| = |A| |B| 3.設A，B，AB-BA= ( ).A. B. C. D. 4.設矩陣的秩為2，則 ( ).A. B.t = -4 C. t是任意實數(shù) D.以上都不對5.設向量，則 ( ).A.(1, 0, 5, 4 ) B.(1, 0, -5, 4) C.(-1, 0, 5, 4) D

18、.(1, 0, 5, -6)6.向量組線性相關,則( ).A. k =-4 B. k = 4 C. k = 3 D. k = 27.設u1, u2是非齊次線性方程組Ax = b的兩個解，若c1u1+c2u2也是方程組Ax = b的解，則 ( ).A. c1+c2 =1 B. c1= c2 C. c1+ c2 = 0 D. c1= 2c2 8.設mn矩陣A的秩r(A) = n-3(n3)，是齊次線性方程組Ax=o的三個線性無關的解向量，則方程組Ax=o的基礎解系為( ).A. B. C. D. 9.設三階矩陣A的特征值為1，1，2，則2A+E的特征值為( ). A. 3，5 B. 1，2 C.1

19、，1，2 D. 3，3，5 10.n階對稱矩陣A為正定矩陣的充分必要條件是 ( ). A. B.存在n階矩陣P，使得A=PTP C.負慣性指數(shù)為 D.各階順序主子式均為正數(shù)二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。11. . 12.設A為三階方陣，且|A|=2，A*是其伴隨矩陣，則|2A*| = .13.設矩陣A，則= .14.設，則內積= .15.若向量不能由線性表示，且r()=2，則r(,)= .16.設線性方程組有解，則t = .17.方程組的基礎解系含有解向量的個數(shù)是 .18.設二階矩陣A與B相似，A的特征值為-1，2，則|B

20、|= .19.設二次型的矩陣,則二次型 . 20.用正交變換將二次型化為標準形為，則矩陣A的最小特征值為 .三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.計算n階行列式. 22.解矩陣方程：. 23.驗證是R3的一個基，并求向量在此基下的坐標. 24.設向量組線性無關，令，試確定向量組的線性相關性. 25.求線性方程組的基礎解系，并表示其通解. 26.求矩陣的特征值和全部特征向量. 四、證明題（本大題共6分）27.設是三維向量組，證明：線性無關的充分必要條件是任一三維向量都可由它線性表示. 線性代數(shù)（經管類）綜合試題五（課程代碼 4184）一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分

21、，共20分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。1.行列式,則k = ( ).A. 1 B. 4 C. -1或4 D. -1 2.設A，B，C均為n階非零方陣，下列選項正確的是 ( ).A.若AB=AC，則B=C B. (A-C)2 = A2-2AC+C2 C. ABC= BCA D. |ABC| = |A| |B| |C| 3.設A，B均為n階方陣,則等式(A+B)(A-B) = A2-B2成立的充分必要條件是 ( ).A. A=E B. B=O C. A=B D. AB=BA4.若，則初等矩陣P= ( ).A. B. C. D. 5.設向量,則 ( ).A. (-1, 3, 8, 9 ) B. (1, 3,8, 9) C. (-1, 0, 8, 6) D. (-1, 3, 9, 8) 6.下列結論正確的是 ( ). A.若存在一組數(shù)k1, k2, ,km, 使得成立，則向量組線性相關.B.當k1 = k2 =km=0時，則向量組線性無關.C.若向量線性相關，則線性相關.D.若向量線性無關，則線性無關.7. 設u1, u2是非齊次線性方程組Ax = b的兩個解，若c1u1+c2u2是其導出組Ax = o的解，則 ( ).A. c1+ c2 = 0 B.