“特征信息”的捕捉與解題的最優(yōu)化

1、“特征信息”的捕捉與解題的最優(yōu)化 丁保榮在文1中，提出了一個十分重要的：通過捕捉題設（或結論）中的“特征信息”，優(yōu)化解題思路羅增儒教授在他的許多文章中也有精辟的論述，尤其是在解題中，非常重視解題速度、解題的最優(yōu)化問題23 ?文1的例1、例2的“特征信息”，其實都可以聯(lián)系到一個重要不等式： ?定理若，則（）24 ?文1的例1盡管給出了三種解題思路，但是卻有美中不足：尚未揭示出其最優(yōu)解題思路；例2雖巧妙地構造出二次方程，但仍然缺乏最優(yōu)化思考 ?本文旨在展示平凡的定理（）4在“特征信息”聚焦時的最優(yōu)化解題特征 ?首先，通過“等導不等”來證明這個定理： ?（）4（）4， 當且僅當時，等號成立 ?下面列

2、舉一系列數(shù)學問題，其“特征信息”均可或顯或隱地聚焦于定理（）4限于篇幅，解題時不作一一分析，只展現(xiàn)定理的最優(yōu)化解題思路 ?例1已知實數(shù)，滿足等式6，9，求證：（文1例1） ?證明：依定理（）4，即64（9），得0，從而6，90，解得3，故證畢 ?例2若（）4（）（）0，則，成等差數(shù)列（1979年全國高考題） ?證明：由題設知（）4（）（），而依本文定理，則有（）（）（）（）4（）（），可見，從而，成等差數(shù)列 例3方程組2，的實數(shù)解的組數(shù)是（） 1 ?123無窮多（1987年上海市初中數(shù)學競賽試題） ?解：依定理知，（）4，則24（1），得0，原方程組化為 2，顯然只有一解1，故選 1， ?例4

3、已知，都是實數(shù)，且0，1，求證：，中必有一個大于32（1991年“曙光杯”初中數(shù)學競賽試題） ?證明：由題知，中必有一個是正數(shù)，不妨設為正數(shù)依定理（）4，得（）?4（1），或4，于是  32，故得證 ?注意：此處還有意外收獲，原題結論還可改進為：求證：，中必有一個不小于  ?例5，都是小于1的正數(shù)，求證：在4（1），4（1），4（1），4（1）中，不可能都大于1（1962年美國數(shù)學競賽試題） ?證明：巧妙地逆用定理，注意4（1）4（1）4（1）4（1）4（1）4（1）4（1）4（1）（1）（1）（1）（1）11111，由此可見，4（1），4（1），4（1），4（1

4、）中不可能都大于1 ?例6已知0，0，且4，（6）（5），求s的最大值 ?解：依定理，知44（6）（5）（6）（5）11（）（114）49，494，當212，112時，494 ?當然，定理最主要還是于巧證不等式方面 ?例7已知 2，求證：4（文1例2） ?證明：由題設，知 2依定理，知（ ）42，或28，即4，證畢 ?縱觀以上各例，依定理解題，顯得有序，思路清晰，簡便，且顯然優(yōu)于原來的方法 ?例8正數(shù)，滿足條件求證：（1987年（前）蘇聯(lián)數(shù)學奧林匹克試題） ?證明：傳統(tǒng)證法大半是構造正三角形或正方形，利用面積關系證之今依定理，即刻知 ?444（）（）（）3， ?于

5、是，（34），故證畢 ?可見，依定理還有意外收獲，得到原式的一個加強式：（34）而這一加強難在傳統(tǒng)證法中體現(xiàn)出來 ?例9已知1，1，1，求證： ?（1）（1）（1）12 ?證明：依定題，知（1）14（1）14（1）同理4（1），4（1），于是，（1）（1）（1） 4（1）（1）（1）（1）（1）（1）43 12，證畢 ?例10設，為非負數(shù)，且滿足1，求證： ?1   2  ?證明：考慮（  ）2（）22 42 ，或   ，依題知及定理，有04（）1，故     ?于是1   2 ，證畢 ?定理（）4的優(yōu)化解題功效遠不止這些，只要留心些，讀者必定還會有所發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新令人振奮的是，從基本不等式2 ，平方即可得（）4；但令人遺憾的是，2 的，已是老生常談，而（）4卻少見報道筆者試圖通過本文，借以引為重視! ? ?1丁保榮