1第二章 靜電場(chǎng)

1、第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 本章研究的主要問(wèn)題：本章研究的主要問(wèn)題：本章內(nèi)容：本章內(nèi)容： 電磁場(chǎng)的基本理論應(yīng)用到最簡(jiǎn)單的情電磁場(chǎng)的基本理論應(yīng)用到最簡(jiǎn)單的情況：電荷靜止，相應(yīng)的電場(chǎng)不隨時(shí)間而變況：電荷靜止，相應(yīng)的電場(chǎng)不隨時(shí)間而變化的情況?；那闆r。 在給定的自由電荷分布以及周圍空間在給定的自由電荷分布以及周圍空間介質(zhì)和導(dǎo)體分布的情況下，求解靜電場(chǎng)。介質(zhì)和導(dǎo)體分布的情況下，求解靜電場(chǎng)。1. 引入標(biāo)勢(shì)及其微分方程和邊值關(guān)系引入標(biāo)勢(shì)及其微分方程和邊值關(guān)系2. 唯一性定理唯一性定理3. 分離變量法分離變量法4. 鏡像法鏡像法5. 格林函數(shù)法格林函數(shù)法本章具體內(nèi)容：本章具體內(nèi)容：t BEtDHJ D0 B

2、DE00BJHDE02.1 靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)及其微分方程靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)及其微分方程若場(chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān)若場(chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān)所以靜電場(chǎng)的理論基礎(chǔ)就是：所以靜電場(chǎng)的理論基礎(chǔ)就是：)(ED靜電場(chǎng)的無(wú)旋性是它的一個(gè)重要特性，由于無(wú)旋靜電場(chǎng)的無(wú)旋性是它的一個(gè)重要特性，由于無(wú)旋性，電場(chǎng)強(qiáng)度性，電場(chǎng)強(qiáng)度E可以用一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度來(lái)表示，可以用一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度來(lái)表示，和力學(xué)中用勢(shì)函數(shù)描述保守力場(chǎng)的方法一樣。和力學(xué)中用勢(shì)函數(shù)描述保守力場(chǎng)的方法一樣。一、靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)一、靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)1. 電勢(shì)差和電勢(shì)電勢(shì)差和電勢(shì)0E12CCddlElE所以，靜電場(chǎng)對(duì)電荷作功與路徑無(wú)關(guān)。所以，靜電場(chǎng)對(duì)電荷作功與路徑無(wú)關(guān)。設(shè)設(shè)C1和和C2為連接為連接P1

3、和和P2點(diǎn)的兩條不同路徑，則點(diǎn)的兩條不同路徑，則d0LEl將單位正電荷由將單位正電荷由P1點(diǎn)移到點(diǎn)移到P2點(diǎn)，電場(chǎng)對(duì)它所作的點(diǎn)，電場(chǎng)對(duì)它所作的功為：功為：21PPdlE這功就定義為這功就定義為P1和和P2兩點(diǎn)之間的電勢(shì)差。即兩點(diǎn)之間的電勢(shì)差。即21PP21d)()(lEPP0)(2P如果如果，則，則零121PPP1dd)(lElEP)(1P和和)(2P分別為分別為P1點(diǎn)和點(diǎn)和P2點(diǎn)的電勢(shì)。點(diǎn)的電勢(shì)。所以任意一點(diǎn)所以任意一點(diǎn)P的電勢(shì)為的電勢(shì)為零Pd)(lEP注意：注意：(1) 由定義，只有兩點(diǎn)的電勢(shì)差才有物理意義，由定義，只有兩點(diǎn)的電勢(shì)差才有物理意義，某點(diǎn)上的電勢(shì)的絕對(duì)數(shù)值是沒(méi)有物理意義的。某點(diǎn)

4、上的電勢(shì)的絕對(duì)數(shù)值是沒(méi)有物理意義的。(2) 某點(diǎn)電勢(shì)的具體數(shù)值與零勢(shì)點(diǎn)的選擇有關(guān)，某點(diǎn)電勢(shì)的具體數(shù)值與零勢(shì)點(diǎn)的選擇有關(guān)，所以必須指明零勢(shì)點(diǎn)的位置。所以必須指明零勢(shì)點(diǎn)的位置。(3) 零勢(shì)零勢(shì)點(diǎn)的選擇是任意的，在電荷分布于點(diǎn)的選擇是任意的，在電荷分布于有限有限區(qū)域區(qū)域的情況下，可以選的情況下，可以選無(wú)窮遠(yuǎn)無(wú)窮遠(yuǎn)的電勢(shì)為的電勢(shì)為零。零。(4) 一個(gè)具體問(wèn)題中只能選一個(gè)一個(gè)具體問(wèn)題中只能選一個(gè)零勢(shì)零勢(shì)點(diǎn)。點(diǎn)。2. 電勢(shì)與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系電勢(shì)與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系(1) 任意一點(diǎn)任意一點(diǎn)P的電勢(shì)的電勢(shì)零Pd)(lEP給出了電勢(shì)給出了電勢(shì)與電場(chǎng)強(qiáng)度的積分關(guān)系，例如：真空中點(diǎn)電荷與電場(chǎng)強(qiáng)度的積分關(guān)系，例如：真空中點(diǎn)

5、電荷激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度為激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度為304QrrE所以，若取無(wú)限遠(yuǎn)處電勢(shì)為零。則任意一點(diǎn)的所以，若取無(wú)限遠(yuǎn)處電勢(shì)為零。則任意一點(diǎn)的電勢(shì)為：電勢(shì)為：RQrrQPR020P4d4d)(零lE同樣，點(diǎn)電荷組產(chǎn)生的電勢(shì)為：同樣，點(diǎn)電荷組產(chǎn)生的電勢(shì)為：iiirQP04)(連續(xù)分布的電荷系統(tǒng)：連續(xù)分布的電荷系統(tǒng)：Vrd4)()(0 xxE所以所以 由以上討論可知，若空間中所有電荷分布都由以上討論可知，若空間中所有電荷分布都給定，則電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)均可求出。但實(shí)際情況給定，則電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)均可求出。但實(shí)際情況往往并不是所有電荷都能預(yù)先給定，因此，必須往往并不是所有電荷都能預(yù)先給定，因此，必須求電荷與電場(chǎng)相互作

6、用的微分方程。求電荷與電場(chǎng)相互作用的微分方程。(2) 電勢(shì)與電場(chǎng)強(qiáng)度的微分關(guān)系電勢(shì)與電場(chǎng)強(qiáng)度的微分關(guān)系21PP21d)()(lEPP由由可得：可得：lExlxd)()d(ddddddxyzxyz l而而二、靜電勢(shì)的微分方程和邊值關(guān)系二、靜電勢(shì)的微分方程和邊值關(guān)系這就是泊松方程。這就是泊松方程。其中其中為自由電荷密度。為自由電荷密度。1. 泊松（泊松（Poisson)方程方程在均勻各向同性線性介質(zhì)中有：在均勻各向同性線性介質(zhì)中有：，ED將上式代入將上式代入 D得：得：2泊松方程是靜電勢(shì)滿足的基本微分方程。給出泊松方程是靜電勢(shì)滿足的基本微分方程。給出邊界條件就可以確定電勢(shì)邊界條件就可以確定電勢(shì)的解

7、。在數(shù)學(xué)上的解。在數(shù)學(xué)上這稱為邊值問(wèn)題。這稱為邊值問(wèn)題。2. 邊值關(guān)系的一般形式邊值關(guān)系的一般形式將電場(chǎng)的邊值關(guān)系將電場(chǎng)的邊值關(guān)系在兩介質(zhì)界面上，電勢(shì)在兩介質(zhì)界面上，電勢(shì)必須滿足邊值關(guān)系。必須滿足邊值關(guān)系。)(0)(1212DDnEEn化為用電勢(shì)表示的邊值關(guān)系。化為用電勢(shì)表示的邊值關(guān)系。如圖把電荷沿法線方向移動(dòng)如圖把電荷沿法線方向移動(dòng)時(shí)，切線分量不做功。沿法線方向做功也趨于零。時(shí)，切線分量不做功。沿法線方向做功也趨于零。21該式與該式與0)(12EEn等價(jià)。等價(jià)。)(12DDn將將ED代入另一邊值關(guān)系代入另一邊值關(guān)系得：得：)(1122n即：即：nn1122nn221121n從從1指向指向2界

8、面上靜電勢(shì)的邊值關(guān)系界面上靜電勢(shì)的邊值關(guān)系 導(dǎo)體內(nèi)部不帶電，電荷只能分布于導(dǎo)體表面上；導(dǎo)體內(nèi)部不帶電，電荷只能分布于導(dǎo)體表面上；導(dǎo)體有它的特殊性，在導(dǎo)體表面上的邊值關(guān)系有導(dǎo)體有它的特殊性，在導(dǎo)體表面上的邊值關(guān)系有它特點(diǎn)：它特點(diǎn)：設(shè)導(dǎo)體表面所帶電荷面密度為設(shè)導(dǎo)體表面所帶電荷面密度為，設(shè)它外面的介質(zhì)，設(shè)它外面的介質(zhì)電容率為電容率為，導(dǎo)體表面的邊界條件為，導(dǎo)體表面的邊界條件為3. 導(dǎo)體表面上的邊值關(guān)系導(dǎo)體表面上的邊值關(guān)系 導(dǎo)體內(nèi)部電場(chǎng)為零，導(dǎo)體表面上電場(chǎng)必沿法線導(dǎo)體內(nèi)部電場(chǎng)為零，導(dǎo)體表面上電場(chǎng)必沿法線 方向方向 ； 導(dǎo)體表面為等勢(shì)面，整個(gè)導(dǎo)體的電勢(shì)相等。導(dǎo)體表面為等勢(shì)面，整個(gè)導(dǎo)體的電勢(shì)相等。n常量常

9、量場(chǎng)的總能量可以用電荷和電勢(shì)表示，在線性介場(chǎng)的總能量可以用電荷和電勢(shì)表示，在線性介質(zhì)中靜電場(chǎng)的總能量為：質(zhì)中靜電場(chǎng)的總能量為：三、靜電場(chǎng)的能量三、靜電場(chǎng)的能量所以所以VWd21DEE D由由和和得得DDDDE)()( DVVWd )(21d21DP. 31P. 277附錄附錄I.19式中右邊第二項(xiàng)是散度的體積分，它可以化為面式中右邊第二項(xiàng)是散度的體積分，它可以化為面積分：積分：所以所以0dd)(SDDVVVVWd21d21積分區(qū)域積分區(qū)域V為為0的區(qū)域。的區(qū)域。注意：注意：(1) 上式只能用于計(jì)算靜電場(chǎng)的總能量。上式只能用于計(jì)算靜電場(chǎng)的總能量。(2)不是能量密度。不是能量密度。21解：解：因?yàn)?/p>

10、球內(nèi)電場(chǎng)為零，故只須對(duì)球外積分因?yàn)榍騼?nèi)電場(chǎng)為零，故只須對(duì)球外積分 222222202042(4)18811228aWr drrdrrQaQWdVa000QQQ例：例：求帶電量求帶電量Q 、半徑為、半徑為a的導(dǎo)體球的靜電場(chǎng)總的導(dǎo)體球的靜電場(chǎng)總能量。能量。 n作業(yè)作業(yè): P70 1 本節(jié)內(nèi)容將回答兩個(gè)問(wèn)題：本節(jié)內(nèi)容將回答兩個(gè)問(wèn)題： （1）要具備什么條件才能求解靜電問(wèn)題）要具備什么條件才能求解靜電問(wèn)題 （2）所求的解是否唯一）所求的解是否唯一 1、靜電問(wèn)題的唯一性定理靜電問(wèn)題的唯一性定理（1）有介質(zhì)存在的情況）有介質(zhì)存在的情況 把一個(gè)區(qū)域把一個(gè)區(qū)域V劃分為許多劃分為許多小區(qū)域小區(qū)域Vi，每一個(gè)小區(qū)域

11、內(nèi)介，每一個(gè)小區(qū)域內(nèi)介電常數(shù)為電常數(shù)為 ，它是各向同性的。，它是各向同性的。 每一個(gè)區(qū)域給定電荷分布每一個(gè)區(qū)域給定電荷分布iSVkVkiVijsdisdjjV ijSVxx , )(已知電勢(shì)滿足：已知電勢(shì)滿足： 在每個(gè)均勻區(qū)域中滿足在每個(gè)均勻區(qū)域中滿足 ，即有幾，即有幾 個(gè)區(qū)域就是幾個(gè)泊松方程。個(gè)區(qū)域就是幾個(gè)泊松方程。在各個(gè)均勻區(qū)域的交界面上，滿足：在各個(gè)均勻區(qū)域的交界面上，滿足：至此，要完全確定至此，要完全確定V內(nèi)電場(chǎng)，還必須給出區(qū)域邊界內(nèi)電場(chǎng)，還必須給出區(qū)域邊界S上的一些上的一些條件。這個(gè)問(wèn)題正是唯一性定理所要解決的，下面討論之。條件。這個(gè)問(wèn)題正是唯一性定理所要解決的，下面討論之。 ii2

12、jiijinn)()( , j 唯一性定理：唯一性定理： 設(shè)區(qū)域設(shè)區(qū)域V內(nèi)給定自由電荷分布內(nèi)給定自由電荷分布 在在V 的邊界的邊界S上給定上給定 （i）電勢(shì)）電勢(shì) 或或 （ii）電勢(shì)的法向?qū)?shù)）電勢(shì)的法向?qū)?shù) ， 則則V內(nèi)的電場(chǎng)唯一地被確定。內(nèi)的電場(chǎng)唯一地被確定。 SSn , )(x 討論區(qū)域是導(dǎo)體外空間討論區(qū)域是導(dǎo)體外空間V，即即V是由導(dǎo)體外表面是由導(dǎo)體外表面S1，S2及及S內(nèi)表面所圍成的空間，當(dāng)內(nèi)表面所圍成的空間，當(dāng)S在無(wú)窮在無(wú)窮遠(yuǎn)處時(shí)，所討論的區(qū)域就是導(dǎo)遠(yuǎn)處時(shí)，所討論的區(qū)域就是導(dǎo)體外的全空間體外的全空間V。約定：約定： 在無(wú)窮遠(yuǎn)處，電場(chǎng)為零，即在在無(wú)窮遠(yuǎn)處，電場(chǎng)為零，即在S面上面上 或者

13、表示成或者表示成 在此基礎(chǔ)上，把問(wèn)題分為兩類：在此基礎(chǔ)上，把問(wèn)題分為兩類：0S0SVS1S2（2）有導(dǎo)體存在的情況）有導(dǎo)體存在的情況A類問(wèn)題：類問(wèn)題：已知區(qū)域已知區(qū)域V中電荷分布中電荷分布 ，及所有，及所有 導(dǎo)體的形狀和排列；每個(gè)導(dǎo)體的電勢(shì)都導(dǎo)體的形狀和排列；每個(gè)導(dǎo)體的電勢(shì)都 給定。給定。B類問(wèn)題：類問(wèn)題：已知區(qū)域已知區(qū)域V中電荷分布中電荷分布 ，及所有導(dǎo)體的形狀和排，及所有導(dǎo)體的形狀和排列；每個(gè)導(dǎo)體的總電荷都給定。列；每個(gè)導(dǎo)體的總電荷都給定。因?yàn)閷?dǎo)體面就是邊界面，因此上述導(dǎo)體的電勢(shì)或者因?yàn)閷?dǎo)體面就是邊界面，因此上述導(dǎo)體的電勢(shì)或者總電荷就是邊界條件。總電荷就是邊界條件。 )(x)(x本章的基本

14、問(wèn)題：本章的基本問(wèn)題：具體的工作：具體的工作：電場(chǎng)由電勢(shì)描述；電場(chǎng)由電勢(shì)描述；電勢(shì)滿足泊松方程電勢(shì)滿足泊松方程+邊界條件。邊界條件。解泊松方程解泊松方程只有在界面形狀是比較簡(jiǎn)單的幾何曲面時(shí)，只有在界面形狀是比較簡(jiǎn)單的幾何曲面時(shí)，這類問(wèn)題的解才能以解析形式給出，而且視這類問(wèn)題的解才能以解析形式給出，而且視具體情況不同而有不同解法。具體情況不同而有不同解法。本節(jié)和以下幾節(jié)我們研究幾種求解的解析方法。本節(jié)和以下幾節(jié)我們研究幾種求解的解析方法。2.3 拉普拉斯方程拉普拉斯方程分離變量法分離變量法例如：例如： 電容器內(nèi)部的電場(chǎng)是由作為電極的兩個(gè)電容器內(nèi)部的電場(chǎng)是由作為電極的兩個(gè)導(dǎo)體板上所帶電荷決定的。導(dǎo)

15、體板上所帶電荷決定的。 電子光學(xué)系統(tǒng)的靜電透鏡內(nèi)部，電場(chǎng)是電子光學(xué)系統(tǒng)的靜電透鏡內(nèi)部，電場(chǎng)是由分布于電極上的自由電荷決定的。由分布于電極上的自由電荷決定的。這些問(wèn)題的特點(diǎn)是：這些問(wèn)題的特點(diǎn)是：自由電荷只出現(xiàn)在一些導(dǎo)體的表面上，在空自由電荷只出現(xiàn)在一些導(dǎo)體的表面上，在空間中沒(méi)有其他自由電荷分布。間中沒(méi)有其他自由電荷分布。在許多實(shí)際問(wèn)題中，靜電場(chǎng)是由帶電導(dǎo)體決定的在許多實(shí)際問(wèn)題中，靜電場(chǎng)是由帶電導(dǎo)體決定的一、拉普拉斯方程一、拉普拉斯方程如果我們選擇這些導(dǎo)體的表面作為區(qū)域如果我們選擇這些導(dǎo)體的表面作為區(qū)域V的邊界，則的邊界，則V 內(nèi)部自由電荷密度內(nèi)部自由電荷密度0，電勢(shì)所滿足的泊松方程，電勢(shì)所滿足的

16、泊松方程化為比較簡(jiǎn)單的情形：化為比較簡(jiǎn)單的情形：注意：區(qū)域內(nèi)（注意：區(qū)域內(nèi)（0）產(chǎn)生電場(chǎng)的電荷全部分布于）產(chǎn)生電場(chǎng)的電荷全部分布于V 的邊界上，他們的作用通過(guò)邊界條件反映出來(lái)。的邊界上，他們的作用通過(guò)邊界條件反映出來(lái)。所以，這類問(wèn)題可歸結(jié)為求所以，這類問(wèn)題可歸結(jié)為求拉普拉斯方程滿足邊界拉普拉斯方程滿足邊界條件的解。條件的解。02這就是拉普拉斯方程。這就是拉普拉斯方程。二、分離變量法二、分離變量法分離變量法就是將場(chǎng)量的函數(shù)表達(dá)式中不同坐分離變量法就是將場(chǎng)量的函數(shù)表達(dá)式中不同坐標(biāo)相互分離，即將場(chǎng)量分解為單一坐標(biāo)函數(shù)乘積的標(biāo)相互分離，即將場(chǎng)量分解為單一坐標(biāo)函數(shù)乘積的形式，求出通解。然后再根據(jù)給定的邊

17、界條件求出形式，求出通解。然后再根據(jù)給定的邊界條件求出實(shí)際問(wèn)題的的解。實(shí)際問(wèn)題的的解。不同坐標(biāo)系中拉氏方程的通解不同。不同坐標(biāo)系中拉氏方程的通解不同。mnmnnnmnnmmRbRaR,1cos)(cosP)(),(mnmnnnmnnmmRdRc,1sin)(cosP)(1. 球坐標(biāo)中的通解球坐標(biāo)中的通解anm, bnm, cnm, dnm為積分常數(shù)，在具體問(wèn)題中由邊為積分常數(shù)，在具體問(wèn)題中由邊界條件確定。界條件確定。nnnnnnRbRa)(cosP)(1若問(wèn)題具有軸對(duì)稱性，取此軸為極軸，通解為若問(wèn)題具有軸對(duì)稱性，取此軸為極軸，通解為Rba 若問(wèn)題具有球?qū)ΨQ性若問(wèn)題具有球?qū)ΨQ性，1cosP0，c

18、oscosP1其中其中2. 柱坐標(biāo)一般用于二維問(wèn)題柱坐標(biāo)一般用于二維問(wèn)題)(ln(0000DCrBA二維問(wèn)題的解：二維問(wèn)題的解：nnnnnnnnDnCrBrA)sincos)(或?qū)懗桑夯驅(qū)懗桑簉DCrBAlnln0000nnnnnBnAr）cossin(cossin(）nDnCrnnn若二維問(wèn)題又具有軸對(duì)稱性，則電勢(shì)與若二維問(wèn)題又具有軸對(duì)稱性，則電勢(shì)與無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)rBAln3. 分離變量法的解題步驟分離變量法的解題步驟 根據(jù)界面的形狀選擇適當(dāng)坐標(biāo)系。根據(jù)界面的形狀選擇適當(dāng)坐標(biāo)系。 建立坐標(biāo)系，寫(xiě)出場(chǎng)量所滿足的方程，寫(xiě)出通建立坐標(biāo)系，寫(xiě)出場(chǎng)量所滿足的方程，寫(xiě)出通解。解。 寫(xiě)出邊界條件和銜接條件寫(xiě)出邊

19、界條件和銜接條件(即：不同區(qū)域分界面即：不同區(qū)域分界面上上的邊值關(guān)系的邊值關(guān)系)。 根據(jù)定解條件，求出通解中的積分常數(shù)。根據(jù)定解條件，求出通解中的積分常數(shù)。 將將求出的積分常數(shù)代入通解表達(dá)式，得到實(shí)際求出的積分常數(shù)代入通解表達(dá)式，得到實(shí)際問(wèn)題的解。問(wèn)題的解。關(guān)鍵步驟：關(guān)鍵步驟： 充分利用對(duì)稱性，寫(xiě)出簡(jiǎn)單的通解。充分利用對(duì)稱性，寫(xiě)出簡(jiǎn)單的通解。 正確寫(xiě)出邊界條件，不能有遺漏。正確寫(xiě)出邊界條件，不能有遺漏。例例1 一個(gè)內(nèi)徑和外徑分別為一個(gè)內(nèi)徑和外徑分別為R2和和R3的導(dǎo)體球殼，的導(dǎo)體球殼，帶帶電荷電荷Q，同心地包圍一個(gè)半徑為，同心地包圍一個(gè)半徑為R1的導(dǎo)體球（的導(dǎo)體球（R1 R0）處有一點(diǎn)電荷）處

20、有一點(diǎn)電荷Q，求求空間各點(diǎn)的電勢(shì)空間各點(diǎn)的電勢(shì)（如圖）。（如圖）。例例2Q分析：分析： 電荷分布：一個(gè)點(diǎn)電荷。電荷分布：一個(gè)點(diǎn)電荷。邊界面：導(dǎo)體球面。邊界面：導(dǎo)體球面。求解區(qū)域：球面外區(qū)域。求解區(qū)域：球面外區(qū)域。已知電荷分布和界面電勢(shì)已知電荷分布和界面電勢(shì)(等于零等于零)，滿足唯一，滿足唯一性定理的要求，可以確定電勢(shì)。性定理的要求，可以確定電勢(shì)。電荷分布和電場(chǎng)分布：電荷分布和電場(chǎng)分布：點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷Q使導(dǎo)體表面使導(dǎo)體表面產(chǎn)生異號(hào)的感應(yīng)電荷。整產(chǎn)生異號(hào)的感應(yīng)電荷。整個(gè)電場(chǎng)是由個(gè)電場(chǎng)是由Q和和感應(yīng)電荷感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生的。共同產(chǎn)生的。由于導(dǎo)體表面是等勢(shì)面，所以電場(chǎng)線垂直于由于導(dǎo)體表面是等勢(shì)面，所以電場(chǎng)

21、線垂直于導(dǎo)體表面，而且電場(chǎng)具有軸對(duì)稱性。設(shè)用來(lái)代替導(dǎo)體表面，而且電場(chǎng)具有軸對(duì)稱性。設(shè)用來(lái)代替感應(yīng)電荷的假想電荷為感應(yīng)電荷的假想電荷為Q。問(wèn)題是：?jiǎn)栴}是：Q應(yīng)該放應(yīng)該放在什么位置？電量是多少？在什么位置？電量是多少？+Q根據(jù)電場(chǎng)的軸對(duì)稱性，根據(jù)電場(chǎng)的軸對(duì)稱性，Q必在對(duì)稱軸上，即在必在對(duì)稱軸上，即在Q到球心的連線上。設(shè)到球心的連線上。設(shè)Q到球心的距離為到球心的距離為b，以，以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為Z軸建立球坐標(biāo)系，軸建立球坐標(biāo)系，球外空間的球外空間的電勢(shì)為：電勢(shì)為： rQrQP041該式在導(dǎo)體表面應(yīng)滿足該式在導(dǎo)體表面應(yīng)滿足邊界條件：邊界條件：00 RR解：解：考慮球面上任

22、一點(diǎn)考慮球面上任一點(diǎn)P（如圖）（如圖）0rQrQ即對(duì)球面上任一點(diǎn)，應(yīng)有即對(duì)球面上任一點(diǎn)，應(yīng)有只要選只要選Q的位置，使的位置，使OPQOQP即可，此時(shí)即可，此時(shí)常數(shù)QQrr常數(shù)00RbaRrraRb20aRRb00aRQQrr0QaRQ0球外任一點(diǎn)球外任一點(diǎn)P的電勢(shì)為：的電勢(shì)為：cos2cos241 4122022000RbbRaQRRaaRQraQRrQ物理結(jié)果物理結(jié)果討論：討論：根據(jù)高斯定理，收斂于球根據(jù)高斯定理，收斂于球面的電通量為面的電通量為Q/0。Q為球?yàn)榍蛎娴目偢袘?yīng)電荷，它是受電荷面的總感應(yīng)電荷，它是受電荷Q的電場(chǎng)的吸引而從接地處傳的電場(chǎng)的吸引而從接地處傳至導(dǎo)體球上的。至導(dǎo)體球上的。

23、然而然而|Q|a2 )的電勢(shì)可以展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，積的電勢(shì)可以展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，積分的被積函數(shù)分母展開(kāi)分的被積函數(shù)分母展開(kāi)020300222232220222200( , )( )( )22cos()12cos()12()SaaG x xxxdsnVzR dRdRzRRRV zRRRR dRdRzRz 322315(1)128 其中其中注意到注意到cos(-)對(duì)對(duì)一個(gè)或數(shù)個(gè)一個(gè)或數(shù)個(gè)2周期的積分為零，周期的積分為零，故故222)cos(2zRRRR)(815431)(2)()cos(4)cos(4815)()cos(2231)(12)(222222223222022223422202023220zRa

24、RzRazRzaVzRRRRRRzRRRRzRdRdRzVxa222zyxRxxr222)()()(zzyyxx 在區(qū)域在區(qū)域 V 內(nèi)取一點(diǎn)內(nèi)取一點(diǎn) O 作為作為坐標(biāo)原點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)，以 R 表示由原點(diǎn)表示由原點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn) P 的距離，有：的距離，有：Oxx xxr P在一元函數(shù)在一元函數(shù)f (x)情況下，在原點(diǎn)情況下，在原點(diǎn)x=0鄰域的泰勒鄰域的泰勒級(jí)數(shù)為：級(jí)數(shù)為： )0(! 21)0()0()(2fxf xfxf如果在如果在x=a鄰域展開(kāi)，泰勒級(jí)數(shù)是：鄰域展開(kāi)，泰勒級(jí)數(shù)是： )(! 21)()()()()(2afaxafaxafxf對(duì)于三元函數(shù)對(duì)于三元函數(shù)f (x,y,z)，在原點(diǎn)，在原

25、點(diǎn) x =0, y =0, z=0鄰域鄰域的泰勒級(jí)數(shù)是：的泰勒級(jí)數(shù)是：)0 , 0 , 0()0 , 0 , 0()0 , 0 , 0()0 , 0 , 0(),(fzzfyyfxxfzyxf)0 , 0 , 0(! 212fzzyyxx如果在如果在x=a, y=b, z=c 點(diǎn)鄰域展開(kāi)，則展開(kāi)式為點(diǎn)鄰域展開(kāi)，則展開(kāi)式為),(),(cbafzyxf),()()()(! 212cbafzczybyxax),()()()(! 11cbafzczybyxax),(cbaf),()(cbafzcz),()(),()(222222cbafzczcbafyby),()(! 21222cbafxax),()

26、(),()(cbafybycbafxax),()(2),()(222cbafzyczbycbafyxbyax),()(22cbafxzaxcz有了以上泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式，用有了以上泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式，用1/r代替代替f (x)，因，因r是是 xx,的函數(shù)，即的函數(shù)，即xxr。把。把x場(chǎng)點(diǎn)固定不變。場(chǎng)點(diǎn)固定不變。而讓源點(diǎn)而讓源點(diǎn)x變化，并把變化，并把x在原點(diǎn)在原點(diǎn)O附近展開(kāi)，有附近展開(kāi)，有000011111( )( )( )xyzrrx ry rz rxxxx02220222)1()1(xxrzzryy 0222)1(! 21xrxx020202)1(2)1(2)1(2xxxrzzxzrzyzyryxy

27、x因?yàn)橐驗(yàn)閕jkxyz zzyyxx x，Rrx110Rrx110所以所以0000)1()1()1(1xxxxrzzryyrxxr又因?yàn)橛忠驗(yàn)樗运訰R11 xixjykzx從而得到從而得到VrV04d)()(xxVRxxxxRRjijijiV d 1! 2111 )(412,0 xxVVQd)(xVVd)(xxpVjiijVxxDd)(3x令：令：161141)(2,0RxxDRRQjiijjipx則則電荷體系激發(fā)的勢(shì)在遠(yuǎn)處的多極展開(kāi)式：電荷體系激發(fā)的勢(shì)在遠(yuǎn)處的多極展開(kāi)式：p稱為體系的電偶極矩，稱為體系的電偶極矩，張量張量Dij稱為體系的電四極矩。稱為體系的電四極矩。 231,21.2!1

28、.2!iijii jiijf xxf xxf xx xf xxx xf xxf xxf x xx 00( )( )4114VVxxdVrxdVxxRxx2,011111( )( ).42!iji jijVxxxx xdVRRx x R ( )( )3VVijijVQx dVpxx dVDx xx dV iiixqp Vpxx dV 3VDx xx dV xyzxyzAA iA jA kBB iB jB k.1:61141.161141.)(0,20)2()1()0(RDRpRQRxxDRpRQxjijiijRQ0)0(4Rp1410)1(RpRRpRlQRlRlRQRlRlRlRlRQlRlRlRlRQrrQ1414cos4cos21cos21441cos141cos14)2