橢圓的定義及其定理

1、2021/3/101課件制作者：課件制作者：羅定中學(xué)羅定中學(xué) 姚仕森姚仕森 橢圓的定義及其定理橢圓的定義及其定理 2021/3/102 太空中有些天體運(yùn)行的軌道是橢圓形的。 2021/3/103 生活中的橢圓生活中的橢圓 油罐車的橫截面是油罐車的橫截面是橢圓橢圓 2021/3/104 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 取一條細(xì)繩，把它的兩端固定在板上的兩點(diǎn)， 把細(xì)繩拉緊，在板上慢慢移動(dòng) 用鉛筆尖 就可以畫出一個(gè)橢圓。 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 2 F 1 F M 答：兩個(gè)定點(diǎn)，繩長(zhǎng). 分析 軌跡上的點(diǎn)是怎么來的？ 在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，什么是不變的？ 即不論點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到何處，繩長(zhǎng)不變. （即軌跡上與兩個(gè)定點(diǎn)

2、距離之和不變） 2021/3/105 橢圓定義的符號(hào)表述：橢圓定義的符號(hào)表述： 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和 的的點(diǎn)的軌跡叫橢圓。點(diǎn)的軌跡叫橢圓。 兩定點(diǎn)兩定點(diǎn)F1、F2叫做叫做橢圓的焦點(diǎn)，橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)之間的距離兩焦點(diǎn)之間的距離|F1F2 | 等于常數(shù)等于常數(shù)2a（大于（大于|F1F2 |） 叫做橢圓的焦距。叫做橢圓的焦距。 12 2MFMFa 2 F 1 F 橢圓的定義橢圓的定義 M 12 2|)aFF( 2021/3/106 推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 回顧用坐標(biāo)法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟： 建系；設(shè)點(diǎn)；列等式；化簡(jiǎn)坐標(biāo)化； 2 F 1 F M 建立

3、直角坐標(biāo)系 軸,xoy o y x 以過兩焦點(diǎn) 的直線為x軸， 12 ,F F 線段 的垂直平分線為y軸, 12 FF 設(shè)( , )M x y是橢圓上任意一點(diǎn)， 橢圓焦距為2c(c0),則 1( ,),F 2( ,).Fc0c 0 又設(shè) 12 |M FM F2a (2 2 )ac 1 |M F 2 |M F 22 ()xcy 22 ()xcy 22 ()xcy 22 ()2xcya 2021/3/107 22 ()xcy 22 ()2xcya化簡(jiǎn) 22 ()xcy 22 ()xcy 將左邊的根式 移到右邊 22 ()xcy2a兩邊平方，得 2 22 ()xcy 2 22 2()axcy 222

4、 2xcxcy 2 4a 22 4()axcy 222 2xcxcy 2 44acx 22 4()axcy 即 2 acx 22 ()axcy 上式兩邊再平方，得 4 a 2 2a cx 22 c x 2222222 2a xa cxa ca y 整理得 222 ()acx 22 a y 222 ()a ac兩邊除以 得 222 ()a ac 2 2 x a 2 22 y ac 1 2021/3/108 2 2 x a 2 22 y ac 1 1 F 2 F M o y x由橢圓定義可知 22ac 即ac 22 0ac 由圖可知 1 |M F 2 |M F ,a 1 |OF 2 |OF ,c

5、a a c |MO 22 ac 令 22 acb 那么式就是 22 22 1 xy ab (0)ab 1 F 2 F M o y x 同理可得焦點(diǎn)同理可得焦點(diǎn)F1、F2 22 22 1 yx ab (0)ab 在在 y 軸上的橢圓方程軸上的橢圓方程 2021/3/109 焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在 X 軸上的橢圓方程軸上的橢圓方程 2 F 1 F M o y x 22 22 1 xy ab (0)ab 焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在 Y 軸上的橢圓方程軸上的橢圓方程 22 22 1 yx ab (0)ab 1 F 2 F M o y x 22 ab 2 c 22 ab 2 c其中其中 其中其中 2021/3/1010 , ,

6、a b c 1判斷下列方程是否表示橢圓，若是，求出的值。 課堂練習(xí)課堂練習(xí) 22 1 22 xy 22 1 42 xy 22 1 42 xy 22 9436xy 小結(jié)橢圓方程的異同點(diǎn)小結(jié)橢圓方程的異同點(diǎn) 項(xiàng)分母的大小即可 區(qū)別：區(qū)別：要判斷焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，只需比較較 2 ,x 2 y 若 項(xiàng)分母大，則焦點(diǎn)在 軸上. 2 xx 若 項(xiàng)分母大，則焦點(diǎn)在 軸上. 2 yy 22 1 49 xy 2021/3/1011 例：例：已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 一點(diǎn)一點(diǎn)M 到到 12 1,01,0FF、 的距離之和為的距離之和為 4 , 求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

7、 , 橢圓上橢圓上 12 ,F F M o y x 2 1, 0F 1 -1, 0F 解: 依題意 2a 42a 1c 2 b 22 ac 3 該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 22 1 43 xy 2021/3/1012 課本例1 53 , 22 , 求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。 已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是 M o y x 2 2, 0F 1 -2, 0F 53 , 22 解: 由橢圓定義知 （-2,0）, (2,0), 并且經(jīng)過點(diǎn) 2a 1 |M F 2 |M F 22 53 2 22 22 53 2 22 2 10 10a 又2c 2 b 22 ac 6 該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 22 1 106 xy 2021/3/1013 小結(jié)小結(jié) ： 本節(jié)課學(xué)習(xí)了橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程. 應(yīng)注意以下幾點(diǎn) 橢圓的定義中, 220;ac 橢圓的標(biāo)