導數(shù)在中學數(shù)學中的應用學士學位論文

1、學士學位畢業(yè)論文導數(shù)在中學數(shù)學中的應用 application of derivative in the middle school mathematics 導數(shù)的應用【摘要】本文主要對導數(shù)在中學數(shù)學中的幾個方面進行了詳細的歸納和總結。首先，總體對導數(shù)在中學中的應用進行整理和分析，分為在求函數(shù)單調性與極值方面的應用，在幾何方面的應用，在不等式方面的應用，在數(shù)列方面的應用以及在解決實際問題方面的應用。第一方面中，提出應用導數(shù)判斷函數(shù)單調性，求函數(shù)極值、最值三個小節(jié)。第二個方面中，主要提出應用導數(shù)求解曲線的切線方程的方法分為三個小節(jié)，重點指出求二次曲線的切線方程。第三個方面中重點提出應用導數(shù)證明不

2、等式及求解不等式。第四個方面，利用導數(shù)解決數(shù)列問題。第五個方面，除了利用導數(shù)解常規(guī)問題外，還提出導數(shù)關于中心圖形題型的應用?！娟P鍵詞】中學數(shù)學導數(shù) 應用 about the application of derivativechen bin【abstract】this paper concludes and summarizes several derivatives of mathematics in secondary schools in the aspects of. first of all, the collation and analysis of the application

3、 of derivative in the middle school, divided into application in the field of function monotonicity and extreme, applications in geometric terms, used in inequality, application in sequence and the application in solving practical problems. the first aspect, proposed the application of derivative ju

4、dge monotonicity of function, function extremum, the value of three sections. in second aspects, mainly proposed tangent equation application derivation curve is divided into three sections, and points out the tangent equation of two conics. third aspects and puts forward the application of derivati

5、ve to prove inequality and inequality. fourth, the use of derivative to solve the series of problems. fifth aspects, in addition to using derivative solution routine problems, application of derivative of graphic types are also presented.【key words】middle school math derivative application目錄1 序言1 2

6、導數(shù)在函數(shù)方面的應用2 2.1函數(shù)單調性的討論22.2函數(shù)的最值（極值）的求法 3 2.3函數(shù)的圖象的作法 53 導數(shù)在幾何方面的應用6 3.1 應用導數(shù)的幾何意義，求解一般曲線的切線和法線6 3.2 求曲線以參數(shù)方程給出的切線和法線方程 9 3.3二次曲線以隱式給出求其切線方程9 4 導數(shù)在證明不等式方面的應用 11 5 導數(shù)在解決實際問題方面的應用13 6 導數(shù)在其他方面的應用14 結論17參考文獻18序言導數(shù)是高中數(shù)學新教材中新增內容之一，它的引入給傳統(tǒng)的中學數(shù)學內容注入了新的生機和活力，也為中學數(shù)學解決問題注入了新的途徑和方法。導數(shù)在解決函數(shù)單調性問題，求函數(shù)極值和最值，不等式證明以及

7、解決解析幾何中與切線有關的問題和最值問題有著廣泛的應用。其方法較傳統(tǒng)的方法簡潔、靈活，而導數(shù)與函數(shù)、不等式、解析幾何、數(shù)列、向量等知識結合起來，也使命題的設計更加廣闊了。作為一名數(shù)學系的本科畢業(yè)生，導數(shù)是我們學習內容的基礎。而作為未來的一名數(shù)學教師，數(shù)學教材又是我們的教學材料。我們應該二者有機的結合起來，才能使自己成為一名優(yōu)秀的高中數(shù)學老師。本文擬通過舉例說明導數(shù)在證明函數(shù)單調性、求函數(shù)最值、不等式證明、求曲線的切線、數(shù)列求和等方面的應用。突出導數(shù)法解決問題的特點以開闊視野、拓寬解決問題的思路。2 導數(shù)在函數(shù)方面的應用運用導數(shù)知識研究函數(shù)性質的試題，研究對象已經突破了單純的一次函數(shù)、二次函數(shù)、

8、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等命題常以復合的函數(shù)形式出現(xiàn)。解決這一類型的題往往采用新舊結合以舊代新方法解決舊問題。2.1 函數(shù)單調性的討論函數(shù)的單調性是函數(shù)最基本的性質之一，是研究函數(shù)所要掌握的最基本的知識。通常用定義來判斷，但當函數(shù)表達式較復雜時判斷正負較困難。運用導數(shù)知識來討論函數(shù)單調性時，只需求出，再考慮的正負即可。此方法簡單快捷而且適用面廣。例1 判定函數(shù)和在上的增減性。解 當 得當 得所以在內單調增加，在內單調減少。， 故在上單調增加。例2 求函數(shù)的單調區(qū)間.分析：這是求函數(shù)單調區(qū)間的問題，這類問題要比給出某個區(qū)間判斷函數(shù)的單調性復雜一些.在這個題目中，需要結合三角函數(shù)的圖象考慮它的某些特殊性

9、質.首先對求導，得到；再令或，通過解關于的不等式，得到的單調遞增（減）區(qū)間.根據正弦函數(shù)的周期性，在解不等式的過程中，可以先考慮其一個周期的解集，然后再擴展到整個定義域上.解 令解得 或當時，是增函數(shù).再令 解得 或當時，是減函數(shù).單調減區(qū)間 ；單調遞增區(qū)間.2.2 函數(shù)的最值（極值）的求法 最值（極值）問題是高中數(shù)學的一個重點，也是一個難點.它涉及到了中學數(shù)學知識的各個方面，用導數(shù)解決這類問題可以使解題過程簡化，步驟清晰，也好掌握。一般地，函數(shù)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，則在a，b上的最值求法：求函數(shù)在（a，b）上的駐點；計算在駐點和端點的函數(shù)值，比較而知，最大的一個是最大值，最小的一個是最小值。

10、例3 求函數(shù)的極值。 分析 要求一個函數(shù)的極值，我們先求出函數(shù)的駐點，在對駐點進行比較，就可以知道極值。解 令 解得：（駐點） 又在駐點處的二階導數(shù)值分別為：，所以：，原函數(shù)在處取得極大值 ，原函數(shù)在處取得極小值例4 已知函數(shù)，是的極值點，求在 1，a上的最大值。解 由函數(shù)導可得 是的極值點， 所以有，得所以 令，解得（舍去）， 則x1(1,3)3(3,4)40+-6-18-12所以在1，4上的最大值為。2.3 函數(shù)的圖象的作法中學數(shù)學教材中介紹的描點法作函數(shù)圖象，作圖比較粗糙不準確，一般只適用于簡單的函數(shù)，但對比較復雜的函數(shù)就很難作出?，F(xiàn)用導數(shù)的知識來作函數(shù)圖象就相當?shù)暮啽?。作函?shù)圖象的一般

11、程序： 求出函數(shù)的定義域；求函數(shù)的一階導、二階導所對應的零點值考察函數(shù)的奇偶性、周期性；確定函數(shù)的單調區(qū)間，極值點，凸性區(qū)間及拐點 列表；考察漸近線；畫圖例5 作函數(shù) 圖象。解 函數(shù)的定義域由 解得由 解得函數(shù)顯然為非奇非偶函數(shù)現(xiàn)列表討論函數(shù)的單調區(qū)間、極值點、凸性區(qū)間及拐點-5-21+00+0+凹80 極大凸26 拐點凹-28極小凹無漸近線作圖： 3 導數(shù)在幾何方面的應用3.1 應用導數(shù)的幾何意義，求解一般曲線的切線和法線在解析幾何中，我們求曲線的切線和法線，只需要知道曲線的方程和曲線上的任意一點，利用對函數(shù)求導就可以得到這一點的切線方程和法線方程.下面給出求曲線的切線和法線方程的方法步驟：

12、2通過求導數(shù)，得到曲線在該點的切線的斜率；在已知切點坐標和切線斜率的條件下，利用點斜式求出切線方程： 法線方程： 例1 試求曲線上點的切線以及法線方程.解 對函數(shù) 求導得 所以 所以在點的切線方程為 即 又因為法線方程 即 所以切線方程：，法線方程：小結 (1)一般地常見的錯誤有：沒有運用點在拋物線上這一條件或者是先求出過點這點的切線方程，然后由兩直線重合產生一個方程，忽略點在曲線上這一條件.(2)導數(shù)的幾何意義在數(shù)學的學習過程中會經常用到，解題要充分運用這一條件，同時還要注意已知曲線上某點的切線這一條件的雙重含義.例2 已知曲線與，其中且都為可導函數(shù)，求證：兩曲線在公共點處相切.分析 兩曲線

13、的公共點為，則即 所以 所以 所以 對有；對有因為 所以 所以兩曲線彼此相切小結 本題的方法可適應于兩曲線在交點處的切線位置關系判定，如兩曲線，是否存在這兩曲線的一個公共點，使在這一點處，兩曲線的切線互相垂直.注意 若存在，則設點滿足上述條件，那么，即 ，這是不可能的.例3 試求與直線相切線于點并且圓心在直線上的圓的方程.解 設所求圓的方程為，兩邊對求導得 所以 因為為切點， 所以 因為在直線 上 所以 因為點與直線 相切， 所以 將聯(lián)立解方程組解得故圓的方程為： 注 上題是應用導數(shù)解平面曲線問題，由此可以看出應用導數(shù)亦可求橢圓、雙曲線、拋物線的方程. 3.2 求曲線以參數(shù)方程給出的切線和法線

14、方程若曲線以參數(shù)方程給出，則過曲線上任一點的切線方程為： 法線方程為： 例4 試求曲線上在點處的切線和法線方程.解 當時 ，當時， 故切線方程： 即 ， 故 法線方程： 注 若曲線是由坐標方程給出同樣可導出切線方程和法線方程，但記住這些方程倒不如直接計算方便.3.3 二次曲線以隱式給出求其切線方程給出，則守曲線上任一點的切線方程為證明 對原方程兩邊的求導，得于是 即 又因為在曲線上，因此代入上式得切線方程：評注求過二次曲線上任一點的切線方程，只須將曲線方程中的分別用代替；分別用代替即得，由這種方法可得：a過拋物線上一點的切線方程： b過橢圓上一點的切線方程： c過雙曲線上一點的切線方程：過圓

15、d上任一點的切線方程若任意曲線以隱式給出，則過曲線上任一點的切線方程： 例5 求圓的第一、第四象限角分線交點處的切線斜率.解 對兩邊的求導得 即在點處的切線斜率 求得圓與第一象限角平分線交點的坐標為，因此過的斜率 求得圓與第四象限角平分線交點的坐標為 因此過此點的切線斜率為： 4 導數(shù)在證明不等式方面的應用不等式證明往往是綜合性強，思維量大，因此不等式的證明也是中學數(shù)學中的一個難點，而應用導數(shù)證明不等式是一種重要的方法，它的難度在于構建輔助函數(shù)，把不等式證明轉化為利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性或求最值，從而解決問題。例1 證明不等式 證明 設則令而時， 所以在上為減函數(shù)時在上為增函數(shù)所以時取得最小值

16、從而時恒成立，即恒成立。例2 已知函數(shù) ，定義在區(qū)間上 且求證： 證明 令則 由 得 所以在 上遞增在 上遞減在 上遞增因為 是定義在 上的三次函數(shù)所以 在上遞減，在 上遞增所以由解上題可以看出利用導數(shù)解不等式，可使困難的、無從下手的問題得以解決。5 導數(shù)在解決實際問題方面的應用 一些以函數(shù)為背景的實際問題，可通過函數(shù)建立模型轉化為利用導數(shù)法解決的最值問題。例1 用長為90cm 寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，現(xiàn)在四角分別截去一個小正方形，然后把四邊反轉90角，再焊接而成，問該容器的高位多少時，容器的容積最大？最大容積是多少？解 設容器的高為，容器的體積為 則 令 所以時 例2 設圓

17、的半徑r，面積為s。試求周長c與面積s之間的關系并作出幾何解釋。解 因為s=r，將s看作r的函數(shù)，則圓面積s對半徑r求導得 （圓的周長）由此可知圓的面積相對半徑r的導數(shù)就等于半徑為r的圓的周長。對于這個結果，從幾何上我們可以作如下解釋：由半徑為r的增量r所引起的圓面積s的增量s等于圓環(huán)的面積，我們沿著線段ab把這個環(huán)截斷，并把它想象成橡皮的可以拉長、壓縮，由此可得兩個矩形：壓縮外面的圓周可得到一個邊長等于內周長c的矩形。拉長里面的圓周可得到一個邊長等于圓周長c的矩形兩個矩形的寬均等于r顯然圓環(huán)的面積s大于第一個矩形的面積，而小于第二個矩形的面積。即，不等式兩邊同除以，如果，則由不等式，可知，而

18、 （即=） 事實上大家知道，導數(shù)數(shù)就是函數(shù)相對于自變量的變化率，對圓的面積s相對于半徑r求導，就是求半徑為r時圓面積的變化率，這個變化率實際上就是半徑為r時的圓周長?？臻g有中心的圖形是否具有上述有中心的平面圖形的相應性質呢？現(xiàn)在我們就用常見的立體圖形球形的體積與表面積或體積與側面積之間的關系來說明空間情形也具有這樣的性質。6 導數(shù)在其他方面的應用在中學數(shù)學中，數(shù)列與導數(shù)、向量、三角與導數(shù)的綜合題，題目新穎，但難度不大，準確應用導數(shù)知識是解該題的關鍵。此外，數(shù)列與函數(shù)的關系，用導數(shù)解決極為簡便。例1 已知數(shù)列 的首項， 前 項和為 且 令 求函數(shù) 在點 處的導數(shù) 解 因為所以 例2 已知向量，令是否存在實數(shù) 使 （其中 是 的導函數(shù)）？若存在，則求出 的值；若不存在則證明之。 解 令 即： 可得，所以存在實數(shù)使例3 求證：對于一切成立.分析 在區(qū)間內考慮函數(shù)：，于是問題轉化為求證，只要證明在所指區(qū)間內是減函數(shù)，(因為)證明 設，于是 因為 故 由于時， 有 ，且故 即在內是減函數(shù).由， 所以 故 注 在此不等式中，令，可以得到中學數(shù)學中常見的一些不等式：.這三題雖然難度系數(shù)不大，但是運用導數(shù)進行計算就變得更加簡便了。結論 從解決上述五個方面的應用中