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文檔簡介
1、張量的提出: 晶體具有各向異性,從而使得晶體的物理性質(zhì)在不同方向上也存在著差異。晶體的各向異性是一種很普遍的特性,特別是很多現(xiàn)象如熱電、壓電、電光、聲光、非線性光學(xué)效應(yīng)等物理現(xiàn)象都完全是因?yàn)榫w的各向異性才能表現(xiàn)出來。于是,人們實(shí)踐中探索出了一套描述各向異性性質(zhì)的數(shù)學(xué)方法,這種方法就是張量方法。 在晶體物理中所涉及的張量分析是比較簡單的,晶體的對稱性的操作對應(yīng)的坐標(biāo)變換,一般使用三維正交直角坐標(biāo)系的變換就夠了。本章中將只限于介紹這種坐標(biāo)系中所定義的張量。2.1標(biāo)量、矢量、張量一、標(biāo)量 在物理學(xué)中,有一些量是沒有方向而言的,如溫度、質(zhì)量、密度等,這些物理量只需要一個數(shù)值即可描述,我們把這種物理量
2、稱為標(biāo)量。 有些量雖然在坐標(biāo)變換時數(shù)值不變,但其符號在第二類點(diǎn)操作時發(fā)生改變,這稱為贗標(biāo)量。二、矢量 有一些物理量,它既有大小,又有方向,如力、速度、電場強(qiáng)度等,這些物理量需要指明其大小和方向才能完全描述,稱為矢量。取直角坐標(biāo)系OX1X2X3,設(shè)有矢量 ,在三個坐標(biāo)軸方向上的投影分別為 ,于是我們將 表為: 。 與贗標(biāo)量概念相似,我們可以引入贗矢量,贗矢量與矢量的區(qū)別在于其變換多了一個符號的改變。例如各種軸矢量(磁場強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度等)就是贗矢量。f3, 2, 1ffff)(3, 2, 1ffff 三、張量先看一個例子:對于均勻?qū)w,在電場強(qiáng)度E的作用下,其電流密度J和電場強(qiáng)度E有相同方向,即
3、均勻?qū)w的歐姆定律 其中為電導(dǎo)率,是標(biāo)量。 但是對于晶體,由于各向異性,一般情況下J與E并不具有相同的方向,此時J與E的關(guān)系變?yōu)镋J333232131332322212123132121111EEEJEEEJEEEJ或表示成分量形式 矩陣形式 )3,2, 131iEJjjiji(321333231232221131211321EEEJJJ此處不再是一個數(shù),而是9個數(shù)構(gòu)成一個方陣,稱為電導(dǎo)率張量,這是一個二階張量。于是,各向異性晶體中的歐姆定律可表示為張量的定義:一般來說,在物理學(xué)中,有一些量需要用9個分量來描述,這種物理量就是二階張量。EJ3332312322211312112.2 張量的數(shù)學(xué)
4、定義 描述物理量的矢量和張量應(yīng)與坐標(biāo)軸的選擇無關(guān)。就是說,當(dāng)坐標(biāo)軸變換時,矢量和張量的所有分量都隨之變換,但作為描述物理量的矢量和張量本身是不變的。因此,分量的變換必有一定的規(guī)律。接下來我們就來討論一下坐標(biāo)變換時分量變換的規(guī)律。 一、坐標(biāo)變換 如圖所示,設(shè)有直角坐標(biāo)系OX1X2X3,其三個方向的單位矢為 ,經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換為新的坐標(biāo)系OXIX2X3,在新的坐標(biāo)系里的單位矢為 ,令新坐標(biāo)系中在舊坐標(biāo)系中的方向余弦為 (j=1,2,3 ),則321,eee321, , eeeija333232131332322212123132121111eaeaeaeeaeaeaeeaeaeae或簡寫為 反之,有)
5、3,2,131ieaejjiji()3,2,1(31ieaejjjii321333231232221131211321eeeaaaaaaaaaeee表示成矩陣形式為)cos(jiijeea將以上關(guān)系列成方陣形式則為 X1 X2 X3 (老坐標(biāo)軸) ( 新坐標(biāo)系) X1 a11 a12 a13 X2 a21 a22 a23 X3 a31 a32 a33稱9的a的分量組成的方陣稱為坐標(biāo)變換矩陣或方向余弦矩陣,它簡明的表示出了新老坐標(biāo)之間變換的規(guī)律。二、矢量分量的變換 設(shè)有一矢量p,其在舊坐標(biāo)系中的分量為p1,p2,p3,在新坐標(biāo)系中的分量為p1*,p2*,p3*,由于是同一個矢量p,故有 3322
6、11332211*epepepepepepp321321321333231232221131211*3*2*1*3*2*1*3*2*1eeePPPeeeaaaaaaaaaPPPeeePPPAPP*1* PAP注:此處P與P*均為行向量即為于是得為了表示方便我們下面引入指標(biāo)符號的概念指標(biāo)符號:),(n21ixi下標(biāo)符號 i 稱為指標(biāo);n 為維數(shù)指標(biāo) i 可以是下標(biāo),如 xi 也可以是上標(biāo),如 xi nxx ,x21記作定義這類符號系統(tǒng)為指標(biāo)符號,一般采用下標(biāo) xi( i=1,2,3) x1,x2,x3 x, y, zui( i=1,2,3) u1,u2,u3 u, v, w33323123222
7、1131211 )3 , 2 , 1,(jiij求和約定 啞指標(biāo)和自由標(biāo) 1. 求和約定和啞指標(biāo) 凡在某一項(xiàng)內(nèi),重復(fù)一次且僅重復(fù)一次的指標(biāo),表示對該指標(biāo)在它的取值范圍內(nèi)求和,并稱這樣的指標(biāo)為啞指標(biāo)。 nnxaxaxaS 2211njjjniiixaxaS11jjiixaxaS333323321331322322221221311321121111yxAyxAyxAyxAyxAyxAyxAyxAyxAyxAjiij求和約定僅對字母指標(biāo)有效 同一項(xiàng)內(nèi)二對啞標(biāo)應(yīng)使用不同指標(biāo),如 31i31ijiijjiijxxaxxa123啞指標(biāo)可以換用不同的字母指標(biāo)2.自由標(biāo) 定義:凡在同一項(xiàng)內(nèi)不重復(fù)出現(xiàn)的指標(biāo)。
8、如 jijibxaj 為自由標(biāo) 1313212111bxaxaxa1j同一個方程中各項(xiàng)自由標(biāo)必須相同 不能改變某一項(xiàng)的自由標(biāo),但所有項(xiàng)的自由標(biāo)可以改變 12 kikijikibxabxawrongrightjijibxa如:如:3 3克羅內(nèi)克(克羅內(nèi)克(Kronecker-Kronecker-)符號)符號 定義定義: jijiij當(dāng)當(dāng)01由定義 111213212223313233100010001ijI即相當(dāng)于單位矩陣。jjjjiijAjjjAAAAAAA321321332211),j ,i ()cosji21 (jie ,e令:2ee21e1e1x1x1x2x2x1x2x2xcossins
9、incosji)cos()cos()cos()cos(22122111e ,ee ,ee ,ee ,e則:現(xiàn)在我們以二維直角坐標(biāo)系為例來看看一個小問題:)( 21212212211121xxxxxxji于是: 21212221121121xxxxxxTji同樣:21121 xxxxji)式得由(1 :jiTji比較ji為正交矩陣為正交矩陣引用指標(biāo)符號:jj iixxjjiixxkkjijjjiixxx由又ikkjijkikixx 討論上式的幾何意義討論上式的幾何意義說明說明 1基矢量具有與坐標(biāo)分量相同的變換規(guī)律jijieeeeijji2矢量的分量也具有與坐標(biāo)分量相同的變換規(guī)律jijijjiiv
10、vvv 再看三維情況jiijjijieeee 考慮一位置矢量 ijijjjeeeeeexjjjjxxxxiijjjxxcosx)(ije ,ejjiixx同理jijixx同二維問題,可得ikkjij(正交性)于是得到最終的矢量變換法則如下APPAP1*332313322212312111321*3*2*1aaaaaaaaaPPPPPPAPP *321333231232221131211*3*2*1PPPaaaaaaaaaPPP*iijjPa P*3*2*1332313322212312111321PPPaaaaaaaaaPPP*PAP jjiiPaP*二階張量的變換*QQPP*QAQTQPAP
11、P*QAATP AATTQTP*若有:令:則:*iikkkkllljljPa PPT QQa Q若有:*jjlklikiQaTaP 令:則:jlklikijjijiaTaTQTP*P、Q均為矢量二階張量三階張量四階張量mnoplpkojnimijkllmnknjmilijkkljlikijTaaaaTTaaaTTaaT*mnopploknjmiijkllmnnkmjliijkklljkiijTaaaaTTaaaTTaaT 張量定義定義:在坐標(biāo)變換時,滿足如下變換關(guān)系的量稱為張量lkjillkkjjiiijklijklkkjji ilkji張量的階數(shù)自由標(biāo)數(shù)目n;對于三維空間,張量分量的個數(shù)為3
12、n個,變換式也有3n個。 以上張量的定義的物理實(shí)質(zhì)在于:一個張量代表著一個物理量,這個物理量遵從一定的物理定律,而不是依賴于坐標(biāo)系的選法。當(dāng)坐標(biāo)系變換時,物理量并不改變,只是描述的方法隨之而變。因此,當(dāng)坐標(biāo)系變換時,張量的分量應(yīng)有隨之而變的規(guī)律,這就是上述的數(shù)學(xué)定義。小結(jié): 所謂張量是一個物理量或幾何量,他由在某參考坐標(biāo)系中一定數(shù)目的分量的集合所規(guī)定,當(dāng)坐標(biāo)變換時,這些分量按一定的變換法則變換。 張量是矢量概念的推廣。它是一種不依賴于特定坐標(biāo)系的表達(dá)物理定律的方法。張量有不同的階和結(jié)構(gòu),這由它們所遵循的不同的變換法則來區(qū)分。標(biāo)量是零階張量;矢量是一階張量;應(yīng)力張量是二階張量;還有三階、四階等高
13、階張量。2.3 張量的運(yùn)算一、張量的加法若 皆為二階張量,則 也為二階張量,于是我們定義 為 之和。這就是二階張量的加法,并表為C=A+B。以此類推,若A,B為兩個同階張量,則A,B相應(yīng)分量之和構(gòu)成新的同階張量C,記作C=A+B。同樣,作為加法的推廣,標(biāo)量a與張量 的乘積即為a 。 ) 3 , 2 , 1, (,jiBAijij)3, 2,1,(jiBACijijijijCijijBA,)3,2,1,(jiTij)3,2,1,(jiTij二、張量的乘法 若 為二階張量, 為一階張量,則可以證明 為三階張量,于是我們定義 為 與 之積,表示為C=AB。 以此類推,若A,B是階數(shù)各為m,n的張量,
14、則A,B分量的積構(gòu)成一個m+n階的張量C,稱為A,B的積,表示為C=AB。)3, 2, 1,(jiAij)3, 2, 1( iBi)3,2, 1,(kjiBACkijijkijkCijAiB三、張量的收縮 在三階張量 中,如果讓 并對 求和,即則 為一階張量,此種運(yùn)算稱為張量的收縮。這種運(yùn)算所得張量的階數(shù)比原張量的階數(shù)少2。特別是:當(dāng)C為兩個張量A,B的積,例如 若令 ,并對求和,即)3, 2, 1,(kjiAijkkj j31)3,2, 1(jijjiiAC)3 , 2, 1( iCi)3, 2, 1,(mlkjiBAClmijkijklmlk k則稱D為A,B收縮所得的張量,階數(shù)3=5-2
15、,表為D=AB. 收縮可以不止一次,例如對兩對下標(biāo)求和,則稱為收縮兩次。例如所得張量Q的階數(shù)為1=5-22,表為Q=A:B.3131kkkmijkijkkmijmBACDjkjkijkiBAQ2.4 對稱張量的性質(zhì)一、對稱張量和反對稱張量 張量T的分量如有關(guān)系 ,則稱為對稱張量。此種張量只有6個獨(dú)立分量: . 有時,我們將這6個獨(dú)立分量依次表為 于是對稱張量 表示為 jiijTT 2112,1331,32232211TTTTTTTT,) 6 , 5 , 4, 3 , 2, 1( iTiT345426561TTTTTTTTTT如果T的分量有 ,則稱為反對稱張量。此時有 ,故反對稱張量只有3個獨(dú)立
16、分量 .同樣,我們將這3個分量以此表為 ,于是反對稱張量T表為jiijTT-0iiT2112,1331,3223-TTTTTT654TTT,0-0-0454656TTTTTTT二、張量的分解 作為張量加法的逆運(yùn)算,張量總可以分解為若干個同階張量之和,并且這種分解的方法是無窮多種的。例如,矢量的分解即為一例。張量的分解定理:任何張量總可以分解為一個對稱張量和一個反對稱張量之和,并且分解的方法是唯一的。共軛張量:若 為張量,則也為張量,我們稱 和 互為共軛張量。記為對稱張量 ,反對稱張量 。)3,2,1,(jiTij)3,2,1,(jiTjiijTjiTcTSScAAc分解定理的證明:設(shè) 為任意二
17、階張量, 為其共軛張量;對稱張量 反對稱張量唯一性)(21jiijijpps)(21)(21ccPPPPP)(21jiijijppaijijjijispps)(21ijijjijiappa)(21ASPASASPcccSPPc2APPc2cPP 一般來說,描述晶體物理性質(zhì)的張量都是對稱張量,例如電導(dǎo)率張量,介電常數(shù)張量,熱導(dǎo)率張量等都是對稱張量。所以,我們以后要討論的張量也都是對稱張量。三、二階對稱張量的示性面二次曲面方程 當(dāng) 為對稱張量,即 時有:當(dāng)所有元素都為正數(shù)時,上式表示一個橢球面。在一般情況下,上式為雙曲面。對上式進(jìn)行坐標(biāo)變換:1222211213313223233322222111
18、xxSxxSxxSxSxSxS31311ijjiijxxSSjiijSS 坐標(biāo)變換因?yàn)榭臻g一點(diǎn)的坐標(biāo) 實(shí)際上是矢量r的分量,所以在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時各 的變換符合矢量變換法則,如下所示將*1kkiijiijxaxxxS*1lljjlkklxaxxxS(1)(2)3,2,1xxxix將(2)帶入(1)中左式,得:*1lkkllkljkiijxxSxxaaSijljklklSaaS*所以:1、二次曲面方程系數(shù)與張量分量具有相同的變換規(guī)律;2、我們把上述的二次曲面方程所繪出來的曲面稱為張量S的 示性曲面;3、示性二次曲面可描述具有二階對稱張量性質(zhì)的物理特性。四、張量的主軸和主值 張量示性面具有三個相互垂直的
19、主軸。對于對稱張量,經(jīng)過一定的坐標(biāo)變換后,總可以化成以下形式: 此時的坐標(biāo)軸稱為主軸,對稱張量 S 化成了對角形式,此時的 則稱為張量的主值。1233222211xSxSxS321SSS,321000000SSSS )( 0aISaaS成立,則為張量S的特征值(主值),a為張量S對應(yīng)特征值的特征矢量(主軸方向)。用矩陣形式來表述,則張量的主值和主軸即對應(yīng)為矩陣的特征值和特征向量。二階對稱張量S,若存在一個數(shù)和單位矢量a,使得五、張量的主軸和主值的確定 單位矢量a即 (特征方程)(特征方程組) 0)( jijijijijaSaaS )( 0aISaaS 333323213123232221211
20、313212111aasasasaasasasaasasas 0)( 0)( 0)( 333222131323222121313212111asasasasasasasasas0)det(333231232221131211SSSSSSSSSIS0)()(33323123222113121122122111331331113323322233221123ssssssssssssssssssssssss由上式求得特征值即張量的主值 ,再帶入特征方程組求出對應(yīng)的特征向量即主軸。) 3,2, 1( ii2.5 張量與對稱性的關(guān)系一、晶體對稱操作的變換矩陣 在直角坐標(biāo)系中,每一個對稱操作對應(yīng)于將舊坐標(biāo)
21、系變換為新坐標(biāo)系,所以它對應(yīng)于一個坐標(biāo)變換,可以用9個新舊坐標(biāo)系之間的方向余弦來表示,這就是對稱操作的變換矩陣。 例如,4次旋轉(zhuǎn)軸,若以 軸為4次軸,則一個4次旋轉(zhuǎn)操作的變換矩陣為1x100001010)4(二、對稱性對矢量的制約 對于晶體,由于它具有對稱性,導(dǎo)致對其物理性質(zhì)的某些限制。這種限制是這樣產(chǎn)生的:沿晶體一定方向測定的某種物理性質(zhì),當(dāng)晶體按其對稱操作旋轉(zhuǎn)、反映或反演到新的取向時,其物理性質(zhì)應(yīng)有相同的數(shù)值和符號,就是說,由晶體對稱性聯(lián)系起來的等價方向上,具有相同的物理性質(zhì)。例如,具有二次軸的晶體,我們沿任一給定的方向測其電導(dǎo)率,而后將晶體繞其二次軸旋轉(zhuǎn)180,再測其電導(dǎo)率,兩次結(jié)果相同
22、。 接下來我們來討論對稱性對矢量的制約。1、對稱心對稱心的變換矩陣為即設(shè)有矢量 ,則經(jīng)過對稱心的操作,將有而根據(jù)對稱性,又應(yīng)有所以必有100010001)1(ijija)3, 2, 1( ipiijijjijipppapjjiipp 0ip這就是說,具有對稱心的晶體不可能有矢量性質(zhì)的物理量。例如,晶體的熱電效應(yīng)系數(shù)就是矢量性質(zhì)的物理量,當(dāng)溫度改變時引起晶體表面電荷的改變(即電極化矢量的改變),關(guān)系式為此處 為熱電系數(shù)。根據(jù)以上討論,具有對稱心的晶體不可能有熱電效應(yīng)。我們知道,在32點(diǎn)群中,有11中是具有對稱心的,因此,屬于這11種點(diǎn)群的晶體不可能有熱電效應(yīng)。 以上結(jié)論可以推廣到三階張量,即具有
23、對稱心的晶體不可能有三階張量,例如,壓電效應(yīng)、電光效應(yīng)等。TPpiiiP2、對稱面設(shè)晶體有垂直于 軸的對稱面,其變換矩陣為即于是矢量 經(jīng)過對稱面操作后有3x100010001)(m0)(1, 1332211jiaaaaij其余)3, 2, 1( ipi333332222211111ppapppapppap而由對稱性,應(yīng)有所以立即得就是說,矢量性質(zhì)的物理量必垂直于 軸,即必在對稱面內(nèi)。例如電氣石晶體,具有3次軸平行的對稱面,而其熱電效應(yīng)方向平行于3次軸,也即在對稱面內(nèi)。iipp 000321ppp,3x3、對稱軸設(shè)晶體有平行于 軸的3次軸,其變換矩陣為于是矢量p分量的變換為而由對稱性,有 ,所以
24、3x10000)3(21-23-2321-3333322112322212122231212121111-ppappppapappppapapiipp 由此立即解得可見,矢量性質(zhì)的物理量必平行于3次軸。例如電氣石晶體,具有唯一的3次軸,其熱電效應(yīng)的方向與此3次軸平行。00321ppp,3322112322231211-pppppppp可見,矢量性質(zhì)的物理量必平行于3次軸。例如電氣石晶體,具有唯一的3次軸,其熱電效應(yīng)的方向與此3次軸平行??疾鞂ΨQ性對矢量的制約,所得結(jié)果是:只有以下10中晶類可以具有矢量性質(zhì)的物理量,即 例如,目前研究的較多的熱電性晶體,如硫酸三甘鈦的點(diǎn)群為2,鈮酸鍶鋇 ,鈦酸鋇
25、的點(diǎn)群為4mm,鈮酸鉀、鉭酸鋰、電氣石的點(diǎn)群為3m等,均在這10中晶類之內(nèi)。mmmmmmmm6,4,3,2,6,4,3, 2, 1)(TGS)(SBN三、對稱性對二階張量的制約我們?nèi)砸噪妼?dǎo)率張量為例。一般情況下有9個分量。由于晶體的對稱性,將使獨(dú)立的分量數(shù)目減小。在對稱操作時, 的變換應(yīng)滿足關(guān)系由此即可定出哪些 是獨(dú)立的。333231232221131211ijijklkljlikijij1、單斜晶系單斜晶系有一個2次軸,令此2次軸平行于 軸,則其變換矩陣為即于是由 知:各 中凡下標(biāo)含有一個“3”的均為零。即3x100010001)2()(01, 1-332211jiaaaaij其余ijklk
26、ljlikijij032312313于是獨(dú)立分量只有4個,即332221121100002、正交晶系正交晶系有3個互相垂直的2次軸。取此三個2次軸為坐標(biāo)軸 ,仿前述單斜晶體的方法,可定出二階張量只有3個獨(dú)立分量,即321,xxx332211000000TTT000000311000000TTT321000000TTT33312213110000TTTTT321000000TTT2.6 諾伊曼原理及其應(yīng)用 研究晶體對稱性對物理性質(zhì)的影響,必須以諾伊曼原理(Neumanns principle)為基礎(chǔ)。 諾伊曼原理指出:晶體的任何物理性質(zhì)所具有的對稱要素,必包含晶體所屬點(diǎn)群的全部對稱要素,即,晶體
27、物理性質(zhì)的對稱性必高于或至少不低于晶體所屬點(diǎn)群的對稱性。 這個原理是長期來大量事實(shí)總結(jié)出來的,并且已經(jīng)經(jīng)過大量實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)證明是正確的。 諾伊曼原理的應(yīng)用當(dāng)然不僅限于矢量(一階張量)和二階張量,而且適用于高階張量。諾伊曼原理的應(yīng)用,需要對張量分量逐個的進(jìn)行計算,因而階數(shù)越高,計算越繁?,F(xiàn)在我們介紹一種簡便的方法,即下標(biāo)變換法。 例如,考慮四方點(diǎn)群 中的某二階張量 ,假定平行于 軸,則其變換矩陣為即經(jīng)過變換后 ,若將正負(fù)號與下標(biāo)結(jié)合,則可簡寫為 4CijT4C3x100001010)(ija331221,xxxxxx33, 12, 21于是二階張量分量的變換為22221111TxxxxT211221
28、12-)- (TxxxxT23323113TxxxxT32231331TxxxxT33333333TxxxxT12211221-)- (TxxxxT11112222)(- (TxxxxT31132332-)(TxxxxT13313223-)- (TxxxxT按晶體的對稱性,應(yīng)有 ,于是可得所以此二階張量具有以下形式 再考慮到是二階對稱張量,應(yīng)有 ,于是最后得二階對稱張量形式為jiijTT 0,32312313333312211122TTTTTTTTTT33111212110000TTTTTTij2112TT與前節(jié)結(jié)果相同。 這種下標(biāo)變換法應(yīng)用于高階張量帶來很大方便,這將在以后章節(jié)學(xué)習(xí)中遇到。3
29、32211000000TTTTij The end!定義定義 把矩陣把矩陣 A 的行換成同序數(shù)的列得到的的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣,叫做新矩陣,叫做 A 的的轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置矩陣,記作,記作 . A例例,854221 A;825241 TA .618 TB,618 B1、轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置矩陣附附2、轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)、轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì);)()1(AATT ;)()2(TTTBABA ;)()3(TTAA .)()4(TTTABAB TABC)(可可推推廣廣TC TB.TA3、對稱陣、對稱陣定義定義設(shè)設(shè) A 為為 n 階方陣,如果滿足階方陣,如果滿足 , 即即那末那末 A 稱為稱為對稱對稱(矩矩)陣陣.TAA n,j , iaajiij21 .A為對稱陣為對稱陣?yán)缋?/p>
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