冪級數(shù)求和及其應用

1、冪級數(shù)求和及其應用摘要本文在學習了冪級數(shù)及冪級數(shù)求和的基本性質(zhì)基礎上，對冪級數(shù)的求和問題引進了8種方法，對冪級數(shù)的應用問題主要介紹了在數(shù)學和物理上的8個應用。本文先從冪級數(shù)求和的兩種最基本和最簡單的方法入手，在這兩種方法的基礎上緊接著引進基本初等函數(shù)等方法，實現(xiàn)由簡單到復雜，由具體到抽象，由一般到特殊的過度，進而運用高等數(shù)學的其他知識和通過查閱大量資料，簡單的介紹了構造函數(shù)方程的三種方法，最后重點介紹了冪級數(shù)在數(shù)學和物理上的8個實際應用，即數(shù)學上的4個應用和物理學上的四個應用。關鍵詞：冪級數(shù)；和函數(shù)；收斂區(qū)間 Several Methods about the Sum of Power Ser

2、ies Abstract.This paper study the power series and the power series summation, the basic properties of the foundation, on the power series and introduced the summation of 8 method, the power series of the application of mainly introduced in mathematical and physical eight applications. This paper fi

3、rst from the power series summation of two of the most basic and the simplest method of the two methods in based on the introduction of basic elementary function then and other methods, the realization from simple to complex, from the concrete to the abstract, from common to special excessive, and t

4、hen use the higher mathematics knowledge and the other by consulting a large number of material, simple introduces structural function equation of the three methods, finally introduced the power series in mathematics and physics of the eight practical application, namely mathematical four applicatio

5、n and physics on the four applications. key words：power series; And functions; Convergence intervalII目錄摘要IAbstractII前言11.冪級數(shù)求和的方法11.1逐項微分法11.2逐項積分法31.3拆項組合法41.4部分和極限法51.5 基本初等函數(shù)法71.6代數(shù)方程法【8】91.7微分方程法【9】101.8逐級遞推法112.冪級數(shù)的應用122.1冪級數(shù)在數(shù)學上的應用122.2冪級數(shù)在物理學中的應用14結束語15參考文獻16前言冪級數(shù)及其求和是數(shù)學分析中最重要的內(nèi)容之一，在高等數(shù)學中也有著廣

6、泛的應用，而冪級數(shù)的收斂及其求和也是高等數(shù)學中的難點之一，因此對冪級數(shù)的收斂及其求和的研究不僅有著重要的理論意義，還有著重大的實踐意義，無論是在高等數(shù)學中還是在科學計算中，不管是在經(jīng)濟管理還是在實際生活中都有著廣泛的應用. 本文討論冪級數(shù)的結構為，通過舉具體例子，引進了冪級數(shù)求和的8種方法，最后主要介紹了冪級數(shù)在數(shù)學和物理學中的應用，包括4個數(shù)學上的應用和4個物理學上的應用。1.冪級數(shù)求和的方法1.1逐項微分法設冪級數(shù)在收斂區(qū)間上的和函數(shù)微，若為內(nèi)任意一點，那么在可導，且【2】先對冪級數(shù)求導數(shù)，然后利用等比數(shù)列求和的知識，對新冪級數(shù)再進行求導通過多次求導多次返回求積最終可求得原函數(shù)。不過值得我

7、們注意的在實際求冪函數(shù)的過程中，往往通過一次求導或求積是不能達到預期結果的，因此有時要通過兩次或多次求導或求積才能求出原函數(shù)的和函數(shù)。例1.給定冪級數(shù)確定它的收斂半徑與收斂區(qū)間；求出它的和函數(shù)。解：記，因為，所以，而是收斂區(qū)間。如果，那么原級數(shù)都是收斂的，因此收斂域是。由逐項微分定理，。故，。例2.給定冪數(shù)級，確定它的收斂半徑與收斂區(qū)間；求出它的和函數(shù)。解：記，因為所以收斂半徑，當時級數(shù)為發(fā)散。收斂區(qū)域為。對任意，有，而，所以。1.2逐項積分法逐項積分的原理【1】：設冪級數(shù)在收斂區(qū)間上的和函數(shù)微，若為內(nèi)任意一點，那么在可導，且在與這個區(qū)間上可積且可逐項積分【2】，即 ，然后對該式求導即可，但是

8、有時需要先多次積分再多次求導得到原函數(shù)。逐項積分的性質(zhì)【2】：函數(shù)的冪級數(shù)的各項積分的組成的新的函數(shù)冪級數(shù)的和： ，且該冪級數(shù)的收斂半徑為。例1.請求的的和【3】解：由題意是收斂區(qū)間。記，對先求積:又所以故,.1.3裂項求和法 觀察冪級數(shù)的特征，找出已知冪級數(shù)的通項公式，把冪級數(shù)的通項公式拆裂成若干我們熟悉的冪級數(shù)，再通過適當?shù)闹匦陆M合這些冪級數(shù)的通項公式，然后綜合利用冪函數(shù)的各種求和方法，分別計算出所拆得的各項冪級數(shù)的和函數(shù)，最后把各拆得的分項冪項冪級數(shù)的和函數(shù)相加即得所求冪級數(shù)的和函數(shù)。例1.請你判斷的收斂性，并求其和.解：令，所以的收斂半徑為1.由于（，又當時， 即：的和函數(shù)為 ，例2.

9、求的和函數(shù)。解：易知此級數(shù)的收斂域為當時，；當時， 1.4部分和極限法無窮冪級數(shù)收斂的性質(zhì)【4】：記無窮冪級數(shù)的部分和數(shù)列為，如果收斂于，即: ,則稱無窮冪級數(shù)收斂，記為無窮冪級數(shù)的和，則記作.因此，我們可以根據(jù)無窮冪級數(shù)收斂的性質(zhì)可得出一個重要的推理：對于無窮冪級數(shù)，要想求出其和，一個重要的前提是該無窮冪級數(shù)的部分和極限存在，因此我們就可以采用：只要取該無窮冪級數(shù)的部分和極限并求之，那么該極限就是無窮冪級數(shù)的和，對于冪級數(shù)，設前項和為，則：.例1.求冪級數(shù)的和函數(shù)【5】。解：記部分和，則 所以因為，所以1.5 冪級數(shù)展開法常見的冪級數(shù)的展開式的結論：1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

10、此種方法要求我們數(shù)學以上常用的冪級數(shù)展開式，在實際進行冪級數(shù)求和的過程中，我們要注意培養(yǎng)觀察分析類比歸納的數(shù)學思想，綜合運用冪級數(shù)的泰勒展開式的性質(zhì)進行巧妙求解，從而使問題簡化。例1.求和函數(shù)解：易知收斂域為。，注意到。所以=例2.求的和函數(shù)【6】。解：，而， ，所以，收斂域為。 1.6代數(shù)方程法【8】通過觀察冪級數(shù)的通項公式的特點，運用所學高等數(shù)學的知識對所求冪級數(shù)作適當變形，該法的主線是始終以冪級數(shù)的和為變量找出符合題意的代數(shù)方程。此法的一般步驟為：第一步，令所求冪級數(shù)的和為；第二步：對適當變形，建立代數(shù)方程。第三步：利用所學知識解代數(shù)方程。這樣巧妙的利用轉(zhuǎn)化思想把冪級數(shù)求和問題分解為求解

11、新的所列出的代數(shù)方程得問題，從而使問題大大簡化，進而求得我們想要的結果。例1. 用代數(shù)方程法求的和函數(shù)。解： 為收斂域，令，則：，于是：，因此：，1.7微分方程法【9】通過觀察冪級數(shù)的通項公式的特點，利用高等數(shù)學的知識，設冪級數(shù)的和函數(shù)為，首先對冪級數(shù)求一階導，二階導高階導以后，然后耐心的找出冪級數(shù)和函數(shù)以及所有的一階導，二階導高階導所滿足的微分方程，然后利用解常微分方程的知識易求解該微分方程，實現(xiàn)逐級求解微分方程，一步步返回原來的方程，最終求得原來的冪級數(shù)的和函數(shù)。例1. 求冪級數(shù)的和。解：收斂區(qū)間是.記，則 顯然：滿足如下等式： 易簡單解得解：1.8逐級遞推法此種方法適用的前提是存在一個階

12、函數(shù)列且該階函數(shù)列的和函數(shù)存在且能用高等數(shù)學知識求出來，首先假設等于冪級數(shù)的和函數(shù)，分別求出時和時的冪級數(shù)的和函數(shù)，通過觀察利用冪級數(shù)性質(zhì)定理和特征，構造符合題意的一列函數(shù)列，這樣先求，由求出求出，由求出，最后由求出，這樣一步一步地返回原來的各遞推方程，通過逐級遞推或逆向求解每個遞推方程的和函數(shù)最終可求得原始的符合題目意思的冪級數(shù)和函數(shù)。例1.試確定冪級數(shù)的收斂域及利用逐級遞推法求出其和函數(shù)【10】。解：令，那么根據(jù)題意：顯然易知：冪級數(shù)的收斂域為如果，,如果，令= ，其中，那么設，其中，那么設，其中，那么因此：，逐步向上逆遞推得： 因此：冪級數(shù)的和函數(shù)，2.冪級數(shù)的應用2.1冪級數(shù)在數(shù)學上的

13、應用2.1.1購房分期付款問題職工小張年初向銀行貸款萬元用于購房，銀行貸款的年利率為，按復利計算，若這筆貸款要分十年等額還清，每年年初還一次，并且從借款后次年年初開始歸還，若每年應還元，求年利率。解：設年利率為，分年還清：第年應還元，此次欠款全部還清；第年應還元，過年欠款全部還清時，所付款連同利息之和為元，第年應還元，過年欠款全部還清時，所付款連同利息之和為元，第年應還元，過年欠款全部還清時，所付款連同利息之和為元，由題意： ，2.1.2解釋函數(shù)問題在高中我們就學習過函數(shù)，我們知道該函數(shù)在數(shù)學中非常重要，我們也知道是以為底數(shù)的對數(shù)函數(shù)，其中，可是你知道是怎么計算出來的嗎?請解釋。解：因為，令，

14、所以只需取七位小數(shù)得：2.1.3數(shù)學中的極限計算問題在數(shù)學中，我們經(jīng)常用羅比達法則或等量代換來計算函數(shù)的極限，但是有些極限卻不能用羅比達法則或等量代換來計算，例如，那么你能用冪級數(shù)的知識來解決該問題嗎？解：因為，所以，而2.1.4證明復變函數(shù)中的歐拉公式對復數(shù)項級數(shù)，若,則其和；如果收斂，那么絕對收斂；因為，所以絕對收斂，絕對收斂收斂。定義: 復變量的指數(shù)函數(shù)為易證它在整個復平面上絕對收斂 當時, 它與實指數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)展式一致.當時， （歐拉公式）利用歐拉公式可得復數(shù)的指數(shù)形式2.2冪級數(shù)在物理學中的應用2.2.1物理學中的精算問題現(xiàn)欲制造一精密物理儀器，已知該儀器的高與厚度滿足如下關系：（

15、其中厘米）請問該物理儀器的高為多少？請求出高的近似值并估算誤差，誤差不超過。解：利用，先把角度化為弧度，因為，而， 所以。2.2.2物理學中能量公式的解釋與證明問題愛因斯坦的狹義相對論理論中，有著名的質(zhì)能方程，而牛頓理論有動能方程。由于低速情況下，牛頓理論已經(jīng)獲得巨大的成功。因此新的理論不能否定牛頓理論在低速情況下的正確性，所以當時，質(zhì)能方程要與牛頓理論相融洽。當然質(zhì)能方程中的質(zhì)量是動質(zhì)量，根據(jù)相對論有可見當物體低速運動時，能量有兩部分：一部分為以靜質(zhì)量形式存在的“固有能量”，另一部分是動能，這部分退化為牛頓動能理論的形式。是物體的靜質(zhì)量。上面的而在忽略高階小項時之所以把拆開，而忽略之后的部分

16、在于這樣容易開根號，當然還可以任意得選擇忽略高階小項，最后還是得到相同結果，或者干脆只留下，因為從上面的結果可以看出，速度遠小于光速時動能相比與固有能是很小的，但這不是我們討論的目的。2.2.3物理學中的阻斷漏電流問題物理學中MOS管溝道夾斷時漏電流公式為此時繼續(xù)增大漏源電壓就會引起所謂的“溝道長度調(diào)制效應”，既有這時上面的公式中的就要被取代，但是由于不知道具體是多少，所以直接代入意義不大。當認為，則有代入上式，有 ，這里是溝道剛夾斷時的漏電流。而是一個與工藝有關的參數(shù)，那么有什么依據(jù)？如下，溝道長度調(diào)制效應圖如下：當認為時（圖1實際上對有所夸張），則與近似成線性關系，因此當通過實測或仿真得到

17、MOS晶體管的輸出特性曲線后可以據(jù)曲線近似得到的值。結束語實際求解中，冪級數(shù)的求收斂區(qū)間或求收斂域的方法多種多樣，實際求解的難度也并沒有我們想象中的容易或簡單，對我們大腦的變通性靈活運用性的要求都非常高，而對于冪級數(shù)的求和的實際問題通常來說也是很麻煩的，有很多種不同的方法，無論是從變通性上講還是從靈活性上來談都很不簡單，但無論哪種方法也僅對某類冪級數(shù)求和可行，因此對冪級數(shù)的求和問題一般沒有普適的行得通的通用的方法。除了本文介紹8種常見方法以外，還有幾種方法如：柯西方法，差分算子求和法，微分算子求和法，升冪除法等。由于本人能力有限，還需要不斷學習，僅對文中的8種方法進行簡單介紹，并通過具體例子強化之，達到舉一反三，以求對冪級數(shù)和函數(shù)的問題能起到一點幫助。值得一提的是，由于冪級數(shù)求和問題的變化和技巧性非常強，實際求和時往往要求我們要注意綜合運用各種方法，把冪級數(shù)的求和問題轉(zhuǎn)化為我們已知和熟悉的冪級數(shù)的和函數(shù)問題以使問題簡單化。參考文獻1 解烈軍.求冪級數(shù)和函數(shù)的微分方程方法J.高等數(shù)學研究,2009,12(3):41-43.2 華東師范大學數(shù)學系數(shù)學系.數(shù)學分析(第三版)M.北京:高等教育出版社,2001，44-58.3 同濟大學應用數(shù)學系編.高等數(shù)學學習附冊一學習輔導與習題選解(配第六版教材)M.北京:高等教