三重積分(柱,球坐標)

1、第三節(jié)二、三重積分的計算二、三重積分的計算機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 三重積分 2. 利用柱坐標計算三重積分利用柱坐標計算三重積分 3. 利用球坐標計算三重積分利用球坐標計算三重積分 oxyz2. 利用柱坐標計算三重積分利用柱坐標計算三重積分 ,R),(3zyxM設,代替用極坐標將ryx),zr （則就稱為點就稱為點M 的柱坐標的柱坐標.zr200 sinryzz cosrx直角坐標與柱面坐標的關系直角坐標與柱面坐標的關系:常數(shù)常數(shù) r坐標面分別為坐標面分別為圓柱面圓柱面常數(shù)半平面半平面常數(shù)z平面平面oz),(zyxMr)0 ,(yx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 0 xz yM(

2、r, , z)z rN cosrx xyz sinry (x, y, z) (r, , z)柱面坐標柱面坐標z = z.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 z動點動點M(r, , z)柱面柱面Sr =常數(shù)：常數(shù)：平面平面 z =常數(shù)：常數(shù)：Mrz柱面坐標的坐標面柱面坐標的坐標面機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 動點動點M(r, , z)半平面半平面P柱面柱面S =常數(shù)常數(shù):r =常數(shù)：常數(shù)：平面平面 z =常數(shù)：常數(shù)：zx0yzMr 柱面坐標的坐標面柱面坐標的坐標面.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xz y0 drrrd d z平面z元素區(qū)域由六個坐標面圍成：元素區(qū)域由六個坐標面圍成：半

3、平面半平面 及及 +d ; 半徑為半徑為r及及 r+dr的園柱面；的園柱面； 平面平面 z及及 z+dz；柱面坐標下的體積元素柱面坐標下的體積元素機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 柱面坐標下的體積元素柱面坐標下的體積元素xz y0 drrrd d z底面積底面積 ：r drd 半平面半平面 及及 +d ; 半徑為半徑為r及及 r+dr的園柱面；的園柱面； 平面平面 z及及 z+dz；dz平面平面z+dz.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xz y0 drrrd d z底面積底面積 ：r drd 半平面半平面 及及 +d ; 半徑為半徑為r及及 r+dr的園柱面；的園柱面； 平面平面 z及及

4、 z+dz；dz ),sin,cos(zrrf zrrdddzyxddddV =zrrddd .柱面坐標下的體積元素柱面坐標下的體積元素.zyxzyxfddd ),( dV機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 柱坐標計算適用范圍柱坐標計算適用范圍:1) 積分域積分域表面用柱面坐標表示時表面用柱面坐標表示時方程簡單方程簡單 ;2) 被積函數(shù)被積函數(shù)用柱面坐標表示時用柱面坐標表示時變量互相分離變量互相分離.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 仍然是仍然是“先一后二先一后二”化為三次積分。化為三次積分。二重積分用極坐標時二重積分用極坐標時方程和計算簡單，方程和計算簡單， 的二重積分即可。第二步：計算極

5、坐標下標下的二重積分；極坐積分后將三重積分化為第一步：先一后二，對分成兩個步驟：注：用柱坐標求zfdv3) 積分域為標準的積分域為標準的圓圓柱面時用柱面柱面時用柱面坐標化為累次積分的積分限都是常數(shù)。坐標化為累次積分的積分限都是常數(shù)。zyxzIddd 0 , 1 :222 zzyx1zzyxIxyDyxddd 4 . Dxy:221yxz ：下下底底122 yx：上頂上頂z = 0用哪種坐標？用哪種坐標？.柱面坐標柱面坐標0 xz yDxyzzrrrddd2101020 例例1.1.計算計算I =1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 圍成1, 0, 4:,sin2222zzyxzdvyxI)2c

6、os22(sinsin21sin2sinsin10 ,),()2(20 ,20:4:) 1 (1020201020201022分部積分有：間的柱體：為解：rdrrrdrrzdzrdrrdzdzrrdrdIzDrrDyxPDrDrrrjXYxy限都是常數(shù)。則柱坐標下的累次積分是標準的圓柱體區(qū)域，注：在柱坐標下，如果 zyxyxIddd1122 所所圍圍錐錐面面 , zzyx:0 xz y1DxyzrrrIDrd11dd1 2 zrrrrdd1d1 1 0 22 0 )222(ln . Dxy:rz 1 rz = 1錐面化為錐面化為: r = z1.：下下底底：上頂上頂用哪種坐標？用哪種坐標？柱面

7、坐標柱面坐標例例3. . 102)d111(2rrr.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 其中其中 為由為由例例4. 計算三重積分計算三重積分zyxyxzddd22xyx2220),0(, 0yaazz所圍所圍解解: 在柱面坐標系下在柱面坐標系下:cos202drrdcos342032acos20r20az 0及平面及平面2axyzo20dazz0dzrrzddd2原式398a柱面柱面cos2r成成半圓柱體半圓柱體.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 o oxyz例例5. 計算三重積分計算三重積分解解: 在柱面坐標系下在柱面坐標系下h:hrz42dhrdrhrr2022)4(124)41ln(

8、)41(4hhhhz hr2020hrrr202d120d,1ddd22yxzyxzyx422)0( hhz所圍成所圍成 .與平面與平面其中其中 由拋物面由拋物面42r原式原式 =機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 3. 利用球坐標計算三重積分利用球坐標計算三重積分 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 適用范圍適用范圍:1) 積分域積分域表面用球面坐標表示時表面用球面坐標表示時方程簡單方程簡單;2) 被積函數(shù)被積函數(shù)用球面坐標表示時用球面坐標表示時變量互相分離變量互相分離.0 xz y x yzM (r, , )r Nyxz. cos sinr sin sinr cosr.球面坐標球面坐標3.

9、 利用球坐標計算三重積分利用球坐標計算三重積分 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 cos ON2000rcos ONxOxN中在直角 sinrONONM中在直角 SrM yz x0r =常數(shù)常數(shù): =常數(shù)常數(shù):球面球面S動點動點M(r, , )球面坐標的坐標面球面坐標的坐標面機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 球面坐標的坐標面球面坐標的坐標面 r =常數(shù)常數(shù): =常數(shù)常數(shù):球面球面S半半平面平面P動點動點M(r, , )M yz x0 =常數(shù)常數(shù): 錐面錐面C.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 r drd rsin xz y0圓錐面圓錐面 rd 球面r圓錐面圓錐面 +d 球面球面r+d r

10、元素區(qū)域由六個坐標面圍成：元素區(qū)域由六個坐標面圍成：d rsin d 球面坐標下的體積元素球面坐標下的體積元素半平面半平面 及及 +d ； 半徑為半徑為r及及r+dr的球面；的球面；圓錐面圓錐面 及及 +d 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 r drd xz y0 ,sinsin,cossin( rrf d rd 元素區(qū)域由六個坐標面圍成：元素區(qū)域由六個坐標面圍成：rsin d 球面坐標下的體積元素球面坐標下的體積元素.半平面半平面 及及 +d ； 半徑為半徑為r及及r+dr的球面；的球面；圓錐面圓錐面 及及 +d zyxzyxfddd ),( r 2sin drd d sin drd d

11、r 2rcos )dVdV =機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 rR 對對r: 從從0R積分積分,得半徑得半徑任取球體內(nèi)一點任取球體內(nèi)一點例例1. zyxzyxfIddd ),( 求求0 xz y機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .z ,y,xRzyx:所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域在在第第一一卦卦限限 及及平平面面球球面面 000 2222 0 xz yMr R對對 : 從從0 積分，積分，.例例1. zyxzyxfIddd ),( 求求2.z ,y,xRzyx:所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域在在第第一一卦卦限限 及及平平面面球球面面 000 2222 對對r: 從從0R積分積分,得半徑得半徑任取球

12、體內(nèi)一點任取球體內(nèi)一點機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 R對對 : 從從0 積分，積分，掃遍球體掃遍球體 .例例1. zyxzyxfIddd ),( 求求2得錐面得錐面0 xz y對對r: 從從0R積分積分,得半徑得半徑任取球體內(nèi)一點任取球體內(nèi)一點對對 : 從從0 積分，積分，2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .z ,y,xRzyx:所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域在在第第一一卦卦限限 及及平平面面球球面面 000 2222 0 xz yR . 0I=V當當 f =1,.例例1. zyxzyxfIddd ),( 求求rrrrrfIRdsin)cos,sinsin,cossin(dd022020

13、.z ,y,xRzyx:所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域在在第第一一卦卦限限 及及平平面面球球面面 000 2222 對對r: 從從0R積分積分,得半徑得半徑任取球體內(nèi)一點任取球體內(nèi)一點得錐面得錐面對對 : 從從0 積分，積分，2對對 : 從從0 積分，掃遍球體積分，掃遍球體2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 球系下確定積分限練習球系下確定積分限練習1 為全球體為全球體2 為空心球體為空心球體3 為上半球體為上半球體4 為右半球體為右半球體 為球體的為球體的 第一、二卦限部分第一、二卦限部分rrfIRdsindd02 02 0 為為洞洞添添加加 Rzyx rrfIRdsindd022 02 0 rr

14、fIRdsindd022 0 0 . Rzyx.例例2. zyxzyxfIddd ),( 求求機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 rrfIRRdsindd22 02 0 rrfIRdsindd02 0 0 計計算算已已知知 )( .zyx,aazyx: z 0 xyar=2a cos 4 .M. cos20:ar 20 40 r M例例3. zyxzyxfIddd ),( rrrrrfIsadsin )cos,sinsin,cossin(ddco2 024 02 0 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4. 計算三重積分計算三重積分,)(222zdydxdzyx22yxz為錐面2222Rz

15、yx解解: 在球面坐標系下在球面坐標系下:zyxzyxddd)(222所圍立體所圍立體.40Rr 020其中其中 與球面與球面dddsind2rrv Rrr04d)22(515R40dsin20dxyzo4Rr 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 262020),sin,cos(rrdzzrrfrdrdI柱標系：2222,6),(yxzyxzdvzyxf：其中為三次積分，積分在三種坐標系下化三重22222264422),(yxyxxxdzzyxfdydxI解：由圖知：直角系：226yxz22yxz2222,6),(yxzyxzdvzyxf：其中為三次積分，積分在三種坐標系下化三重的變化范圍與下

16、面求球標系：r,20:226yxz22yxz 222222sin6cos)(6404sincosrryxzrryxz 由由由由drrrrrfddIrr sin)cos,sinsin,cossin(), 0(sin2sin24coscos2sin2sin24coscos04020222222 舍舍去去例例6.求曲面求曲面)0()(32222azazyx所圍立體體積所圍立體體積.解解: 由曲面方程可知由曲面方程可知, 立體位于立體位于xoy面上部面上部,cos0:3ar 利用對稱性利用對稱性, 所求立體體積為所求立體體積為vVdrrad3cos02dcossin32203a331a3cosar ,

17、202020dsin20d4yoz面對稱面對稱, 并與并與xoy面相切面相切, 故在球坐標系下所圍立體為故在球坐標系下所圍立體為且關于且關于 xoz yzxar機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 利用對稱性化簡三重積分計算利用對稱性化簡三重積分計算使用對稱性時應注意：使用對稱性時應注意：、積分區(qū)域關于坐標面的對稱性；積分區(qū)域關于坐標面的對稱性；、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關于三個坐標軸的被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關于三個坐標軸的 一一般般地地，當當積積分分區(qū)區(qū)域域 關關于于xoy平平面面對對稱稱，且且被被積積函函數(shù)數(shù)),(zyxf是是關關于于z的的奇奇函函數(shù)數(shù)，則則三三重重積積分分為為零零，若若被被積

18、積函函數(shù)數(shù)),(zyxf是是關關于于z的的偶偶函函數(shù)數(shù)，則則三三重重積積分分為為 在在xoy平平面面上上方方的的半半個個閉閉區(qū)區(qū)域域的的三三重重積積分分的的兩兩倍倍.奇偶性奇偶性機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 解解2)(zyx )(2222zxyzxyzyx 例例 7 7. . 計計算算 dxdydzzyx2)(其其中中 是是由由拋拋物物面面 22yxz 和和球球面面2222 zyx所所圍圍成成的的空空間間閉閉區(qū)區(qū)域域. 其其中中yzxy 是是關關于于y的的奇奇函函數(shù)數(shù), 且且 關關于于zox面面對對稱稱, 0)(dvyzxy,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 且且 關于關于yoz面對稱

19、面對稱, 0 xzdv由由對對稱稱性性知知 dvydvx22,則則 dxdydzzyxI2)(,)2(22 dxdydzzx同同理理 zx是是關關于于x的的奇奇函函數(shù)數(shù),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 在在柱柱面面坐坐標標下下：,20 , 10 r,222rzr , 122 yx投影區(qū)域投影區(qū)域 xyD： 2222222010)cos2(rrdzzrrdrdI).89290(60 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 內(nèi)容小結內(nèi)容小結zyxdddzrrddddddsin2rr積分區(qū)域積分區(qū)域多由坐標面多由坐標面被積函數(shù)被積函數(shù)形式簡潔形式簡潔, 或或坐標系坐標系 體積元素體積元素 適用情況適

20、用情況直角坐標系直角坐標系柱面坐標系柱面坐標系球面坐標系球面坐標系* * 說明說明: :三重積分也有類似二重積分的三重積分也有類似二重積分的換元積分公式換元積分公式:),(),(wvuzyxJ對應雅可比行列式為對應雅可比行列式為*ddd),(ddd),(wvuJwvuFzyxzyxf變量可分離變量可分離.圍成圍成 ;機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 選擇不同選擇不同坐標系坐標系 是要使：是要使：2,zxz1. 將將. )(),(Czyxf用三次積分表示用三次積分表示, ,2,0 xx,42, 1yxyvzyxfId),(其中其中 由由所所提示提示:20 xxy21212 zxI2d),(xzzyxf xy2121d20dx思考與練習思考與練習六個平面六個平面圍成圍成 ,:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 設設, 1:222zyx計算計算vzyxzyxzd1) 1ln(222222提示提示: 利用對稱性利用對稱性原式原式 = 122ddyxyx0奇函數(shù)奇函數(shù)222211222222d1) 1ln(yxyxzzyxzyxz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 zoxy23. 設設 由錐面由錐面2