固體物理 5_2一維單元子鏈

1、5-2一維單原子鏈 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)1、一維單原子晶格、一維單原子晶格 N個(gè)原胞個(gè)原胞,各含一原子各含一原子(m)，t時(shí)刻時(shí)刻n原子原子偏離平衡位偏離平衡位置位移置位移nu平衡時(shí)原子間距平衡時(shí)原子間距a n、n1原子間的相對(duì)位移原子間的相對(duì)位移nnuu1t時(shí)刻，時(shí)刻，n、n1原子間距原子間距 arnx1nxanu1nu5-2一維單原子鏈 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)平衡位置時(shí)平衡位置時(shí)，兩原子間的，兩原子間的作用勢(shì)能作用勢(shì)能)(aU)(aU發(fā)生相對(duì)位移發(fā)生相對(duì)位移 后，后，相互作用勢(shì)能相互作用勢(shì)能nnuu1itemsHighdrUddrdUaUaUrUaa222)(21)()()()(簡(jiǎn)諧

2、近似簡(jiǎn)諧近似 振動(dòng)很微弱，勢(shì)能展式中只保留到二階項(xiàng)振動(dòng)很微弱，勢(shì)能展式中只保留到二階項(xiàng)adrUd)(22相鄰原子間的作用力相鄰原子間的作用力ddUf常數(shù)常數(shù)0nnuu15-2一維單原子鏈 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)原子的運(yùn)動(dòng)方程原子的運(yùn)動(dòng)方程 只考慮相鄰原子的作用，第只考慮相鄰原子的作用，第n個(gè)原子受到的作用力個(gè)原子受到的作用力)2()()(1111nnnnnnnuuuuuuu第第n個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程 每一個(gè)原子運(yùn)動(dòng)方程類(lèi)似每一個(gè)原子運(yùn)動(dòng)方程類(lèi)似)2(1122nnnnuuudtudm5-2一維單原子鏈 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)設(shè)方程解設(shè)方程解)(naqtinAeunaq 第第n個(gè)原

3、子振動(dòng)位相因子個(gè)原子振動(dòng)位相因子2(2)iaqiaqmee得到得到224sin ()2aqm05/27q 一維簡(jiǎn)單晶格中格波的色散關(guān)系一維簡(jiǎn)單晶格中格波的色散關(guān)系，即振動(dòng)頻譜，即振動(dòng)頻譜)2(1122nnnnuuudtudmaqntinAeu11aqntinAeu115-2一維單原子鏈 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)格波的意義格波的意義對(duì)比對(duì)比連續(xù)介質(zhì)波連續(xù)介質(zhì)波)()2(qxtixtiAeAe波數(shù)波數(shù)2q 格波格波和和連續(xù)介質(zhì)波連續(xù)介質(zhì)波具有完全具有完全類(lèi)似的形式類(lèi)似的形式)(naqtinAeu格波方程格波方程 晶體中所有原子共同參與的一種頻率相同的振動(dòng)晶體中所有原子共同參與的一種頻率相同的振動(dòng),

4、 ,不同不同原子間有振動(dòng)位相差，這種原子間有振動(dòng)位相差，這種振動(dòng)以波的形式在整個(gè)晶體振動(dòng)以波的形式在整個(gè)晶體中傳播中傳播，稱(chēng)為，稱(chēng)為格波。格波。5-2一維單原子鏈 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)格波的色散關(guān)系的特點(diǎn)格波的色散關(guān)系的特點(diǎn))2(sin422aqm)2sin(2aqm 頻率是波數(shù)的偶函數(shù)頻率是波數(shù)的偶函數(shù) 色散關(guān)系曲線(xiàn)具有周期性色散關(guān)系曲線(xiàn)具有周期性15/27 q空間的周期空間的周期2a5-2一維單原子鏈 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)頻率極小值頻率極小值0min頻率極大值頻率極大值max2/m0qa02/m只有頻率在只有頻率在 之間的格波才能在晶體中傳播，之間的格波才能在晶體中傳播，其它頻率的

5、格波被強(qiáng)烈衰減其它頻率的格波被強(qiáng)烈衰減02/m)2sin(2aqm5-2一維單原子鏈 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)), 0(aq0q當(dāng)當(dāng))2sin(2aqm/am q2)2sin(qaqa格波傳播速度格波傳播速度/am連續(xù)介質(zhì)彈性波相速度連續(xù)介質(zhì)彈性波相速度/ElasticK 長(zhǎng)波極限下，一維單原子晶格格波可看作是彈性波長(zhǎng)波極限下，一維單原子晶格格波可看作是彈性波 晶格可以看成是連續(xù)介質(zhì)晶格可以看成是連續(xù)介質(zhì) 5-2一維單原子鏈 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì))(aq2/sin()2aqmmax2/m5-2一維單原子鏈 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì))(naqtinAeu224sin ()2aqmnaqq2當(dāng)

6、當(dāng)時(shí)，時(shí)，n為整數(shù)為整數(shù) qq ququnn格波格波2(Green)波矢波矢格波格波1(Red)波矢波矢 兩種波矢的格波中，原子的振動(dòng)完全相同兩種波矢的格波中，原子的振動(dòng)完全相同格波格波q的取值：的取值：aaq242aaq255/425-2一維單原子鏈 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)qaa波矢的取值波矢的取值第一第一布里淵區(qū)布里淵區(qū) 只研究清楚第一布里淵區(qū)的晶格振動(dòng)問(wèn)題只研究清楚第一布里淵區(qū)的晶格振動(dòng)問(wèn)題 其它區(qū)域不能提供新的物理內(nèi)容其它區(qū)域不能提供新的物理內(nèi)容5-2一維單原子鏈 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)10/27玻恩卡門(mén)（玻恩卡門(mén)（Born-Karman）周期性邊界條件）周期性邊界條件 形成的鏈不

7、是無(wú)窮長(zhǎng)，鏈兩頭的形成的鏈不是無(wú)窮長(zhǎng)，鏈兩頭的原子不能用中間原子的運(yùn)動(dòng)方程來(lái)描述原子不能用中間原子的運(yùn)動(dòng)方程來(lái)描述nnNuu5-2一維單原子鏈 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)設(shè)第設(shè)第n個(gè)原子的位移個(gè)原子的位移nu再增加再增加N個(gè)原子之后，第個(gè)原子之后，第N+n個(gè)原子的位移個(gè)原子的位移nNu則有則有nnNuu)(naqtiaqnNtiAeAe要求要求1iNaqehNaq2hNaq2 h為整數(shù)為整數(shù)波矢的取值范圍波矢的取值范圍aqa22NhNh N個(gè)整數(shù)值個(gè)整數(shù)值q 取取N個(gè)不同分立值個(gè)不同分立值5-2一維單原子鏈 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)22NhNq 取取N個(gè)不同分立值個(gè)不同分立值hNaq2結(jié)論結(jié)論:

8、h N個(gè)整數(shù)值個(gè)整數(shù)值給定一組給定一組q，)(naqtinAeu，表表標(biāo)志晶體中的標(biāo)志晶體中的q，數(shù)目數(shù)目=獨(dú)立振動(dòng)模式數(shù)獨(dú)立振動(dòng)模式數(shù)=格波數(shù)目格波數(shù)目=晶體總的自由度數(shù)晶體總的自由度數(shù)晶格振動(dòng)的波矢數(shù)目晶格振動(dòng)的波矢數(shù)目=晶體的原胞數(shù)晶體的原胞數(shù)5-2一維單原子鏈 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)模型模型運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程 試探解試探解色散關(guān)系色散關(guān)系波矢波矢q范圍范圍B-K條件條件波矢波矢q取值取值5-2一維單原子鏈 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)2、一維復(fù)式格子、一維復(fù)式格子 兩種原子兩種原子m和和M _( M m) 系統(tǒng)有系統(tǒng)有N個(gè)原胞個(gè)原胞力常數(shù)為力常數(shù)為01/20 M原子位于原子位于2n-1，

9、2n+1， 2n+3 m原子位于原子位于2n， 2n+2， 2n+4 同種原子間的距離同種原子間的距離2a（晶格常數(shù)）（晶格常數(shù)）5-2一維單原子鏈 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)2121222(2)nnnnM (2) (21)221itna qitnaqnnAeandBe N個(gè)原胞，有個(gè)原胞，有2N個(gè)獨(dú)立的方程個(gè)獨(dú)立的方程 第第2n+1個(gè)個(gè)M原子的方程原子的方程222121(2)nnnnm 第第2n個(gè)個(gè)m原子的方程原子的方程方程解的形式方程解的形式5-2一維單原子鏈 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì))12(12)2(2aqntinqnatinBeAe22()2()2iaqiaqiaqiaqmAeeBAMB

10、eeAB22(2)(2cos)0(2cos)(2)0mAaq Baq AMB A、B有非零的解，有非零的解，2121222222121(2)(2)nnnnnnnnMm 第第2n+1個(gè)個(gè)M原子原子 第第2n個(gè)個(gè)m原子原子方程的解方程的解5-2一維單原子鏈 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)02cos2cos2222Maqaqmsin)(41 1)(21222aqMmmMmMMm 一維復(fù)式晶格中存在一維復(fù)式晶格中存在兩種獨(dú)立的格波兩種獨(dú)立的格波sin)(41 1)(21222aqMmmMmMMmsin)(41 1)(21222aqMmmMmMMm5-2一維單原子鏈 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)sin)(41 1

11、)(21222aqMmmMmMMmsin)(41 1)(21222aqMmmMmMMm 與與q之間存在著兩之間存在著兩 種不同的色散關(guān)系種不同的色散關(guān)系 一維復(fù)式格子存在一維復(fù)式格子存在 兩種獨(dú)立的格波兩種獨(dú)立的格波 光學(xué)波光學(xué)波 聲學(xué)波聲學(xué)波05/205-2一維單原子鏈 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)兩種格波的振幅兩種格波的振幅0)2()cos2(0)cos2()2(22BMAaqBaqAmaqmABcos22)(2aqmABcos22)(212222()411sin ()mMmMaqmMmM 光學(xué)波光學(xué)波 聲學(xué)波聲學(xué)波5-2一維單原子鏈 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)色散關(guān)系的特點(diǎn)色散關(guān)系的特點(diǎn) qa

12、q qq-短波極限短波極限2qa 兩種格波的頻率兩種格波的頻率212121min212121max)2()()()()()2()()()()(mmMMmmMMmMMmmM因?yàn)橐驗(yàn)?Mmmaxmin)()(5-2一維單原子鏈 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)maxmin)()(maxmin)()( 不存在頻率為此區(qū)間的格波不存在頻率為此區(qū)間的格波頻率間隙頻率間隙 一維雙原子晶格一維雙原子晶格 叫做帶通濾波器叫做帶通濾波器5-2一維單原子鏈 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)長(zhǎng)波極限長(zhǎng)波極限0q聲學(xué)波聲學(xué)波sin)(41 1)(21222aqMmmMmMMm應(yīng)用應(yīng)用11/2xx 1)(sin)(422aqMmmM)

13、sin(2qaMm2()aqmM與與的色散關(guān)系的色散關(guān)系形式形式相同相同.時(shí)，0q5-2一維單原子鏈 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)0, 0qaqmABcos22)(21)(AB 原胞中的兩個(gè)原子振動(dòng)的振幅相同，振動(dòng)方向一致原胞中的兩個(gè)原子振動(dòng)的振幅相同，振動(dòng)方向一致代表原胞質(zhì)心的振動(dòng)代表原胞質(zhì)心的振動(dòng)2()aqmM5-2一維單原子鏈 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)光學(xué)波光學(xué)波 長(zhǎng)波極限長(zhǎng)波極限0qsin)(41 1)(21222aqMmmMmMMm1)(sin)(422aqMmmM2,mMmM22()2cosmBAaq ()BmAM 長(zhǎng)光學(xué)波中，相鄰不同原子振動(dòng)方向相反長(zhǎng)光學(xué)波中，相鄰不同原子振動(dòng)方向相

14、反.原胞質(zhì)心不變的振動(dòng)原胞質(zhì)心不變的振動(dòng), ,原胞中原子相對(duì)動(dòng)原胞中原子相對(duì)動(dòng)5-2一維單原子鏈 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)波矢波矢q范圍及取值范圍及取值 qaq)12(2aqntinAeq增增a的整數(shù)倍，原子位移、色散關(guān)系不變的整數(shù)倍，原子位移、色散關(guān)系不變.即即波矢波矢q限制于：限制于：aqa22 第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)5-2一維單原子鏈 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)為保證為保證)12(12)2(2aqntinqnatinBeAe2121222222121(2)(2)nnnnnnnnMm 第第2n+1個(gè)個(gè)M原子原子 第第2n個(gè)個(gè)m原子原子方程的解方程的解2121222222121(2)(2)nnnnnnnnMm 第第2n+1個(gè)個(gè)M原子原子 第第