極值、離散最值和估值問(wèn)題

1、極值、離散最值和估值問(wèn)題專題前言：在日常生活中，經(jīng)常遇到求有關(guān)“最”的問(wèn)題，即最大、最小等，這些題統(tǒng)稱為極值問(wèn)題。而有些數(shù)學(xué)問(wèn)題，題中的量是變化，或許發(fā)展到最小值或最大值或某個(gè)特定的范圍中去思考反而更容易理清思路，我們常把這類問(wèn)題稱為離散最值問(wèn)題。這兩類題，有些是有一定的解題模式，但大多數(shù)則沒有固定的解題模式，要根據(jù)題目的條件與問(wèn)題去分析、判斷、推理。常采用的方法有試驗(yàn)、枚舉、估計(jì)、歸納等，在解題過(guò)程時(shí)往往將變化的量推向極端。我們?cè)谟龅酱祟悊?wèn)題，解決之后還需要及時(shí)總結(jié)，豐富解題經(jīng)驗(yàn)，提高分析能力。有時(shí)我們所需要的并不是一個(gè)精確值或只是精確值的一部分，我們?cè)谒伎嫉臅r(shí)候往往要借助極值問(wèn)題來(lái)確定一個(gè)

2、范圍進(jìn)行解答，這類問(wèn)題就是估值問(wèn)題。例題精講：例1：用一根長(zhǎng)60厘米長(zhǎng)的鐵絲圍成一個(gè)長(zhǎng)、寬為整厘米數(shù)的長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形面積最大是多少平方厘米？長(zhǎng)寬面積29129282562738126410416142241515225分析與解：長(zhǎng)方形的面積與長(zhǎng)、寬的長(zhǎng)度有關(guān)，60厘米長(zhǎng)的鐵絲其實(shí)就是長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，可得：長(zhǎng)+寬=602=30（長(zhǎng)寬）。當(dāng)長(zhǎng)與寬分別是幾厘米的時(shí)候，面積最大呢？我們通過(guò)下表來(lái)尋找規(guī)律：通過(guò)觀察表格可知：長(zhǎng)與寬的差越小，兩個(gè)數(shù)的積就越大，當(dāng)長(zhǎng)與寬的差最小（0）時(shí)，也就是圍成一個(gè)正方形時(shí)，面積就最大。答：這個(gè)長(zhǎng)方形面積最大是225平方厘米?？偨Y(jié)這個(gè)現(xiàn)象，可以得到下面這個(gè)規(guī)律：兩個(gè)數(shù)的

3、和一定，這兩個(gè)數(shù)的差越小，積就會(huì)越大。把兩個(gè)數(shù)發(fā)展到多個(gè)數(shù)，這個(gè)規(guī)律也是成立的。如a+b+c=18，當(dāng)a=b=c=6時(shí)，這三個(gè)數(shù)的乘積最大，是216，大家也可以通過(guò)列表枚舉的方法來(lái)驗(yàn)證（其實(shí)這樣的過(guò)程很重要）。完善剛才的規(guī)律：幾個(gè)數(shù)（數(shù)的個(gè)數(shù)是固定的）的和一定，這幾個(gè)數(shù)之間的差越小，積就會(huì)越大。例2：用一條長(zhǎng)60米的籬笆靠一面墻圍一個(gè)長(zhǎng)方形雞圈，這個(gè)長(zhǎng)方形雞圈的面積最大是多少平方米？分析與解：一不小心，就會(huì)把它與例1混淆，以為這兩題是一模一樣的，習(xí)慣性地認(rèn)為圍成正方形時(shí)，面積最大。邊長(zhǎng)：603=20米，面積：2020=400平方米。這種解題方法錯(cuò)誤的，主要原因是違背了例1中總結(jié)的規(guī)律，這個(gè)規(guī)律

4、有一個(gè)前提：和一定?？墒潜绢}中的長(zhǎng)方形是利用了一面墻的，此時(shí)籬笆只圍了這個(gè)長(zhǎng)方形的三條邊，使得這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的和不再是固定不變的。由于籬笆的長(zhǎng)度是固定不變的，所以還是可以找到不變的和，只不過(guò)不是長(zhǎng)+寬，而是長(zhǎng)+寬2=60。我們把寬2當(dāng)作一個(gè)數(shù)，則有長(zhǎng)=寬2=602，這時(shí)長(zhǎng)（寬2）的積最大，那么也就求出了長(zhǎng)寬的最大值。解：當(dāng)長(zhǎng)=寬2=602，這時(shí)長(zhǎng)（寬2）的積最大。長(zhǎng)是：602=30米，寬是：6022=15米，面積最大是：3015=450平方米。答：這個(gè)長(zhǎng)方形雞圈的面積最大是450平方米。點(diǎn)津：當(dāng)我們不能確定所求的兩個(gè)數(shù)的和是一定的時(shí)候，可以適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行轉(zhuǎn)換，找到一定的和。例3：某批發(fā)商賣一種

5、商品，規(guī)定一次性購(gòu)買100件，單價(jià)則為48元；如果每多購(gòu)10件，單價(jià)則每次降低2元。當(dāng)然他會(huì)設(shè)置一個(gè)最大購(gòu)買量，讓賣出的商品得的錢最多，請(qǐng)問(wèn)：這個(gè)最大購(gòu)買量是多少件？分析與解：賣出商品得到的錢是：商品數(shù)量單價(jià)，按最初規(guī)定，這個(gè)批發(fā)商可得：10048=4800元；如果多購(gòu)買10件，單價(jià)則為：482=46元，這個(gè)批發(fā)商可得：11046=5060元，可是隨著購(gòu)買總量的變化，單價(jià)也會(huì)跟著在變，如何求出這個(gè)最大值呢？當(dāng)然，我們可以順著上面的思路一一枚舉，列出一張表格，從中尋找出這人最大值來(lái)。但能不能利用剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來(lái)解題呢？關(guān)鍵在于我們能不能找出不變的和來(lái)。設(shè)要多買x個(gè)10件，那么單價(jià)則為482x元；

6、可求出總價(jià)：（482x）（100+10x）；通過(guò)觀察兩個(gè)因數(shù)的和由于未知數(shù)的存在而不能確定，但兩個(gè)未知數(shù)前的符號(hào)相反，如果兩個(gè)未知數(shù)前面的系數(shù)相等，在計(jì)算和的時(shí)候，未知數(shù)就能相互抵消，從而得到固定的和。整理（482x）（100+10x）得：2（24x） 10（10+x）；其中（24x）+（10+x）=34，和是固定不變的，當(dāng)（24x）=（10+x）=342時(shí)，（24x）（10+x）積最大，那么2（24x） 10（10+x）也會(huì)最大。從而求出總價(jià)的最大值來(lái)。解：設(shè)要多買x個(gè)10件商品。（482x）（100+10x）=2（24x） 10（10+x）因?yàn)椋?4x）+（10+x）=34，所以當(dāng)（24x

7、）=（10+x）=342時(shí)，（24x）（10+x）積最大，此時(shí)x=7。最大購(gòu)買量是：100+107=170件。答：這個(gè)最大購(gòu)買量是170件。例4：某游泳館出售冬季學(xué)生游泳卡，每張240元，使用規(guī)定：不記名，每卡每次只限一人，每人只限一次，某班有48名學(xué)生，老師打算組織學(xué)生集體去游泳，除需購(gòu)買若干張游泳卡，每次游泳還需包一輛汽車，無(wú)論乘坐多少名學(xué)生，每次的包車費(fèi)均為40元，若要使每個(gè)同學(xué)游8次，每人最少交多少錢？分析與解：本題的條件非常紛雜，如果用算術(shù)方法不易表示數(shù)量之間的關(guān)系?？稍O(shè)需要購(gòu)買x張游泳卡，共需要到游泳館y次，依題意可知去一次只能帶x名學(xué)生，去了y次，總共需要游xy人次，從另一個(gè)角度

8、來(lái)想：48名學(xué)生，每人游8次，總共需要游488人次，可見：xy=488。這樣需要用多少錢呢？買游泳卡用240x元，包車用40y元，共需要：240x+40y元。要使每人交的錢最少，總錢數(shù)就應(yīng)該最少。所以問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是求240x+40y最小，我們還知道：xy=488，是一個(gè)不變量，那么240x40y=24040 xy也是一個(gè)不變量，這時(shí)就需要我們思考一個(gè)問(wèn)題：如果兩個(gè)變量的積是一定的，什么時(shí)候和會(huì)最小呢？我們可以用舉例的方法去研究。例如：xy=12，什么時(shí)候x+y的和最小呢？分解12得：12=112=26=34，觀察可知當(dāng)因數(shù)是3和4的時(shí)候，它們的和最小。我們從中可以總結(jié)一個(gè)規(guī)律：當(dāng)兩個(gè)數(shù)的積一定的

9、時(shí)候，這兩個(gè)數(shù)的差越小，和也會(huì)越小。根據(jù)這個(gè)規(guī)律可知，240x40y積是一定的，當(dāng)240x=40y的時(shí)候，這兩個(gè)數(shù)的和是最小的，求出：y=6x，由于xy=488，48恰好是8的6倍，所以：x=8 ，y=48，總費(fèi)用是2408+4048=3840元，平均每人最少要交384048=80元。解：設(shè)需要購(gòu)買x張游泳卡，共需要到游泳館y次。則共有xy=488人次，共用240x+40y元。由于240x40y=24040488是一個(gè)固定值，根據(jù)“兩個(gè)數(shù)的積一定，當(dāng)這兩個(gè)數(shù)的差越小，積就越大”這個(gè)規(guī)律可知，當(dāng)240x=40y的時(shí)候，和是最小的，求得：x=8 ，y=48，平均每人最少要交：（2408+4048）

10、48=80元。答：每人最少交80元。點(diǎn)津：極值問(wèn)題的解法是多種多樣的，有時(shí)需要我們掌握一定的技巧，而這些技巧的適用范圍非常狹窄，往往只能解答極少的甚至只能解答一個(gè)類型的題目，所以平常用的時(shí)候較小，我們不易經(jīng)常體會(huì)。對(duì)于這種類型的技巧就需要我們強(qiáng)加記憶。例5：一個(gè)布袋中有紅、黃、綠三種顏色的小球各10個(gè)，這些小球的大小都相同，紅球上標(biāo)“4” ，黃球上標(biāo)“5” ，綠球上標(biāo)“6” ，小明從袋中摸出8個(gè)球，它們的數(shù)字之和是39，其中最多可能有多少個(gè)紅球？分析與解：由于問(wèn)題求紅球最多有多少個(gè)，我們就將紅球的個(gè)數(shù)推向極端。假設(shè)摸出的8個(gè)球全都是紅球，則總和是：48=32，與實(shí)際和相差：3932=7。如果把

11、一個(gè)紅球換成一個(gè)黃球，則總和會(huì)增加：54=1；如果把一個(gè)紅球換成一個(gè)綠球，則總和會(huì)增加：64=2，可以看出把兩個(gè)紅球換成兩個(gè)黃球的總和，只相當(dāng)于把一個(gè)紅球換成一個(gè)綠球的總和。因此為了讓紅球盡可能多，應(yīng)該多把紅球換成綠球，72=31，相差的7分，需要換來(lái)3個(gè)綠球，這樣還差1分，再用一個(gè)紅球換來(lái)一個(gè)黃球即可。這樣還剩下紅球：831=4個(gè)。解：假設(shè)摸出的8個(gè)球全都是紅球，（3948）（64）=31，而1=54說(shuō)明需要拿出3個(gè)紅球換成綠球，拿出1個(gè)紅球換成黃球，紅球最多有：831=4個(gè)。答：其中最多可能有4個(gè)紅球。例6：把19分成幾個(gè)自然數(shù)的和，再求出這些自然數(shù)的乘積，要使得乘積盡可能大，問(wèn)這個(gè)乘積是

12、幾？分析與解：本題并沒有規(guī)定分成幾個(gè)數(shù)，根據(jù)“幾個(gè)數(shù)的和一定，這幾個(gè)數(shù)之間的差越小，積就會(huì)越大?！边@一規(guī)律，可知分成的數(shù)盡可能地接近。為了更好地理解分成的數(shù)到底是幾，我們可以從小一點(diǎn)的數(shù)開始分起，然后尋找規(guī)律。因?yàn)?乘一個(gè)數(shù)，仍得原數(shù)。所以分的數(shù)中不應(yīng)出現(xiàn)1。2只能分成1+1，3只能分成1+2，故2和3不能再拆分。4=2+2，積是：22=4；得出4可以分，也可以不分。5=2+3，積是：23=65；得出5應(yīng)該拆分，拆分成2+3。6=2+2+2=3+3，積是：222=85；或33=98；得出6應(yīng)該拆分，拆分成3+3。7=2+5=3+4=2+2+3，根據(jù)上面的過(guò)程得出：7應(yīng)該拆分，拆分成3+4或2+

13、2+3。8=2+6（6應(yīng)該拆分成3+3）=4+4（4可拆可不拆），經(jīng)驗(yàn)證8應(yīng)該拆分，拆分成2+3+3。觀察上面的拆分過(guò)程，可以得到一個(gè)較大數(shù)盡可能地拆分出加數(shù)3來(lái)，2最多兩個(gè)（為了使規(guī)律中的數(shù)盡可能地少，我們就不去用4，有4的時(shí)候就拆成2+2）。解：19=3+3+3+3+3+2+2；積最大是：3522=972。答：這個(gè)乘積是972。例7：13個(gè)不同的自然數(shù)的和是100，其中偶數(shù)最多有多少個(gè)？最少有多少個(gè)？分析與解：要使偶數(shù)的個(gè)數(shù)最多，那么所選的偶數(shù)要盡可能地小，根據(jù)0+2+4+6+8+10+12+14+16+18=90可知偶數(shù)最多不能超過(guò)10個(gè)，如果有10個(gè)，則剩下的3個(gè)奇數(shù)的和是奇數(shù)，再加上

14、90總和還是奇數(shù)，與和是100（偶數(shù)）矛盾。可見奇數(shù)的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)個(gè)。如果有9個(gè)偶數(shù)，則會(huì)有4個(gè)奇數(shù)。這4個(gè)奇數(shù)的和最小是：1+3+5+7=16；這可以辦到，把上面十個(gè)偶數(shù)中的16換成1、3、5、7即可。故偶數(shù)至多有9個(gè)。要使偶數(shù)的個(gè)數(shù)最小，那么所選的奇數(shù)要盡可能地多（從問(wèn)題的反面去思考），因?yàn)?+3+19=100，所以奇數(shù)的個(gè)數(shù)少于10個(gè)，且奇數(shù)的個(gè)數(shù)又要是偶數(shù)個(gè)，因此奇數(shù)最多有8個(gè)，求出偶數(shù)至少有：138=5個(gè)。具體操作方法是把奇數(shù)19和17的和換成5個(gè)偶數(shù)的和。解：因?yàn)椋?+2+4+18=90，可知偶數(shù)最多不能超過(guò)10個(gè)，而且奇數(shù)的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)個(gè)。所以至多有9個(gè)偶數(shù)。又因?yàn)椋?+3+

15、19=100，可知奇數(shù)的個(gè)數(shù)少于10個(gè)，且奇數(shù)的個(gè)數(shù)又要是偶數(shù)個(gè)，因此奇數(shù)最多有8個(gè)，偶數(shù)至少有：138=5個(gè)。答：至多有9個(gè)偶數(shù)，至少有5個(gè)偶數(shù)。ab河邊例8：如圖，一只小羊在a地吃草，后來(lái)它想到河邊喝水后回到b地的家，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一條路線，使小羊行走的路程最短。分析與解：要使小羊走的路程最短，最理想的是直一條線段（兩點(diǎn)之間線段最短），但小羊并不是直接從a點(diǎn)直到b點(diǎn)，它還要到河邊喝水。如果小羊的起點(diǎn)（a）到終點(diǎn)（b）的連線中正好有一點(diǎn)在河邊（三點(diǎn)同線），那么小羊走的路程就應(yīng)該是最短的。ab河邊ac順著這個(gè)思路，我們可以把a(bǔ)點(diǎn)或b點(diǎn)等距離地搬到河的另一邊（即作a點(diǎn)或b點(diǎn)關(guān)于河邊線的軸對(duì)稱點(diǎn)），然后

16、再連接這兩點(diǎn)，就能使小羊行走的路線距離最短。上圖中a點(diǎn)是a點(diǎn)關(guān)于河邊線的軸對(duì)稱點(diǎn)，可知ac長(zhǎng)與ac長(zhǎng)相等，由于ab的長(zhǎng)度是a、b兩點(diǎn)之間最短路線，則ac+cb就是從a點(diǎn)到河邊再到b點(diǎn)的最短路線。bca河邊ad如何證明這條路線是最短的呢？我們可以假設(shè)這條路線不是最短的，小羊到d地（不是c點(diǎn)）喝水，所行的路線才是最短的。連接ad（如下圖），可知ad=ad，ad+db= ad+db ，a、d、b三點(diǎn)圍成一個(gè)三角形，由于三角形任意兩邊之和大于第三邊，則有 ad+dbab，這與假設(shè)矛盾，所以ac+cb是最短路線。ab河答：略。例9：如圖，在河的兩邊有a、b兩個(gè)村莊，現(xiàn)在要造一座橋，為了使a、b兩村的人到

17、橋的距離之和最短，橋應(yīng)該造在哪里？請(qǐng)?jiān)趫D中用一條線段代表橋把它畫出來(lái)。ab河橋分析與解：a、b兩個(gè)村莊在河的兩邊，是否直接連接ab兩點(diǎn)（如下圖），就是我們所要求的呢？這肯定是不對(duì)的，雖然兩村到橋的距離是理論上的最短值，但現(xiàn)實(shí)生活中的橋是會(huì)與河岸基本垂直的。通過(guò)這樣的分析，我們可以看到本題的難點(diǎn)是由于橋的垂直于河岸的，所以ab兩點(diǎn)不能直接連接，怎么辦呢？我們可以先避開橋的阻礙，讓a點(diǎn)或b點(diǎn)沿垂直于河岸的方向前移一條河的寬度（其實(shí)就是橋長(zhǎng)），然后再連接這兩點(diǎn)，與其中一條河岸的交點(diǎn)e就是造橋的點(diǎn)，如下圖。ab河a橋ef從圖中很容易得出：af+eb=ae+eb=ab，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知ab是最

18、短路線，也就是說(shuō)a、b兩村的人到橋的距離之和最短。答：略。例10：a=8.011.24+8.021.23+8.031.22，求a的整數(shù)部分是多少？分析與解：直接計(jì)算不可取的，觀察三個(gè)乘法算式，很容易看出： 8.01+1.24=8.02+1.23=8.03+1.22，且8.011.248.021.238.031.22，根據(jù)“兩個(gè)數(shù)的和一定，這兩個(gè)數(shù)的差越小，積就越大?！边@個(gè)規(guī)律，可以得出：8.011.248.021.238.031.22。由于我們所求的只是a的整數(shù)部分，并不需要知道a的具體大小，如果我們能求出a的取值范圍來(lái)，也能判斷出a的整數(shù)部分。a81.24+81.23+81.22，即a29.

19、52；a8.011.24+8.011.24+8.011.24（把三個(gè)乘法算式都當(dāng)作其中最大的那個(gè)）；即a8.011.24381.253（8.01、1.24與8、1.25的和相等，但8、1.25的差小，所以81.25的積大。）求得 a30。因此a在29.52與30之間，所以a的整數(shù)部分是29。答：a的整數(shù)部分是29。b點(diǎn)津：有些題目并不需要求出數(shù)值的具體大小，解答時(shí)，往往先確定這個(gè)數(shù)值的范圍，然后求解。我們把這種方法稱之為放縮法。例11：有一個(gè)算式，左邊方框里都是整數(shù)，右邊答案寫出了四舍五入后的近似值：3 + 5 + 7 1.16。求左邊三個(gè)方框里的整數(shù)從左至右分別是什么？分析與解：由于1.16

20、是四舍五入后得到的，那么準(zhǔn)確值就在1.1551.165之間，把三個(gè)分?jǐn)?shù)通分得：1.15535105 + 21105 + 15105 1.165。把上面的不等式乘105后得：121.27535+21+15122.325。35+21+15是一個(gè)整數(shù)，在121.275與122.325之間只有一個(gè)整數(shù)122，所以35+21+15=122。通過(guò)試算可知：351+212+153=122。求得左邊算式中的三個(gè)方框里的整數(shù)從左至右分別是1、2、3。練習(xí)：1、用一根長(zhǎng)72厘米長(zhǎng)的鐵絲搭一個(gè)長(zhǎng)方體框架，然后在表面糊一層紙，這個(gè)長(zhǎng)方體紙盒的體積最大是多少立方厘米？2、張兵幫老師計(jì)算35名學(xué)生計(jì)算一次數(shù)學(xué)測(cè)試的平均成

21、績(jī)（得數(shù)保留三位小數(shù)），算出的結(jié)果是85.377。老師復(fù)算的時(shí)候?qū)λf(shuō)：你的最后一位數(shù)字錯(cuò)了，其它數(shù)字都是對(duì)的，你知道正確平均分是多少嗎？（每人的分?jǐn)?shù)都是整數(shù)）3、a= 已知 111981+11982+11983+12000 ，求a的整數(shù)部分是幾？4、已知s=1166+1267+1368+1469+15701165+1266+1367+1468+1569 100，求s的整數(shù)部分是多少？5、用一塊長(zhǎng)32厘米、寬24厘米的鐵皮，做一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子（允許焊接），求這個(gè)長(zhǎng)方體盒子容積最大是多少立方厘米？6、把三個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)用四舍五入法化成小數(shù)后，求出的和用近似值表示：a2 + b3 + c7 1.7

22、4。求a、b、c分別是幾？7、一項(xiàng)工程，甲、乙合做要20天完成；單獨(dú)完成全工程，甲比乙要多用9天。甲、乙獨(dú)做全工程各需要多少天？（甲、乙的工作時(shí)間都是整天數(shù)）8、在分母小于10的分?jǐn)?shù)中，找出一個(gè)最接近3.14的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。9、a5=2476099，求a是幾？草地河a10、如圖，a點(diǎn)處的小牛先到草地吃草，然后到河邊河邊喝水，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一條小牛行走的最短路線。ab11、如圖，一個(gè)長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)是4厘米，寬是1厘米，高是2厘米。一只螞蟻a點(diǎn)爬到點(diǎn)，最少要爬多少厘米？答案：1、解：當(dāng)長(zhǎng)=寬=高（正方體）時(shí)，體積最大。（7212）3=216立方厘米。答：這個(gè)長(zhǎng)方體紙盒的體積最大是216立方厘米。注意：所以的

23、框架都是鐵絲搭成的時(shí)候，正方體的體積才最大。2、解：85.37735=2988.195分，可見全班部分是2988分。正確平均分是：298835=85.371。3、11198120a11200020 ，解得：99.05a100；可知a的整數(shù)部分是99。答：a的整數(shù)部分是99。4、解：1166+1267+1368+1469+15701165+1266+1367+1468+1569100=100 + 11+12+13+14+151165+1266+1367+1468+1569100 11+12+13+14+151165+1266+1367+1468+156910011+12+13+14+15（11+12+13+14+15）65100=10065 11+12+13+14+151165+1266+1367+1468+156910011+12+13+14+15（11+12+13+14+15）69100=10069求得s在100+10065 和 100+10069 之間，整數(shù)部分是101。答：s的整數(shù)部分是101。5、如圖，容積最大是：16168=2048立方厘米。答：容積最大是2048立方厘米。6、解：1.735a2