高數(shù)下第十二章級數(shù)

1、第十二章第十二章 級級 數(shù)數(shù) 一、級數(shù)的概念與性質(zhì)一、級數(shù)的概念與性質(zhì)1. 1. 級數(shù)的定義級數(shù)的定義: : nnnuuuuu3211(常數(shù)項常數(shù)項)無窮級數(shù)無窮級數(shù)一般項一般項 niinnuuuus121級數(shù)的部分和級數(shù)的部分和2. 2. 級數(shù)的收斂與發(fā)散級數(shù)的收斂與發(fā)散: :例例 1 1 討討論論等等比比級級數(shù)數(shù)( (幾幾何何級級數(shù)數(shù)) ) nnnaqaqaqaaq20 )0( a的的收收斂斂性性. .解解時時如如果果1 q12 nnaqaqaqasqaqan 1,11qaqqan ,1時時當(dāng)當(dāng) q0lim nnqqasnn 1lim,1時時當(dāng)當(dāng) q nnqlim nnslim 收斂收斂

2、發(fā)散發(fā)散時時如如果果1 q,1時時當(dāng)當(dāng) q,1時時當(dāng)當(dāng) q nasn 發(fā)散發(fā)散 aaaa級級數(shù)數(shù)變變?yōu)闉椴徊淮娲嬖谠趎ns lim 發(fā)散發(fā)散 綜上綜上 發(fā)發(fā)散散時時當(dāng)當(dāng)收收斂斂時時當(dāng)當(dāng),1,10qqaqnn例例 2 2 判判別別無無窮窮級級數(shù)數(shù) )12()12(1531311nn 的的收收斂斂性性. .解解)12)(12(1 nnun),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn)1211(21limlim nsnnn),1211(21 n,21 .21, 和和為為級級數(shù)數(shù)收收斂斂3、基本性質(zhì)、基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì) 1

3、1 如果級數(shù)如果級數(shù) 1nnu收斂收斂, ,則則 1nnku亦收斂亦收斂. .性質(zhì)性質(zhì) 2 2 設(shè)兩收斂級數(shù)設(shè)兩收斂級數(shù) 1nnus, , 1nnv, ,則級數(shù)則級數(shù) 1)(nnnvu收斂收斂, ,其和為其和為 s. .結(jié)論結(jié)論: : 級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù)級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù), ,斂散性不變斂散性不變. .結(jié)論結(jié)論: : 收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減. .性性質(zhì)質(zhì) 3 3 若若級級數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂, ,則則 1knnu也也收收斂斂)1( k. .且且其其逆逆亦亦真真. .證明證明 nkkkuuu21nkkknuuu 21,kknss

4、 knknnnnss limlimlim 則則.kss 類似地可以證明在級數(shù)前面加上有限項不類似地可以證明在級數(shù)前面加上有限項不影響級數(shù)的斂散性影響級數(shù)的斂散性.性性質(zhì)質(zhì) 4 4 收收斂斂級級數(shù)數(shù)加加括括弧弧后后所所成成的的級級數(shù)數(shù)仍仍然然收收斂斂于于原原來來的的和和. .證明證明 )()(54321uuuuu,21s .limlimssnnmm 則則,52s ,93s ,nms 注意注意收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂. )11()11(例例如如 1111推論推論 如果加括弧后所成的級數(shù)發(fā)散如果加括弧后所成的級數(shù)發(fā)散, ,則原來級則原來級數(shù)也發(fā)散數(shù)也發(fā)

5、散. . 收斂收斂 發(fā)散發(fā)散lim0.nnu 證明證明 1nnus,1 nnnssu則則1limlimlim nnnnnnssuss . 0 級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件: :性質(zhì)性質(zhì)5注意注意1.1.如果級數(shù)的一般項不趨于零如果級數(shù)的一般項不趨于零, ,則級數(shù)發(fā)散則級數(shù)發(fā)散; ; 1)1(4332211nnn例例如如 發(fā)散發(fā)散2.2.必要條件不充分必要條件不充分. .lim0,nnu 有有 n131211例例如如調(diào)調(diào)和和級級數(shù)數(shù)但發(fā)散但發(fā)散.二、正項級數(shù)及其審斂法二、正項級數(shù)及其審斂法1,0nnnuu 其其中中， nsss212.2.正項級數(shù)收斂的充要條件正項級數(shù)收斂的充要條件: :

6、定理定理.有有界界部部分分和和所所成成的的數(shù)數(shù)列列正正項項級級數(shù)數(shù)收收斂斂ns正項級數(shù)正項級數(shù)且且), 2, 1( nvunn, ,若若 1nnv收斂收斂, ,則則 1nnu收斂；收斂；反之，若反之，若 1nnu發(fā)散，則發(fā)散，則 1nnv發(fā)散發(fā)散. .均為正項級數(shù)，均為正項級數(shù)，和和設(shè)設(shè) 11nnnnvu3.比較審斂法比較審斂法例例 1 1 討討論論 P P- -級級數(shù)數(shù) ppppn14131211的的收收斂斂性性. .)0( p解解, 1 p設(shè)設(shè),11nnp .級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散則則 P, 1 p設(shè)設(shè)oyx)1(1 pxyp1234由圖可知由圖可知 nnppxdxn11pppnns131211

7、 nnppxdxxdx1211 npxdx11)11(1111 pnp111 p,有界有界即即ns.級數(shù)收斂級數(shù)收斂則則 P 發(fā)散發(fā)散時時當(dāng)當(dāng)收斂收斂時時當(dāng)當(dāng)級數(shù)級數(shù),1,1ppP重要參考級數(shù)重要參考級數(shù): : 幾何級數(shù)幾何級數(shù), P-, P-級數(shù)級數(shù), , 調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù). .例例 2 2 證證明明級級數(shù)數(shù) 1)1(1nnn是是發(fā)發(fā)散散的的.證明證明,11)1(1 nnn,111 nn發(fā)散發(fā)散而級數(shù)而級數(shù).)1(11 nnn發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù)4.4.比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式: :設(shè)設(shè) 1nnu與與 1nnv都是正項級數(shù)都是正項級數(shù), , 如果如果則則(1) (1) 當(dāng)當(dāng)時時,

8、 , 二級數(shù)有相同的斂散性二級數(shù)有相同的斂散性; ; (2) (2) 當(dāng)當(dāng)時，若時，若收斂收斂, , 則則收斂收斂; ; (3) (3) 當(dāng)當(dāng)時時, , 若若 1nnv發(fā)散發(fā)散, , 則則 1nnu發(fā)散發(fā)散; ;,limlvunnn l00 l l 1nnv 1nnu例例 3 3 判判定定下下列列級級數(shù)數(shù)的的斂斂散散性性: :(1) 11sinnn ; (2) 131nnn ;解解)1(nnnn3131lim nnn11sinlim , 1 原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散.)2(nnn1sinlim nnn311lim , 1 ,311收斂收斂 nn故原級數(shù)收斂故原級數(shù)收斂.6 6. .比比值值審審斂斂

9、法法( (達(dá)達(dá)朗朗貝貝爾爾 D DA Al le em mb be er rt t 判判別別法法) )：設(shè)設(shè) 1nnu是是正正項項級級數(shù)數(shù), ,如如果果)(lim1 數(shù)數(shù)或或nnnuu則則1 時時級級數(shù)數(shù)收收斂斂; ;1 時時級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; ; 1 時時失失效效. .比值審斂法的優(yōu)點比值審斂法的優(yōu)點: 不必找參考級數(shù)不必找參考級數(shù). . 注意注意:,11發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù)例例 nn,112收斂收斂級數(shù)級數(shù) nn)1( 例例 4 4 判判別別下下列列級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂性性:(1) 1!1nn; (2) 110!nnn; (3) 12)12(1nnn.解解)1(!1)!1(11nnuunn 1

10、1 n),(0 n.!11收斂收斂故級數(shù)故級數(shù) nn),( n)2(!1010)!1(11nnuunnnn 101 n.10!1發(fā)散發(fā)散故級數(shù)故級數(shù) nnn)3()22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn, 1 比值審斂法失效比值審斂法失效, 改用比較審斂法改用比較審斂法,12)12(12nnn ,112收斂收斂級數(shù)級數(shù) nn.)12(211收斂收斂故級數(shù)故級數(shù) nnn7 7. .根根值值審審斂斂法法 ( (柯柯西西判判別別法法) )：設(shè)設(shè) 1nnu是正項級數(shù)是正項級數(shù), ,如果如果 nnnulim)( 為數(shù)或為數(shù)或 , ,則則1 時時級級數(shù)數(shù)收收斂斂; ;,1 ,1 nn

11、n設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù)例例如如nnnnnu1 n1 )(0 n級數(shù)收斂級數(shù)收斂.1 時時級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; ; 1 時時失失效效. .三、交錯級數(shù)及其審斂法三、交錯級數(shù)及其審斂法定義定義: : 正、負(fù)項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù)正、負(fù)項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù). . nnnnnnuu 111)1()1(或或)0( nu其中其中四、絕對收斂與條件收斂四、絕對收斂與條件收斂定義定義: : 正項和負(fù)項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù)正項和負(fù)項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù). .定定理理 若若 1nnu收收斂斂, ,則則 1nnu收收斂斂. .證明證明), 2 , 1()(21 nuuvnnn令令, 0 nv顯顯然然,n

12、nuv 且且,1收斂收斂 nnv),2(11 nnnnnuvu又又 1nnu收收斂斂.上定理的作用：上定理的作用：任意項級數(shù)任意項級數(shù)正項級數(shù)正項級數(shù)定定義義: :若若 1nnu收收斂斂, , 則則稱稱 1nnu為為絕絕對對收收斂斂; ;若若 1nnu發(fā)散發(fā)散, ,而而 1nnu收斂收斂, , 則稱則稱 1nnu為條件收斂為條件收斂. .例例 6 6 判別級數(shù)判別級數(shù) 12sinnnn的收斂性的收斂性. .解解,1sin22nnn ,112收斂收斂而而 nn,sin12 nnn收斂收斂故由定理知原級數(shù)絕對收斂故由定理知原級數(shù)絕對收斂.四、小結(jié)四、小結(jié)正正 項項 級級 數(shù)數(shù)任意項級數(shù)任意項級數(shù)審

13、審斂斂法法1.2.4.充要條件充要條件5.比較法比較法6.比值法比值法7.根值法根值法4.絕對收斂絕對收斂5.交錯級數(shù)交錯級數(shù)(萊布尼茨定理萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì)按基本性質(zhì);,則級數(shù)收斂則級數(shù)收斂若若SSn;, 0,則則級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散當(dāng)當(dāng) nun思考題思考題 設(shè)正項級數(shù)設(shè)正項級數(shù) 1nnu收斂收斂, , 能否推得能否推得 12nnu收斂收斂? ?反之是否成立反之是否成立? ?思考題解答思考題解答由由正正項項級級數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂，可可以以推推得得 12nnu收收斂斂,nnnuu2lim nnu lim0 由比較審斂法知由比較審斂法知 收斂收斂. 12nnu反之不成立反之不成立.例如

14、：例如： 121nn收斂收斂, 11nn發(fā)散發(fā)散.五、函數(shù)項級數(shù)的一般概念五、函數(shù)項級數(shù)的一般概念1.1.定義定義: :設(shè)設(shè)),(,),(),(21xuxuxun是定義在是定義在RI 上的上的函數(shù)函數(shù), ,則則 )()()()(211xuxuxuxunnn稱為定義在區(qū)間稱為定義在區(qū)間I上的上的( (函數(shù)項函數(shù)項) )無窮級數(shù)無窮級數(shù). .,120 xxxnn例例如如級級數(shù)數(shù)2.2.收斂點與收斂域收斂點與收斂域: :如如果果Ix 0, ,數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù) 10)(nnxu收收斂斂, ,則則稱稱0 x為為級級數(shù)數(shù))(1xunn 的的收收斂斂點點, ,否否則則稱稱為為發(fā)發(fā)散散點點. .所所有有發(fā)發(fā)散

15、散點點的的全全體體稱稱為為發(fā)發(fā)散散域域. .函函數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù))(1xunn 的的所所有有收收斂斂點點的的全全體體稱稱為為收收斂斂域域, ,)()(limxsxsnn 函數(shù)項級數(shù)的部分和函數(shù)項級數(shù)的部分和3.3.和函數(shù)和函數(shù): : )()()()(21xuxuxuxsn在在收收斂斂域域上上, ,函函數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù)的的和和是是x的的函函數(shù)數(shù))(xs, ,稱稱)(xs為為函函數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù)的的和和函函數(shù)數(shù). .),(xsn例例 1 1 求級數(shù)求級數(shù)nnnxn)11()1(1 的收斂域的收斂域.解解由達(dá)朗貝爾判別法由達(dá)朗貝爾判別法)()(1xuxunn xnn 111)(11 nx, 111)

16、1( x當(dāng)當(dāng),20時時或或即即 xx原級數(shù)絕對收斂原級數(shù)絕對收斂., 11 x, 111)2( x當(dāng)當(dāng), 11 x,02時時即即 x原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散.,0時時當(dāng)當(dāng) x 1)1(nnn級數(shù)級數(shù)收斂收斂;,2時時當(dāng)當(dāng) x 11nn級數(shù)級數(shù)發(fā)散發(fā)散;)., 0)2,( 故級數(shù)的收斂域為故級數(shù)的收斂域為, 1|1|)3( x當(dāng)當(dāng), 20 xx或或六、冪級數(shù)及其收斂性六、冪級數(shù)及其收斂性1.1.定義定義: :形如形如nnnxxa)(00 的級數(shù)稱為的級數(shù)稱為冪級數(shù)冪級數(shù). .,000nnnxax 時時當(dāng)當(dāng)其中其中na為為冪級數(shù)系數(shù)冪級數(shù)系數(shù).2.2.收斂性收斂性: :,120 xxxnn例例如如級級

17、數(shù)數(shù);,1收收斂斂時時當(dāng)當(dāng) x;,1發(fā)發(fā)散散時時當(dāng)當(dāng) x);1 , 1( 收斂域收斂域);, 11,( 發(fā)發(fā)散散域域定理定理 1 (1 (AbelAbel 定理定理) )如如果果級級數(shù)數(shù) 0nnnxa在在0 xx 處處發(fā)發(fā)散散, ,則則它它在在滿滿足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x處處發(fā)發(fā)散散. .xo R R幾何說明幾何說明收斂區(qū)域收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域如如果果冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa不不是是僅僅在在0 x一一點點收收斂斂, ,也也不不是是在在整整個個數(shù)數(shù)軸軸上上都都收收斂斂, ,則則必必有有一一個個完完全全確確定定的的正正數(shù)數(shù)R存存在在, ,它它具具有有下下列列性

18、性質(zhì)質(zhì): :當(dāng)當(dāng)Rx 時時, ,冪冪級級數(shù)數(shù)絕絕對對收收斂斂; ;當(dāng)當(dāng)Rx 時時,冪冪級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散;當(dāng)當(dāng)RxRx 與與時時, ,冪冪級級數(shù)數(shù)可可能能收收斂斂也也可可能能發(fā)發(fā)散散. .推論推論定義定義: : 正數(shù)正數(shù)R稱為冪級數(shù)的稱為冪級數(shù)的收斂半徑收斂半徑.冪級數(shù)的收斂域稱為冪級數(shù)的冪級數(shù)的收斂域稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間收斂區(qū)間., 0 R),RR ,(RR .,RR 規(guī)定規(guī)定, R收收斂斂區(qū)區(qū)間間0 x;收收斂斂區(qū)區(qū)間間),(.),(RR (1) 冪級數(shù)只在冪級數(shù)只在0 x處收斂處收斂,( (2 2) ) 冪冪級級數(shù)數(shù)對對一一切切x都都收收斂斂, ,定定理理 2 2 如如果果冪冪級級數(shù)數(shù) 0

19、nnnxa的的所所有有系系數(shù)數(shù)0 na,設(shè)設(shè) nnnaa1lim (或或 nnnalim)(1) 則則當(dāng)當(dāng)0 時時, 1R;(3) 當(dāng)當(dāng) 時時,0 R.(2) 當(dāng)當(dāng)0 時時, R;例例2 2 求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間:解解)1(nnnaa1lim 1lim nnn1 1 R,1時時當(dāng)當(dāng) x,1時時當(dāng)當(dāng) x,)1(1 nnn級級數(shù)數(shù)為為,11 nn級級數(shù)數(shù)為為該級數(shù)收斂該級數(shù)收斂該級數(shù)發(fā)散該級數(shù)發(fā)散;)1()1(1nxnnn ;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnx.)21(2)1()4(1nnnnxn 故收斂區(qū)間是故收斂區(qū)間是1 , 1( .nnna limnn li

20、m, , R級級數(shù)數(shù)只只在在0 x處處收收斂斂,nnnaa1lim 11lim nn, 0 , oR 收斂區(qū)間收斂區(qū)間),(.;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnxnnnaa1lim 12lim nnn2 ,21 R,2121收收斂斂即即 x,)1 , 0(收斂收斂 x.)21(2)1()4(1nnnnxn ,0時時當(dāng)當(dāng) x,11 nn級級數(shù)數(shù)為為,1時時當(dāng)當(dāng) x,)1(1 nnn級數(shù)為級數(shù)為發(fā)散發(fā)散收斂收斂故收斂區(qū)間為故收斂區(qū)間為(0,1.例例 3 3 求求冪冪級級數(shù)數(shù) 1122nnnx的的收收斂斂區(qū)區(qū)間間.解解 3523222xxx級級數(shù)數(shù)為為缺少偶次冪的項缺少偶次冪的項應(yīng)應(yīng)用用達(dá)

21、達(dá)朗朗貝貝爾爾判判別別法法)()(lim1xuxunnn nnnnnxx22lim12112 ,212x 級數(shù)收斂級數(shù)收斂, 1212 x當(dāng)當(dāng),2時時即即 x, 1212 x當(dāng)當(dāng),2時時即即 x級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散,2時時當(dāng)當(dāng) x,211 n級數(shù)為級數(shù)為,2時時當(dāng)當(dāng) x,211 n級級數(shù)數(shù)為為級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散,原級數(shù)的收斂區(qū)間為原級數(shù)的收斂區(qū)間為).2, 2( 3、冪級數(shù)的分析運算、冪級數(shù)的分析運算(2) 冪級數(shù)冪級數(shù) 0nnnxa的和函數(shù)的和函數(shù))(xs在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間),(RR 內(nèi)可積內(nèi)可積,且對且對),(RRx 可逐項積分可逐項積分. xnnnxdxxadxxs000)

22、()(即即 00nxnndxxa.110 nnnxna(收斂半徑不變收斂半徑不變)(3) 冪級數(shù)冪級數(shù) 0nnnxa的和函數(shù)的和函數(shù))(xs在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間),(RR 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), 并可逐項求導(dǎo)任意次并可逐項求導(dǎo)任意次. 0)()(nnnxaxs即即 0)(nnnxa.11 nnnxna(收斂半徑不變收斂半徑不變)例例 4 4 求級數(shù)求級數(shù) 11)1(nnnnx的和函數(shù)的和函數(shù).解解,)1()(11 nnnnxxs, 0)0( s顯顯然然兩邊積分得兩邊積分得)1ln()(0 xdttsx 21)(xxxs,11x )11( x,1時時又又 x.1)1(11收斂收斂 nnn).1ln()1

23、(11xnxnnn )11( x),1ln()(xxs )1ln()0()(xsxs 即即練練 習(xí)習(xí) 題題二二、 利利用用逐逐項項求求導(dǎo)導(dǎo)或或逐逐項項積積分分, ,求求下下列列級級數(shù)數(shù)的的和和函函數(shù)數(shù): :1 1、 11nnnx；2 2、 12531253nxxxxn. .練習(xí)題答案練習(xí)題答案七、泰勒級數(shù)七、泰勒級數(shù)上節(jié)例題上節(jié)例題)11()1ln()1(11 xxnxnnnnnnxxaxf)()(00 存在冪級數(shù)在其收斂存在冪級數(shù)在其收斂域內(nèi)以域內(nèi)以f(x)為和函數(shù)為和函數(shù)問題問題: 1.如果能展開如果能展開, 是什么是什么?na2.展開式是否唯一展開式是否唯一?3.在什么條件下才能展開成冪

24、級數(shù)在什么條件下才能展開成冪級數(shù)?定理定理 1 1 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在在)(0 xU 內(nèi)具有任意階導(dǎo)內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)數(shù), , 且在且在)(0 xU 內(nèi)內(nèi)能能展開成展開成)(0 xx 的冪級數(shù)的冪級數(shù), ,即即 nnnxxaxf)()(00 則其系數(shù)則其系數(shù) ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann且展開式是唯一的且展開式是唯一的. .nnnxnf 0)(!)0(稱為稱為)(xf在點在點0 x的的麥克勞林級數(shù)麥克勞林級數(shù). .問題問題nnnxxnxfxf)(!)(?)(000)( 定義定義泰勒級數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于泰勒級數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于f(x)? 不一定不一定.( )000()( )()( )!knknkfxf xxxRxk ),()()(1xsxfxRnn )()(lim1xfxsnn )(limxRnn)()(lim1xsxfnn ;0 二、函數(shù)展開成冪級數(shù)二、函數(shù)展開成冪級數(shù)1.1.直接法直接法( (泰勒級數(shù)法泰勒級數(shù)法) )步驟步驟:;!)()1(0)(nxfann 求求lim0nnR ).(xf斂斂于于則則級級數(shù)數(shù)在在收收斂斂區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)收收（2）驗證：）