東北大學數(shù)值分析課后習題詳細解析PPT學習教案

1、會計學1東北大學數(shù)值分析課后習題詳細解析東北大學數(shù)值分析課后習題詳細解析 1-3.為了使101/2的相對誤差小于0.01%,試問應取幾位有效數(shù)字? 解解 因為101/2=3.162=0.316210,若具有n位有效數(shù)字,則其絕對誤差限為0.5 101-n ,于是有 r=0.5101-n/3.1620.5101-n/30.01% 因此只需n=5.即取101/2=3.1623 解解 x1=28+27.982=55.982,x2=1/x1=0.017863 1-4.求方程x2-56x+1=0的兩個根,使它們至少具有四位有效數(shù)字 ).982.27783(第1頁/共73頁 2-2(1).用列主元Gaus

2、s消元法解方程組 解解 6745150710623321xxx65157071046235 . 255 . 201 . 661 . 0070710消元1 . 661 . 005 . 255 . 207071032rr回代得解: x3=1, x2=-1, x1=0651546237071021rr2 . 62 . 6005 . 255 . 2070710消元第2頁/共73頁 2-3(1).對矩陣A A進行LULU分解,并求解方程組Ax=bAx=b,其中 解解 564,221231112bA ，所以221231112A1122121112212325211125321232521112535321

3、232521112532325532121112111A5332132153212144564111yyyyyy，得解1114411232153321532325xxxxxx，得再解第3頁/共73頁 2-4.對矩陣A A進行LDMLDM分解和Crout分解，其中 解解15156654212A64264122112634122112634123221112634123221111111263423221A分解：故得Crout11111321431213221ALDM分解為：第4頁/共73頁 2-5.對矩陣A A進行LDLLDLT T分解和GGGGT分解，并求解方程組Ax

4、=bAx=b，其中 解解 ,22484548416A22484548416A2121432321214332321214332214332214A分解：故得TGG1119416111232141232141ALDLT分解為：321b第5頁/共73頁7083. 1875. 025. 0321332214321321yyyyyy，得解5694. 02916. 15451. 07083. 1875. 025. 0332214321321xxxxxx，得再解 2-6(1).給定方程組 21102yxyx a.用Cramer法則求其精確解. b.用Gauss消元法和列主元Gauss消元法求解,并比較結果

5、.(用兩位浮點計算). 解解 a.x=-1/-0.99=1.010101,y=-0.98/-0.99=0.989899 b.用Gauss消元法第6頁/共73頁21102yxyx 2-8.用追趕法求解方程組:回代得解: y=1, x=0.1102yx1001001102yyx 再用列主元Gauss消元法21102yxyx12yyx2yx回代得解: y=1, x=1.200000100411411411411454321xxxxx第7頁/共73頁 解解41141141141141414411144154111415441541111415561544154111145615155615441541

6、1111456209561515561544154111114209565620956151556154415412097802095656209561515561544154111114718.5347847. 07857. 16667. 625200000100111145432154321209780562091556415yyyyyyyyyy，得解第8頁/共73頁718.53872.147693. 52052. 8051.27,718.5347847. 07857. 16667. 62511111543215432120956561515441xxxxxxxxxx得再解 2-10.證明

7、下列不等式: (1)x-yx-z+z-y; (2)|x-y|x-y; 證明證明 (1)x-y=(x-z)+(z-y)x-z+z-y (2) 因為 x=(x-y)+yx-y+y 所以 x-yx-y ,同理可證 y-xx-y 于是有 |x-y|x-y . 第9頁/共73頁 2-11.設為一向量范數(shù),P P為非奇異矩陣,定義x xp= PxPx, 證明x xp 也是一種向量范數(shù). 證明證明 (1)x xp=PxPx0,而且PxPx=0PxPx=0 0 x x=0 0 (3)x x+y yp=P P(x+yx+y)=Px+PyPx+PyPxPx+PyPy=x xp+y yp (2)x xp=P P(x

8、 x)=PxPx=|PxPx=|x xp所以x xp是一種向量范數(shù). 2-12.設A為對稱正定矩陣,定義x xA=AxxT ,證明A是一種向量范數(shù). 證明證明 由Cholesky分解有A=GGA=GGT T,所以x xA)()(xGxGTTT=GTx2,由上題結果知x xA是一向量范數(shù).第10頁/共73頁 2-16.對任意矩陣范數(shù),求證: 證明證明 (1)因為A A=AEAEA AE E ,所以E E1. (2)1E E=AAAA-1-1A AA A-1-1 ,故 2-17.證明: (1)如果A為正交矩陣,則Cond2(A)=1; (2)如果A為對稱正定矩陣,則Cond2(A)=1/n,1和n

9、分別為A的最大和最小特征值. 證明證明 (1)A正交,則ATA=AAT=E,Cond2(A)=A A2A A-1-12=1. (2)A對稱正定,ATA=A2, A A2=1. A A-1-12=1/n.BABABAAAE11111) 3(1)2(1) 1 (.11AA (3)A A-1-1-B-B-1-1=A A-1-1(B-A)B(B-A)B-1-1A A-1-1B B-1-1A-BA-B第11頁/共73頁 3-2.討論求解方程組Ax=bAx=b的J迭代法和G-S迭代法的收斂性.其中122111221)2(211111112) 1 (AA 解解 (1) J迭代法的迭代矩陣為 ,0101021

10、212121U)(LDB1得(2+5/4)=0, i25011|21212121BE令 即1=0,2= ,3= , i25 故(B)= 25 所以J迭代法不收斂.第12頁/共73頁212121212110000)(ULDG (2)類似可得(B B)=0,(G G)=2, 故J迭代法收斂,G-S迭代法不收斂.所以,(G G)=1/2, 故G-S迭代法收斂. G-S G-S迭代法的迭代矩陣為:0001001102110110021212121212100000001001100010021212121021112或由 , 得(2+1)2=0,故(G)=1/2. 第13頁/共73頁 3-3.用J迭代

11、法和G-S迭代法求解方程組301532128243220321321321xxxxxxxxxJ迭代法有x(1)=(1.2,1.5,2)T, x x(1)(1)-x-x(0)(0)=2取初始近似x(0)=(0,0,0)T,問各需迭代多少次才能使誤差x x(k)(k)-x-x* *10-6. 解解 J迭代法和G-S迭代法的迭代矩陣分別為 ,000511528181203101U)(LDB18001120019160178012031011000)(ULDGG-S迭代法有x(1)=(1.2,1.35,2.11)T, x x(1)(1)-x-x(0)(0)=2.11 B B=1/3=0.33333 ,

12、 G G=1/4=0.25第14頁/共73頁易得:(B B)=|,(G G)=2.故當|1 ,(G G)=31. 第17頁/共73頁 3-8.判定求解下列方程組的SOR方法的收斂性.000121001210012100124321xxxx 解解 直接可驗證系數(shù)矩陣A是負定矩陣,所以-A是對稱正定矩陣,故當00, (1)=-sin10,故方程在0,1內有根,又(x)=-1-cosx0, x0,1,所以方程在0,1內僅有一個根. 可見,需要計算14步. 由于4111021212kkkabx ,所以k4/log2=13.29 4-3.比較使用下述方法求方程ex+10 x-2=0的正根，準確到三位小數(shù)

13、所需要的計算量: (1) 在區(qū)間0,1內用二分法; (2) 用迭代法10/ )2(1kxkex ,取x0=0.第20頁/共73頁 解解 (1)(1)由 (2) 迭代法的迭代函數(shù)為(x)=(2-ex)/10, |(x)|= ex/10e/101,取L=e/10,且x1=0.1,由 k3/log2=9.97 ,所以需要計算10步.3111021212kkkabx ,可得所以,只需迭代5步.可得 30110211xxLLxkk31. 4ln2001lnLLk若取L=e0.1/10,可得k2.46,所以只需迭代3次. 4-4.設(x)=cosx,證明:任取x0,迭代式xk+1=(xk),k= 0,1,

14、2,均收斂于方程x=(x)的根 .第21頁/共73頁 證明證明 因為對任意x0,都有x1=cosx0-1,1,所以只需證明迭代式在區(qū)間-1,1收斂. 因為(x)=cosx連續(xù)可導,|(x)|=|sinx|sin11,所以(x)是區(qū)間-1,1上的壓縮映射,因此結論成立.這里迭代函數(shù)(x)= 解解 記(x)=x3+2x-5C0,2,且(0)=-50, 所以方程在區(qū)間0,2內有根,建立迭代格式 4-5.4-5.驗證區(qū)間0,2是方程x3+2x-5=0的有根區(qū)間,并建立一個收斂的迭代格式,使對任何初值x00,2都收斂,并說明理由., 2 , 1 , 0,2531kxxkk325x ,由于 第22頁/共7

15、3頁 01(x) 所以(x)是區(qū)間0,2上的壓縮映射,故迭代式收斂. 證明證明 這里(x)=x-(x),由于對任意(0,2/M)均收斂于(x)=0的根 . 4-7.4-7.給定函數(shù)(x),設對一切x,(x)存在且0m(x) M,證明對任意(0,2/M),迭代式, 2 , 1 , 0,)(1kxfxxkkk35 2 , x0,2 且 |(x)|= 32)25(32 x 2/31 , x0,2 -1=1-2(x)=1-(x)1所以|()|1,試問如何將x=(x)化為適于迭代的形式?將x=tanx化為適于迭代的形式,并求在x=4.5附近的根.由于|-1(x)|=1/|(x)|1/k 0),分別導出求

16、na 的迭代公式,并求 21)/()(limknknkxaxaC第25頁/共73頁由于 解解 迭代格式分別為 所以對(1)有, 2 , 1 , 01) 1 (11knxaxnnxnkkk 4-13.4-13.證明迭代公式：xk+1=xk(xk2+3a)/(3xk2+a),k=0, 1,2,是求a, 2 , 1 , 0)1()2(1kaxnnxxnkkk)(2)()(lim21ffxxkkk nnC21 ,對(2)有.21nnC 證明證明 設 的三階方法.kkxlim ,則有: =(2+3a)/(32+a) 故 2=a , 即axkklim第26頁/共73頁又由于 所以有axaxaaxxaxkk

17、kkk22213)3()3(因此是三階方法.axaxaaxxkkkk23233)33axaxkk233)(aaxaxaxkkkkk4131lim)(lim231第27頁/共73頁 5-1.用Gerschgorin圓盤定理估計下列矩陣的特征值. 解解 (1)三個圓盤為|-1|0.2,|-2|0.4,|-3|0.3.是相互獨立的,因此,三個特征值分別為;(2)三個圓盤為|-4|2,|-2|1,|-9|2.前兩個圓盤連通,后一個獨立,因此, 1,2,落在前兩個圓盤的連通區(qū)域內, 7311. 0.811.2 , 1.622.4 , 2.733.3 5-5.求矩陣A按模最大和最小特征值.其中902120

18、114)2(31 . 02 . 04 . 0201 . 01 . 01) 1 (第28頁/共73頁 解解 用冪法求A的按模最大特征值,計算公式為: v v(k)=AuAu(k-1)31815108109A k=max(v v(k) u u(k)=v v(k)/k ,k=1,2,.取初值u u(0)= =(1,1,1)T,計算結果如下:取17=19.301 k01234567u1(k)11111111u2(k)10.51850.71270.64870.67480.66590.66930.6681u3(k)10.37040.50110.43660.45630.44820.45100.4499k27

19、17.148220.135818.979819.398419.244619.301第29頁/共73頁 解解 用反冪法求A A的按模最小特征值,計算公式為: AvAv(k)=u u(k-1) k=max(v v(k) u u(k)=v v(k)/k ,k=1,2,.取初值u u(0)= =(1,1,1)T,計算結果如下:k01234567u1(k)11-0.1318-0.6500-0.1902-0.3689-0.0590-0.2550u2(k)1-0.18920.14931-0.33231-0.58111u3(k)10.21621-0.39691-0.69171-0.9204k0.11310.1

20、204-0.1353-0.2192-0.1659-0.2225-0.1724k89101112131415u1(k)-0.02920.19750.06170.15640.09160.13550.10580.1259u2(k)-0.7168-0.9940-0.7713-0.9089-0.8119-0.8765-0.8319-0.8618u3(k)11111111k-0.23300.17940.23450.19380.21970.20160.21370.2054取n1/15=4.8686 第30頁/共73頁 5-7.利用帶位移的反冪法計算矩陣的特征值. 解解 作位移矩陣B=A-7EB=A-7E ,

21、建立計算公式:720101350144PA BvBv(k)=u u(k-1) k=max(v v(k) u u(k)=v v(k)/k ,k=1,2,.取初值u u(0)= =(1,1,1)T,計算結果如下:k01234567u1(k)11111111u2(k)10.750.72220.71620.71480.71440.71430.7143u3(k)1-0.4-0.8044-0.9403-0.9828-0.9951-0.99870.9998k-2-1.125-1.0278-1.0067-1.0018-1.0004-1.0000取7+1/7=6 第31頁/共73頁 5-9(2)利用Jacobi

22、方法求矩陣A的所有特征值，其中 解解 記421242124A取p=1，q=2，則有 cos=(1+t2)-1/2=0.7071, sin=tcos0.7071 421242124)0(A, 02)0(12)0(22)0(11aaa1t10007071. 07071. 007071. 07071. 01000cossin0sincos)(pqRR1第32頁/共73頁類似地有470711. 012132. 270711. 02012132. 2061)0(1)1(RARTA65479. 259716. 0059716. 0237868. 0037868. 034521. 7)2(A00841. 3

23、019295. 0064638. 132583. 019295. 032583. 034521. 7)3(A00841. 301098. 019264. 001098. 062781. 1019264. 0036378. 7)4(A99991. 201097. 0001097. 062781. 100048. 0000048. 037228. 7)5(A所以取 17.37228 ,22.99991 ,31.62781 5-10.設矩陣H=E-2xxH=E-2xxT T,向量x x滿足x xT Tx x=1,證明: (1)H為對稱矩陣,即H HT T=H=H; (2)H為正交矩陣,即H HT T

24、H=EH=E; (3)H為對合矩陣,即H H2 2=E=E. 第33頁/共73頁 證明證明 (1)因為HT=(E-2xxT)T=E-2xxT=H,故H對稱. 6-1.當x=1,-1,2時,(x)分別為0,-3,4,求(x)的二次插值多項式p2(x).(2)因為H HT TH=(E-2xxH=(E-2xxT T) )T T(E-2xx(E-2xxT T)=E-4xx)=E-4xxT T+4xx+4xxT TxxxxT T=E=E,故H H正定.(3)由(1)和(2)即得,H H是對合矩陣. 解法一解法一. . 基函數(shù)法: p2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2=-3l1(x)

25、+4l2(x) )2)(1(61)()()(2101201xxxxxxxxxxxl) 1)(1(31)()()(1202102xxxxxxxxxxxl第34頁/共73頁 6-2.設l2(x)是以xk=x0+kh,k=0,1,2,3為插值節(jié)點的3次插值基函數(shù),求 解法二解法二. . 待定系數(shù)法,設p2(x)=(x-1)(ax+b), 則有 p2(x)=-3l1(x)+4l2(x) ) 1)(1(34)2)(1(21xxxx)1(8)2(3)1(61xxx)145)(1(61xx 2(a-b)=-3, 2a+b=4 ,解得,a=5/6, b=7/3, 所以 p2(x)=1/6(x-1)(5x+14

26、). )(max230 xlxxx第35頁/共73頁 6-3.設l0(x),l1(x),ln(x)是以x0,x1,xn為節(jié)點的n次Lagrange插值基函數(shù),求證: 解解 )()()()()(3212023102xxxxxxxxxxxxxl 證明 (1)記(x)=xk,則yj=(xj)=xjk,j=0,1,n.于是) 3)(1(21max)(max30230tttxltxxx30)3)(1(21)(0ttttthxx令271077374時）（t., 1 , 0,)() 1 (0nkxxlxkjnjkj., 1 , 0,0)()()2(0nkxlxxjnjkj第36頁/共73頁 6-4.設(x)

27、C2a,b,且(a)=(b)=0,證明 )()!1()()()(10)1(xnfxlyxfxnnjxnjjk 證明證明 以a,b為節(jié)點作(x)的線性插值有L1(x)=0,故njjkjxlx0)( (2)記(t)=(t-x)k,則yj=(xj)=(xj-x)k,j=0,1,n.于是)()!1()()()()(10)1(tnftlytfxtnnjtnjjknjjkjtlxx0)()(取t=x,則有njjkjxlxx00)()(bxaMabxf,)(81)(22其中,. )(max2xfMbxa |(x)|=|(x)-L1(x)|22)(81)(2)(Mabbxaxfx 第37頁/共73頁 6-5.

28、利用y=x115 的近似值,并由誤差公式給出誤差界,同時與實際誤差作比較. 解解 由二次Lagrange插值得: 在x=100,121,144點的函數(shù)值 ,用插值方法求722756.1012)121144)(100144()121115)(100115(11)144121)(100121()144115)(100115(10)144100)(121100()144115)(121115()115(1152 L144100,108383525 xxy3521063125. 1)144115)(121115)(100115(1083! 31)115(115 L 實際誤差：3210049294. 1

29、)115(115 L第38頁/共73頁 6-8.(x)=x5+4x4+3x+1,求差商20,21,25和20, 21,26. 解解 20,21,25= 1! 5)()5(f 20,21,26= 0 6-9.設(x)=x5+x3+1, 取x0=-1,x1=-0.8,x2=0,x3=0.5, x4=1,作出(x)關于x0,x1,x2,x3,x4的差商表,給出(x)關于x0,x1,x2,x3的Newton插值多項式,并給出插值誤差. 解解 差商表為 xk(xk)一階差商二階差商三階差商四階差商x0=-1x1=-0.8x2=0 x3=0.5x4=1-10.1603211.1562535.80161.0

30、4960.31253.6875-4.752-0.5673.3752.792.19-0.3第39頁/共73頁Newton插值多項式為: |R3(x)|=|-1,-0.8,0,0.5,x(x+1)(x+0.8)x(x-0.5)| 6-10.設(x)=x4+2x3+5, 在區(qū)間-3,2上, 對節(jié)點x0= -3,x1=-1,x2=1,x3=2,求出(x)的分段三次Hermite插值多項式在每個小區(qū)間xi,xi+1上的表達式及誤差公式. 解解 在-3,-1上,由y0=32,y1=4,y0=-54,y1=2,h=2,得 N3(x)=-1+5.8016(x+1)-4.752(x+1)(x+0.8) +2.7

31、9(x+1)(x+0.8)x 5|(x+1)(x+0.8)x(x-0.5)| H3(x)=320(x)+41(x)-540(x)+21(x)令0(x)=(x+1)2(ax+b),可得a=1/4,b=1,所以 0(x)=(x+1)2(x+4)/4第40頁/共73頁同理可得: 0(x)=(x+3)(x+1)2/4 1(x)=-(x+3)2x/4 1(x)=(x+3)2(x+1)/4 H3(x)=8(x+1)2(x+4)-(x+3)2x -13.5(x+3)(x+1)2+0.5(x+3)2(x+1) =-6x3-22x2-24x-4所以有誤差為 R(x)=(x+3)2(x+1)2類似地,在區(qū)間-1,

32、1上有 H3(x)=2x3+2x2+4 R(x)=(x+1)2(x-1)2第41頁/共73頁 H3(x)=寫到一起就是 R(x)=在區(qū)間1,2上有 H3(x)=8x3-13x2+12x+1 R(x)=(x-1)2(x-2)2 -6x3-22x2-24x-4 , -3x-1 2x3+2x2+4 , -1x1 8x3-13x2+12x+1 , 1x2 (x+3)2(x+1)2 , -3x-1 (x+1)2(x-1)2 , -1x1 (x-1)2(x-2)2 , 1x2 6-12.確定a，b，c使函數(shù)31) 1() 1() 1(10)(23213xcxbxaxxxxS第42頁/共73頁是一個三次樣條

33、函數(shù)。 解解 因為S(x)是分段三次多項式,故只需S(x)C20,3 由 1=S(1-0)=S(1+0)=c ,得 c=1所以,當a=b=3,c=1時,S(x)是三次樣條函數(shù). 6-13.確定a，b，c,d,使函數(shù)3110)(3232xdxcxbxaxxxxS 由 3=S(1-0)=S(1+0)=b ,得 b=3 由 6=S(1-0)=S(1+0)=2a ,得 a=3是一個三次樣條函數(shù),且S(2)=12. 解解 由已知可得: a+b+c+d=2, b+2c+3d=5,2c+6d=8,6d=12, 解之得:a=-1,b=3,c=-2,d=2.第43頁/共73頁 6-19.給出函數(shù)表 解解 線性擬

34、合,即形如y=a+bx的擬合曲線.構造向量 0=(1,1,1,1,1,1)T, 1=(-1,-0.5,0,0.25,0.75,1)T, =(0.22,0.8,2,2.5,3.8,4.2)T. 則得正則方程組: 6a+0.5b=13.52 xi-1-0.500.250.751yi0.220.822.53.84.2試分別作出線性,二次曲線擬合,并給出最佳均方誤差. 0.5a+2.875b=7.055 解得:092353. 2078971. 2ba所以,線性擬合曲線為:y=2.078971+2.092353x最佳均方誤差為:*2= =0.386592)(iiybxa第44頁/共73頁 二次擬合,即形

35、如y=a+bx+cx2的擬合曲線.構造向量 0=(1,1,1,1,1,1)T, 1=(-1,-0.5,0,0.25,0.75,1)T, 2=(1,0.25,0,0.0625,0.5625,1)T， =(0.22,0.8,2,2.5, 3.8,4.2)T.則得正則方程組: 6a+0.5b+2.875c=13.52 0.5a+2.875b+0.3125c=7.055 解得:a=1.94448,b=2.0851,c=0.28191.二次擬合曲線為:y=1.94448+2.0851x+0.28191x2.最佳均方誤差為:*2= =0.06943.22)(iiiycbxa 2.875a+0.3125b+

36、2.3828125c=6.91375 6-20.用最小二乘法求一個形如y=a+bx2的經(jīng)驗公式,使與下列數(shù)據(jù)擬合,并計算均方誤差.第45頁/共73頁 解解 這里基函數(shù)為0(x)=1,1(x)=x2,構造向量 0=(1,1,1,1,1)T, 1=(361,625,961,1089,1936)T, =(19,32.2,49,73.3,97.8)T.則得正則方程組: 5a+4972b=271.3 4972a+6378484b=343237.5 解得:a=3.33339,b=0.051213.所求擬合曲線為:y=3.33339+0.051213x2.最佳均方誤差為:*2= =15.9329922)(i

37、iybxaxi1925313344yi1932.24973.397.8 6-22.用最小二乘法求下列方程組的近似解:第46頁/共73頁 解解 記G(x,y)=(2x+4y-11)2+(3x-5y-3)2+(x+2y-6)2+(4x+2y-14)2 就是求G(x,y)的最小值,令解得: x=2.977413,y=1.2258731424623531142yxyxyxyx, 0186660yxxG0138986yxyG第47頁/共73頁 7-1.建立右矩形和左矩形求積公式,并導出誤差式. 解法解法. . 右矩形公式為：由于(x)-(a)=(x)(x-a), (x)-(b)=(x)(x-b) )()

38、(abbfdxxfba 左矩形公式為：)()(abafdxxfba所以有 ),()(2)()()()()(2bafabdxbxfabbfdxxffRbaxba),()(2)()()()()(2bafabdxaxfabafdxxffRbaxba第48頁/共73頁 7-2.說明中矩形公式的幾何意義,并證明 證明證明 由Taylor展開式有),()(24)()2()()(3bafabbafabdxxfba 所以有 3)(24)()(2()(abfabbafdxxfba 2)2(2)()2)(2()2()(baxfbaxbafbafxfx 7-3.若(x)0,證明用梯形公式計算定積分所得結果比準確值大

39、,說明幾何意義. 證明證明 因為(x)0,所以y=(x)是凹函數(shù),故結論成立.第49頁/共73頁 7-5.確定下列積分公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡可能高，并說明代數(shù)精度是多少？)()0()()() 1 (101hfAfAhfAdxxfhh 解解 令公式對(x)=1,x,x2都精確成立,則有 解得:A-1=A1=h/3,A0=4h/3. A-1+A0+A1=2h -hA-1+hA1=0 h2A-1+h2A1=2h3/3求積公式為:)()0(4)(3)(hffhfhdxxfhh (x)=x3時,左=右=0,公式也精確成立 (x)=x4時,左=2h5/5,右=2h5/3,公式不精確成立所以公式的

40、代數(shù)精確為3.第50頁/共73頁)(3)(2) 1()()2(213111xfxffdxxf 解解 令公式對(x)=1,x,x2都精確成立,則有 解得: 2=2 2x1+3x2-1=0 2x12+3x22+1=2求積公式為: (x)=x3時,公式都不精確成立,故代數(shù)精度為2.126599. 0689899. 021xx526599. 0289899. 021xx或)126599. 0(3)689899. 0(2) 1(31)(11fffdxxf)526599. 0(3)289899. 0(2) 1(31)(11fffdxxf或)()0()()0(2)()3(20hffhhffhdxxfh 解解

41、 當(x)=1時,左=h，右=h，對所有都成立。第51頁/共73頁 (x)=x時有左=右=h2/2，對所有都成立。 故公式的代數(shù)精度為3.)()()5(00112xfAdxxfx)()0(12)()0(2)(20hffhhffhdxxfh 解解 令公式對(x)=1,x精確成立,則有 (x)=x2時,左=h3/3,右=h3/2-2h3，故取=1/12,則有 (x)=x3時,左=h4/4,右=h4/2-h4/4=h4/4，也精確成立. (x)=x4時,左=h5/5,右=h5/2-h5/3=h5/6，不精確成立. A0=2/3 A0 x0=0 解得A0=2/3,x0=0. 所以公式為)0(32)(1

42、12fdxxfx ,其代數(shù)精度為1.第52頁/共73頁 7-7.設 解解 因為|(lnx)|=1/x21, |(lnx)(4)|=6/x46 要|I-Tn|9.13,故取n=10.IS2=1/12ln1+2ln1.5+ln2+4ln1.25+4ln1.75=0.386260 導出兩點Gauss型求積公式. 若取=10-3,分別求出n使復化梯形公式Tn,復化Simpson公式Sn的截斷誤差滿足: |I-Tn|,及|I-Sn| ,并計算Sn .,ln21xdxI,1012132n要|I-Sn|1.201,故取n=2. 7-10.對積分10,)(1lndxxfx 解解 區(qū)間0,1上權函數(shù)為ln(1/

43、x)的正交多項式為: P0(x)=1, p1(x)=x-1/4, p2(x)=x2-(5/7)x+17/252 令 p2(x)=0 ，解出Gauss點為：第53頁/共73頁 再令公式對(x)=1,x精確成立,可得 A1+A2=1, A1x1+A2x2=1/4 ,由此解出所以兩點Gauss型求積公式為:1064921,106492121AA 7-11.用兩點Gauss型求積公式計算下列積分的近似值.)4210615()1094921()4210615()1094921()(1ln10ffdxxfx 解解 兩點Gauss-Legendre求積公式為: ,42106151x42106152xdxx1

44、1221cos1) 1 ()577350. 0()577350. 0()(11ffdxxf第54頁/共73頁所以有 解解 兩點Gauss-Laguerre求積公式為: A1=0.8535533905, A2=0.1464466094, 611151. 1cos111221dxxdxxx0sin)2(其中,)()()(2211021xfeAxfeAdxxfxx x1=0.5858864376, x2=3.4142135623, 所以有096221. 1sin0dxxxdxxex02) 3(第55頁/共73頁所以有 解解 兩點Gauss-Laguerre求積公式為: A1=A2=0.0.88622

45、69254, -x1=x2=0.7071067811 ）同（2,)()()(212122110 xxAAxfAxfAdxxfex所以有000102. 202dxxexdxxex21)4(2 解解 兩點Gauss-Hermit求積公式為:其中,)()()(22112xfAxfAdxxfex170804. 2122dxxex 7-12.證明下列數(shù)值微分公式：第56頁/共73頁其中，xj=x0+jh，j=0，1，2。 (x)= (x-x1)(x-x2)(x0)-2(x-x0)(x-x2)(x1)+(x-x0)(x-x1)(x2)/2h2 )(3)()(4)(321)() 1 (22100fhxfxf

46、xfhxf (x0)=-3(x0)+4(x1)-(x2)/2h+R2(x0) )(12)()(2)(1)()2()4(221021fhxfxfxfhxf (2) (x)=(x0)-2(x1)+(x2)/h2+R2(x) )(3)2()0(3)(461)0()3(2fhhffhfhf 證明證明 (1)以x0,x1,x2為節(jié)點的二次Lagrange插值為: + (x)(x-x0)(x-x1)(x-x2)/6 (x)=(2x-x1-x2)(x0)-2(2x-x0-x2)(x1)+(2x-x0-x1)(x2)/2h2+R2(x) (x0)=-3(x0)+4(x1)-(x2)/2h+h2 ()/3第57

47、頁/共73頁 容易證明 (x1)(x0)-2(x1)+(x2)/h2 對 (x)取次數(shù)不超過3次的多項式精確成立. 構造三次多項式p3(x)使p3(x0)=(x0), p3(x1)=(x1), p3(x2)=(x2), p3(x1)=(x1), 則有 (x)-p3(x)=(4)(x)(x-x0)(x-x1)2(x-x2)/4!于是有 R2(x1)=(x1)-p3(x1)=(4)()(-2h2)/4!=-(4)()h2/12所以 (x1)=(x0)-2(x1)+(x2)/h2-(h2/12)(4)() (3)以x0=-h,x1=0,x2=2h為節(jié)點的二次Lagrange插值為: (x)= 2x(x-2h)(-h)-3(x+h)(x-2h)(0)+x(x+h)(2h)/6h2 + (x)x(x+h)(x-2h)/6 第58頁/共73頁 (0)=-4(-h)+3(0)+(2h)/6h+ R2(0) (x)=4(x-h)(-h)-3(2x-h)(0)+(2x+h)(2h)/6h2+R2(x) (0)=-4(-h)+3(0)