《線性代數(shù)》第二章矩陣

1、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)線性代數(shù)第二章 矩 陣矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算、矩陣的初等行變換、矩 陣的秩和逆矩陣 本章難點(diǎn)：本章難點(diǎn)：求逆矩陣本章重點(diǎn)：本章重點(diǎn)：一、矩陣的概念一、矩陣的概念（一）矩陣的概念（一）矩陣的概念稱為：稱為：mn矩陣矩陣列的元素第行表示第用jiaijmnmmnnaaaaaaaaaA212222111211nmA記作： nmijaA或：矩陣表示一張數(shù)表一張數(shù)表；行列式是一個(gè)算式算式，即是一個(gè)數(shù)值數(shù)值。（二）幾類基本的矩陣（二）幾類基本的矩陣1、行矩陣、行矩陣naaa112112、列矩陣、列矩陣12111maaa矩陣只有一行，即矩陣只有一列，即3、n階方陣（階方陣（n階矩陣）階矩陣）矩陣的行

2、和列數(shù)相同，即nnnnnnnaaaaaaaaaA212222111211nA簡記為：主對(duì)角線主對(duì)角線次對(duì)角線次對(duì)角線4、零矩陣、零矩陣所有元素都為0的mn矩陣.OOnm或簡記為：.00000032O例如：5、同形矩陣、同形矩陣兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等行數(shù)相等、列列數(shù)也相等數(shù)也相等111212223103和例如：就不是同形矩陣和顯然，4322OO類似實(shí)數(shù)類似實(shí)數(shù)0.是同形矩陣。6、負(fù)矩陣、負(fù)矩陣mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211在它的每個(gè)元素前添上一個(gè)負(fù)號(hào)，就得到A的負(fù)矩陣的負(fù)矩陣mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211類似實(shí)數(shù)類似實(shí)數(shù)里的負(fù)數(shù)里的負(fù)數(shù).7、單位矩

3、陣、單位矩陣主對(duì)角線上的元素都是1，其余元素都是0的n階方陣。IIn或記為：100010001nI在矩陣運(yùn)算中的作用，類似實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)1在數(shù)字運(yùn)算中的作用.二、矩陣的運(yùn)算二、矩陣的運(yùn)算（一）矩陣的相等（一）矩陣的相等兩個(gè)矩陣A和B相等（A=B），要滿足：1、A和B是同形矩陣同形矩陣，即行、列數(shù)分別相等；2、對(duì)應(yīng)元素相等元素相等。例如：已知A=B，其中,05132,01232yBxAx則，5y2（二）矩陣的加（減）法（二）矩陣的加（減）法 nmijnmijbBaA，設(shè)nmijijbaBA則：條件：A與B是同形矩陣同形矩陣.43211342如：413324125063即：對(duì)應(yīng)元素對(duì)應(yīng)元素相加減相加減（

4、三）矩陣的數(shù)乘（三）矩陣的數(shù)乘 是實(shí)數(shù)，設(shè)nmijaAnmijaA則：即：與每個(gè)與每個(gè)元素相乘元素相乘kBkABAk)(結(jié)合律：)()( )( hAkAkhhAkAAhk分配律：AAAA1,1數(shù)量矩陣數(shù)量矩陣100010001kkIkkk000000數(shù)k乘單位矩陣，即例例1：，設(shè)203211A,150121C .232;321CACA求解：解： CA32115012132032112315036340642234)15(006)3(462)3(27156141 .232CA15012122032113210024260963326)10(009)2(643)2(34109875（四）矩陣的乘法

5、（四）矩陣的乘法 nsijsmijbBaA，設(shè)nmsjisjijibababaAB2211則：(1)左邊A的列數(shù)的列數(shù)與右邊B的行數(shù)的行數(shù)相同(2) AB的行數(shù)等于行數(shù)等于左邊A的行數(shù)，列數(shù)等于的行數(shù)，列數(shù)等于 右邊B的列數(shù)。的列數(shù)。(3)行乘列法則行乘列法則：即左邊A的行的行與右邊B的列的列 上的元素對(duì)應(yīng)相乘。1、行矩陣列矩陣naaa1121112111nbbbn列n行naaa112111121121111nnbababankkkba111行矩陣列矩陣一個(gè)數(shù)2、矩陣矩陣msmmisiisaaaaaaaaa212111211snsjsnjnjbbbbbbbbb122211111mnmjmini

6、jinjccccccccc111111112112111111ssbababacsjisjijiijbababac2211兩個(gè)矩陣相乘，要滿足條件： 左邊矩陣的列數(shù)等于右邊矩陣的行數(shù)左邊矩陣的列數(shù)等于右邊矩陣的行數(shù)。例例4：421123401124121BA，設(shè)2002C則：則： 對(duì)于AB,AC,BC，都不能進(jìn)行乘法而BA,CB就可以進(jìn)行乘法。兩個(gè)矩陣相乘，要滿足條件： 左邊矩陣的列數(shù)等于右邊矩陣的行數(shù)左邊矩陣的列數(shù)等于右邊矩陣的行數(shù)。例例1：11111111BA，設(shè).2002ACBAABC及，求解：解：) 1(11) 1() 1(11) 1() 1() 1(11) 1() 1(11AB.22

7、2211111111BA1) 1() 1() 1() 1() 1(1) 1(11) 1(1) 1(111.000020021111AC.2222BAAB .ACAB .CB 但矩陣乘法的特別之處：矩陣乘法的特別之處：（1）乘法的交換律不成立交換律不成立。即有：ABBA。若AB=BA，則稱A與與B可交換可交換。（2）兩個(gè)非零矩陣的乘積可能為零矩陣非零矩陣的乘積可能為零矩陣， 即有：AO，BO，但ABO。（3）乘法的消去律不成立消去律不成立。 即有：AO，且AB=AC，但不能推出 BC 。，有：對(duì)于單位矩陣I,nmnmmAAInmnnmAIAIA 0規(guī)定：由此，可看出單位矩陣I在矩陣運(yùn)算中的作用就

8、是類似數(shù)1在實(shí)數(shù)運(yùn)算中的作用。練習(xí)練習(xí)2.3 計(jì)算矩陣計(jì)算矩陣 011035121 351201102 001130203 302000114 210345215 452121036【解答解答】 01103512103151305011)2(11025321 351201102010230501235由（1）（2）兩題又驗(yàn)證，矩陣乘法的交換律不成立交換律不成立。即有：ABBA。 0011302030000驗(yàn)證了：兩個(gè)非零矩陣的乘積可能為零矩陣非零矩陣的乘積可能為零矩陣 3020001140010驗(yàn)證了：乘法的交換律不成立交換律不成立 21034521508503 452121036810424

9、5210000121563（五）矩陣的轉(zhuǎn)置（五）矩陣的轉(zhuǎn)置nmmmnnTnmnnmmTaaaaaaaaaaaaaaaaaaA212221212111212222111211mnnm將矩陣A的行與列依次互換位置而得。矩陣的轉(zhuǎn)置的性質(zhì)： AATT1 TTTBABA2 TTTABAB3 為實(shí)數(shù)kkAkATT 4【例例2】【解解】若A為34矩陣，B為25矩陣，其乘積TTBAC有意義，則C為_矩陣。A43TCB52TB25mn4n5m矩陣，是即：54TC矩陣是45C45【例例2續(xù)續(xù)】【解解】若A為34矩陣，B為25矩陣，則乘積TTBAC是_矩陣。A43TCTB25545323【例例3】200714201

10、100110111A設(shè)【解解】_23aA中元素則列的元素行第中第表示3223Aa21712023a9【例例4】101324203211BA，設(shè) .3 ;2 ;321150121TTABCABCBAC，求【解解】 CBAT32115012131013242203211T3150363112034220321132215200433026613813131111032CBAT AB210132420321112023004312) 1)(1(2103) 1(4181251 TABC3TT81251150121利用（2）中的AB來求TCABTTABC85121115201441623121三、幾類特

11、殊矩陣三、幾類特殊矩陣零矩陣零矩陣單位矩陣單位矩陣100010001nInmO000000000數(shù)量矩陣數(shù)量矩陣kkkkIn000000方陣方陣（一）對(duì)角矩陣（一）對(duì)角矩陣nnnaaaA00000021主對(duì)角線以外的元素全為零的方陣方陣,diag21naaa也可記作：是對(duì)角矩陣；單位矩陣I也是對(duì)角矩陣。數(shù)量矩陣kI 1 , 1 , 1 diag,diagkkk對(duì)角矩陣的性質(zhì)對(duì)角矩陣的性質(zhì)（1）對(duì)角矩陣的與仍是對(duì)角矩陣（2）數(shù)與對(duì)角矩陣的仍是對(duì)角矩陣 TAAA有：對(duì)角矩陣3 且仍為對(duì)角矩陣是對(duì)角矩陣，則：設(shè) ,4BAABBA（二）三角矩陣（二）三角矩陣nnnnaaaaaaA00022211211

12、主對(duì)角線下方的元素全為0的方陣稱為上上三角矩陣三角矩陣nnnnaaaaaaA21222111000主對(duì)角線上方的元素全為0的方陣稱為下下三角矩陣三角矩陣上三角矩陣、下三角矩陣統(tǒng)稱為三角矩陣三角矩陣類似對(duì)角矩陣，可得：兩個(gè)同階上（下）三角矩陣的和、數(shù)乘、乘積和、數(shù)乘、乘積仍為上（下）三角矩陣。注意：注意：上（下）三角矩陣的轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置為下（上）三角矩陣。（三）（三）為對(duì)稱矩陣。，則滿足若矩陣AAAAT:（1）對(duì)稱矩陣一定是；（2）關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱的位置上的元素必定 相等，即jiijaa 例如：3001021212123都是對(duì)稱矩陣1000001000011112221110132132都不是對(duì)稱矩陣【問】對(duì)角矩陣是否對(duì)稱矩陣？【答案】是類似對(duì)角矩陣，可得：兩個(gè)同階對(duì)稱矩陣的和、差、數(shù)乘和、差、數(shù)乘仍為對(duì)稱矩陣。注意：注意：兩個(gè)同階對(duì)稱矩陣的乘積乘積不一定是對(duì)稱矩陣。（見課本66頁例子）【問】對(duì)稱矩陣的轉(zhuǎn)置是否對(duì)稱矩陣？【答】是。【例例5】當(dāng)a=_，b=_時(shí)，矩陣2301321baA是對(duì)稱矩陣?！窘狻坑蓪?duì)稱矩陣的定義，可知：, 2a時(shí)0b矩陣A是對(duì)