同濟(jì)第三版高數(shù)(31)第一節(jié)中值定理同濟(jì)第三版高數(shù)

1、 以導(dǎo)數(shù)為工具不僅可以深入認(rèn)識(shí)和理解函數(shù)在一點(diǎn)以導(dǎo)數(shù)為工具不僅可以深入認(rèn)識(shí)和理解函數(shù)在一點(diǎn)處的局部性狀，還可進(jìn)一步研究函數(shù)在區(qū)間上的總體性處的局部性狀，還可進(jìn)一步研究函數(shù)在區(qū)間上的總體性質(zhì)，用導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)在區(qū)間上的總體性質(zhì)就形成了微分質(zhì)，用導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)在區(qū)間上的總體性質(zhì)就形成了微分學(xué)理論。學(xué)理論。 函數(shù)最值討論是微積分創(chuàng)立前期的重要工作之一。函數(shù)最值討論是微積分創(chuàng)立前期的重要工作之一。最值定理雖然指出了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最值的存在性，最值定理雖然指出了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最值的存在性，卻沒(méi)有指出最值點(diǎn)的位置，也沒(méi)有給出求最值的方法。卻沒(méi)有指出最值點(diǎn)的位置，也沒(méi)有給出求最值的方法。 此外，其它區(qū)間形此

2、外，其它區(qū)間形式上的最值存在性及計(jì)式上的最值存在性及計(jì)算問(wèn)題也還沒(méi)有討論。算問(wèn)題也還沒(méi)有討論。因此還必須對(duì)最值問(wèn)題因此還必須對(duì)最值問(wèn)題作進(jìn)一步的研究。作進(jìn)一步的研究。mxyOab1 2 M1?fM 2?fm a byfCx, , 若函數(shù)若函數(shù) y = f( x )在點(diǎn)在點(diǎn) x = 的某個(gè)鄰域的某個(gè)鄰域 U( , , )內(nèi)內(nèi)有定義，有定義，f( )為為 f( x )在該鄰域內(nèi)的最大值或最小值，在該鄰域內(nèi)的最大值或最小值，且函數(shù)且函數(shù) y = f( x )在點(diǎn)在點(diǎn) x = 處可導(dǎo)，則有處可導(dǎo)，則有 f ( )= 0 . .xyO yfx1 M2 m從幾何上看，費(fèi)馬定理指出了曲線在最值點(diǎn)處一定從幾何

3、上看，費(fèi)馬定理指出了曲線在最值點(diǎn)處一定有水平的切線。這一認(rèn)識(shí)雖然是來(lái)源直觀的，并且只是有水平的切線。這一認(rèn)識(shí)雖然是來(lái)源直觀的，并且只是函數(shù)在一點(diǎn)取得最值的必要條件，但由函數(shù)在一點(diǎn)取得最值的必要條件，但由于在最值點(diǎn)處有于在最值點(diǎn)處有 f ( )= 0 ，故求最值，故求最值點(diǎn)問(wèn)題可歸結(jié)為解方程點(diǎn)問(wèn)題可歸結(jié)為解方程 f ( x )= 0 . 因此，費(fèi)馬定理實(shí)際給出了求最值因此，費(fèi)馬定理實(shí)際給出了求最值的方法。的方法。 然而，并非任意曲線弧段都有水平切線，且方程然而，并非任意曲線弧段都有水平切線，且方程 f ( x )= 0 并非總是有解的。因此，為求最值還需進(jìn)一并非總是有解的。因此，為求最值還需進(jìn)一

4、步考察，曲線弧段在什么情況下步考察，曲線弧段在什么情況下一定有水平切線，即考察函數(shù)一定有水平切線，即考察函數(shù) y = f( x )，x a , ,b滿足什么條件，可使方程滿足什么條件，可使方程 f ( x )= 0 總有解。總有解。xyO yfxabM fa fb 若函數(shù)若函數(shù) f( x )在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a , ,b 上上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間( a , ,b)內(nèi)可導(dǎo)，且在內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間的端點(diǎn)處的函數(shù)值相等區(qū)間的端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即即 f( a )= f( b )，則在則在( a , ,b)內(nèi)至少存內(nèi)至少存在一點(diǎn)在一點(diǎn) ( a b )，使得，使得 f ( )= 0 . .abxy

5、O20f fa fb10f 0fx 最簡(jiǎn)單的情形；最簡(jiǎn)單的情形； 較一般的情形。較一般的情形。1 M2 m yfxa bx , , , , ffab若若 f( x ) C ，此時(shí)函數(shù)，此時(shí)函數(shù) y = f( x )的圖形本身就是的圖形本身就是一條水平直線一條水平直線即即 M = m，故恒有，故恒有 f ( x ) 0 ，即對(duì)，即對(duì) ( a , ,b )，總有，總有 f ( ) 0 . . 若若 f( x ) C ，則，則 M = m，此時(shí)，此時(shí) M 和和 m 中至少有一中至少有一個(gè)不等于個(gè)不等于 f( a )和和 f( b ). . 不妨設(shè)不妨設(shè) m f( a )，由最值定理，存在，由最值定理

6、，存在 ( a , ,b )， 使得使得 f( ) m ，下證下證 f ( ) 0 . . 由條件由條件 故故 f -( )、f +( )分別存在，且有分別存在，且有 f -( )= f +( ) 由單側(cè)導(dǎo)數(shù)定義由單側(cè)導(dǎo)數(shù)定義 由于由于 f( )為最小值，故對(duì)一切為最小值，故對(duì)一切 h，總有，總有 f( + h )- f ( ) 0 . . 0limhffhfh 存存在在, , 0limhffhfh , , 0limhffhfh . .由極限的保號(hào)性知：由極限的保號(hào)性知： 當(dāng)當(dāng) h 0 時(shí)，時(shí)， 由于由于 f -( )= f +( )= f ( )，故有，故有 f ( )= 0 . . 0li

7、m0hffhfh ; ; 0lim0hffhfh . . 費(fèi)馬定理指出了函數(shù)取得最值的必要條件，即對(duì)于費(fèi)馬定理指出了函數(shù)取得最值的必要條件，即對(duì)于給定的函數(shù)給定的函數(shù) y = f( x )，求函數(shù)最值可歸結(jié)為求解形如，求函數(shù)最值可歸結(jié)為求解形如 f ( x )= 0 方程。方程。 羅爾定理則進(jìn)一步指出，為確羅爾定理則進(jìn)一步指出，為確定方程定方程 f ( x )= 0 的根的范圍，可設(shè)的根的范圍，可設(shè)法尋求函數(shù)法尋求函數(shù) y = f( x )的兩個(gè)等值點(diǎn)的兩個(gè)等值點(diǎn) f( a )= f( b )，對(duì)應(yīng)于函數(shù)的兩個(gè)，對(duì)應(yīng)于函數(shù)的兩個(gè)等值點(diǎn)，在區(qū)間等值點(diǎn)，在區(qū)間 a , ,b 內(nèi)必有方內(nèi)必有方程程

8、f ( x )= 0 的一個(gè)根的一個(gè)根。 判別方程的根，特別是實(shí)根的存在性通常是一件困判別方程的根，特別是實(shí)根的存在性通常是一件困難的工作，羅爾定理給出了一種判別形如難的工作，羅爾定理給出了一種判別形如 f ( x )= 0 的的方程的根存在性的方法，即設(shè)法尋求函數(shù)方程的根存在性的方法，即設(shè)法尋求函數(shù) y = f( x )的兩的兩個(gè)等值點(diǎn)個(gè)等值點(diǎn) f( a )= f( b ). . 需注意的是，應(yīng)用羅爾定理判別方程的實(shí)根的存在需注意的是，應(yīng)用羅爾定理判別方程的實(shí)根的存在性與零點(diǎn)定理判別方程實(shí)根的方程形式性與零點(diǎn)定理判別方程實(shí)根的方程形式及條件的不同。應(yīng)用零點(diǎn)定理討論及條件的不同。應(yīng)用零點(diǎn)定理討

9、論的是形如的是形如 f( x )= 0 的方程，其實(shí)的方程，其實(shí)根存在的條件是函數(shù)根存在的條件是函數(shù) y = f( x )有有兩個(gè)異號(hào)點(diǎn)兩個(gè)異號(hào)點(diǎn) f( a )、 f( b ). . 羅爾定理最重要的理論價(jià)值在于建立了一種研究函羅爾定理最重要的理論價(jià)值在于建立了一種研究函數(shù)性質(zhì)的方法，即將函數(shù)在某區(qū)間上的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為函數(shù)數(shù)性質(zhì)的方法，即將函數(shù)在某區(qū)間上的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行討論，因而提供了一種以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行討論，因而提供了一種以函數(shù)中值來(lái)研究函數(shù)性質(zhì)的途徑和方法。中值來(lái)研究函數(shù)性質(zhì)的途徑和方法。 該方法是研究函數(shù)性質(zhì)的一種該方法是研究函數(shù)性質(zhì)的一種重要方法，微積分理

10、論的一個(gè)重要方法，微積分理論的一個(gè)特點(diǎn)就是含有諸多中值公式，特點(diǎn)就是含有諸多中值公式，這些中值公式多是由羅爾定這些中值公式多是由羅爾定理導(dǎo)出的。理導(dǎo)出的。 方程的根的存在性問(wèn)題是實(shí)際計(jì)算和工程應(yīng)用最常方程的根的存在性問(wèn)題是實(shí)際計(jì)算和工程應(yīng)用最常見(jiàn)的問(wèn)題。代數(shù)學(xué)的討論通常較適合于解決多項(xiàng)方程的見(jiàn)的問(wèn)題。代數(shù)學(xué)的討論通常較適合于解決多項(xiàng)方程的問(wèn)題，而對(duì)于一般超越方程，代數(shù)學(xué)問(wèn)題，而對(duì)于一般超越方程，代數(shù)學(xué)能提供的方法卻很有限。實(shí)際應(yīng)用中能提供的方法卻很有限。實(shí)際應(yīng)用中較多地采用微積分的方法，即通過(guò)較多地采用微積分的方法，即通過(guò)零點(diǎn)定理和羅爾定理對(duì)考察方程實(shí)零點(diǎn)定理和羅爾定理對(duì)考察方程實(shí)根進(jìn)行考察。

11、根進(jìn)行考察。例例：已知函數(shù)已知函數(shù) f( x )在在 0 , ,1 上連續(xù)上連續(xù)，在在( 0 , ,1 )內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ,且且 f( 0 )= 1，f( 1 )= 0，求證：存在求證：存在 ( 0 , ,1 )，使得使得 這是個(gè)討論方程實(shí)根存在性的問(wèn)題，容易想到這是個(gè)討論方程實(shí)根存在性的問(wèn)題，容易想到應(yīng)用零點(diǎn)定理或羅爾定理進(jìn)行考察。應(yīng)用零點(diǎn)定理或羅爾定理進(jìn)行考察。 對(duì)本例方程而言，由于對(duì)本例方程而言，由于 故若根據(jù)零點(diǎn)定理進(jìn)行考察，需驗(yàn)證形如故若根據(jù)零點(diǎn)定理進(jìn)行考察，需驗(yàn)證形如 F( x )= x f ( x )+ f( x )的函數(shù)在區(qū)間的函數(shù)在區(qū)間( 0 , ,1 )的端點(diǎn)處異的端點(diǎn)處異

12、號(hào)，即有號(hào)，即有 F( 0 ) F( 1 ) 0，故有，故有 0ff . . 羅爾中值定理的幾何意義可理解為：羅爾中值定理的幾何意義可理解為： 定義在區(qū)間定義在區(qū)間 a , ,b 上的上的端點(diǎn)縱坐標(biāo)相等的連續(xù)光滑端點(diǎn)縱坐標(biāo)相等的連續(xù)光滑曲線弧必有水平切線。曲線弧必有水平切線。 若將這一性質(zhì)理解為函數(shù)在區(qū)間若將這一性質(zhì)理解為函數(shù)在區(qū)間 a , ,b 上的一般性上的一般性質(zhì)，則條件質(zhì)，則條件 f( a )= f( b )顯得特殊，一般函數(shù)所對(duì)應(yīng)的顯得特殊，一般函數(shù)所對(duì)應(yīng)的曲線弧未必滿足這一條件。曲線弧未必滿足這一條件。 由直觀易見(jiàn)，若將由直觀易見(jiàn)，若將羅爾定理理解為曲線弧的弦與切羅爾定理理解為曲線

13、弧的弦與切線的關(guān)系，則線的關(guān)系，則去除此條件，上述曲線的幾何特征依然成去除此條件，上述曲線的幾何特征依然成立，即立，即連續(xù)光滑的曲線弧必有平行于弦的切線連續(xù)光滑的曲線弧必有平行于弦的切線。abxyO yfxa bx , , , , 20f fa fb10f 0f 連續(xù)光滑的曲線弧連續(xù)光滑的曲線弧有平行于弦的切線有平行于弦的切線1 M2 m ffababxyO yfxa bx , , , , fa fb ffbafba 連續(xù)光滑的曲線弧連續(xù)光滑的曲線弧有平行于弦的切線有平行于弦的切線1 M2 m 若函數(shù)若函數(shù) f( x )在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a , ,b 上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間( a ,

14、 ,b )內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)，則在則在開(kāi)區(qū)間開(kāi)區(qū)間( a , ,b )內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn) ( a b )，使得使得 f( b )- f( a )= f ( )( b - - a ). . 拉格郎日中值定理實(shí)際是一種導(dǎo)數(shù)中值關(guān)系式拉格郎日中值定理實(shí)際是一種導(dǎo)數(shù)中值關(guān)系式, ,結(jié)合其幾何意義，可考慮利用羅爾定理證明。結(jié)合其幾何意義，可考慮利用羅爾定理證明。 為利用羅爾定理進(jìn)行證明，考慮構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助函為利用羅爾定理進(jìn)行證明，考慮構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)數(shù) ( x )，使其滿足羅爾定理的條件，同時(shí)相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)，使其滿足羅爾定理的條件，同時(shí)相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系和拉格朗日中值定理相等價(jià)。關(guān)系和拉格朗日中值定理相

15、等價(jià)。abxyO yfxa bx , , , , ffbaL xfaxaba fLxxx x AB yL xx fa fb 作作輔助函數(shù)輔助函數(shù) ( x )= f( x )- - L( x )，x a , ,b . .即即顯然顯然 ( x )在在 a , ,b 上連續(xù)，在上連續(xù)，在( a , ,b )內(nèi)可導(dǎo)，且滿足內(nèi)可導(dǎo)，且滿足 ( a )= 0 ， ( b )= 0 ， 因此因此 ( x )在在 a , ,b 上滿足上滿足羅爾定理?xiàng)l件，于是由羅爾定理?xiàng)l件，于是由羅爾定理可知，存在羅爾定理可知，存在 ( a , ,b )，使得使得即有即有 f( b )- f( a )= f ( )( b -

16、- a ). . .ffbaffxxaxaba xxffbaffxxaxaba 0 xffffbabaffxbaba ,ab 從幾何上看，拉格朗日中值定理指出了連續(xù)光滑的從幾何上看，拉格朗日中值定理指出了連續(xù)光滑的曲線弧曲線弧 y = f( x )，x ( a , ,b )，必有平行于弦的切線，必有平行于弦的切線，即存在一點(diǎn)即存在一點(diǎn) ( a , ,b )，使得曲線在該點(diǎn)處的使得曲線在該點(diǎn)處的斜率和弦斜率和弦 AB 的斜率的斜率相等，即相等，即 .ffbafba xyO fa fb1 M2 m yfxa bx , , , , 若函數(shù)若函數(shù) f( x )在閉區(qū)間在閉區(qū)間 I 上的導(dǎo)數(shù)恒為零，則上

17、的導(dǎo)數(shù)恒為零，則 f( x )在在 I 上必為常數(shù)上必為常數(shù)。 f( x ) 常數(shù)常數(shù) 對(duì)對(duì) x 1 , ,x 2 I 有有 f( x 2 )- f( x 1 ) 0 . . 所證命題可歸結(jié)為函數(shù)的增量是否恒為零的問(wèn)題，所證命題可歸結(jié)為函數(shù)的增量是否恒為零的問(wèn)題，而已知條件為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)條件，故可利用拉格郎日中值而已知條件為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)條件，故可利用拉格郎日中值定理進(jìn)行討論。定理進(jìn)行討論。 任取任取 x 1 , ,x 2 I ，且且 x 1 a e，證明不等式證明不等式 a b b a . . 所證不等式具有對(duì)稱形式，考慮用拉格朗日中所證不等式具有對(duì)稱形式，考慮用拉格朗日中值定理進(jìn)行證明。值定理進(jìn)

18、行證明。 為利用拉氏中值定理證明，需構(gòu)造適當(dāng)輔助函數(shù)，為利用拉氏中值定理證明，需構(gòu)造適當(dāng)輔助函數(shù)，并將所證不等式變形為該函數(shù)增量的形式。并將所證不等式變形為該函數(shù)增量的形式。 由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，在所證不等式兩邊取對(duì)數(shù)有由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，在所證不等式兩邊取對(duì)數(shù)有 a b b a 由此可見(jiàn)，所證不等式與函數(shù)由此可見(jiàn)，所證不等式與函數(shù) f( x )= ln x/ /x 在區(qū)間在區(qū)間 a , ,b 上的增量有關(guān)。上的增量有關(guān)。lnlnbaab lnlnabablnln0baba 作輔助函數(shù)：作輔助函數(shù)： 由顯然由顯然 f( x )在區(qū)間在區(qū)間 a , ,b 上滿足上滿足拉格朗日中值定拉格朗日中值定

19、理?xiàng)l件，從而存在理?xiàng)l件，從而存在 ( a , ,b )，使得，使得 由于由于 b a e ，所以所以 1 - - ln 1，即有即有逆推而上便得所證不等式。逆推而上便得所證不等式。 ln.xfxa bxx, , , , lnlnbafffbababa 21lnlnxxbax . . 21lnlnln0bababa . . 拉格朗日中值定理指出的函數(shù)增量與自變量增量間拉格朗日中值定理指出的函數(shù)增量與自變量增量間的關(guān)系的關(guān)系 y / / x = f ( )，實(shí)際是以自變量增量，實(shí)際是以自變量增量 x 為為“標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)”去度量函數(shù)增量去度量函數(shù)增量 y， y / / x 可看成是函數(shù)可看成是函數(shù) y

20、= f( x )的一種的一種“絕對(duì)平均變化率絕對(duì)平均變化率”。 實(shí)際問(wèn)題有時(shí)卻需要討論所謂實(shí)際問(wèn)題有時(shí)卻需要討論所謂“相對(duì)平均變化率相對(duì)平均變化率 y / / v ”，即同時(shí)用另一個(gè)相關(guān)變量，即同時(shí)用另一個(gè)相關(guān)變量 v = g( x )的的增量增量 v 去度量函數(shù)增量去度量函數(shù)增量 y . . 相對(duì)平均變化率相對(duì)平均變化率 y / / v 是函是函數(shù)數(shù) y = f( x )對(duì)于另一函數(shù)變化的劇烈程度的度量。對(duì)于另一函數(shù)變化的劇烈程度的度量。 例如，在交流電的研究中，?？紤]交流電回路中交例如，在交流電的研究中，?？紤]交流電回路中交流電流流電流 I = I( t )隨時(shí)間的平均變化率隨時(shí)間的平均變

21、化率 I/ / t ，同時(shí)也需同時(shí)也需要考慮電流與另一相關(guān)變量交流電壓要考慮電流與另一相關(guān)變量交流電壓 V = V( t )的關(guān)系的關(guān)系, ,平均變化率平均變化率 I/ / V 反映的是反映的是交流電流隨交流電壓變化交流電流隨交流電壓變化的劇烈程度，這就是所謂的交流阻抗。的劇烈程度，這就是所謂的交流阻抗。 如果如果 I/ / V 不易求得，而不易求得，而 I ( t ), ,V ( t )易于求得易于求得，如何確如何確定定 I/ / V ？ 由于在實(shí)際問(wèn)題中，一個(gè)變由于在實(shí)際問(wèn)題中，一個(gè)變化過(guò)程常常含有多個(gè)變量，這類化過(guò)程常常含有多個(gè)變量，這類問(wèn)題顯然具有普遍意義。問(wèn)題顯然具有普遍意義。 將上

22、述問(wèn)題歸結(jié)為一般數(shù)學(xué)形式就是：將上述問(wèn)題歸結(jié)為一般數(shù)學(xué)形式就是：設(shè)有相關(guān)變量設(shè)有相關(guān)變量 X = F( x ), ,Y = f( x )，考慮用變量，考慮用變量X = F( x )的增量的增量 F 去度量另一個(gè)相關(guān)變量去度量另一個(gè)相關(guān)變量 Y = f( x )的增量的增量 f ，即考慮比值：，即考慮比值： 由拉格郎日中值定理，這一比值可表為由拉格郎日中值定理，這一比值可表為但實(shí)際問(wèn)題中這一比值可能難以求得。但實(shí)際問(wèn)題中這一比值可能難以求得。 .ffffxxxbaYYXFFXFFxxxba 或 或 d.dXYYXX 由于此時(shí)函數(shù)關(guān)系由于此時(shí)函數(shù)關(guān)系 Y = Y( X )可看成是由參數(shù)方程可看成是

23、由參數(shù)方程 X = F( x ), ,Y = f( x )給出的，由參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)計(jì)算有給出的，由參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)計(jì)算有 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) X = F( x )當(dāng)當(dāng) X = 時(shí)對(duì)應(yīng)時(shí)對(duì)應(yīng) x = ，則結(jié)果則結(jié)果 可表為可表為 于是得到相關(guān)變化率的一種中值關(guān)系式。由于相關(guān)于是得到相關(guān)變化率的一種中值關(guān)系式。由于相關(guān)變化率具有一般意義，此中值關(guān)系式就顯得重要了。變化率具有一般意義，此中值關(guān)系式就顯得重要了。 ddddddYfxYxXXFxx. . ddXffbaYYXFFXba d.dXfffbaYYXFFXFba 如果函數(shù)如果函數(shù) f( x ), ,F( x )在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a , ,b 上連續(xù)，

24、在上連續(xù)，在 開(kāi)區(qū)間開(kāi)區(qū)間( a , ,b )內(nèi)可導(dǎo)，且內(nèi)可導(dǎo)，且 F ( x )在在( a , ,b )內(nèi)每一點(diǎn)處內(nèi)每一點(diǎn)處均不為零，則在均不為零，則在( a , ,b )內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn) ( a b )，使得以下等式成立使得以下等式成立 .fffbaFFFba 柯西中值定理柯西中值定理的的 柯西中值定理的幾何意義與拉格郎日中值定理是類柯西中值定理的幾何意義與拉格郎日中值定理是類 似的，即連續(xù)光滑的曲線弧必有平行于弦的切線，所不似的，即連續(xù)光滑的曲線弧必有平行于弦的切線，所不同的只是柯西中值定理是曲線由參數(shù)式表示的情形。同的只是柯西中值定理是曲線由參數(shù)式表示的情形。XYO : .

25、XFxABaxbYfx, ,. F a F b*M XY, , x fffbaFFFba fb fa 由由柯西中值定理件，柯西中值定理件， f( x ), ,F( x )在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a , ,b 上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間( a , ,b )內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)，且且 F ( x )在在( a , ,b )內(nèi)內(nèi)每一點(diǎn)均不為零，故函數(shù)每一點(diǎn)均不為零，故函數(shù) f( x ), ,F( x )在在( a , ,b )上滿足上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，故拉格朗日中值定理?xiàng)l件，故至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn) ( a b ), ,使得使得 f( b )- f( a )= f ( )( b - - a ),

26、, F( b )- F( a )= F ( )( b - - a ), ,于是有于是有 .fffbaFFFba 錯(cuò)誤分析：錯(cuò)誤分析： 在在上述推導(dǎo)中，對(duì)不同的函數(shù)上述推導(dǎo)中，對(duì)不同的函數(shù) f( x ), ,F( x )在閉區(qū)在閉區(qū)間間 a , ,b 上上分別應(yīng)用了拉格朗日中值定理，但對(duì)不同的分別應(yīng)用了拉格朗日中值定理，但對(duì)不同的函數(shù)而言，它們所對(duì)應(yīng)的函數(shù)而言，它們所對(duì)應(yīng)的 值一般是不同的，由此所導(dǎo)值一般是不同的，由此所導(dǎo)出的結(jié)果應(yīng)是：出的結(jié)果應(yīng)是： f( b )- f( a )= f ( 1 )( b - - a )， 1 ( a , ,b )； F( b )- F( a )= F ( 2 )( b - - a ), , 2 ( a , ,b ).于是有于是有 這一結(jié)果和柯西中值定理并不相同！這一結(jié)果和柯西中值定理并不相同！ 1 2.fffbaFFFba 柯西中值定理和拉格郎日中值定理有著類似的幾何柯西中值定理和拉格郎日中值定理有著類似的幾何意義，因此它和拉格郎日中值定理有類似的應(yīng)用形式。意義，因此它和拉格郎日中值定理有類似的應(yīng)用形式。 所不同的是，柯西中值所不同的是，