數(shù)學(xué)論文Gauss整數(shù)環(huán)的主理想及其商環(huán)研究

1、gauss整數(shù)環(huán)的主理想及其商環(huán)研究(孝感學(xué)院數(shù)學(xué)系 031114328)摘要:本文給出了gauss整數(shù)環(huán)的若干性質(zhì),并用一種新的初等方法解決了文獻(xiàn)1中提出的一個(gè)猜想: gauss整數(shù)環(huán)的商環(huán)元素個(gè)數(shù)是.關(guān)鍵詞:gauss整數(shù)環(huán);商環(huán);素元;主理想;單位research the principal ideal and quotient ring of gaussian integral domainwang xiao-juan(department of mathematics,xiaogan university 031114328)abstract:this paper gives som

2、e proterties of gaussian integral domain, and proves the two conjectuires of arch.1 with a new and elementary method. in light of the gaussian integral domain,the number of elements of its ring of quotients is .key words: gaussian integral domain; quotient ring; prime element; principal ideal;unit.1

3、 介紹在文獻(xiàn)1中,提出兩個(gè)猜想 :(1) gauss整數(shù)環(huán)的商環(huán)元素個(gè)數(shù)是;(2) 對(duì)于,顯然為素元,問(wèn)形式的素元是否為無(wú)窮多.文獻(xiàn)1證明了:對(duì) (或)以及但任意(或但任意)的情形有的元素個(gè)數(shù)恰為.近期有關(guān)gauss整數(shù)環(huán)的商環(huán)所含元素的個(gè)數(shù), 文獻(xiàn)都討論了這個(gè)問(wèn)題,并得到了很好的結(jié)果,即=其中表示由所生成的主理想.本文以一種新的初等的方法明確了的元素個(gè)數(shù)就是,為了解決上述兩個(gè)猜想,首先給出gauss整數(shù)環(huán)的一些相關(guān)定義. 我們用表示集合的元素個(gè)數(shù)，的范數(shù)用來(lái)表示，表示gauss整數(shù)環(huán)中的元素的共軛.下面給出gauss整數(shù)環(huán)的一些相關(guān)定義：設(shè)表示整數(shù)環(huán)，表示虛數(shù)單位，則高斯整數(shù)環(huán)是指一切形如(

4、)的復(fù)數(shù)關(guān)于數(shù)的普通加法與乘法作成的環(huán), 高斯整數(shù)環(huán)中的元素稱(chēng)為高斯整數(shù).因此我們有以下定義：定義1 設(shè)z表示整數(shù)環(huán),則環(huán)稱(chēng)為gauss整數(shù)環(huán).定義2 若環(huán)的非空子集滿(mǎn)足下面條件:（1）是一個(gè)子加群；（2） 對(duì)任意, ,元素都在中.此時(shí)我們稱(chēng)是環(huán)的一個(gè)理想.定義3 我們稱(chēng)環(huán)(/,+,.)為環(huán)關(guān)于理想的商環(huán),其中/,= ,)+)=().(b+)=定義4 設(shè)為的一個(gè)主理想.2 性質(zhì)gauss整數(shù)環(huán)有下列顯然的基本性質(zhì):命題1 的單位(可逆元)是.證明 設(shè)， 可逆，其逆元為，則兩邊取模并平方，得到由于，故，于是 ，或，或，或即的單位(可逆元)是.命題2 是歐氏環(huán),因而是主理想環(huán)和唯一分解環(huán)證明 見(jiàn)文

5、獻(xiàn)3中.命題34 中的素元當(dāng)且僅當(dāng)是不可約元。證明 設(shè)為中的不可約元，并有（），由命題2知：，使得令,因?yàn)槭莦i的不可約元，故中必有一個(gè)是單位。若是單位，則即若是單位，由故可設(shè)，于是則，由于|及|，所以|,因此是中的素元。反之，設(shè)是zi的素元，若,則有|或|,不妨設(shè)|，可設(shè),故，由是無(wú)零因子環(huán)，所以有，即得是單位，故是不可約的。命題 設(shè)，如果是z中的素?cái)?shù)，則是zi的素元；若是zi中的素元?jiǎng)t也是中的素元。證明設(shè),由是zi中的素?cái)?shù)，若是zi中的可約元，可設(shè)均不是zi中的單位，由均不為1，與是zi中的素?cái)?shù)矛盾，所以是zi中的不可約元， 由命題3知是zi中的素元。設(shè)，則由可約可知可約，因此是zi中的素

6、元，則也是。命題 設(shè)是zi中的素?cái)?shù)且,當(dāng)且僅當(dāng)p中zi中的可約元。由文獻(xiàn)5中的高斯平方和定理即知命題5成立。3 商環(huán)定理1 ，這里記，則元素z所在的陪集記為:，簡(jiǎn)記為 引理1 設(shè)是環(huán)的一個(gè)理想，則，即的充分必要條件是定理1的證明當(dāng)時(shí)，下證這個(gè)數(shù)在不同的陪集中，即 ,對(duì),有，即設(shè)，有對(duì)任何,令即對(duì)任何0c都有 (反證法)假設(shè)，則有 由(2)式及得 m|ny, n|mx故，令并將其代入得 即再代入(1)式得 與上式0c矛盾當(dāng)時(shí)有成立下證:對(duì)任意,必存在整數(shù)且使得 或 等式兩邊同乘以得 = = =其中在陪集中即 引理 設(shè)是一個(gè)環(huán),與都是的理想,則,由環(huán)的第二同態(tài)基本定理得 對(duì)gauss整數(shù)環(huán),主理想

7、若,則 且=若主理想則顯然且有下證:在中選取個(gè)元素: 其中 對(duì)中的任意兩個(gè)不同的元素與:其中不全相同，即坐標(biāo) 則下證:(反證法)假設(shè),則這顯然矛盾,故假設(shè)不成立即商環(huán)至少有個(gè)不同的陪集又對(duì) 由帶余除法,設(shè),其中則所以這說(shuō)明與元素在同一個(gè)陪集中,而必為中的一個(gè)元素，故商環(huán)中元素的個(gè)數(shù)為.即 .4 素元對(duì)于gauss整數(shù)環(huán),它的元素可以分為兩部分,一部分是整數(shù),另一部分是形如的元素.下面討論中的素元及形如的素元的個(gè)數(shù).首先，中的非素?cái)?shù)肯定不是中的素元，因?yàn)樗卦蟪旧砑皢挝煌鉄o(wú)其它因子，故只有素?cái)?shù)才可能是中的素元但素?cái)?shù)在中是素元，在中則不一定如素?cái)?shù)2，在可分解為,都不是的相伴元顯然它不是中的素元

8、.引理 若，是素元,且 則應(yīng)用反證法不難看出結(jié)論是顯然的。 引理 設(shè)，若有，使得(是一整數(shù))，則證明:由得到 即,必有整數(shù)使得：將方程組的解代入上式得：引理 若,且,則是素元的充要條件是：是素?cái)?shù)。證明 （充分性）設(shè)有使得因是素?cái)?shù)，或或是單位是素元（必要性）假設(shè)有自然數(shù)，使 ，另一方面，由于，而是素元或不妨設(shè),即存在使得，根據(jù)引理1應(yīng)有,進(jìn)一步根據(jù)引理2，得有自然數(shù)使,代入，得到是素?cái)?shù).參考文獻(xiàn)1王海坤.gauss整數(shù)環(huán)諸類(lèi)問(wèn)題探j(luò).工科數(shù)學(xué).1999,15(3):6769.2王芳貴.關(guān)于gauss整數(shù)環(huán)的商環(huán)元素個(gè)數(shù)的注記j.工科數(shù)學(xué),2001,17(4):6263.3聶靈沼,丁石孫.代數(shù)學(xué)引

9、論m.北京:高等教育出版社,1988.4方輝. gauss整數(shù)環(huán)及其商環(huán)的若干性質(zhì)j.安徽教育學(xué)院學(xué)報(bào),2002,20(6):1618.5馮克勤.代數(shù)數(shù)論m.北京:科學(xué)出版社,2000.6吳品三.近世代數(shù)m.北京:人民教育出版社,1979,127王向輝.整環(huán)zi上一類(lèi)子環(huán)的構(gòu)筑j.忻州師范學(xué)院學(xué)報(bào),2006,22(4):5152.8宋文青,郇正良. gauss數(shù)環(huán)中的素元j.工科數(shù)學(xué),2002,18(4):3234.9趙啟林. gauss整數(shù)環(huán)中素元的形成及剩余類(lèi)環(huán)j.阜陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào),2000,17(2)10姚光同,賈璐.關(guān)于環(huán)j.黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào),2004,21(3).11簡(jiǎn)國(guó)明.唯一分解環(huán)的又一充要條件j.韶關(guān)大學(xué)韶關(guān)師專(zhuān)學(xué)報(bào).1991,1.12魏裕博