微分幾何習(xí)題解答曲線論

1、第一章曲線論向量函數(shù)5.向量函數(shù)r(t)具有固定向的充要條件是r(t) X r(t)= 0。分析：一個向量函數(shù)r(t) 一般可以寫成r(t)= (t) e(t)的形式，其中e(t)為單位向 量函數(shù)，(t)為數(shù)量函數(shù)，那么r(t)具有固定向的充要條件是e(t)具有固定向，即e(t) 為常向量，(因為e(t)的長度固定)。證 對于向量函數(shù)r (t)，設(shè)e(t)為其單位向量，則r(t) = (t) e(t)，若r(t)具有固定向，貝U e(t)為常向量，那么r(t) = (t) e ，所以r xr= ( e xe) = 0。反之，若 r xr=0，對 r(t)= (t) e(t)求微商得 r= e

2、+ e，于是 r x r= 2 ( e xe) = 0，則有 =0 或e xe = 0。當(dāng)(t) = 0 時，r(t)= 0可與任意向 平行；當(dāng) o 時，有 e xe = 0，而(e xej= e2e2-( e e )2 = e2，(因為 e 具 有固定長，e e= 0)，所以e = 0，即e為常向量。所以，r(t)具有固定向。6.向量函數(shù)r (t)平行于固定平面的充要條件是(r r r) =0。分析：向量函數(shù)r(t)平行于固定平面的充要條件是存在一個定向向量n(t)，使r(t) n = 0 ，所以我們要尋求這個向量n及n與r，r的關(guān)系。證 若r(t)平行于一固定平面n,設(shè)n是平面n的一個單位

3、法向量，則n為常向量，且r(t) n = 0 兩次求微商得rn = 0 ， r n = 0，即向量r， r， r垂直于 同一非零向量n，因而共面，即(r r r) =0。反之,若 (r r r) =0，貝U有 r x=0 或 r xr 0。若 r xr= 0，由上題知 r (t)具有固定向，自然平行于一固定平面，若r xr0，則存在數(shù)量函數(shù)(t)、(t)，Word資料使 r= r + r令n = ； Xr，則n 0，且r(t)丄n(t)。對n = r Xr求微商并將式代入得n = r Xr=(r Xr) = n，于是n Xn= 0，由上題知n有固定向，而r (t)丄n ,即r (t)平行于固定

4、平面。S曲線的概念1.求圓柱螺線 x = cost , y= si nt ,z =t 在( 1,0,0)的切線和法平面。解 令 cost=1, si nt =0, t =0 得 t=0, r (0)= - si nt ,cost ,1|t 0 =0,1,1,曲線在(0,1,1)的切線為 乞y z，法平面為y + z = 0。0 1 1求三次曲線r at, bt2,ct3在點t0的切線和法平面。2.2r 廣 r、rXat 0r(t) a,2bt0,3ct。，切線為 - ay bt：2btTZ Ct；3ct0；，法平面為22a(x ato) 2bto(y bt) 3ct(z丄3Ct)0。角。3.證

5、明圓柱螺線r = a cos ,asin ,b)的切線和z軸作固定r = -a sin ,acos , b ,設(shè)切線與z軸夾角為，則cos 為常數(shù)，故 為定角(其中k為z軸的單位向量)。 b24.求懸鏈線r = t , a cosh 7 (- t )從t =0起計算的弧長。解 r =1 , si nh , | r |= .1 si nh2 ； = cosh-a , s =to cosh adt a sinh 占 。a9 .求曲線x3 3a2y,2xz a2在平面y 3 與y = 9a之間的弧長。x3 a2a解 曲線的向量表示為r = x，r，,曲面與兩平面y乜 與y = 9a的交3a 2x點分

6、別為 x=a 與x=3a2,r = 1,務(wù),2a .2 ， I r Ia 2x441 _L_ a4 4x_2 x2 a2a2 ，2x所求弧長為s3a x2a(722x9a 。10.將圓柱螺線r =acost ,asint , bt化為自然參數(shù)表示。解 r = - asint ,acost ,b.s =01 r |dt . a2 b2t，所以 tsa2 b2代入原程得 ：=a coss, asin , s , bs 荷 b2(a2 b211.求用極坐標(biāo)程()給出的曲線的弧長表達(dá)式。解 由 x ( )cos , y()sin知 r =( ) cos -( ) sin ，()sin +( )cos

7、, | r | =2( )2 ()，從o到的曲線的弧長是s=02( )2( ) d 。4空間曲線1. 求圓柱螺線x = acost , y =asint , z = bt在任意點的密切平面的程解 r= - as in t ,acost ,b, r=- acost，- asi nt ,0 所以曲線在任意點的密切平面的程為x a cost y a si nt z bta si nt a cost b = 0 ，即 卩(bsi nt )x-( b cost )y+az-abt=0 .a costa si nt02. 求曲線；= t sint,tcost,td 在原點的密切平面、法平面、從切面、切線、

8、 主法線、副法線。解 原點對應(yīng) t=0 , r(0)= sint +t cost ,cost - tsint ,et + tet t o=O,1,1,r(0) 2 cost + t cost, cost - t si nt ,2et + tet t o =2,0,2,所以切線程是 -，法面程是y + z = 0 ;0 1 1xyz密切平面程是011=0，即卩x+y-z=0，202主法線的程是x y z 0即、丄土 ；y z 0211從切面程是2x-y+z=0 ,副法線程式o1 1 13. 證明圓柱螺線x =acost , y = asint , z = bt的主法線和z軸垂直相交。證 r =

9、- asint ,acost ,b, r=- acost，- asint ,0 ,由 r丄 r知 r為主法線 的向向量，而r k 0所以主法線與z軸垂直；主法線程是x a cost y asi nt z btcostsi nt0與z軸有公共點(o,o,bt)。故圓柱螺線的主法線和z軸垂直相交。4. 在曲線x = cos cost ,y = cossint , z = tsin的副法線的正向取單位長，求其端點組成的新曲線的密切平面解 r = -cos sint, cos cost, sin , r= -cos cost,- cos sint , 0 r rs in si nt ,-sin|r r

10、|新曲線的程為rr = coscost + sinsint對于新曲線 r= - cossi nt+ sincostcost , cos ,cossi nt- sincost ,tsi n+ cos,coscost+ sin si nt,sin=si n(-t),cos( -t), sin , r= -cos( -t), sin( -t),0,其密切平面的程是x cos a cost y cosa sin t z t sin asi n(a t) cos(a t) si nacos(a t) sin(a t)0即 sin sin(t- ) x sin cos(t- ) y + z tsin co

11、s = 0 .5. 證明曲線是球面曲線的充要條件是曲線的所有法平面通過一定點。證法一：設(shè)一曲線為一球面曲線，取球心為坐標(biāo)原點，則曲線的向徑r(t)具有固定長，所以r = 0,即曲線每一點的切線與其向徑垂直，因此曲線在每一點的法平 面通過這點的向徑，也就通過其始點球心。若一曲線的所有法平面通過一定點，以此定點為坐標(biāo)原點建立坐標(biāo)系，則r r = 0，r(t)具有固定長，對應(yīng)的曲線是球面曲線。法二：r r(t)是球面曲線存在定點仁(是球面中心的徑矢)和常數(shù)R (是球面的半徑)使(r r0)2 R22(r ) r 0，即(：仁)：0(*)r rr r r而過曲線r r(t)上任一點的法平面程為(r)r

12、 0?？芍ㄆ矫孢^球面中 心 (*)成立。所以，曲線是球面曲線的充要條件是曲線的所有法平面通過一定點。6證明過原點平行于圓柱螺線r = acost，asint，bt的副法線的直線軌跡是 錐面 a2(x2 y2) bz2.證 r =-a sint ,a cost , ,r =-a cost，- a sint ,0 ， rr= a bsint,bcost, a為副法線的向向量，過原點平行于副法線的直線的程是- Z，消去參數(shù) t 得 a2(x2 y2) bz2。bsi ntbcost a7. 求以下曲面的曲率和撓率 r a cosh t, asinht,at, r a(3t t3 ),3at2,a(

13、3t t3)( a 0)。2a2 cosht(i 2acosht)3122 a cosh t解 r as in h t, acosht,a，r a cosht,a s in h t,0，r asin h t,cosht,0a sinht,cosht, 1，所以 kr r3|r|3(r,r,r) a212422(r r) 2a cosh t 2acosh t2 2r 3a1 t ,2t,1 t , r 6ar 6a 1,0,1,2 2 2r xr= 18a t 1, 2t,t1，|r r|r|318a2 2(t21)27a22.2(t21)313a(t21)2(r,r,r)18 6a32122

14、42222(r r)2182a42(t21)2 3a(t21)28. 已知曲線r cos 3 t,sin3t,cos2t，求基本向量,;曲率和撓率; 驗證伏雷公式。分析 這里給出的曲線的程為一般參數(shù)，一般地我們可以根據(jù)公式去求基本向 量和曲率撓率，我們也可以利用定義來求。解 r 3 cos21 si n t,3si n 21 cost, 2 si n 2t sin t cost 3 cost,3 si nt, 4，*|334cost, si nt,，555sin t,cost,0，ds| r (t) | 5sin t cost,(設(shè) sintcost0 )， dtd 史 13si nt,3co

15、st,0dt ds5sint cost 55/+4 + 3工 cost, si nt, ，5553 k | 25sintcost 4相反，所以| | 25sin t cost25s in tcostsint,cost,0，由于與向顯然以上所得,k ,滿足 k ,也滿足伏雷公式。1cos t, sin t,05 sin t cost9. 證明如果曲線的所有切線都經(jīng)過一的定點，貝吐匕曲線是直線。證 法一：取定點為坐標(biāo)原點建坐標(biāo)系，曲線的程設(shè)為r = r(t),則曲線在任意點的 切線程是r(t) r(t)，由條件切線都過坐標(biāo)原點，所以r(t) r(t)，可見；/r，所以r具有固定向，故r = r (

16、t)是直線。法二：取定點為坐標(biāo)原點建坐標(biāo)系，曲線的程設(shè)為r = r (t)，則曲線在任意點的切線程是 r (t) r (t)，由條件切線都過坐標(biāo)原點，所以r(t) r(t)，于是r =r，從而r xr = o，所以由曲率的計算公式知曲率k=0，所以曲線為直線。法二：設(shè)定點為，曲線的程為? = f(s)，則曲線在任意點的切線程是 r r(s)r(s)，由條件切線都過定點ro，所以ro r(s) (s)，兩端求導(dǎo)得：rrrrr rr r(s)(s),即(1) (s)0，而(s), (s)無關(guān)，所以 10，可知 0,(s)0，因此曲線是直線。10. 證明如果曲線的所有密切平面都經(jīng)過一的定點，則此曲線

17、是平面曲線。證 法一：取定點為坐標(biāo)原點建坐標(biāo)系，曲線的程設(shè)為r = r(t)，則曲線在任意 點的密切平面的程是(r(t) (r(t) r(t)0 ,由條件 r(t) (r(t) r(t)0，即(r r r) =0，所以；平行于一固定平面，即；=r (t)是平面曲線。法二：取定點為坐標(biāo)原點建坐標(biāo)系，曲線的程設(shè)為r = r (s)，貝U曲線在任意點的密切平面程是(r(s)0，由條件r(s) 0，兩邊微分并用伏雷公式得?r一r(s) 0。若 r (s)0,又由 r (s)0 可知 r (s) / r (s)，所以 r = r (s)平行于固定向，這時r = r (s)表示直線，結(jié)論成立。否則0，從而

18、知曲線是平面曲線。法三：取定點為坐標(biāo)原點建坐標(biāo)系，曲線的程設(shè)為；=r (t)，則曲線在任意點的密切平面程是(r(t) (r(t) r(t)0，由條件 r(t) (r(t)r(t)0，即(r r r) =0,所以r , r, r共面，若r / r，則r = r(t)是直線，否則可設(shè) r r r, r r r ，所以：,：共面，所以0，從而知曲線是平面曲線。11. 證明如果一條曲線的所有法平面包含常向量e，那么曲線是直線或平面曲線。?證 法一：根據(jù)已知e 0，若 是常向量，則k= | |=0，這時曲線是直線。?否則在 e 0兩邊微分得e= 0，即k e= o，所以 e= 0，又因 e 0，所?以/

19、 e，而 為單位向量，所以可知為常向量，于是| | | | 0,即卩0,此曲線為平面曲線。法二：曲線的程設(shè)為? = r(t)，由條件r e = 0，兩邊微分得r e = 0，r e = o，所以r， r，r共面，所以(r r r )=0。由撓率的計算公式可知0，故曲線為平面曲線。當(dāng)r xr = 0時是直線。法三：曲線的程設(shè)為；=r(t)，由條件r e = 0，兩邊積分得 (p是常數(shù))。 因；e p是平面的程，說明曲線? = r(t)在平面上，即曲線是平面曲線，當(dāng)r有固 定向時為直線。12. 證明曲率為常數(shù)的空間曲線的曲率中心的軌跡仍是曲率為常數(shù)的曲線。證明 設(shè)曲線(C): r = r(s)的曲

20、率k為常數(shù)，其曲率中心的軌跡(C )的程為:1 r(s) - (s)，(為曲線(C)的主法向量)，對于曲線(C )兩邊微分得 k1 一(s) 1 ( k )，(，分別為曲線(C)的單位切向量，副法kkk為常數(shù)。,| |3，曲線(C)的曲率為k面程13. 證明曲線x=1+3t+2 t2,y=2-2t+5 t2,z=1-t2為平面曲線，并求出它所在的平證 r=3+4t, - 2 +10t,-2t ,r=4, 10, - 2 ,r =o, 0, 0曲線的撓率是(r,r,r)2(r r)0,所以曲線為平面曲線。曲線所在平面是曲線在任點的密切平面。對于t = 0 , r = 1,2 ,i, r =3,

21、- 2 , 0 , r =4, 10, - 2 ,x 1r = o, 0, 0。所以曲線的密切平面，即曲線所在平面是34y 2 z 12 0 010 2即 2x+3y+19z 27=0.14設(shè)在兩條曲線r、一的點之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，使它們在對應(yīng)點的切線平行，證明它們在對應(yīng)點的主法線以及副法線也互相平行證 設(shè)曲線r： r = r (s)與：r r (可點s與s 一一對應(yīng)，且對應(yīng)點的切線平行，則(s)=(s),兩端對s求微商得史，即 k (s) k G)ds ,(這里 k 0, dsds若k=| |=0，貝U無定義)，所以/，即主法線平行，那么兩曲線的副法線也平行。15.設(shè)在兩條曲線r、一的點

22、之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，使它們在對應(yīng)點的主 法線平行，證明它們在對應(yīng)點的切線作固定角分別為曲線r、一的切向量，分別為曲線r、的主法向量，則由已知 (s)(s)ds-kk (s)將式代入kds曲線的切線作固定角。而：(_)dsds( 嚴(yán)0。所以ds-dsds=常數(shù)，故量16.若曲線r的主法線是曲線的副法線r的曲率、撓率分別為。求證k= o( 2+ 2)，其中為常數(shù)證 設(shè)r的向量表示為r = r(s)，貝U可表示為 =r(s) + (s) (s),的切向量+(- k +)與垂直，即 = = 0,所以為常數(shù)，設(shè)為 ,則=(10 k)+ 0。冉求微商有=0k + (1 0k)k + 0-0 2 , =

23、(1 0 k) k 0 2 =0,所以有 k= 0 ( 2 + 2)。rt17.曲線r =a(t-sint),a(1-cost),4acos在那點的曲率半徑最大。解r=ttta1-cost,sint,-2sin , r= asint,cost,-cos , |r| 2 2 |sin |,2 2 2r xr=a22si n3l, 2s in2-cos-,4acos-2a2 si n2 丄si n 丄,cos,1,2 2 2 2 2 2 2| r x r |=22 t | r r|1t2a sin 2, k 3, R 8a|si n| ,所以在2|r |3a i t |28a|sin |2t=(2

24、k+1),k為整數(shù)處曲率半徑最大。18.已知曲線(C) C3 : r r (s)上一點r(s0)的鄰近一點r (s0s),求r(s。s)點到r(s。)點的密切平面、法平面、從切平面的距離(設(shè)點r(s。)的曲率、撓率分別為0, 0)上式中的三個系數(shù)的絕對值分別是點r (Sos)到r(So)的法平面、從切平面、解r(ss)r (s。)r (s0 )s : r(s。)22 sJrG。) s3 =3!10 S 0230 s+ 6( k00 k00 0 0 0)s3，設(shè)10203 0 ，其中l(wèi)ims 00。則 r (ss)- r(s。)1=s 6(203 ,1) s 02 0s 6( 02) s30)3

25、003 ) s 0密切平面的距離。5 一般螺線5.證明如果所有密切平面垂直于固定直線，那么它是平面直線證法一：當(dāng)曲線的密切平面垂直于某固定直線時，曲線的副法向量是常向量.即=0。曲線的撓率的絕對值等于| |為零，所以曲線為平面曲線證法二：設(shè)n是固定直線一向量，則r n=0，積分得；n= p，說明曲線在以n 為法向量的一個平面上，因而為平面直線。證法三：設(shè)n是固定直線一向量，則r n=0 ,再微分得r n=0 , r n=0 。 所以r、r、r三向量共面，于是(r rr) = 0，由撓率的計算公式知 =0， 因此曲線為平面曲線。7.如果兩曲線在對應(yīng)點有公共的副法線，則它們是平面曲線證設(shè)一曲線為r

26、： r = r (s)，貝U另一曲線 的表達(dá)式為：r (s)(s) (s),(s)為曲線r在點s的主法向量，也應(yīng)為在對應(yīng)點的副法線的向向量。=+- 與正交，即 =0，于是 =0, 為常數(shù)。=-,=k -(- k +)也與正交，即 = -2=0,而0，所以有 =0，曲線r為平面曲線。同理曲線為平面曲線。8. 如果曲線r： r = r(s)為一般螺線,r、為r的切向量和主法向量，r為r的曲率半徑。證明一 ：=Rr ds也是一般螺線。r證 因為r為一般螺線，所以存在一非零常向量e使 與e成固定角，對于曲線，其切向量 =R RR與r共線,因此也與非零常向量e成固定角，所以也為一般螺線9. 證明曲線= r(s)為一般螺線的充要條件為(r,r,r )