第六章第2節(jié)定積分在幾何

1、第六章第2節(jié)定積分在幾何1定積分在幾何上的應(yīng)用第二節(jié)一、平面圖形的面積二、體積三、平面曲線弧長(zhǎng)四、小結(jié)及作業(yè)第六章第2節(jié)定積分在幾何21、直角坐標(biāo)系情形xyo)(xfy abdxxx曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfA)(一、平面圖形的面積第六章第2節(jié)定積分在幾何3xyo)(1xfy )(2xfy ab曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfxfA)()(12如果圖形是由兩條曲線圍成xdxx:微元法微元法為積分變量為積分變量取取x)(1bxa求微元在典型區(qū)間,)2(dxxxdxxfxfdA)()(12積分積分)(3第六章第2節(jié)定積分在幾何4例例 1 1 計(jì)計(jì)算算由由兩兩條條拋拋物物線

2、線xy 2和和2xy 所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積.解解兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn))1 , 1()0 , 0(dxxxdA)(2, 10 xdxxxA)(21010333223xx.312xy 2yx 求面積元素求面積元素上上在典型區(qū)間在典型區(qū)間,)(dxxx2為積分變量為積分變量取取x)(1積積分分)(3第六章第2節(jié)定積分在幾何5例例 3 3 計(jì)計(jì)算算由由曲曲線線xy22 和和直直線線4 xy所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積.解解兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn)).,(),(4822 422xyxy選選 為積分變量為積分變量y,42ydyyydA242.)(182442242dyyydAA

3、xy224 xy22yx 4yx第六章第2節(jié)定積分在幾何6:圖圖如果曲線圍成的面積如如果曲線圍成的面積如xyo)(yx )(yx cd:微元法微元法,)dycy為積分變量為積分變量取取1上上求求微微元元在在,)dyyy2ydyydyyydA)()( 積分積分)3dyyyAdc)()( 第六章第2節(jié)定積分在幾何7例例 3 3 計(jì)計(jì)算算由由曲曲線線xy22 和和直直線線4 xy所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積.解解兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn)).,(),(4822 422xyxy選選 為積分變量為積分變量y,42ydyyydA242.)(182442242dyyydAAxy224 xy22yx 4

4、yx第六章第2節(jié)定積分在幾何8如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程 )()(tytx 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積.)()(21 ttdtttA （其其中中1t和和2t對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)曲曲線線起起點(diǎn)點(diǎn)與與終終點(diǎn)點(diǎn)的的參參數(shù)數(shù)值值 在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，)(ty 連連續(xù)續(xù). ) 第六章第2節(jié)定積分在幾何9例例 4 4 求橢圓求橢圓12222 byax的面積的面積.解解橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程 tbytaxsincos由對(duì)稱(chēng)性知總面積等于由對(duì)稱(chēng)性知總面積等于4倍第一象限部分面積倍第一象限部分面積 aydxA04 02)cos(sin

5、4tatdbdttab 202sin4.ab 第六章第2節(jié)定積分在幾何10例例5.5. 求由擺線)cos(, )sin(tayttax1)0( a的一拱與 x 軸所圍平面圖形的面積 .解解:tdta2022)cos1 (tdta20422sin4令2tu udua42sin8udua042sin162216a4321223 a0aydxA 20dttata)cos()cos(1120 xyoa 2第六章第2節(jié)定積分在幾何112、極坐標(biāo)系情形系關(guān)系：、直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)) 1 sincosryrx122 yx1rxyx422xyo4222yx)( cos4r第六章第2節(jié)定積分在幾何12 設(shè)由曲線

6、設(shè)由曲線)( r及射線及射線 、 圍成一曲邊扇形，圍成一曲邊扇形，求其面積求其面積 xo d d ddA221)(曲邊扇形的面積曲邊扇形的面積.)( dA2212)、極坐標(biāo)系下求面積)( r:微元法微元法,)( 為積分變量為積分變量取取1上求面積元素上求面積元素在在,)( d2積分積分)(3第六章第2節(jié)定積分在幾何13解解 dadA22121)cos( 利用對(duì)稱(chēng)性知利用對(duì)稱(chēng)性知.223a d d2)cos1( 02212aA d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0第六章第2節(jié)定積分在幾何14解解由對(duì)稱(chēng)性知總面積由對(duì)稱(chēng)性知總面積=4倍第倍第一象限部分面積一象限部分面積

7、14AA daA2214402cos.2axy 222cosa1A第六章第2節(jié)定積分在幾何1510例例及及求求由由四四條條曲曲線線 cos,cos84rr圍成圖形的面積圍成圖形的面積34 ,:解解 cos4rxyx422 cos8rxyx822,34 為為積積分分變變量量取取面積元素面積元素 cos4rxyo cos8r ddA)cos()cos(224821積分積分 dA34224821)cos()cos(633 第六章第2節(jié)定積分在幾何16 旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)

8、軸圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺(tái)圓臺(tái)1、旋轉(zhuǎn)體的體積二、體積第六章第2節(jié)定積分在幾何17一般地，一般地，1)、如果旋轉(zhuǎn)體是由、如果旋轉(zhuǎn)體是由)(xfy 、直線、直線ax 、bx 及及 x軸所圍成的曲邊梯形繞軸所圍成的曲邊梯形繞 x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為多少？軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為多少？ dxxfdV2)( 旋轉(zhuǎn)體的體積為旋轉(zhuǎn)體的體積為dxxfdxyVbaba22)( xyoab)(xfy :微元法微元法,)(bxax為為積積分分變變量量取取1上上求求微微元元在在,)(dxxx2xdxx 積分積分)(3第六章第2節(jié)定積分在幾何18y例例 1 1 連接坐標(biāo)原點(diǎn)連接坐標(biāo)原點(diǎn)O及點(diǎn)及點(diǎn)),(rhP的

9、直線、直線的直線、直線hx 及及x軸圍成一個(gè)直角三角形將它繞軸圍成一個(gè)直角三角形將它繞 x軸軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)底半徑為旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)底半徑為 r、高為、高為 h的圓錐體，的圓錐體，計(jì)算圓錐體的體積計(jì)算圓錐體的體積 r解解hPxhry 取取積積分分變變量量為為x，, 0hx 在在, 0h上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間,dxxx ，xo直線直線 方程為方程為OP第六章第2節(jié)定積分在幾何19以以dx為底的窄邊梯形繞為底的窄邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片的軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片的體積為體積為dxxhrdV2 圓錐體的體積圓錐體的體積dxxhrVh20 hxhr03223 .32hr yrhPxo第六章第2節(jié)定積分在幾何20

10、a aoyx例例 2 2 求星形線求星形線323232ayx )0( a繞繞x軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積.解解,323232xay 332322 xay,aax 旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積dxxaVaa33232 .105323a 第六章第2節(jié)定積分在幾何213例例橢球體積橢球體積軸旋轉(zhuǎn)形成的軸旋轉(zhuǎn)形成的繞繞計(jì)算橢圓計(jì)算橢圓xbyax12222xyo:解解上半圓方程上半圓方程22xaabyaxax,)( 取積分變量為取積分變量為1aa上上求求微微元元在在,)(dxxx2xdxx dxydV2 dxxaab)(2222 積分積分)(3dxxaabVaa)(2222 234ab :

11、注注Vy軸旋轉(zhuǎn)，軸旋轉(zhuǎn)，、若繞、若繞1ba234 3342aVba 時(shí)時(shí)，、當(dāng)當(dāng)?shù)诹碌?節(jié)定積分在幾何22 2) 、 如 果 旋 轉(zhuǎn) 體 是 由 連 續(xù) 曲 線、 如 果 旋 轉(zhuǎn) 體 是 由 連 續(xù) 曲 線)(yx 、直線、直線cy 、dy 及及y軸所圍成軸所圍成的曲邊梯形繞的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為積為 xyo)(yx cddyy2)( dcV:微元法微元法,)(dycy為積分變量為積分變量取取1上求微元上求微元在在,)(dyyy2ydyy dyydV2)( 積積分分)(3dyy2)( dcV第六章第2節(jié)定積分在幾何234例例.,軸旋轉(zhuǎn)的體積軸旋轉(zhuǎn)的

12、體積繞繞所圍成的圖形所圍成的圖形求由求由yxyxy022xyo2xy :解解2xy yx dyyVba2)( ydy20 2第六章第2節(jié)定積分在幾何24例例 5 5 求求擺擺線線)sin(ttax ，)cos1(tay 的的一一拱拱與與0 y所所圍圍成成的的圖圖形形分分別別繞繞x軸軸、y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)構(gòu)構(gòu)成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積. 解解繞繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積dxxyVax)(220 2022)cos1()cos1(dttata 20323)coscos3cos31(dtttta.532a a 2a )(xy第六章第2節(jié)定積分在幾何25繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體

13、積積可看作平面圖可看作平面圖OABC與與OBC分別繞分別繞y軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積之差軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積之差.dyyxVay)(2202 dyyxa)(2201 oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 222sin)sin(tdtatta 022sin)sin(tdtatta 2023sin)sin(tdttta.633a 第六章第2節(jié)定積分在幾何26例例 6 6 求求由由曲曲線線24xy 及及0 y所所圍圍成成的的圖圖形形繞繞直直線線3 x旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)構(gòu)構(gòu)成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積. 解解取取積積分分變變量量為為y,4 , 0 y體積元素為體積元素為dyQMPMdV22 dyyy

14、)()(224343 ,dyy412 dyyV40412 . 643dyPQM第六章第2節(jié)定積分在幾何272、平行截面面積為已知的立體的體積、平行截面面積為已知的立體的體積(2.) ,( ),x xdxdVA x dx在上求微元.)( badxxAV),(xA的面積為的面積為已知一立體的平行截面已知一立體的平行截面:則立體的體積為則立體的體積為xyoabx微元法微元法bxax,)(為積分變量為積分變量取取1dxx)(xA積分積分)(3.)( badxxAV第六章第2節(jié)定積分在幾何28例例 8 8 一一平平面面經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò)半半徑徑為為R的的圓圓柱柱體體的的底底圓圓中中心心，并并與與底底面面交交成成角

15、角 ，計(jì)計(jì)算算這這平平面面截截圓圓柱柱體體所所得得立立體體的的體體積積. RR xyo解解 取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖底圓方程為底圓方程為222Ryx垂垂直直于于x軸軸的的截截面面為為直直角角三三角角形形x截面面積截面面積,tan)()( 2221xRxA立體體積立體體積dxxRVRR tan)(2221.tan 332R第六章第2節(jié)定積分在幾何29例例 9 9 求求以以半半徑徑為為R的的圓圓為為底底、平平行行且且等等于于底底圓圓半半徑徑的的線線段段為為頂頂、高高為為h的的正正劈劈錐錐體體的的體體積積. 解解取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖底圓方程為底圓方程為,222RyxxyoRx垂垂直直于于x軸軸的

16、的截截面面為為等等腰腰三三角角形形截面面積截面面積22xRhyhxA)(立體體積立體體積dxxRhVRR22. hR221 第六章第2節(jié)定積分在幾何30垂直 軸的截面是橢圓11122222222)()(axaxczby例例10. . 計(jì)算橢球面1222222czbyax所圍立體(橢球)的體積 .解解:它的面積為)()(221axbcxA 因此橢球體體積為xdbcax)(221 bc 20abca 34特別當(dāng) a = b = c 時(shí)就是球體體積 .)(axaaV02x233axxyzaax第六章第2節(jié)定積分在幾何3111例例與與一平面圖形是由拋物線一平面圖形是由拋物線22 yx軸所圍成，軸所圍成

17、，軸、軸、處的法線及處的法線及過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)yxA),( 13;)( 求此平面圖形的面積求此平面圖形的面積1:解解xyo23AB22 yxydydx2ydxdy212113yxdxdykA的切線斜率的切線斜率點(diǎn)點(diǎn)處的法線方程處的法線方程曲線在點(diǎn)曲線在點(diǎn)A)(321xy072yx),( 70點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為B.)(軸旋轉(zhuǎn)體的體積軸旋轉(zhuǎn)體的體積軸及軸及求此平面圖形繞求此平面圖形繞yx2第六章第2節(jié)定積分在幾何32xy3212334o23AB),( 70072 yx22 yxdxxdxxVx232230227)()( 2105yVdyydyy1022271)2()27( 15823dxxA32223) 1

18、7(第六章第2節(jié)定積分在幾何33xoy0MA nMB 1M2M1 nM設(shè)設(shè)A、B是是曲曲線線弧弧上上的的兩兩個(gè)個(gè)端端點(diǎn)點(diǎn)，在在弧弧上上插插入入分分點(diǎn)點(diǎn)BMMMMMAnni ,110并并依依次次連連接接相相鄰鄰分分點(diǎn)點(diǎn)得得一一內(nèi)內(nèi)接接折折線線，當(dāng)當(dāng)分分點(diǎn)點(diǎn)的的數(shù)數(shù)目目無(wú)無(wú)限限增增加加且且每每個(gè)個(gè)小小弧弧段段都都縮縮向向一一點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)，此此折折線線的的長(zhǎng)長(zhǎng)|11 niiiMM的的極極限限存存在在，則則稱(chēng)稱(chēng)此此極極限限為為曲曲線線弧弧AB的的弧弧長(zhǎng)長(zhǎng).三、平面曲線弧長(zhǎng)第六章第2節(jié)定積分在幾何34 設(shè)曲線弧為設(shè)曲線弧為)(xfy )(bxa ，其中，其中)(xf在在,ba上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)

19、xoyabxdxx 取積分變量為取積分變量為x，在，在,ba上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間,dxxx ，以對(duì)應(yīng)小切線段的長(zhǎng)代替小弧段的長(zhǎng)以對(duì)應(yīng)小切線段的長(zhǎng)代替小弧段的長(zhǎng) dy小小切切線線段段的的長(zhǎng)長(zhǎng)22)()(dydx dxy21 弧長(zhǎng)元素弧長(zhǎng)元素dxyds21 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng).12dxysba 1、直角坐標(biāo)情形第六章第2節(jié)定積分在幾何35解解,21xy dxxds2)(121 ,1dxx 所求弧長(zhǎng)為所求弧長(zhǎng)為dxxsba 1.)1()1(322323ab ab第六章第2節(jié)定積分在幾何36例例 2 2 計(jì)計(jì)算算曲曲線線 dnynx 0sin的的弧弧長(zhǎng)長(zhǎng))0( nx.解解nnxny1sin ,sinnx d

20、xysba 21dxnxn 0sin1ntx ndtt 0sin1dtttttn 0222cos2sin22cos2sindtttn 022cossin.4n 第六章第2節(jié)定積分在幾何37曲線弧為曲線弧為,)()( tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù).22)()(dydxds 222)()(dttt dttt)()(22 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng).)()(22dttts 2、參數(shù)方程情形第六章第2節(jié)定積分在幾何38例例 3 3 求星形線求星形線323232ayx )0( a的全長(zhǎng)的全長(zhǎng).解解 星形線的參數(shù)方程為星形線的參數(shù)方程為taytax33sincos)20( t根據(jù)對(duì)稱(chēng)性根據(jù)對(duì)稱(chēng)性14ss dtyx 20224dttta 20cossin34.6a xyo第六章第2節(jié)定積分在幾何39曲線弧