圓的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)

1、圓的相關(guān)知識(shí)最好配以簡(jiǎn)單的習(xí)題掌握劉蕾老師整合板塊一：圓的有關(guān)概念一、圓的定義：1. 描述性定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線(xiàn)段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn) O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn) A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，其中固定端點(diǎn) 0叫做圓心，OA叫做半徑.2. 集合性定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓，頂點(diǎn)叫做圓心，定長(zhǎng)叫做半徑.3. 圓的表示方法：通常用符號(hào) O表示圓，定義中以 0為圓心，0A為半徑的圓記作“ OO ”讀作“圓0,4. 同圓、同心圓、等圓：圓心相同且半徑相等的圓叫同圓；圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓； 能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓 .注意：同圓或等圓的半徑相等.二、弦和弧1. 弦

2、：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線(xiàn)段叫做弦.2. 直徑：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做圓的直徑，直徑等于半徑的2倍.3. 弦心距：從圓心到弦的距離叫做弦心距.4. 弧：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧以 A B為端點(diǎn)的圓弧記作 AB，讀作弧AB .5. 等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧.6. 半圓：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.7. 優(yōu)弧、劣弧：大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧.8. 弓形：由弦及其所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形.三、圓心角和圓周角1. 圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角將整個(gè)圓分為360等份，每一份的弧對(duì)應(yīng) 1的圓心角，我們也稱(chēng)這樣的弧為1的弧.圓心

3、角的度數(shù)和它所對(duì)的弧的度數(shù)相等.2. 圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.3. 圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.推論1:同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等.推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90的圓周角所對(duì)的弦是直徑.推論3:如果三角形一邊上的中線(xiàn)等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形.4. 圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相 等，所對(duì)的弦的弦心距相等.推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它 們所對(duì)應(yīng)的

4、其余各組量分別相等.板塊二：圓的對(duì)稱(chēng)性與垂徑定理一、圓的對(duì)稱(chēng)性1. 圓的軸對(duì)稱(chēng)性：圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是經(jīng)過(guò)圓心的任意一條直線(xiàn).2. 圓的中心對(duì)稱(chēng)性：圓是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)中心是圓心.3. 圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性：圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形，無(wú)論繞圓心旋轉(zhuǎn)多少角度，都能與其自身重合.二、垂徑定理1. 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.2. 推論1: 平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??； 弦的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。黄椒窒宜鶎?duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧.3. 推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等.板塊三：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

5、一、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有：點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓內(nèi)、點(diǎn)在圓外三種，這三種關(guān)系由這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離與半徑 的大小關(guān)系決定.設(shè)OO的半徑為r，點(diǎn)P到圓心0的距離為d，則有：點(diǎn)在圓外d . r ;點(diǎn)在圓上d =r ;點(diǎn)在圓內(nèi)d : r.如下表所示：宀護(hù)方 位置大糸圖形定義性質(zhì)及判定點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓的外部d r二點(diǎn)P在O0的外部.點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓周上d =r=點(diǎn)P在O0的圓周上.點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓的內(nèi)部d vr呂點(diǎn)P在OO的內(nèi)部.、確定圓的條件1. 圓的確定確定一個(gè)圓有兩個(gè)基本條件：圓心（定點(diǎn)），確定圓的位置；半徑（定長(zhǎng)），確定圓的大小.只有當(dāng)圓心和半徑都確定時(shí)，遠(yuǎn)才能確定.2. 過(guò)已知點(diǎn)作圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A

6、的圓：以點(diǎn)A以外的任意一點(diǎn) 0為圓心，以0A的長(zhǎng)為半徑，即可作出過(guò)點(diǎn) A的圓，這樣的 圓有無(wú)數(shù)個(gè).經(jīng)過(guò)兩點(diǎn) A B的圓：以線(xiàn)段 AB中垂線(xiàn)上任意一點(diǎn) 0作為圓心，以 0A的長(zhǎng)為半徑，即可作出過(guò)點(diǎn) A B的圓，這樣的圓也有無(wú)數(shù)個(gè).過(guò)三點(diǎn)的圓：若這三點(diǎn) A、B、C共線(xiàn)時(shí)，過(guò)三點(diǎn)的圓不存在；若A B、C三點(diǎn)不共線(xiàn)時(shí)，圓心是線(xiàn)段AB與BC的中垂線(xiàn)的交點(diǎn)，而這個(gè)交點(diǎn) 0是唯一存在的，這樣的圓有唯 個(gè).過(guò)n n _4個(gè)點(diǎn)的圓：只可以作 0個(gè)或1個(gè)，當(dāng)只可作一個(gè)時(shí)，其圓心是其中不共線(xiàn)三點(diǎn)確定的圓的圓心.3. 定理：不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓.注意：“不在同一直線(xiàn)上”這個(gè)條件不可忽視，換句話(huà)說(shuō)，在同一直線(xiàn)

7、上的三點(diǎn)不能作圓； “確定” 一詞的含義是“有且只有”，即“唯一存在”.4. 三角形的外接圓經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形.三角形外心的性質(zhì)：三角形的外心是指外接圓的圓心，它是三角形三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，它到三角形各頂點(diǎn)的距離相三角形的外接圓有且只有一個(gè)，即對(duì)于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無(wú)數(shù)個(gè)，這些三角形的外心重合 .銳角三角形外接圓的圓心在它的內(nèi)部；直角三角形外接圓的圓心在斜邊中點(diǎn)處（即直角三角形外接圓半徑等于斜邊的一半）；鈍角三角形外接圓的圓心在它的外部.板

8、塊四：直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系一、直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系的定義、性質(zhì)及判定設(shè)OO的半徑為r，圓心0到直線(xiàn)I的距離為d，則直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系如下表:宀護(hù)方 位置大糸圖形定義性質(zhì)及判定相離2直線(xiàn)與圓沒(méi)有公共點(diǎn).d 二直線(xiàn)1與OO相離相切Di直線(xiàn)與圓有唯一公共點(diǎn)，直線(xiàn)叫做 圓的切線(xiàn)，唯一公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).d =r=直線(xiàn)1與OO相切相交6直線(xiàn)與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線(xiàn)叫做 圓的割線(xiàn).d cr二直線(xiàn)I與OO相交從另一個(gè)角度，直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系還可以如下表示:直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)210圓心到直線(xiàn)的距離 d與半徑r的關(guān)系d r公共點(diǎn)名稱(chēng)交占八、切點(diǎn)無(wú) I直線(xiàn)名稱(chēng)割線(xiàn)切線(xiàn)無(wú)、切線(xiàn)的性質(zhì)及判定1. 切線(xiàn)的性

9、質(zhì)：定理：圓的切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑.推論1：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)切點(diǎn).推論2:經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)圓心.2. 切線(xiàn)的判定定義法：和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)；距離法：和圓心距離等于半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)； 定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn).3. 切線(xiàn)長(zhǎng)和切線(xiàn)長(zhǎng)定理： 切線(xiàn)長(zhǎng)：在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線(xiàn)上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線(xiàn)段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線(xiàn)長(zhǎng). 切線(xiàn)長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，它們的切線(xiàn)長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線(xiàn)平分兩條切線(xiàn) 的夾角.、三角形內(nèi)切圓1. 定義：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，

10、這個(gè)三角形叫 做圓的外切三角形.2. 多邊形內(nèi)切圓：和多邊形的各邊都相切的圓叫做多邊形的內(nèi)切圓，這個(gè)多邊形叫做圓的外切多邊形.板塊五：圓和圓的位置關(guān)系一、圓和圓的位置關(guān)系的定義、性質(zhì)及判定設(shè)OOi、O O2的半徑分別為 R r （其中Rr ）,兩圓圓心距為d，則兩圓位置關(guān)系如下表:宀護(hù)方 位置大糸圖形定義性質(zhì)及判定外離兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，并且每個(gè)圓上 的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部.dR+r兩圓外離外切兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，并且除了這 個(gè)公共點(diǎn)之外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在 另一個(gè)圓的外部.d = R+r二兩圓外切相交兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn).R-rcdcR+r= 兩圓相交內(nèi)切兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，并且除了這 個(gè)公共點(diǎn)之

11、外，一個(gè)圓上的點(diǎn)都在 另一個(gè)圓的內(nèi)部.d = Rr呂兩圓內(nèi)切內(nèi)含兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，并且一個(gè)圓上 的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部，兩圓冋 心是兩圓內(nèi)含的一種特例.0蘭d cR ru兩圓內(nèi)含說(shuō)明：圓和圓的位置關(guān)系，既考慮了他們公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，又注意到位置的不同，若以?xún)蓤A的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái) 分，又可分為三大類(lèi)：相離、相切、相交，其中相離兩圓沒(méi)有公共點(diǎn)，它包括外離與內(nèi)含兩種情況；相切兩 圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，它包括內(nèi)切與外切兩種情況.二、兩圓的連心線(xiàn)1. 定義：通過(guò)兩圓圓心的直線(xiàn)叫做連心線(xiàn).2. 性質(zhì)： 如果兩個(gè)圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線(xiàn)上； 相交兩圓的連心線(xiàn)垂直平分兩圓的公共弦.三、兩圓的公切線(xiàn)1. 定義：和兩個(gè)

12、圓都相切的直線(xiàn)叫做兩圓的公切線(xiàn).外公切線(xiàn)：兩個(gè)圓在公切線(xiàn)同側(cè)時(shí)，這樣的公切線(xiàn)叫做外公切線(xiàn)； 內(nèi)公切線(xiàn)：兩個(gè)圓在公切線(xiàn)兩側(cè)時(shí)，這樣的公切線(xiàn)叫做內(nèi)公切線(xiàn).2. 公切線(xiàn)條數(shù)與兩圓的位置關(guān)系若兩圓外離，則外公切線(xiàn)條數(shù)為2 ,內(nèi)公切線(xiàn)條數(shù)為2，公切線(xiàn)總數(shù)為4 ；若兩圓外切，則外公切線(xiàn)條數(shù)為2 ,內(nèi)公切線(xiàn)條數(shù)為1，公切線(xiàn)總數(shù)為3 ；若兩圓相交，則外公切線(xiàn)條數(shù)為2 ,內(nèi)公切線(xiàn)條數(shù)為0 ,公切線(xiàn)總數(shù)為2 ；若兩圓內(nèi)切，則外公切線(xiàn)條數(shù)為1 ,內(nèi)公切線(xiàn)條數(shù)為0 ,公切線(xiàn)總數(shù)為1 ；若兩圓內(nèi)含，則外公切線(xiàn)條數(shù)為0,內(nèi)公切線(xiàn)條數(shù)為0 ,公切線(xiàn)總數(shù)為0 ；3. 性質(zhì)： 若兩圓有兩條外（內(nèi)）公切線(xiàn)，并且相交，則兩圓的連心線(xiàn)必經(jīng)過(guò)交點(diǎn)且平分這兩條公切線(xiàn) 的夾角； 若兩圓外切，則兩圓的連心線(xiàn)垂直兩圓的內(nèi)公切線(xiàn)；若兩圓內(nèi)切，則兩圓的連心線(xiàn)垂直兩圓 的外公切線(xiàn).特別地，若兩圓為等圓，則它的兩條外公切線(xiàn)均與連心線(xiàn)平行.4. 公切線(xiàn)的長(zhǎng)：公切線(xiàn)上兩個(gè)切點(diǎn)的距離叫做公切線(xiàn)的長(zhǎng).5. 公切線(xiàn)長(zhǎng)定理