雙曲線的幾何性質(zhì)

1、 雙曲線的幾何性質(zhì)雙曲線的幾何性質(zhì) 一、知識(shí)再現(xiàn)一、知識(shí)再現(xiàn) 前面我們學(xué)習(xí)了橢圓前面我們學(xué)習(xí)了橢圓 的簡單的幾何性質(zhì)：的簡單的幾何性質(zhì)： 范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率. 我們來共同回顧一下橢圓我們來共同回顧一下橢圓 x2/a2+y2/b2=1(ab0) 幾何性質(zhì)的具體內(nèi)容及其研究方法幾何性質(zhì)的具體內(nèi)容及其研究方法.12222byax12222byax 橢 圓標(biāo)準(zhǔn)方程x2/a2+y2/b2=1(ab0) 幾何 圖形 范圍 對(duì)稱性 頂點(diǎn)a、b、c的含義離心率e定義b2b1yxa2a1 0f1f2x|x |a 、|y | b x2/ a2 1 、y 2/ b2 1中心對(duì)稱，軸

2、對(duì)稱 -x代x、-y代ya1(-a,0 ) , a2(a,0)b1(0-b ) , b2(0,b)分別令x=0，y=0a (長半軸長) c（半焦距長）b（短半軸長) a2=b2+c2焦距與長軸長的比 e=c/a 0eb0)x2/a2-y2/b2=1(a0、b0) 幾何 圖形范圍 對(duì)稱性頂點(diǎn) a,b,c的含義離心率e的定義x2 /a2 1 、y 2/ b2 1 -x代x、-y代y分別令x=0，y=0 x a 或 x -a中心對(duì)稱，軸對(duì)稱a1(-a,0 ) 、a2(a,0)a （實(shí)半軸長）（實(shí)半軸長）c （半焦距長）（半焦距長） b （虛半軸長）（虛半軸長） a2=c2-b2焦距與實(shí)軸長的比 e=

3、c/a e1a (長半軸長長半軸長) c（半焦距長）（半焦距長）b（短半軸長（短半軸長) a2=b2+c2焦距與長軸長的比 e=c/a 0e0,b0)y2/a2-x2/b2=1(a0、b0) 幾何 圖形 范圍x a 或 x -a 對(duì)稱性中心對(duì)稱，軸對(duì)稱 頂 點(diǎn)a、b、c的含義 離心率e焦距與實(shí)軸長的比 e=c/a e1 y a 或 y -a中心對(duì)稱，軸對(duì)稱a1(0,-a ) , a2(0,a)a1(- a, 0) , a2(a, 0)a（實(shí)半軸長） c（半焦距長） b（虛半軸長） a2=c2-b2a （實(shí)半軸長） c（半焦距長）b （虛半軸長） a2=c2-b2焦距與實(shí)軸長的比 e=c/a e

4、1 yx oa2a1 b1b2f1 f2yf2a2a1b2 0 xf1x=ax=-ay=ay=-a b1 四、四、讓我們來討論讓我們來討論 雙曲線的頂點(diǎn)就是雙曲線與坐標(biāo)軸的雙曲線的頂點(diǎn)就是雙曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，你認(rèn)為對(duì)嗎？討論并給出答案交點(diǎn)，你認(rèn)為對(duì)嗎？討論并給出答案.yf2b1a2a1b2 0 xf1五、讓我們共同分析五、讓我們共同分析 例例1、求雙曲線、求雙曲線 9y2-16x2=144的實(shí)半軸長和的實(shí)半軸長和虛半軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率虛半軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率. 分析：分析： 化為標(biāo)準(zhǔn)方程：化為標(biāo)準(zhǔn)方程： y2/16-x2/9=1 確定焦點(diǎn)位置：在確定焦點(diǎn)位置：在y軸上軸上 找出找出a、

5、b的值：的值：a=4,b=3 代入關(guān)系式代入關(guān)系式c2=a2+b2=25 、e=c/a=5/4 寫出結(jié)果：寫出結(jié)果：a=4,b=3,f1(0, 5),f2(0,-5),e=5/4. 六、練一練六、練一練 求下列雙曲線的實(shí)半軸長和虛半軸長及頂點(diǎn)坐標(biāo)求下列雙曲線的實(shí)半軸長和虛半軸長及頂點(diǎn)坐標(biāo). (1)x2-4y2=16 (2) x2/49-y2/25=-1 解答：（解答：（1）a=4,b=2,a1(-4,0),a2(4,0) （2）a=5,b=7,a1(0,-5),a2(0,5)請(qǐng)思考：請(qǐng)思考：如若求半焦距長和離心率呢？如若求半焦距長和離心率呢？ 小結(jié)：關(guān)鍵在于求實(shí)半軸小結(jié)：關(guān)鍵在于求實(shí)半軸a的長

6、和虛半軸的長和虛半軸b的長，的長，然后代入關(guān)系式然后代入關(guān)系式c2=a2+b2、e=c/a求半焦距求半焦距c的長的長及離心率及離心率.七、讓我們繼續(xù)研究七、讓我們繼續(xù)研究請(qǐng)觀察雙曲線的圖象和矩形對(duì)角線請(qǐng)觀察雙曲線的圖象和矩形對(duì)角線,有何特征？有何特征？ 雙曲線雙曲線 x2/a2-y2/b2=1(a0、b0)的各支向外延伸的各支向外延伸時(shí)，與矩形的兩條對(duì)角線所在的直線逐漸接近時(shí)，與矩形的兩條對(duì)角線所在的直線逐漸接近.請(qǐng)思考：結(jié)論正確嗎請(qǐng)思考：結(jié)論正確嗎?f2 yb1a2a1b2 0 xf1（一）、我們共同來設(shè)計(jì)一個(gè)方案：（一）、我們共同來設(shè)計(jì)一個(gè)方案：八、我們一起來證明八、我們一起來證明 1、由

7、雙曲線的對(duì)稱性我們只需研究第一象限的情形；、由雙曲線的對(duì)稱性我們只需研究第一象限的情形； 2、如何說明如何說明雙曲線雙曲線 x2/a2-y2/b2=1在第一象限內(nèi)與矩形的對(duì)角線所在第一象限內(nèi)與矩形的對(duì)角線所在的直線逐漸接近且不相交呢？在的直線逐漸接近且不相交呢？ m(x,y) q q（2）如何說明）如何說明|mq|逐漸減小且不等于逐漸減小且不等于0呢？呢？0 xyb ba aln(x,y)n(x,y)（3）如何證明）如何證明|mn|逐漸減小且不等于逐漸減小且不等于0呢？我呢？我們可用方程的思想解決：們可用方程的思想解決： |mn|=y- y，求出，求出m、n點(diǎn)坐標(biāo)即可點(diǎn)坐標(biāo)即可.為此我們過點(diǎn)為

8、此我們過點(diǎn)m作一條直線作一條直線l與與y軸平行，交軸平行，交矩形對(duì)角線與矩形對(duì)角線與n點(diǎn)，坐標(biāo)記為點(diǎn)，坐標(biāo)記為n（ x ，y）.我我們需證明們需證明n點(diǎn)在點(diǎn)在m點(diǎn)上方，即證點(diǎn)上方，即證y y.又又|mq| |mn| ，所只需證明，所只需證明|mn|逐漸減小且逐漸減小且不等于不等于0即可即可.（1）我們?cè)诘谝幌笙迌?nèi)雙曲線圖象上任取一點(diǎn)）我們?cè)诘谝幌笙迌?nèi)雙曲線圖象上任取一點(diǎn)m（x, y ），過），過m點(diǎn)向矩形的對(duì)角線點(diǎn)向矩形的對(duì)角線y=bx/a引垂線，垂足為引垂線，垂足為q點(diǎn)。我們只需說點(diǎn)。我們只需說明明|mq|逐漸減小且不等于逐漸減小且不等于0即可即可.a a) )( (x xa ax xa a

9、b by y2 22 2x xa ab by y 2 22 2a ax xa ab by y2 2x xa a1 1x xa ab bx xa ab by y（二）、我們來證明二）、我們來證明 先取雙曲線在第一象限內(nèi)的部分進(jìn)行證明這一部先取雙曲線在第一象限內(nèi)的部分進(jìn)行證明這一部分的方程可寫為分的方程可寫為0 xyn(x,y)n(x,y) q qm(x,y)y yy ymnmn) )a ax x(x(xa ab b2 22 2) )a ax x(x(x) )a ax x)(x)(xa ax x(x(xa ab b2 22 22 22 22 22 2) )a ax x(x(xabab2 22 2

10、在該式子中在該式子中x (xa)逐漸增大時(shí)，逐漸增大時(shí)， |mn|逐漸減小且不等于逐漸減小且不等于0.又又|mq| |mn|，所以，所以|mq|逐漸減小且不等逐漸減小且不等于于0.即雙曲線即雙曲線 x2/a2-y2/b2=1在第一象限內(nèi)與矩在第一象限內(nèi)與矩形的對(duì)角線所在的直線逐漸接近且不相交形的對(duì)角線所在的直線逐漸接近且不相交.在其在其它象限內(nèi)，我們可類似證明它象限內(nèi)，我們可類似證明. yn(x,y)n(x,y)m(x,y)0 x q q（三）、請(qǐng)注意：（三）、請(qǐng)注意：1、當(dāng)焦點(diǎn)在、當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)也可類似證明具有同樣性質(zhì)；軸上時(shí)也可類似證明具有同樣性質(zhì)； 2、我們把兩條直線、我們把兩條直線

11、y =bx /a 叫做雙曲線的叫做雙曲線的漸近線漸近線.3、當(dāng)焦點(diǎn)在、當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，方程為軸上時(shí)，方程為 x2/a2-y2/b2=1(a0,b0)，漸，漸 近線方程為近線方程為y =bx /a ； 當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，方程為軸上時(shí)，方程為y2/a2- x2/b2=1(a0,b0)，漸近，漸近 線方程為線方程為y =ax /b .九、動(dòng)腦九、動(dòng)腦筋筋1 1、如何求雙曲線的漸近線？、如何求雙曲線的漸近線？ 例：例：求下列雙曲線求下列雙曲線 的漸近線的漸近線 （1 1） 9y2-16x2=144； （2 2） 9y2-16x2= -144 . 規(guī)律總結(jié)：規(guī)律總結(jié)：（1）求矩形對(duì)角線所在的直

12、線方程；）求矩形對(duì)角線所在的直線方程；解答：解答：（1）y=4x/3 ， （2）y=4x/30yb ba a （2）化成標(biāo)準(zhǔn)式后再將）化成標(biāo)準(zhǔn)式后再將1換成換成0或直接將常數(shù)項(xiàng)換為或直接將常數(shù)項(xiàng)換為0.2、雙曲線與其漸近線之間是否是一對(duì)一關(guān)系？、雙曲線與其漸近線之間是否是一對(duì)一關(guān)系？例：當(dāng)漸近線方程為例：當(dāng)漸近線方程為y=bx/a時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方 程一定是程一定是x2/a2-y2/b2=1嗎？為什么？嗎？為什么？xy=bx/ay=-bx/a3、類比作橢圓的簡圖、類比作橢圓的簡圖,如何較規(guī)范地作出如何較規(guī)范地作出雙曲線的圖形？雙曲線的圖形？ 例：畫出下列雙曲線的圖形例：畫出下

13、列雙曲線的圖形 （1） 9y2-16x2=144； （2） x2 -y2= 4 .注注:實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線 叫做等軸雙曲線叫做等軸雙曲線.0yxm- 3 3 4 - 4十、讓我們來共同回顧十、讓我們來共同回顧 本節(jié)課我們共同學(xué)習(xí)了那些內(nèi)容：本節(jié)課我們共同學(xué)習(xí)了那些內(nèi)容： 橢圓 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程x2/a2+y2/b2=1(ab0)x2/a2-y2/b2=1(a0、b0) 幾何 圖形 范圍|x |a 、|y | b x a 或 x -a對(duì)稱性中心對(duì)稱，軸對(duì)稱 中心對(duì)稱，軸對(duì)稱頂點(diǎn)a1(-a,0 ) , a2(a,0)b1(0-b ) , b2(0,b) a1(-a,0 )

14、、 a2(a,0)a,b,c的含義a (長半軸長) c（半焦距長）b（短半軸長） a2=b2+c2a （實(shí)半軸長）c （半焦距長） b （虛半軸長） a2=c2-b2離心率e定義焦距與長軸長的比 e=c/a 0e1b2b1yxa2a1 0f1f2yf2b1a2a1b2 0 xf1x=ax=-a標(biāo)準(zhǔn)方程x2/a2-2/b2=1(a0,b0)y2/a2-x2/b2=1(a0、b0) 幾何 圖形 范圍 x a 或 x -a y a 或 y -a 對(duì)稱性 中心對(duì)稱，軸對(duì)稱中心對(duì)稱，軸對(duì)稱 頂 點(diǎn)a1(-a,0 ) , a2(a,0) a1(0,-a ) , a2(0,a)a、b、c的含義a （實(shí)半軸長） c（半焦距）b （虛半軸長） a2=c2-b2a（實(shí)半軸長） c（半焦距長） b（虛半軸長） a2=c2-b2 離心率e焦距與實(shí)軸長的比 e=c/a e1焦距與實(shí)軸長的比 e=c/a e1yf2b1a2a1b2 0 xf1x=ax=-a yx oa2a1 b1b2f1 f2 雙曲線的漸近線雙曲線的漸近線yf2 yx oa2a1 b1b2f1 f2 當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，方程為軸上時(shí)，方程為 x2/a2-y2/b2=1(a0,b0)，漸，漸 近線方程為近線方程為y =bx /a ； 當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，方程為軸上時(shí)，方程為 y2/a