橢圓環(huán)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的求解

1、DOC格式論文，方便您的復(fù)制修改刪減橢圓環(huán)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的求解（作者：?jiǎn)挝唬亨]編：）【摘要】 運(yùn)用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義計(jì)算出橢圓環(huán)剛體繞長(zhǎng)軸和短 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，然后用正交軸定理計(jì)算橢圓環(huán)剛體繞垂直與環(huán)平面且 通過(guò)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?！娟P(guān)鍵詞】 橢圓環(huán)；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；橢圓積分； 正交軸定理文獻(xiàn)1是對(duì)圓環(huán)剛體繞垂直與環(huán)平面且通過(guò)中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣 量進(jìn)行了計(jì)算，那么橢圓環(huán)剛體繞垂直與環(huán)平面且通過(guò)中心軸旋轉(zhuǎn)的 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是怎樣的？ 1橢圓環(huán)繞長(zhǎng)軸和短軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)量為m均勻分布的橢圓環(huán)剛體如圖1,線質(zhì)量密度為入，現(xiàn)建立直角坐標(biāo)系 Oxyz,Oz軸垂直于橢圓環(huán)面指向外，由文獻(xiàn)2知，其橢圓參數(shù)方程 為 x=acos 0y

2、=bsin 0圖1 （略）令0 = n /2- ，代入上式有x=acos 0y=bsin 0 (1)a為長(zhǎng)半軸,b為短半軸,那么dx=acos d dy=-bsin d 橢圓偏心率k=a2-b2/a由于對(duì)稱性，橢圓周長(zhǎng)為：L二腕 dL=(dx)2+(dy)2=4/n /20a2cos2 +b2sin2 d =4a/n /201-k2sin2 d =4aE(k)式中E(k)= /n /201-k2sin2 d (2)為第二類全橢圓積分.則橢圓環(huán)質(zhì)量線密度為:入=dm/dL=m/L=m/4aE(k)(3)1.1計(jì)算橢圓環(huán)繞長(zhǎng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義和如圖1中P處質(zhì)量元知，橢圓環(huán)繞長(zhǎng)軸(Ox 軸)

3、的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量lx二腕y2dm=b2cos2 入 dL=4 入 ab2/n /20cos2 1-k2sin2 d =4 入 ab2 (4)fn /201-sin2 1-k2sin2 d(sin )=4 入 ab2f 101-u2 1-k2u2du式(4)中令u=sin 代入積分項(xiàng)，該項(xiàng)寫為f 101-u2 1-k2u2du= f 10(1-u2)1-k2u2 1-u2du=f 101-k2u2 1-u2du- f 10u21-k2u2 1-u2du=fn /201-k2sin2 d +f 101-k2u2k( 1-u2)=E(K)+ : u1-k2u2 1-u2 10- f 10 : 1-u2(1

4、-k2u2-k2u21-k2u2) du (5)式(5)中第一項(xiàng)積分式為第二類全橢圓積分，整理中用了分部積分法，則上式可寫為：f 101-u2 1-k2u2du=E(k)- f 101-u2 1-k2u2du- f 101-u2(1-k2u2)-11-k2u2du=E(k)-2 f 101-u2 1-k2u2du+ f 101-u21-k2u2du=E(K)-2 f 101-u2 1-k2u2du+ f 10(1-u2)1-u2 1-k2u2du=E(k)-2 f 101-u2 1-k2u2du+ f 1011-u2 1-k2u2du+f 10(1-k2u2)-1k21-u2 1-k2u2du

5、=E(k)-2 f 101-u2 1-k2u2du+F(k)+1k2 f 101-k2u2 1-u2du- f1011-u2 1-k2u2du 二E(k)-2 j 101-u2 1-k2u2du+F(k)+1k2E(k)-1k2F(k) (6)式(6)中F(k)= j 1011-u2 1-k2u2du = jn /20d 1-k2sin2 為第一類全橢圓積分。式(6)整理可得出：j 101-u2 1-k2u2du=13k2 : (k2+1)E(k)+(k2-1)F(k) (7)把式 代入式 積分項(xiàng)中，得出橢圓環(huán)繞長(zhǎng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：Ix=mb23k2 : (k2+1)+(k2-1)F(k)E(k

6、) (8)1.2計(jì)算橢圓環(huán)繞短軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量同理從圖1中可計(jì)算出橢圓環(huán)繞短軸(Oy軸)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量ly= x2dm=a2sim2 入 dL=4 入 a3 jn /20s in2 1-k2s in2 d (9)從式和可知jn /20cos2 1-k2si n2 d =13k2 : (k2+1)E(k)+(k2-1)F(k) (10)那么fn /20sin2 1-k2sin2 d =fn /201-k2s in2 d - fn /20cos2 1-k2s in2 d =13k2 : (2k2+1)E(k)-(k2-1)F(k) (11)把式(11)代入式(9)化簡(jiǎn)得Iy=ma23k2 : (2k2+1)-(k2-1)F(k)E(k) (12)式(12)為橢圓環(huán)繞短軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。2用垂直正交軸定理計(jì)算橢圓環(huán)繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量根據(jù)文獻(xiàn)3知垂直正交軸定理，橢圓環(huán)剛體繞垂直與環(huán)平面且通過(guò)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：Iz=Ix+Iy=mb23k2 : (k2+1)+(k2-1)F(k)E(k) +ma23k2:(2k2+1)-(k2-1)F(k)E(k) (13)3結(jié)論 橢圓環(huán)剛體繞長(zhǎng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為式(8); 橢圓環(huán)剛體繞短軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為式(12); 橢圓環(huán)剛體繞垂直與環(huán)平面且通過(guò)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為式(13)?！緟⒖嘉墨I(xiàn)】1 祝之光.