微分方程和差分方程簡(jiǎn)介精簡(jiǎn)版

1、三、利用三、利用MatlabMatlab求微分方程的解析解求微分方程的解析解 求微分方程（組）的解析解命令: dsolve(1, 2,n, 初始條件初始條件, 自變量自變量) 記號(hào): 在表達(dá)微分方程時(shí)，用字母 D 表示求微分，D2、D3 等 表示求高階微分.任何 D 后所跟的字母為因變量，自變量可以指 定或由系統(tǒng)規(guī)則選定為確省. 例如，微分方程 0 2 2 dx yd 應(yīng)表達(dá)為：D2y=0. 例例 1 求 2 1u dt du 的通解. 解解 輸入命令：dsolve(Du=1+u2,t) 結(jié) 果：u = tg(t-c) 例例 2 求微分方程的特解. 15)0( , 0)0( 0294 2 2

2、yy y dx dy dx yd 解解 輸入命令: y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x) 結(jié) 果 為 : y =3e-2xsin（5x） 例例 3 求微分方程組的通解. zyx dt dz zyx dt dy zyx dt dx 244 354 332 解解 輸入命令 ： x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z, t)； x=simple(x) % 將x化簡(jiǎn) y=simple(y) z=simple(z) 結(jié) 果 為：x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-

3、3t)e2t y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t 返 回 四、微分方程的數(shù)值解四、微分方程的數(shù)值解 （一）常微分方程數(shù)值解的定義（一）常微分方程數(shù)值解的定義 在生產(chǎn)和科研中所處理的微分方程往往很復(fù)雜且大多 得不出一般解。而在實(shí)際上對(duì)初值問(wèn)題，一般是要求得 到解在若干個(gè)點(diǎn)上滿足規(guī)定精確度的近似值，或者得到 一個(gè)滿足精確度要求的便于計(jì)算的表達(dá)式。 因此，研究常微分方程的數(shù)值解法是十分必要的因此，研究常微分方程的數(shù)值解法是十分必要的。 。的相應(yīng)近似值 求出準(zhǔn)確值，值處，即對(duì)的若干

4、離散的 開始其數(shù)值解是指由初始點(diǎn)，：對(duì)常微分方程 nn n yyxyxy xxxxx y)y(x f(x,y)y ,y )(,),( ),y(x x 212 1210 0 00 返 回 （二）建立數(shù)值解法的一些途徑（二）建立數(shù)值解法的一些途徑 00 1 , 1, 2 , 1 , 0 , y)y(x f(x,y)y nihxx ii 解微分方程：可用以下離散化方法求設(shè) 1、用差商代替導(dǎo)數(shù)、用差商代替導(dǎo)數(shù) 若步長(zhǎng)h較小，則有 h xyhxy xy )()( )( 故有公式： 1-n,0,1,2,i )( ),( 00 1 xyy yxhfyy iiii 此即歐拉法歐拉法。 2、使用數(shù)值積分、使用數(shù)

5、值積分 對(duì)方程y=f(x,y), 兩邊由xi到xi+1積分，并利用梯形公式，有： )(,()(,( 2 )(,()()( 11 1 1 1 iiii ii x x ii xyxfxyxf xx dttytfxyxy i i 實(shí)際應(yīng)用時(shí)，與歐拉公式結(jié)合使用： , 2 , 1 , 0 ),(),( 2 ),( )( 11 )1( 1 )0( 1 kyxfyxf h yy yxhfyy k iiiii k i iiii 的計(jì)算。然后繼續(xù)下一步 ，取時(shí)，當(dāng)滿足，對(duì)于已給的精確度 ）（ y y 2i 1 11i )( 1 )1( 1 k i k i k i yyy 此即改進(jìn)的歐拉法改進(jìn)的歐拉法。 故有公

6、式： )( ),(),( 2 00 111 xyy yxfyxf h yy iiiiii 3、使用泰勒公式、使用泰勒公式 以此方法為基礎(chǔ)，有龍格龍格-庫(kù)塔（庫(kù)塔（Runge Kutta）法）法、 線性多步法線性多步法等方法。 4、數(shù)值公式的精度、數(shù)值公式的精度 當(dāng)一個(gè)數(shù)值公式的截?cái)嗾`差可表示為O（hk+1）時(shí) （k為正整數(shù)，h為步長(zhǎng)），稱它是一個(gè)k階公式階公式。 k越大，則數(shù)值公式的精度越高。 歐拉法是一階公式，改進(jìn)的歐拉法是二階公式。 龍格-庫(kù)塔法有二階公式和四階公式。 線性多步法有四階阿達(dá)姆斯外插公式和內(nèi)插公式。 返 回 （三）可以用（三）可以用Matlab軟件求常微分方程的數(shù)值解軟件求常

7、微分方程的數(shù)值解 t，x=solver（f,ts,x0,options） ode45 ode23 ode113 ode15s ode23s 由待解 方程寫 成的m- 文件名 ts=t0，tf， t0、tf為自 變量的初 值和終值 函數(shù)的 初值 ode23：組合的2/3階龍格-庫(kù)塔-芬爾格算法 ode45：運(yùn)用組合的4/5階龍格-庫(kù)塔-芬爾格算法 自變 量值 函數(shù) 值 用于設(shè)定誤差限(缺省時(shí)設(shè)定相對(duì)誤差10-3, 絕對(duì)誤差10-6), 命令為：options=odeset（reltol,rt,abstol,at）, rt，at：分別為設(shè)定的相對(duì)誤差和絕對(duì)誤差. ii.阻滯增長(zhǎng)模型阻滯增長(zhǎng)模型(L

8、ogistic模型、模型、Verhulst模型模型) 傳染病模型傳染病模型 問(wèn)題問(wèn)題 描述傳染病的傳播過(guò)程描述傳染病的傳播過(guò)程 分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律 預(yù)報(bào)傳染病高潮到來(lái)的時(shí)刻預(yù)報(bào)傳染病高潮到來(lái)的時(shí)刻 預(yù)防傳染病蔓延的手段預(yù)防傳染病蔓延的手段 按照傳播過(guò)程的一般規(guī)律，按照傳播過(guò)程的一般規(guī)律， 用機(jī)理分析方法建立模型用機(jī)理分析方法建立模型 已感染人數(shù)已感染人數(shù) (病人病人) i(t) 每個(gè)病人每天有效接觸每個(gè)病人每天有效接觸 (足以使人致病足以使人致病)人數(shù)為人數(shù)為 模型模型1 1 假設(shè)假設(shè) ttititti)()()( 若有效接觸的是病人，若有效接觸的是病人， 則不能

9、使病人數(shù)增加則不能使病人數(shù)增加 必須區(qū)分已感染者必須區(qū)分已感染者(病病 人人)和未感染者和未感染者(健康人健康人) 建模建模 0 )0(ii i dt di it t eiti 0 )( ? si dt di 1)()(tits 模型模型2 2區(qū)分已感染者區(qū)分已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健康人健康人) 假設(shè)假設(shè) 1）總?cè)藬?shù)）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康不變，病人和健康 人的人的 比例分別為比例分別為)(),(tsti 2）每個(gè)病人每天有效接觸人數(shù)）每個(gè)病人每天有效接觸人數(shù) 為為 , 且且使接觸的健康人致病使接觸的健康人致病 建模建模 ttNitstittiN)()()()( 0 )0

10、( )1( ii ii dt di 日日 接觸率接觸率 SI 模型模型 t e i ti 1 1 1 1 )( 0 0 )0( )1( ii ii dt di 模型模型2 1/2 tm i i0 1 0 t 1 1 ln 0 1 i t m tm傳染病高潮到來(lái)時(shí)刻傳染病高潮到來(lái)時(shí)刻 (日接觸率日接觸率) tm 1it Logistic 模型 病人可以治愈！病人可以治愈！ ? t=tm, di/dt 最大最大 模型模型3 傳染病無(wú)免疫性傳染病無(wú)免疫性病人治愈成病人治愈成 為健康人，健康人可再次被感染為健康人，健康人可再次被感染 增加假設(shè)增加假設(shè) SIS 模型模型 3）病人每天治愈的比例為）病人每

11、天治愈的比例為 日日治愈率治愈率 ttNittitNstittiN)()()()()(建模建模 / 日接觸率日接觸率 1/ 感染期感染期 一個(gè)感染期內(nèi)一個(gè)感染期內(nèi)每個(gè)病人的每個(gè)病人的 有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)。有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)。 0 )0( )1( ii iii dt di 1,0 1, 1 1 )( i ) 1 1 ( ii dt di 模型模型3 i0 i0 接觸數(shù)接觸數(shù) =1 閾值閾值 / 1)(ti 形曲線增長(zhǎng)按Sti )( 感染期內(nèi)感染期內(nèi)有效接觸感染的有效接觸感染的 健康者人數(shù)不超過(guò)病人數(shù)健康者人數(shù)不超過(guò)病人數(shù) 小 0 1 i 1-1/ i0 iii dt di )1 (

12、模型模型2(SI模型模型)可以看作模型可以看作模型3(SIS模型模型)的特例的特例 i di/dt 0 1 1 0t i 1 1-1/ i 0t 1 di/dt 1/ i(t)先升后降至先升后降至 0 P2: s01/ i(t)單調(diào)降至單調(diào)降至0 1/ 閾閾 值值 P3 P4 P2 S0 ss ss 0 0 lnln 模型模型4 SIR模型模型 預(yù)防傳染病蔓延的手段預(yù)防傳染病蔓延的手段 (日接觸率日接觸率) 衛(wèi)生水平衛(wèi)生水平 (日日治愈率治愈率) 醫(yī)療水平醫(yī)療水平 傳染病不蔓延的條件傳染病不蔓延的條件s0 0 且且 q 0 平衡點(diǎn)平衡點(diǎn) P0不穩(wěn)定不穩(wěn)定(對(duì)對(duì)2,1) p 0 或或 q 0 )

13、,0(),0 ,( 2211 NPNP平衡點(diǎn)： 01),( 01),( 2 2 1 1 22221 2 2 1 1 1 1121 N x N x xrxxg N x N x xrxxf 2 2 1 1 1 111 1)( N x N x xrtx 2 2 1 1 2222 1)( N x N x xrtx 僅當(dāng)僅當(dāng) 1, 2 1時(shí)，時(shí)，P3才有意義才有意義 模型模型 )0 , 0(, 1 )1 ( , 1 )1 ( 4 21 22 21 11 3 P NN P 2 2 1 12 2 1 222 2 111 2 21 1 1 1 21 21 2 1 2 1 N x N x r N xr N xr

14、 N x N x r gg ff A xx xx 平衡點(diǎn)穩(wěn)平衡點(diǎn)穩(wěn) 定性分析定性分析 4 , 3 , 2 , 1,det,)( 21 iAqgfp i pi pxx 2 2 1 1 22221 2 2 1 1 1 1121 1),( 1),( N x N x xrxxg N x N x xrxxf 平衡點(diǎn)平衡點(diǎn) Pi 穩(wěn)定條件：穩(wěn)定條件： p 0 且且 q 0 種群競(jìng)爭(zhēng)模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性種群競(jìng)爭(zhēng)模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性 不穩(wěn)定不穩(wěn)定 平平 衡點(diǎn)衡點(diǎn) )0 ,( 11 Np )1 ( 221 rr p q )1 ( 221 rr ), 0( 22 Np 211 )1 (rr )1 ( 121 rr

15、 21 22 21 11 3 1 )1 ( , 1 )1 ( NN p 21 2121 1 )1)(1 ( rr )0 , 0( 4 p)( 21 rr 21 rr 21 2211 1 )1 ()1 ( rr 21, 11, P1, P2 是一個(gè)種群存活而另一滅絕的平衡點(diǎn)是一個(gè)種群存活而另一滅絕的平衡點(diǎn) P3 是兩種群共存的平衡點(diǎn)是兩種群共存的平衡點(diǎn) 11, 21 P1穩(wěn)定的條件穩(wěn)定的條件 11 ? 11 21 穩(wěn)定條件穩(wěn)定條件 結(jié)果解釋結(jié)果解釋 對(duì)于消耗甲的資源而言，對(duì)于消耗甲的資源而言， 乙乙(相對(duì)于相對(duì)于N2)是甲是甲(相對(duì)相對(duì) 于于N1)的的 1 倍。倍。 1 1 對(duì)甲增長(zhǎng)的阻滯對(duì)甲增

16、長(zhǎng)的阻滯 作用，乙小于甲作用，乙小于甲 乙的競(jìng)爭(zhēng)力弱乙的競(jìng)爭(zhēng)力弱 P1穩(wěn)定的條件：穩(wěn)定的條件： 11 21 甲的競(jìng)爭(zhēng)力強(qiáng)甲的競(jìng)爭(zhēng)力強(qiáng) 甲達(dá)到最大容量，乙滅絕甲達(dá)到最大容量，乙滅絕 P2穩(wěn)定的條件：穩(wěn)定的條件： 11, 21 P3穩(wěn)定的條件：穩(wěn)定的條件： 11, 21 通常通常 1 1/ 2，P3穩(wěn)定條件不滿足穩(wěn)定條件不滿足 六、差分方程建模六、差分方程建模 處理動(dòng)態(tài)的離散型的問(wèn)題處理動(dòng)態(tài)的離散型的問(wèn)題 處理處理對(duì)象雖然涉及的變量對(duì)象雖然涉及的變量( (如時(shí)間如時(shí)間) )是連續(xù)的，是連續(xù)的， 但是從建模的目的考慮，把連續(xù)變量離散化更但是從建模的目的考慮，把連續(xù)變量離散化更 為合適，將連續(xù)變量作離

17、散化處理，從而將連為合適，將連續(xù)變量作離散化處理，從而將連 續(xù)模型續(xù)模型( (微分方程微分方程) )化為離散型化為離散型( (差分方程差分方程) )問(wèn)題問(wèn)題 對(duì)于對(duì)于k階差分方程階差分方程 F( n; xn, xn+1, , xn+k ) = 0 (3-6) 若有若有xn = x (n), 滿足滿足 F(n; x(n), x(n + 1) , , x(n + k ) = 0, 則稱則稱xn = x (n)是差分方程是差分方程(3-6)的的解解, 包含個(gè)任意常包含個(gè)任意常 數(shù)的解稱為數(shù)的解稱為(3-6)的的通解通解, x0, x1, , xk-1為已知時(shí)稱為已知時(shí)稱 為為(3-6)的的初始條件初

18、始條件,通解中的任意常數(shù)都由初始條通解中的任意常數(shù)都由初始條 件確定后的解稱為件確定后的解稱為(3-6)的的特解特解. k 若若x0, x1, , xk-1已知已知, 則形如則形如 xn+k = g(n; xn, xn+1, , xn+k-1 ) 的差分方程的解可以在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)的差分方程的解可以在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn). 若有常數(shù)若有常數(shù)a是差分方程是差分方程(3-6)的解的解, 即即 F (n; a, a, , a ) = 0, 則稱則稱 a是差分方程是差分方程(3-6)的的平衡點(diǎn)平衡點(diǎn). 又對(duì)差分方程又對(duì)差分方程(3-6)的任意由初始條件確定的的任意由初始條件確定的 解解 xn= x(n)都有都有

19、 xna (n), 則稱這個(gè)平衡點(diǎn)則稱這個(gè)平衡點(diǎn)a是是穩(wěn)定的穩(wěn)定的. 一階常系數(shù)線性差分方程一階常系數(shù)線性差分方程 xn+1 + axn= b, (其中其中a, b為常數(shù)為常數(shù), 且且a -1, 0)的通解為的通解為 xn=C(- - a) n + b/(a + 1) 易知易知b/(a+1)是其平衡點(diǎn)是其平衡點(diǎn), 由上式知由上式知, 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) |a|1時(shí)時(shí), b/(a +1)是穩(wěn)定的平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的平衡點(diǎn). 二階常系數(shù)線性差分方程二階常系數(shù)線性差分方程 xn+2 + axn+1 + bxn = r, 其中其中a, b, r為常數(shù)為常數(shù). 當(dāng)當(dāng)r = 0時(shí)時(shí), 它有一特解它有一特解 x*

20、= 0； 當(dāng)當(dāng)r 0, 且且a + b + 1 0時(shí)時(shí), 它有一特解它有一特解 x*=r/( a + b +1). 不管是哪種情形不管是哪種情形, x*是其平衡點(diǎn)是其平衡點(diǎn). 設(shè)其特征方設(shè)其特征方 程程 2 + a + b = 0 的兩個(gè)根分別為的兩個(gè)根分別為 = 1, = 2. 當(dāng)當(dāng) 1, 2是兩個(gè)不同實(shí)根時(shí)是兩個(gè)不同實(shí)根時(shí),二階常系數(shù)線二階常系數(shù)線 性差分性差分方程的通解為方程的通解為 xn= x*+ C1( 1)n + C2( 2)n ; 當(dāng)當(dāng) 1, 2= 是兩個(gè)相同實(shí)根時(shí)是兩個(gè)相同實(shí)根時(shí),二階常系數(shù)線二階常系數(shù)線 性差分性差分方程的通解為方程的通解為 xn= x* + (C1 + C2 n) n; 當(dāng)當(dāng) 1, 2= (cos + i sin ) 是一對(duì)共軛復(fù)根是一對(duì)共軛復(fù)根 時(shí)時(shí),二階常系數(shù)線性差分二階常系數(shù)線性差分方程的通解為方程