圓的相關(guān)知識點

1、圓的相關(guān)知識最好配以簡單的習(xí)題掌握劉蕾老師整合板塊一：圓的有關(guān)概念一、圓的定義：1. 描述性定義：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點 O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點 A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，其中固定端點 0叫做圓心，OA叫做半徑.2. 集合性定義：平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓，頂點叫做圓心，定長叫做半徑.3. 圓的表示方法：通常用符號 O表示圓，定義中以 0為圓心，0A為半徑的圓記作“ OO ”讀作“圓0,4. 同圓、同心圓、等圓：圓心相同且半徑相等的圓叫同圓；圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓； 能夠重合的兩個圓叫做等圓 .注意：同圓或等圓的半徑相等.二、弦和弧1. 弦

2、：連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦.2. 直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做圓的直徑，直徑等于半徑的2倍.3. 弦心距：從圓心到弦的距離叫做弦心距.4. 弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧以 A B為端點的圓弧記作 AB，讀作弧AB .5. 等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧.6. 半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.7. 優(yōu)弧、劣?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧.8. 弓形：由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形.三、圓心角和圓周角1. 圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角將整個圓分為360等份，每一份的弧對應(yīng) 1的圓心角，我們也稱這樣的弧為1的弧.圓心

3、角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等.2. 圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.3. 圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.推論1:同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等.推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90的圓周角所對的弦是直徑.推論3:如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.4. 圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相 等，所對的弦的弦心距相等.推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它 們所對應(yīng)的

4、其余各組量分別相等.板塊二：圓的對稱性與垂徑定理一、圓的對稱性1. 圓的軸對稱性：圓是軸對稱圖形，對稱軸是經(jīng)過圓心的任意一條直線.2. 圓的中心對稱性：圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心.3. 圓的旋轉(zhuǎn)對稱性：圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，無論繞圓心旋轉(zhuǎn)多少角度，都能與其自身重合.二、垂徑定理1. 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.2. 推論1: 平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧； 弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條??；平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.3. 推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等.板塊三：點與圓的位置關(guān)系

5、一、點與圓的位置關(guān)系點與圓的位置關(guān)系有：點在圓上、點在圓內(nèi)、點在圓外三種，這三種關(guān)系由這個點到圓心的距離與半徑 的大小關(guān)系決定.設(shè)OO的半徑為r，點P到圓心0的距離為d，則有：點在圓外d . r ;點在圓上d =r ;點在圓內(nèi)d : r.如下表所示：宀護方 位置大糸圖形定義性質(zhì)及判定點在圓外點在圓的外部d r二點P在O0的外部.點在圓上點在圓周上d =r=點P在O0的圓周上.點在圓內(nèi)點在圓的內(nèi)部d vr呂點P在OO的內(nèi)部.、確定圓的條件1. 圓的確定確定一個圓有兩個基本條件：圓心（定點），確定圓的位置；半徑（定長），確定圓的大小.只有當(dāng)圓心和半徑都確定時，遠才能確定.2. 過已知點作圓經(jīng)過點A

6、的圓：以點A以外的任意一點 0為圓心，以0A的長為半徑，即可作出過點 A的圓，這樣的 圓有無數(shù)個.經(jīng)過兩點 A B的圓：以線段 AB中垂線上任意一點 0作為圓心，以 0A的長為半徑，即可作出過點 A B的圓，這樣的圓也有無數(shù)個.過三點的圓：若這三點 A、B、C共線時，過三點的圓不存在；若A B、C三點不共線時，圓心是線段AB與BC的中垂線的交點，而這個交點 0是唯一存在的，這樣的圓有唯 個.過n n _4個點的圓：只可以作 0個或1個，當(dāng)只可作一個時，其圓心是其中不共線三點確定的圓的圓心.3. 定理：不在同一直線上的三點確定一個圓.注意：“不在同一直線上”這個條件不可忽視，換句話說，在同一直線

7、上的三點不能作圓； “確定” 一詞的含義是“有且只有”，即“唯一存在”.4. 三角形的外接圓經(jīng)過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形.三角形外心的性質(zhì)：三角形的外心是指外接圓的圓心，它是三角形三邊垂直平分線的交點，它到三角形各頂點的距離相三角形的外接圓有且只有一個，即對于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個，這些三角形的外心重合 .銳角三角形外接圓的圓心在它的內(nèi)部；直角三角形外接圓的圓心在斜邊中點處（即直角三角形外接圓半徑等于斜邊的一半）；鈍角三角形外接圓的圓心在它的外部.板

8、塊四：直線和圓的位置關(guān)系一、直線和圓的位置關(guān)系的定義、性質(zhì)及判定設(shè)OO的半徑為r，圓心0到直線I的距離為d，則直線和圓的位置關(guān)系如下表:宀護方 位置大糸圖形定義性質(zhì)及判定相離2直線與圓沒有公共點.d 二直線1與OO相離相切Di直線與圓有唯一公共點，直線叫做 圓的切線，唯一公共點叫做切點.d =r=直線1與OO相切相交6直線與圓有兩個公共點，直線叫做 圓的割線.d cr二直線I與OO相交從另一個角度，直線和圓的位置關(guān)系還可以如下表示:直線和圓的位置關(guān)系相交相切相離公共點個數(shù)210圓心到直線的距離 d與半徑r的關(guān)系d r公共點名稱交占八、切點無 I直線名稱割線切線無、切線的性質(zhì)及判定1. 切線的性

9、質(zhì)：定理：圓的切線垂直于過切點的半徑.推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點.推論2:經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.2. 切線的判定定義法：和圓只有一個公共點的直線是圓的切線；距離法：和圓心距離等于半徑的直線是圓的切線； 定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.3. 切線長和切線長定理： 切線長：在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長. 切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線 的夾角.、三角形內(nèi)切圓1. 定義：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，

10、這個三角形叫 做圓的外切三角形.2. 多邊形內(nèi)切圓：和多邊形的各邊都相切的圓叫做多邊形的內(nèi)切圓，這個多邊形叫做圓的外切多邊形.板塊五：圓和圓的位置關(guān)系一、圓和圓的位置關(guān)系的定義、性質(zhì)及判定設(shè)OOi、O O2的半徑分別為 R r （其中Rr ）,兩圓圓心距為d，則兩圓位置關(guān)系如下表:宀護方 位置大糸圖形定義性質(zhì)及判定外離兩個圓沒有公共點，并且每個圓上 的點都在另一個圓的外部.dR+r兩圓外離外切兩個圓有唯一公共點，并且除了這 個公共點之外，每個圓上的點都在 另一個圓的外部.d = R+r二兩圓外切相交兩個圓有兩個公共點.R-rcdcR+r= 兩圓相交內(nèi)切兩個圓有唯一公共點，并且除了這 個公共點之

11、外，一個圓上的點都在 另一個圓的內(nèi)部.d = Rr呂兩圓內(nèi)切內(nèi)含兩個圓沒有公共點，并且一個圓上 的點都在另一個圓的內(nèi)部，兩圓冋 心是兩圓內(nèi)含的一種特例.0蘭d cR ru兩圓內(nèi)含說明：圓和圓的位置關(guān)系，既考慮了他們公共點的個數(shù)，又注意到位置的不同，若以兩圓的公共點的個數(shù)來 分，又可分為三大類：相離、相切、相交，其中相離兩圓沒有公共點，它包括外離與內(nèi)含兩種情況；相切兩 圓只有一個公共點，它包括內(nèi)切與外切兩種情況.二、兩圓的連心線1. 定義：通過兩圓圓心的直線叫做連心線.2. 性質(zhì)： 如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上； 相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦.三、兩圓的公切線1. 定義：和兩個

12、圓都相切的直線叫做兩圓的公切線.外公切線：兩個圓在公切線同側(cè)時，這樣的公切線叫做外公切線； 內(nèi)公切線：兩個圓在公切線兩側(cè)時，這樣的公切線叫做內(nèi)公切線.2. 公切線條數(shù)與兩圓的位置關(guān)系若兩圓外離，則外公切線條數(shù)為2 ,內(nèi)公切線條數(shù)為2，公切線總數(shù)為4 ；若兩圓外切，則外公切線條數(shù)為2 ,內(nèi)公切線條數(shù)為1，公切線總數(shù)為3 ；若兩圓相交，則外公切線條數(shù)為2 ,內(nèi)公切線條數(shù)為0 ,公切線總數(shù)為2 ；若兩圓內(nèi)切，則外公切線條數(shù)為1 ,內(nèi)公切線條數(shù)為0 ,公切線總數(shù)為1 ；若兩圓內(nèi)含，則外公切線條數(shù)為0,內(nèi)公切線條數(shù)為0 ,公切線總數(shù)為0 ；3. 性質(zhì)： 若兩圓有兩條外（內(nèi)）公切線，并且相交，則兩圓的連心線必經(jīng)過交點且平分這兩條公切線 的夾角； 若兩圓外切，則兩圓的連心線垂直兩圓的內(nèi)公切線；若兩圓內(nèi)切，則兩圓的連心線垂直兩圓 的外公切線.特別地，若兩圓為等圓，則它的兩條外公切線均與連心線平行.4. 公切線的長：公切線上兩個切點的距離叫做公切線的長.5. 公切線長定理