二維形式的柯西不等式(一)

1、精品文檔你我共享知識(shí)改變命運(yùn)2 _ac bd .是兩個(gè)向量，則(由向量法提出 丿士嗎卩是零向量，或者。,乍共線)|.2.作業(yè)：教材P374、5題.第一課時(shí)3.1二維形式的柯西不等式(一)教學(xué)要求：認(rèn)識(shí)二維柯西不等式的幾種形式，理解它們的幾何意義，并會(huì)證明二維柯西不等式及向量形式.教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)證明二維柯西不等式及三角不等式教學(xué)難點(diǎn)：理解幾何意義.教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：1.提問： 二元均值不等式有哪幾種形式？答案：a b _ . ab (a 0,b 0)及幾種變式.22.練習(xí)：已知 a、b、c、d 為實(shí)數(shù)，求證(a2 b2)(c2 d2(ac bd)2證法：(比較法)(a2+b2)(c2+d2)

2、 _(ac+bd)2 =：=(adbe)2 30二、講授新課：1.教學(xué)柯西不等式： 提出定理 1：若 a、b、c、d 為實(shí)數(shù)，則(a2 b2)(c2 d2) _(ac bd)2.T即二維形式的柯西不等式T什么時(shí)候取等號(hào)？ 討論：二維形式的柯西不等式的其它證明方法？證法二：(綜合法)(a2 b2)(c2 d2) a2c2 a2d2 b2c2 b2d2=(ac bd)2 (ad -be)2 _(ac - bd)2.(要點(diǎn)：展開T配方)證法三：(向量法)設(shè)向量=a,b),(c,d)，則 lm|：a；b： , |n . c2 d2 ./ m n = ac+bd，且 m|_p 斗 m|j|nlJcosc

3、m,n，貝U國 m|_| n|.2 2 2 2 2證法四：(函數(shù)法)設(shè) f (x) =(a - b )x -2(ac - bd)x c d ,則f (x) =(ax-c)2 (bx-d)2 0 恒成立.也=-2(ac+bd)2 4(a2+b2)(c2+d2) 0,即：. 討論：二維形式的柯西不等式的一些變式？變式：a2 b2 c2 d2 -|ac bd | 或 a2 b2 c2 d2 -|ac| |bd |或- a2 b.cd提出定理2:設(shè)*,-即柯西不等式的向量形式T討論：上面時(shí)候等號(hào)成立？( 練習(xí)：已知 a、b、c、d 為實(shí)數(shù)，求證-a2 b2 c2 d2 _ . (a -c)2 (b -

4、d)2 . 證法：(分析法)平方 T應(yīng)用柯西不等式T討論：其幾何意義？(構(gòu)造三角形)2.教學(xué)三角不等式： 出示定理 3:設(shè) 乂宀兀，y2R，則. x； y；%；目；_ .(為-x?)2 (yi- y?)2 .分析其幾何意義 T如何利用柯西不等式證明T變式：若Xi,yi,X2,y2,xa,y3R，則結(jié)合以上幾何意義，可得到怎樣的三角不等式？3.小結(jié)：二維柯西不等式的代數(shù)形式、向量形式；三角不等式的兩種形式(兩點(diǎn)、三點(diǎn)) 三、鞏固練習(xí)：1.練習(xí)：試寫出三維形式的柯西不等式和三角不等式知識(shí)改變命運(yùn)13精品文檔你我共享第二課時(shí)3.1二維形式的柯西不等式(二)教學(xué)要求：會(huì)利用二維柯西不等式及三角不等式解

5、決問題， 體會(huì)運(yùn)用經(jīng)典不等式的一般方法 發(fā)現(xiàn)具體問題與經(jīng)典不等式之間的關(guān)系， 經(jīng)過適當(dāng)變形，依據(jù)經(jīng)典不等式得到不等關(guān)系 教學(xué)重點(diǎn)：利用二維柯西不等式解決問題教學(xué)難點(diǎn)：如何變形，套用已知不等式的形式 教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：1.提問：二維形式的柯西不等式、三角不等式？幾何意義？答案：(a2b2)(c2d2)丄(acbd)2 ；,x； y/x?2y?_/(Xx?)2(G2)22.討論：如何將二維形式的柯西不等式、三角不等式，拓廣到三維、四維？3.如何利用二維柯西不等式求函數(shù)y二、.x1 2 -x的最大值？要點(diǎn)：利用變式 |ac Fd . a2 b c2 d2 .、講授新課:1.教學(xué)最大(小)值：

6、出示例1：求函數(shù) 10 -2x的最大值？分析：如何變形？T構(gòu)造柯西不等式的形式T板演T變 式：y3x-110-2xTy=、曾 b . x , c ( -d, e . , f x ,a b )c 練習(xí)：已知3x 2y =1，求x2 y2的最小值.2 22 2 2 2 1解答要點(diǎn)：(湊配法)x y (x y )(3 2 )(3x 2y)1313討論：其它方法(數(shù)形結(jié)合法)2.教學(xué)不等式的證明：1 1出示例2:若x,y R., x 2，求證：2.x y分析：如何變形后利用柯西不等式？(注意對(duì)比 T構(gòu)造)要點(diǎn)：1 1 (x y)(1 丄)4【(x)2 (y)2( 1 )2 ( J)2 x y 2x y

7、 2VxVy討論：其它證法(利用基本不等式)1 1練習(xí)：已知a、b R ,求證：(a b)(-) _ 4.a b3.練習(xí): 已知x, y,a,b R ，且a b =1，則x y的最小值.x ya b要點(diǎn)：x+y =(_+-)(x+y)=.T 其它證法x y 若x,y,zR ,且x y z =1，求x2 y2 z2的最小值.(要點(diǎn)：利用三維柯西不等 式)變式：若x,y,zR .，且x y 1，求,y . z的最大值.3.小結(jié)：比較柯西不等式的形式，將目標(biāo)式進(jìn)行變形，注意湊配、構(gòu)造等技巧三、鞏固練習(xí):精品文檔你我共享知識(shí)改變命運(yùn)要點(diǎn):宀二(a-b) (b-c)( bc1abJ (1 1)2 =4b

8、c三、鞏固練習(xí)：1.練習(xí)：教材P414題2 .作業(yè)：教材F415、6題1.練習(xí)：教材P37 8、9題2作業(yè)：教材P37 1、6、7題第三課時(shí) 3.2一般形式的柯西不等式教學(xué)要求：認(rèn)識(shí)一般形式的柯西不等式，會(huì)用函數(shù)思想方法證明一般形式的柯西不等式，并應(yīng)用其解決一些不等式的問題 .教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)證明一般形式的柯西不等式，并能應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：理解證明中的函數(shù)思想.教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：1.練習(xí)：2.提問：二維形式的柯西不等式？如何將二維形式的柯西不等式拓廣到三維？答案：(a2 b2)(c2 d2)丄(ac bd)2 ； (a2 b2 c2)(d2 e2 f2)亠(ad be cf )2二、講授新課：1

9、.教學(xué)一般形式的柯西不等式：士一 *四 提問：由平面向量的柯西不等式|兇:JLI，如果得到空間向量的柯西不等式及代數(shù)形式？ 猜想：n維向量的坐標(biāo)？ n維向量的柯西不等式及代數(shù)形式？結(jié)論：設(shè) ai,a2, ，an,bi,b2, ,b R，則(ai2 a22an2)(b： b22 II g2) _心力 azdand)2討論：什么時(shí)候取等號(hào)？(當(dāng)且僅當(dāng)各=字=山=告時(shí)取等號(hào)，假設(shè)b = 0)b1 b2bn聯(lián)想：設(shè) B 二abi a b 2 *a.bn , A 二印2 a?2 | a.2， C 戈2 屮I ，則有 B2 - AC_ 0 ,可聯(lián)想到一些什么？ 討論：如何構(gòu)造二次函數(shù)證明n維形式的柯西不等

10、式？(注意分類)要點(diǎn)：令f (x)=(a； a；亠4a：)x2 2(a1b1a2b2亠 亠 and)x(b： b2亠 亠b；)，則2 2 2f(x) (aiX p) gx b2)- + (anX bn) _0.又耳2，a22爲(wèi):;： an20，從而結(jié)合二次函數(shù)的圖像可知，2(aibi 飛2匕2anbn)丨-4(ai2 a22 an2)_(bi2 b22 川 bn2) b c，求證：一ab bc ac3.小結(jié)：柯西不等式的一般形式及應(yīng)用；等號(hào)成立的條件；根據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)構(gòu)造證明精品文檔你我共享知識(shí)改變命運(yùn)第四課時(shí) 3.3排序不等式教學(xué)要求：了解排序不等式的基本形式，會(huì)運(yùn)用排序不等式分析解決一些簡(jiǎn)單問

11、題，體會(huì)運(yùn)用經(jīng)典不等式的一般方法.教學(xué)重點(diǎn)：應(yīng)用排序不等式證明不等式教學(xué)難點(diǎn)：排序不等式的證明思路.教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：1.提問： 前面所學(xué)習(xí)的一些經(jīng)典不等式？（柯西不等式、三角不等式）2.舉例：說說兩類經(jīng)典不等式的應(yīng)用實(shí)例.二、講授新課：1.教學(xué)排序不等式： 看書：P42P44. 提出排序不等式（即排序原理）：設(shè)有兩個(gè)有序?qū)崝?shù)組：ai：Sa2乞遼an；bb）2豈 二bn. G,Q,Cn是b,b2，bn的任一排列，則有a1b1 a2b2 +anbn （同序和）_aiC a2C2 + +anCn （亂序和）_a4 - a20+ +anb（反序和）當(dāng)且僅當(dāng)a, = a2 = =an或b, =b

12、2 =bn時(shí)，反序和等于同序和（要點(diǎn)：理解其思想，記住其形式）2.教學(xué)排序不等式的應(yīng)用： 出示例1：設(shè)a,a2, -,an是n個(gè)互不相同的正整數(shù)，求證：1 +1 +1 + +丄a +並 +色 + +色1 2 2 2 23 n 23n分析：如何構(gòu)造有序排列？如何運(yùn)用套用排序不等式？證明過程：設(shè)0力2,bn是印盤，,an的一個(gè)排列，且 ： b?g，則b, _2, ,g _ n .1 11又1 2 2，由排序不等式，得23na a2 a3洱b b2 b3:（1，bn2232n22232n2小結(jié)：分析目標(biāo)，構(gòu)造有序排列. 練習(xí)：已知 a,b, c 為正數(shù)，求證：2（a3b3c3）_a2（b c）b2（ac）c2（a b）.解答要點(diǎn)：由對(duì)稱性，假設(shè) a b _c，則a2 _b2 c2,于是a2a b2bc2c _ a2c b2ac2b,a2ab2bc2c _ a2bb2c c2a ,兩式相加即得.3.小結(jié)：排序不等式的基本形式.精品文檔你我共享知識(shí)改變