數(shù)理統(tǒng)計(jì)全集

1、一、總體和個(gè)體一、總體和個(gè)體二、樣本二、樣本 簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本一、總體和個(gè)體一、總體和個(gè)體 一個(gè)統(tǒng)計(jì)問題總有它明確的研究對(duì)象一個(gè)統(tǒng)計(jì)問題總有它明確的研究對(duì)象. .研究某批燈泡的質(zhì)量研究某批燈泡的質(zhì)量研究對(duì)象的全體稱為研究對(duì)象的全體稱為總體總體( (母體母體) )，組成總體的每個(gè)元素稱為組成總體的每個(gè)元素稱為個(gè)體個(gè)體. .總體總體 然而在統(tǒng)計(jì)研究中，人們關(guān)心總體僅僅是關(guān)心然而在統(tǒng)計(jì)研究中，人們關(guān)心總體僅僅是關(guān)心其每個(gè)個(gè)體的一項(xiàng)其每個(gè)個(gè)體的一項(xiàng)( (或幾項(xiàng)或幾項(xiàng)) )數(shù)量指標(biāo)和該數(shù)量指標(biāo)數(shù)量指標(biāo)和該數(shù)量指標(biāo)在總體中的分布情況在總體中的分布情況. . 這時(shí)，每個(gè)個(gè)體具有的數(shù)這時(shí)，每個(gè)個(gè)體具有

2、的數(shù)量指標(biāo)的全體就是總體量指標(biāo)的全體就是總體. .某批某批燈泡的壽命燈泡的壽命該批燈泡壽命的該批燈泡壽命的全體就是總體全體就是總體國產(chǎn)轎車每公里國產(chǎn)轎車每公里的耗油量的耗油量國產(chǎn)轎車每公里耗油量國產(chǎn)轎車每公里耗油量的全體就是總體的全體就是總體所研究的對(duì)象的某個(gè)所研究的對(duì)象的某個(gè)( (或某些或某些) )數(shù)量指標(biāo)的全體稱為數(shù)量指標(biāo)的全體稱為總體總體, ,它是一個(gè)隨機(jī)變量它是一個(gè)隨機(jī)變量( (或多維隨機(jī)變量或多維隨機(jī)變量) )，記為，記為X . . X 的分布函數(shù)和數(shù)字特征稱為總體分布函數(shù)的分布函數(shù)和數(shù)字特征稱為總體分布函數(shù)和總體數(shù)字特征和總體數(shù)字特征. 例如例如: :研究某批燈泡的壽命時(shí)，總體研究

3、某批燈泡的壽命時(shí)，總體X是這批是這批燈泡的壽命，而其中每個(gè)燈泡的壽命就是個(gè)體。燈泡的壽命，而其中每個(gè)燈泡的壽命就是個(gè)體。每個(gè)每個(gè)燈泡的壽命燈泡的壽命個(gè)體個(gè)體總體總體國產(chǎn)轎車每公里國產(chǎn)轎車每公里的耗油量的耗油量國產(chǎn)轎車每公里耗油國產(chǎn)轎車每公里耗油量的全體就是總體量的全體就是總體 又如又如:研究某批國產(chǎn)轎車每公里的耗油量時(shí)，總研究某批國產(chǎn)轎車每公里的耗油量時(shí)，總體體X是這批轎車每公里的耗油量，而其中每輛轎車是這批轎車每公里的耗油量，而其中每輛轎車的耗油量就是個(gè)體。的耗油量就是個(gè)體。 類似地，在研究某地區(qū)中學(xué)生的營養(yǎng)狀況時(shí)，類似地，在研究某地區(qū)中學(xué)生的營養(yǎng)狀況時(shí)，若關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)是身高和體重，我們用

4、若關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)是身高和體重，我們用X和和Y分分別表示身高和體重，那么此總體就可用二維隨機(jī)變別表示身高和體重，那么此總體就可用二維隨機(jī)變量量(X,Y) 來表示，而每個(gè)學(xué)生的身高和體重就是個(gè)來表示，而每個(gè)學(xué)生的身高和體重就是個(gè)體體. 為推斷總體分布及各種特征，按一定規(guī)則從總為推斷總體分布及各種特征，按一定規(guī)則從總體中抽取若干個(gè)體進(jìn)行觀察試驗(yàn)，以獲得有關(guān)總體體中抽取若干個(gè)體進(jìn)行觀察試驗(yàn)，以獲得有關(guān)總體的信息，這一抽取過程稱為的信息，這一抽取過程稱為 “抽樣抽樣”，所抽取的部，所抽取的部分個(gè)體稱為分個(gè)體稱為樣本樣本. . 樣本中所包含的個(gè)體數(shù)目稱為樣本中所包含的個(gè)體數(shù)目稱為樣本容量樣本容量. .二、

5、樣本二、樣本 簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本1 1）抽樣和樣本）抽樣和樣本 樣本的抽取是隨機(jī)的，每個(gè)個(gè)體是一個(gè)隨機(jī)樣本的抽取是隨機(jī)的，每個(gè)個(gè)體是一個(gè)隨機(jī)變量變量.容量為容量為n的樣本可以看作的樣本可以看作n維隨機(jī)變量，用維隨機(jī)變量，用X1,X2,Xn表示表示. 而一旦取定一組樣本，得到的是而一旦取定一組樣本，得到的是n個(gè)具體的個(gè)具體的數(shù)數(shù) (x1,x2,xn)，稱其為樣本的一個(gè)觀察值，簡(jiǎn)，稱其為樣本的一個(gè)觀察值，簡(jiǎn)稱稱樣本值樣本值 .2.X1,X2,Xn相互獨(dú)立相互獨(dú)立. 由于抽樣的目的是為了對(duì)總體進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，由于抽樣的目的是為了對(duì)總體進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，為了使抽取的樣本能很好地反映總體的信息，必須為了

6、使抽取的樣本能很好地反映總體的信息，必須考慮抽樣方法考慮抽樣方法. .最常用的一種抽樣方法叫作最常用的一種抽樣方法叫作“簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣隨機(jī)抽樣”，它要求抽取的樣本滿足下面兩點(diǎn)，它要求抽取的樣本滿足下面兩點(diǎn):1. 樣本樣本X1,X2,Xn中每一個(gè)中每一個(gè)Xi與所考察的總體與所考察的總體X有相同的分布有相同的分布.2 2）簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本）簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 由簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到的樣本稱為由簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本本，它可以用與總體獨(dú)立同分布的，它可以用與總體獨(dú)立同分布的n個(gè)相互獨(dú)立個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的隨機(jī)變量X1,X2,Xn表示表示. 簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本是應(yīng)用中最常見的情形，今后，簡(jiǎn)單

7、隨機(jī)樣本是應(yīng)用中最常見的情形，今后，當(dāng)說到當(dāng)說到“X1,X2,Xn是取自某總體的樣本是取自某總體的樣本”時(shí)，時(shí)，若不特別說明，就指簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本若不特別說明，就指簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本. 設(shè)設(shè)X1,X2,Xn 是總體是總體X的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，1)若若X為離散型總體，其分布律是為離散型總體，其分布律是p(x)，則，則X1,X2,Xn的的聯(lián)合分布律為聯(lián)合分布律為p(x1) p (x2) p (xn) 2)若若X為連續(xù)型總體，其概率密度是為連續(xù)型總體，其概率密度是f(x)，則，則X1,X2,Xn的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為f (x1) f (x2) f (xn) 事實(shí)上我們抽樣后得到的資料

8、都是具體的、事實(shí)上我們抽樣后得到的資料都是具體的、確定的值確定的值. 如我們從某班大學(xué)生中抽取如我們從某班大學(xué)生中抽取10人測(cè)量人測(cè)量身高，得到身高，得到10個(gè)數(shù)，它們是樣本取到的值而不是個(gè)數(shù)，它們是樣本取到的值而不是樣本樣本. 我們只能觀察到隨機(jī)變量取的值而見不到我們只能觀察到隨機(jī)變量取的值而見不到隨機(jī)變量隨機(jī)變量.3）總體、樣本、樣本值的關(guān)系）總體、樣本、樣本值的關(guān)系 統(tǒng)計(jì)是從手中已有的資料統(tǒng)計(jì)是從手中已有的資料 樣本值，去推斷樣本值，去推斷總體的情況總體的情況 總體分布總體分布F(x)的性質(zhì)的性質(zhì). 總體分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，也就是總體分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，也就是樣本取到

9、樣本值的規(guī)律，因而可以由樣本值去推斷樣本取到樣本值的規(guī)律，因而可以由樣本值去推斷總體總體. 4 4）經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)）經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) 設(shè)設(shè)X1,X2,Xn為取自總體為取自總體X的樣本，的樣本， x1,x2,xn為其觀察值為其觀察值.對(duì)于每個(gè)固定的對(duì)于每個(gè)固定的x，設(shè)事件，設(shè)事件Xx在在n次觀察中出現(xiàn)的次數(shù)為次觀察中出現(xiàn)的次數(shù)為vn(x)，于是事，于是事件件Xx發(fā)生的頻率為：發(fā)生的頻率為：( )( )nnvxFxxn 顯然顯然Fn(x)為不減右連續(xù)函數(shù)，且為不減右連續(xù)函數(shù)，且()0,() 1nnFF 稱稱 Fn(x) 為樣本分布函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為樣本分布函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù).定理（格列文科）當(dāng)定理（格

10、列文科）當(dāng)n時(shí)，經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)時(shí)，經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) Fn(x) 依概率依概率1關(guān)于關(guān)于x一致收斂與總體分布函數(shù)，即一致收斂與總體分布函數(shù)，即lim sup |( )( )| 01nnxPFxF x 定理表明：定理表明：當(dāng)樣本容量當(dāng)樣本容量n充分大時(shí)，經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)充分大時(shí)，經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) Fn(x) 幾乎一定會(huì)充分趨近總體分布函數(shù)幾乎一定會(huì)充分趨近總體分布函數(shù)F(x),這是這是用樣本來推斷總體的理論依據(jù)用樣本來推斷總體的理論依據(jù). 由樣本值去推斷總體情況，需要對(duì)樣本值進(jìn)行由樣本值去推斷總體情況，需要對(duì)樣本值進(jìn)行“加工加工”，這就要構(gòu)造一些樣本的函數(shù)，它把樣本，這就要構(gòu)造一些樣本的函數(shù)，它把樣本中所含的（

11、某一方面）信息集中起來中所含的（某一方面）信息集中起來. .中不含有任何的未知參數(shù)，則稱函數(shù)中不含有任何的未知參數(shù)，則稱函數(shù)g(X1，X2，,Xn)如果樣本如果樣本X1，X2，,Xn的函數(shù)的函數(shù)g(X1，X2，,Xn)為統(tǒng)計(jì)量為統(tǒng)計(jì)量. .g(x1，x2，,xn)為統(tǒng)計(jì)量為統(tǒng)計(jì)量g(X1，X2，,Xn)的一個(gè)的一個(gè)若若x1，x2，,xn是相應(yīng)的樣本值，則稱函數(shù)值是相應(yīng)的樣本值，則稱函數(shù)值觀察值觀察值.若若 , 2 已知已知, 則則,XnXnii 11是統(tǒng)計(jì)量，是統(tǒng)計(jì)量，而而是是X 的一個(gè)樣本的一個(gè)樣本,nXXX,21則則 niiX1221不是統(tǒng)計(jì)量不是統(tǒng)計(jì)量. . niiXXnS12211也是

12、統(tǒng)計(jì)量也是統(tǒng)計(jì)量. niiX1221，),(NX22,是未知參數(shù)是未知參數(shù), niiXnX11 nii)XX(nS12211它反映了總體均值它反映了總體均值的信息的信息它反映了總體方差它反映了總體方差的信息的信息nikikXnA11nikikXXnB1)(1 k=1,2,它反映了總體它反映了總體 k 階矩階矩的信息的信息它反映了總體它反映了總體 k 階階中心矩的信息中心矩的信息它們的觀察值分別為：它們的觀察值分別為： niixnx11 niixxns122)(11 nikikxna11 nikikxxnb1)(1由大數(shù)定律可知：由大數(shù)定律可知： nikikXnA11)(kXE依概率收斂于依概率

13、收斂于例例1. 從一批相同的電子元件中隨機(jī)地抽出從一批相同的電子元件中隨機(jī)地抽出8個(gè)，測(cè)得使用個(gè)，測(cè)得使用壽命（單位：小時(shí)）分別為：壽命（單位：小時(shí)）分別為：2300，2430，2580，2400，2280，1960，2460，2000，試計(jì)算樣本均值、樣本方差及，試計(jì)算樣本均值、樣本方差及樣本二階矩樣本二階矩.解：解： niixnx11（小時(shí)）（小時(shí)）25.2301 niixxns122)(11）（小時(shí)（小時(shí)27857.48126 niixna1221）（小小時(shí)時(shí)25 .5337862 統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)，而樣本是隨機(jī)統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)，而樣本是隨機(jī)變量，故統(tǒng)計(jì)量也是隨機(jī)變量，因而就有變量，

14、故統(tǒng)計(jì)量也是隨機(jī)變量，因而就有一定的分布，它的分布稱為一定的分布，它的分布稱為“抽樣分抽樣分布布” . . 下面介紹三個(gè)來自正態(tài)總體的抽樣分布下面介紹三個(gè)來自正態(tài)總體的抽樣分布. .)n(222分布分布1、 設(shè)設(shè) 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, ,都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布nX,X,X21222212nXXX N(0,1), 則稱隨機(jī)變量：則稱隨機(jī)變量： 所服從的分布為自由度為所服從的分布為自由度為 n 的的 分布，記為分布，記為22分布的概率密度為分布的概率密度為 其其它它00)2(21)(2122yeynyfynn在在其中其中）（001 sdtte)s(st)2(n是函數(shù)是函數(shù)2ns 處的值

15、處的值. .n=1n=4n=10f(y)0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 x0.50.40.30.20.1有所改變有所改變. .2分布的概率密度圖形如下：分布的概率密度圖形如下：2顯然顯然分布的概率密度圖形隨自由度的不同而分布的概率密度圖形隨自由度的不同而性質(zhì)性質(zhì)1.1. ),(22n設(shè)設(shè)nDnE2)(,)(22 則則設(shè)設(shè) niiin,i),(NXX1222110nX,X,X21相互獨(dú)立相互獨(dú)立, ,則則,)X(D,)X(Eii10 niiXEE1222n ）（ niiXE12 22)X(E)X(D)X(Eiii , 1 3d21)(2244 xexXExi2)()()(2242

16、 iiiXEXEXD niiXDnD122)(n2 這個(gè)性質(zhì)稱為這個(gè)性質(zhì)稱為 分布的可加性分布的可加性. .2性質(zhì)性質(zhì)2.2. )(2122221nn ),(1221n設(shè)設(shè)),(2222n且且21與與22相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則t 的概率密度為的概率密度為：2121221 n)nt(n)n()n()t (h 設(shè)設(shè)XN( 0 , 1 ) , , Y YnYXt 所服從的分布為自由度為所服從的分布為自由度為 n 的的 t 分布分布. .記為記為tt (n).)(2n2、t 分布分布，且，且 X 與與 Y 相互相互獨(dú)立，則稱變量獨(dú)立，則稱變量n=4n=10n=1xt(x;n)o t分布的概率密度函數(shù)

17、關(guān)于分布的概率密度函數(shù)關(guān)于t=0對(duì)稱，且對(duì)稱，且當(dāng)當(dāng)n充分大時(shí)充分大時(shí)(n30)，其圖形與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的，其圖形與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的圖形非常接近概率密度函數(shù)的圖形非常接近.但對(duì)于較小的但對(duì)于較小的n，t 分布與分布與N (0,1)分布相差很大分布相差很大.由定義可見，由定義可見，3、F分布分布則稱統(tǒng)計(jì)量則稱統(tǒng)計(jì)量服從自由度為服從自由度為n1及及 n2 的的F分布，分布，n1稱為第一自由度，稱為第一自由度，21nYnXF 121nXnYF F(n2,n1),n(Y),n(X2212 設(shè)設(shè)X 與與 Y 相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，n2稱為第二自由度，記作稱為第二自由度，記作 FF(n1,n2)

18、. 0001)()()()()()(2222212112121212121xxxxxnnnnnnnnnnnnn若若XF(n1,n2)，則，則X的概率密度為的概率密度為xo)n,n;x(f21 2n201 n252 n102 n注意：注意：統(tǒng)計(jì)的三大分布的定義、基本性質(zhì)在后面的統(tǒng)計(jì)的三大分布的定義、基本性質(zhì)在后面的學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到，要牢記！學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到，要牢記！4、上、上分位點(diǎn)分位點(diǎn) dxxfxXPx )(設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為的概率密度為 f(x),對(duì)于對(duì)于任意給定的任意給定的(01),若存在實(shí)數(shù)若存在實(shí)數(shù)x,使得使得：則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)x為該概率分布的上為該概率分布的上分位點(diǎn)分位點(diǎn) 對(duì)

19、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量對(duì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量ZN(0, 1)和給定的和給定的 ，上，上 分分位數(shù)是由位數(shù)是由： PZz =2212tzdte 即即 PZ45），），2其中其中Z是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn)分位點(diǎn)22)12(21 nZ3）對(duì)于）對(duì)于 t 分布分布a)由其對(duì)稱性，有：由其對(duì)稱性，有： )()(1ntnt b) 當(dāng)當(dāng)n充分大時(shí)（充分大時(shí)（n45），）， Znt )(4）對(duì)于）對(duì)于F分布，有：分布，有：),(1),(12211nnFnnF 例例2. 查表求下列值查表求下列值： ，)5(01. 0t，)6(95. 0t，)9,10(1 . 0F，)2,28(9 . 0F，)(.202

20、250 3649. 3)5(01. 0 t)6()6(05. 095. 0tt 42. 2)9,10(1 . 0 F解：解：9432. 1 )28, 2(1)2,28(1 . 09 . 0FF 828.23)20(225. 0 ， 4 . 050. 21 .z.010332010.z. )3 , 0(2N例例3.設(shè)總體設(shè)總體X和和Y相互獨(dú)立，同服從相互獨(dú)立，同服從分布，而分布，而 X1，X2，, X9 和和 Y1，Y2，, Y9292221921YYYXXXU 的分布的分布.分別是來自分別是來自X和和Y的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求統(tǒng)計(jì)量的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求統(tǒng)計(jì)量解：解：)9 , 0( NXi)81, 0(

21、91NXii )1 , 0(991NXii )9 , 0( NYi)1()3(22Yi)9(992912912YYiiii 81/9/91291 iiiiYXU)9( t292221921YYYXXX X1，X2，,X15是來自是來自X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求求)2 , 0(2N例例4.設(shè)總體設(shè)總體X服從服從分布，而分布，而)XXX(XXXY21521221121022212 的分布的分布. .統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量解：解：)2 , 0(2NXi)1()2(22Xi)10(44210121012XXiiii )5(4421511215112XXiiii 20402152122112102221

22、/)XXX(/XXX ）（)XXX(XXX21521221121022212 Y )5 ,10( F例例5 設(shè)總體設(shè)總體)1 ,0( NX16,XX為總體為總體 X 的樣本的樣本,26542321)()(XXXXXXY 試確定常數(shù)試確定常數(shù) c ,使使解：解：, ) 3 , 0 (321NXXX ) 1 , 0 (31654NXXX 265423213131 XXXXXX故故因此因此1 / 3 .c ) 2(312Y 2分布分布. .cY 服從服從) 3 , 0 (654NXXX ，) 1 , 0 (31321NXXX 當(dāng)總體為當(dāng)總體為正態(tài)分布正態(tài)分布時(shí)，教材上給出了幾個(gè)時(shí)，教材上給出了幾個(gè)重

23、要的抽樣分布定理重要的抽樣分布定理. .這里我們不加證明地?cái)⑹鲞@里我們不加證明地?cái)⑹? . 設(shè)設(shè)X1,X2,Xn是取自正態(tài)總體是取自正態(tài)總體),(2 N的樣本，則有的樣本，則有),(2nNX （1 1）樣本均值）樣本均值（2 2）樣本均值）樣本均值 與樣本方差與樣本方差 相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。X2S（3 3）隨機(jī)變量）隨機(jī)變量22)1Sn （）（）（12221 nXXnii 設(shè)設(shè)X1,X2,Xn是取自正態(tài)總體是取自正態(tài)總體),(2 N的樣本的樣本, ,2SX和和分別為樣本均值和樣本方差分別為樣本均值和樣本方差, ,則有則有) 1(ntnSX )2(112) 1() 1()(21212122221

24、121nntnnnnSnSnYX ，設(shè)設(shè)),(),(2221NYNX且且X與與Y獨(dú)立獨(dú)立,YX和和分別是這兩個(gè)樣本的樣本均值分別是這兩個(gè)樣本的樣本均值,自自Y的樣本的樣本,分別是這兩個(gè)樣本的樣本方差分別是這兩個(gè)樣本的樣本方差,則有則有2221SS 和和是取自是取自X的樣本的樣本,X1 , X2 , ,1nXY1 ,Y 2,2nY是取是取 ) 1, 1(2122222121nnFSS ，設(shè)設(shè)),(),(222211NYNX且且X與與Y獨(dú)立獨(dú)立,YX和和分別是這兩個(gè)樣本的樣本均值，分別是這兩個(gè)樣本的樣本均值，Y的樣本的樣本,分別是這兩個(gè)樣本的樣本方差分別是這兩個(gè)樣本的樣本方差,則有則有2221SS

25、 和和1nXX1, X2,是取自是取自X的樣本的樣本,Y1,Y2,2nY是取自是取自上述上述4 4個(gè)抽樣分布定理很重要，要牢固掌握個(gè)抽樣分布定理很重要，要牢固掌握. .的概率不小于的概率不小于90%,90%,則樣本容量至少取多少則樣本容量至少取多少? ?例例6.設(shè)設(shè)(72 ,100)XN, ,為使樣本均值大于為使樣本均值大于7070的概率的概率解：解：設(shè)樣本容量為設(shè)樣本容量為 n , 則則)100,72(nNX)70( XP n1072701)70(1 XP n2 . 0 令令 9 . 02 . 0 n得得29. 12 . 0 n即即6025.41 n所以至少取所以至少取42 n例例7. 從正

26、態(tài)總體從正態(tài)總體),(2NX中，抽取了中，抽取了 n = 20的樣本的樣本1220,XXX解：解： (1)(1) )19(11922012222XXSii 即即) 1() 1(222 nSn 202221110.381651.8095520iiPXX （） 202221120.37171.708520iiPX （）故故 191361633720122.XX.Pii 191361633712012220122.XXP.XXPiiii98. 001. 099. 0 查查表表 202221110.381651.8095520iiPXX （）(2)(2) )20(22012Xii 故故 1734434

27、72012.X.Pii 1734434720122012.XP.XPiiii97. 0025. 0995. 0 202221120.37171.708520iiPX （）3 3 掌握給出的四個(gè)抽樣分布定理。掌握給出的四個(gè)抽樣分布定理。第六章第六章 小小 結(jié)結(jié)1.1.給出了總體、個(gè)體、樣本和統(tǒng)計(jì)量的概念，要掌給出了總體、個(gè)體、樣本和統(tǒng)計(jì)量的概念，要掌2.2.給出了給出了 分布、分布、t t分布、分布、F F分布的定義和性質(zhì)，要會(huì)分布的定義和性質(zhì)，要會(huì)2查表求其上查表求其上分位點(diǎn)。分位點(diǎn)。握樣本均值和樣本方差的計(jì)算及基本性質(zhì)。握樣本均值和樣本方差的計(jì)算及基本性質(zhì)。X 0 1Pk 1-p ppXE

28、)(pXE )(2)1()(ppXD 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X服從二點(diǎn)分布，其服從二點(diǎn)分布，其分布律為：分布律為：隨機(jī)變量隨機(jī)變量XB(n,p),其分布律為：其分布律為：nkppCkXPknkkn, 2 , 1,)1( 由二項(xiàng)分布定義可知，由二項(xiàng)分布定義可知，X是是n重貝努利試驗(yàn)中事件重貝努利試驗(yàn)中事件A發(fā)發(fā)生的次數(shù)，且在每次試驗(yàn)中生的次數(shù)，且在每次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為p，設(shè)，設(shè)nkkAkAXk,2 , 1,01 次次不不發(fā)發(fā)生生在在第第次次發(fā)發(fā)生生在在第第則則Xk服從二點(diǎn)分布，其分布律為：服從二點(diǎn)分布，其分布律為：X 0 1Pk 1-p p,)(pXEk )1()(ppXDk nX

29、XXX 21)(XE)(XD)()()(21nXEXEXE np )1(pnp )()()(21nXDXDXD )1()()(pnpXDnpXE ，若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量XB( n , p ),則則即：即：隨機(jī)變量隨機(jī)變量 ，其分布律為：，其分布律為：)( X, 2 , 1 , 0,! kkekXPk 0!)(kkkekXE 11)!1(kkke ee 22)()()(XEXEXD 即：即：XDXE )(,)()(2XE)1(XXXE )()1(XEXXE 0!)1(kkkekk 222)!2(kkke ee2 2若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X(),則則設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間在區(qū)間(a,b)上服從

30、均勻分布，其概率上服從均勻分布，其概率密度為密度為,01)( 其它其它bxaabxf dxxxfXE)()( badxabx12ba abxab212 )(2XE badxabx12)(333abab 322baba 22)()()(XEXEXD 4232222babababa 12)(2ab 即即12)()(,2)(2abXDbaXE 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量XU( a , b ),則則隨機(jī)變量隨機(jī)變量 ，其概率密度為：，其概率密度為：),(2 NX xexfx,21)(222)( dxxxfXE)()( dxexx222)(21 （令（令 ） xt tdett 22)(21 dtet222 )

31、()(2XEXEXD dxexx222)(221)( （令（令 ） xt tdett22222 222)(2tdet tdetett222222 222 2 2)(,)(XDXE 即即若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量XN（,2 ）, 則則隨機(jī)變量隨機(jī)變量X服從參數(shù)為服從參數(shù)為的指數(shù)分布的指數(shù)分布，其概率密度為：，其概率密度為： 0001)(xxexfx dxxxfXE)()( 01dxexx 0 xdex）（dxeexxx 00|）（0| xe dxxfxXE)()(22 021dxexx 02xdex ）（0|22 xedxxeexxx 0220|）（ 02xdex ）（dxeexxx 020|2）（，

32、22 22)()()(XEXEXD 2 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為服從參數(shù)為的指數(shù)分布的指數(shù)分布，則，則即即2)()(XDXE ，已知已知 求求 , )3( X,12 XY, )(YE, )(YD)1(32 XE, )3( X則則,3)( XE3)( XD)(YE1)(2 XE5 )(YD)(4XD 12 )1(32 XE3)(32 XE3)()(32 XEXD33 , )9 , 1(NYX在區(qū)間在區(qū)間(1，5)上服從均勻分布上服從均勻分布, ,已知已知X和和Y相互獨(dú)立，且相互獨(dú)立，且X在區(qū)間在區(qū)間(1，5)上服從上服從均勻分布，均勻分布， 求求(1) (X,Y)的概率密的概率密度度;(

33、2), )243( YXE)243( YXD, )9, 1( NY,05141)( 其它其它xxfX)(XE251 3 )(XD12)15(2 34 ,231)(18)1(2 yeyfyY ,1)( YE9)( YD由由X和和Y相互獨(dú)立得：相互獨(dú)立得：)()(),(yfxfyxfYX 其其它它0,51,212118)1(2yxey )243( YXE2)(4)(3 YEXE3 )243( YXD)()4()(92YDXD 156 概率論中用來闡明大量隨機(jī)現(xiàn)象平均概率論中用來闡明大量隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果的穩(wěn)定性的一系列定理，稱為大數(shù)定結(jié)果的穩(wěn)定性的一系列定理，稱為大數(shù)定律律第一節(jié)第一節(jié) 大數(shù)定律大數(shù)

34、定律一個(gè)常數(shù)，若對(duì)于任給的正數(shù)一個(gè)常數(shù)，若對(duì)于任給的正數(shù) 0, 0, 總成立總成立1|lim aYPnn,21nYYY設(shè)設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量序列，是一個(gè)隨機(jī)變量序列， a 是是則稱則稱 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 序列序列,21nYYY依概率收斂于依概率收斂于a，記為記為）（ naYPn）（）（ nagYgPn）（ naYPn1.設(shè)設(shè)，g（x）是連續(xù)是連續(xù)函數(shù)，則函數(shù)，則）（，（），（ nbagYXgPnn，）（ naXPn2.設(shè)設(shè)g（x , y）是二元連續(xù)函數(shù)，則是二元連續(xù)函數(shù)，則，）（ nbYPn 設(shè)設(shè)n重貝努里試驗(yàn)中事件重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)為發(fā)生的次數(shù)為n，A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為在每次試

35、驗(yàn)中發(fā)生的概率為 p ，則對(duì)任給的，則對(duì)任給的0，總，總成立成立1 |pn|Plimnn即：即：）（ npnPn貝努里大數(shù)定律的意義貝努里大數(shù)定律的意義在概率的統(tǒng)計(jì)定義中在概率的統(tǒng)計(jì)定義中, 事件事件A 發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率 “ 穩(wěn)定于穩(wěn)定于”事件事件A 在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是指：頻率在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是指：頻率 與與 pnnA有較大偏差有較大偏差 pnnA大時(shí)可以用頻率近似代替大時(shí)可以用頻率近似代替 p . . nnA是小概率事件是小概率事件, , 因而在因而在 n 足夠足夠 貝努里大數(shù)定律提供了通過試驗(yàn)來確定事件概率的貝努里大數(shù)定律提供了通過試驗(yàn)來確定事件概率的方法方法. . nii

36、nXnP11|1|lim 設(shè)隨機(jī)變量序列設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2, 相互獨(dú)立，并且具有相同相互獨(dú)立，并且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差，的數(shù)學(xué)期望和方差，E(Xi)=，D(Xi)=2,i=1,2, ,則對(duì)則對(duì)任給的任給的0，總成立，總成立即即）（ nXnPnii11定理定理2的意義的意義 具有相同數(shù)學(xué)期望和方差的獨(dú)立隨機(jī)變量序列的算具有相同數(shù)學(xué)期望和方差的獨(dú)立隨機(jī)變量序列的算術(shù)平均值依概率收斂于數(shù)學(xué)期望術(shù)平均值依概率收斂于數(shù)學(xué)期望.當(dāng)當(dāng) n 足夠大時(shí)足夠大時(shí), 實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的算術(shù)平均幾乎是一常數(shù)結(jié)果的算術(shù)平均幾乎是一常數(shù). 因此，在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)因此，在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí)足夠大時(shí)

37、, ,可用可用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)結(jié)果的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)結(jié)果的算術(shù)平均數(shù)來估計(jì)隨機(jī)變量的算術(shù)平均數(shù)來估計(jì)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望. . niniiinnXnP111|11|lim 設(shè)隨機(jī)變量序列設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2, 相互獨(dú)立，它們都具有數(shù)相互獨(dú)立，它們都具有數(shù)學(xué)期望：學(xué)期望：E(Xi)=i，并且都，并且都具有被同一常數(shù)具有被同一常數(shù)C所限制的所限制的方差：方差：D(Xi)= 0 0，總成立，總成立2i即即）（ nnXnniiPnii1111 niiXn11接近于其數(shù)學(xué)接近于其數(shù)學(xué)期望的算術(shù)平均的概率接近于期望的算術(shù)平均的概率接近于1.1.即當(dāng)即當(dāng)n充分大時(shí)，充分大時(shí)， 差不多不再是隨機(jī)的了，取值差

38、不多不再是隨機(jī)的了，取值定理定理3的意義的意義 定理表明，獨(dú)立隨機(jī)變量序列定理表明，獨(dú)立隨機(jī)變量序列Xn，如果方差有共，如果方差有共 niiXn11與其數(shù)學(xué)期望與其數(shù)學(xué)期望 nii)X(En11小的概率接近于小的概率接近于1.1.同的上界，則同的上界，則偏差很偏差很 設(shè)隨機(jī)變量序列設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2, 相互獨(dú)立，服從同一分布，相互獨(dú)立，服從同一分布，具有相同的數(shù)學(xué)期具有相同的數(shù)學(xué)期 望望E(Xi)=, i=1,2,， 則對(duì)于任給則對(duì)于任給正數(shù)正數(shù) 0 ，總成立，總成立1|1|lim1 XnPniin即即）（ nXnPnii111|1|lim1 XnPknikin 設(shè)隨機(jī)變量序列設(shè)隨機(jī)變量

39、序列X1,X2, 相互獨(dú)立，服從同相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有相同的一分布，且具有相同的k 階矩階矩，）（21 iXEkki則對(duì)任給正數(shù)則對(duì)任給正數(shù)0 0，總成立，總成立即即）（ nXnkPniki11這一節(jié)我們介紹了大數(shù)定律這一節(jié)我們介紹了大數(shù)定律大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了隨機(jī)現(xiàn)象最根本大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了隨機(jī)現(xiàn)象最根本的性質(zhì)之一：的性質(zhì)之一：它是隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的具體表現(xiàn)它是隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的具體表現(xiàn). .在理論和實(shí)際在理論和實(shí)際中都有廣泛的應(yīng)用中都有廣泛的應(yīng)用. .平均結(jié)果的穩(wěn)定性平均結(jié)果的穩(wěn)定性第二節(jié)第二節(jié) 中心極限定理中心極限定理 客觀實(shí)際中，許多隨機(jī)變量是由大量客觀

40、實(shí)際中，許多隨機(jī)變量是由大量相互獨(dú)立的偶然因素的綜合影響所形成，每一個(gè)微小相互獨(dú)立的偶然因素的綜合影響所形成，每一個(gè)微小因素，在總的影響中所起的作用是很小的，但總起來，因素，在總的影響中所起的作用是很小的，但總起來，卻對(duì)總和有顯著影響，這種隨機(jī)變量往往近似地服從卻對(duì)總和有顯著影響，這種隨機(jī)變量往往近似地服從正態(tài)分布。正態(tài)分布。 概率論中有關(guān)論證獨(dú)立隨機(jī)變量的和的極限分布是概率論中有關(guān)論證獨(dú)立隨機(jī)變量的和的極限分布是正態(tài)分布的一系列定理稱為中心極限定理。正態(tài)分布的一系列定理稱為中心極限定理。 由于無窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于由于無窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于，故我，故我們不研究們不研究n個(gè)隨機(jī)變量之和

41、本身而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化個(gè)隨機(jī)變量之和本身而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量的隨機(jī)變量 nkknknkkknXDXEXZ111)()(的極限分布的極限分布. .下面介紹常用的三個(gè)中心極限定理。下面介紹常用的三個(gè)中心極限定理。xnnXPlimniin 1 x-2t -dte212 設(shè)設(shè)X1,X2, 是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且E(Xi)=，D(Xi)=2，i=1,2,，則，則 定理表明：定理表明：當(dāng)當(dāng)n充分大時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量充分大時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. .nnXnii 1 由此可知：由此可知：對(duì)于獨(dú)立的隨機(jī)變量序列對(duì)于獨(dú)立的隨機(jī)變量序列

42、 ，不管不管 服從什么分布，只要它們是同服從什么分布，只要它們是同分布，且有有限的數(shù)學(xué)期望和方差，那么，當(dāng)分布，且有有限的數(shù)學(xué)期望和方差，那么，當(dāng)n n充充分大時(shí)，這些隨機(jī)變量之和分大時(shí)，這些隨機(jī)變量之和 近似地服從正態(tài)近似地服從正態(tài)分布分布 nX(1,2, )in 1niiX 2,N nn iX(1) (1) 至少命中至少命中180發(fā)炮彈的概率發(fā)炮彈的概率; ;(2) (2) 命中的炮彈數(shù)不到命中的炮彈數(shù)不到200發(fā)的概率發(fā)的概率. .例例1.1.炮火轟擊敵方防御工事炮火轟擊敵方防御工事 100 次次, , 每次轟擊命中每次轟擊命中的炮彈數(shù)服從同一分布的炮彈數(shù)服從同一分布, , 其數(shù)學(xué)期望為

43、其數(shù)學(xué)期望為 2 , , 均方差均方差為為1.5. . 若各次轟擊命中的炮彈數(shù)是相互獨(dú)立的若各次轟擊命中的炮彈數(shù)是相互獨(dú)立的, , 求求100 次轟擊中次轟擊中解：解：設(shè)設(shè) X k 表示第表示第 k 次轟擊命中的炮彈數(shù)，次轟擊命中的炮彈數(shù)，100, 2 , 1,5 . 1)(, 2)(2 kXDXEkk設(shè)設(shè) X 表示表示100次轟擊命中的炮彈數(shù)次轟擊命中的炮彈數(shù), ,則則,1001 kkXX由獨(dú)立同分布中心極限定理由獨(dú)立同分布中心極限定理, , 有有）， 1015200(NX 近似近似則則10021,XXX相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，又又,225)(,200)( XDXE(1) 180 XP(2)20

44、00 XP9082. 0)3 . 1 ( 5 . 0115 . 0 ）（33. 115200 XP)33. 1(1 1520020015200152000 XP01520033.13 XP)33.13()0( )33.13(1 )0( 1520018015200 XP例例2.一食品店有三種蛋糕出售，由于售出哪一種蛋一食品店有三種蛋糕出售，由于售出哪一種蛋糕是隨機(jī)的，因而售出一只蛋糕的價(jià)格是一個(gè)隨機(jī)糕是隨機(jī)的，因而售出一只蛋糕的價(jià)格是一個(gè)隨機(jī)變量，它取變量，它取1(元元)，1.2 (元元)，1.5(元元)各值的概率分別各值的概率分別為為0.3，0.2，0.5.某天售出某天售出300只蛋糕只蛋糕.

45、求這天的收入求這天的收入至少達(dá)至少達(dá)400 (元元)的概率的概率解：解：設(shè)第設(shè)第i只蛋糕的價(jià)格為只蛋糕的價(jià)格為Xi，i=1,2,300,則則Xi的分的分布律為布律為P 1 1.2 1.5Xi 0.3 0.2 0.5)(iXE)(2iXE22)(）（）（iiiXEXEXD 由獨(dú)立同分布中心極限定理知：由獨(dú)立同分布中心極限定理知：即即)10(0489.030029.13003001），NXii 近似近似)10(8301.33873001），NXii 近似近似29. 1 5 . 05 . 12 . 02 . 13 . 01 5 . 05 . 12 . 02 . 13 . 0122 713. 1 22

46、9. 1713. 1 0489. 0 4003001 iiXP8301. 33874008301. 33873001 iiXP39. 38301. 33873001 iiXP)39. 3(1 0003. 09997. 01 )1(limxpnpnpPnn 設(shè)設(shè)n重貝努利試驗(yàn)中事件重貝努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)為發(fā)生的次數(shù)為n,事事件件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p,則對(duì)于任給實(shí)則對(duì)于任給實(shí)數(shù)數(shù)x,總成立總成立dtext 2221 定理表明：定理表明：若若 服從二項(xiàng)分布，當(dāng)服從二項(xiàng)分布，當(dāng)n很大時(shí)，很大時(shí)，nYnY)1(pnpnpYn 近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的標(biāo)準(zhǔn)

47、化隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量 由此可知：當(dāng)由此可知：當(dāng)n很大，很大，0p0, 求求，的矩估計(jì)的矩估計(jì).解解: :1()xE Xxedx xx de （）|xxx eedx （）|xe 221()xE Xxedx 2xxde （）2|2xxxexedx （）22 E ( ( X X ) )2222 212xxedx 令令解得解得用樣本矩估計(jì)用樣本矩估計(jì)總體矩總體矩,X 2221122niiXn niiXXn1221 X niiXXn1221由課文本節(jié)例由課文本節(jié)例1 1知：知：不論總體為何分布，總體均值的矩估計(jì)量總是不論總體為何分布，總體均值的矩估計(jì)量總是，X總體方差的矩估計(jì)量總是總體方差的矩估計(jì)

48、量總是.2B例例4.4.設(shè)從某燈泡廠某天生產(chǎn)的燈泡中隨機(jī)設(shè)從某燈泡廠某天生產(chǎn)的燈泡中隨機(jī)抽取抽取1010只燈泡，測(cè)得其壽命為只燈泡，測(cè)得其壽命為( (單位單位: :小時(shí)小時(shí)) )1050, 1100, 1080, 1120, 1200，1250, 1040, 1130, 1300, 1200，試用矩法估計(jì)該廠這天生產(chǎn)的試用矩法估計(jì)該廠這天生產(chǎn)的燈泡的平均壽命及壽命分布的方差燈泡的平均壽命及壽命分布的方差. .解：解：2 7-14x )(1147101101hxii 1021110iixx （）2B 26821().h 即：在一次試驗(yàn)中，概率最大的事件最有可能發(fā)生即：在一次試驗(yàn)中，概率最大的事件

49、最有可能發(fā)生. .引例引例: : 有兩個(gè)外形相同的箱子有兩個(gè)外形相同的箱子, ,各裝各裝100100個(gè)球，一箱個(gè)球，一箱中中取得的球是白球取得的球是白球. .問問: : 所取的球來自哪一箱？所取的球來自哪一箱？答答: : 第一箱第一箱. .中有中有9999個(gè)白球個(gè)白球1 1個(gè)紅球，一箱中有個(gè)紅球，一箱中有1 1個(gè)白球個(gè)白球9999個(gè)紅球。個(gè)紅球?，F(xiàn)從兩箱中任取一箱現(xiàn)從兩箱中任取一箱, , 并從箱中任取一球并從箱中任取一球, ,結(jié)果所結(jié)果所 一般說，若事件一般說，若事件A發(fā)生的概率與參數(shù)發(fā)生的概率與參數(shù) 有關(guān)，有關(guān)， 取值不同，取值不同，P(A)也不同。則應(yīng)記也不同。則應(yīng)記事件事件A發(fā)生的概發(fā)生

50、的概率為率為P(A| ).若一次試驗(yàn)，事件若一次試驗(yàn)，事件A發(fā)生了，可認(rèn)為此發(fā)生了，可認(rèn)為此時(shí)的時(shí)的 值應(yīng)是在值應(yīng)是在 中使中使P(A| ) 達(dá)到最大的那一個(gè)達(dá)到最大的那一個(gè)。這就是這就是.X1,X2,Xn是取自總體是取自總體X的樣本，的樣本，x1 , x2 , xn是樣本值是樣本值. .則則樣本的聯(lián)合分布律為：樣本的聯(lián)合分布律為：12( ,)kP Xxp x 121(,)nikip x 其中其中12,k 為為未知待估參數(shù)，未知待估參數(shù)，1122,nnP XxXxXx11221212(,) (,)(,)kknkp xp xp x 1. X是是離散型總體，其分布律為離散型總體，其分布律為: :

51、記記12121(,)(,)nkikiLp x 12( ,)kf x 2. X是是連續(xù)型總體，其概率密度為連續(xù)型總體，其概率密度為 為其樣本的似然函數(shù)為其樣本的似然函數(shù).則稱則稱12121(,)(,)nkikiLf x 稱稱為樣本的似然函數(shù)為樣本的似然函數(shù).12(,)kL 似然函數(shù)似然函數(shù)12(,)kL 的值的大小實(shí)質(zhì)上反映的是的值的大小實(shí)質(zhì)上反映的是該樣本值出現(xiàn)的可能性大小該樣本值出現(xiàn)的可能性大小.對(duì)于給定的樣本值對(duì)于給定的樣本值x1 , x2 , ,xn ，選取，選取12,k， 使得其使得其似然函數(shù)似然函數(shù)12(,)kL 達(dá)到最大值。即求達(dá)到最大值。即求12(,),1,2,iinxxxik，

52、使得使得1212,) max (,)kkLL （， 7-22111212( , ,)( , ,)nkknx xxx xx 稱為未知參數(shù)稱為未知參數(shù) 1, , k 的的這樣得到的估計(jì)值這樣得到的估計(jì)值對(duì)應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量111212(,)(,)nkknXXXXXX 稱為未知參數(shù)稱為未知參數(shù) 1 1, , , k k 的的 (1) (1) 由總體分布和所給樣本，求得似然函數(shù)由總體分布和所給樣本，求得似然函數(shù)12121(,)(,)nkikiLf x ( (2 2) ) 求似然函數(shù)求似然函數(shù)12(,)kL 的對(duì)數(shù)函數(shù)函數(shù)的對(duì)數(shù)函數(shù)函數(shù)（化積商為和差，而（化積商為和差，而12ln (,)kL 和和1

53、2(,)kL 同時(shí)取得最大值）同時(shí)取得最大值）12121ln (,)ln(,)nkikiLf x (3) (3) 解方程組解方程組121ln (,)0kL 122ln (,)0kL 12ln (,)0kkL 7-12 (4) (4) 得未知參數(shù)得未知參數(shù)的極大似然估計(jì)值的極大似然估計(jì)值111212( , ,)( , ,)nkknx xxx xx 及其對(duì)應(yīng)的極大似然估計(jì)量及其對(duì)應(yīng)的極大似然估計(jì)量111212(,)(,)nkknXXXXXX 7-12 若待估參數(shù)只有一個(gè)，則似然函數(shù)是一元若待估參數(shù)只有一個(gè)，則似然函數(shù)是一元函數(shù)函數(shù)L( )，此時(shí)，只須將上述步驟中求偏導(dǎo)改，此時(shí)，只須將上述步驟中求偏

54、導(dǎo)改為求導(dǎo)即可。為求導(dǎo)即可。, 1 , 0,!)();( xexxXPxpx例例5.5. 設(shè)總體設(shè)總體X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為)0( 的泊松分的泊松分布，求參數(shù)布，求參數(shù) 的極大似然估計(jì)量的極大似然估計(jì)量解：解：的樣本，樣本觀察值為的樣本，樣本觀察值為),(21nxxx由由X 服從泊松分布，得服從泊松分布，得X的分布律為的分布律為),(21nXXX為從總體為從總體X中隨機(jī)抽取中隨機(jī)抽取設(shè)設(shè)niixexLi 1!)(似然函數(shù)為似然函數(shù)為!.!.211nxnxxxenii 兩邊取對(duì)數(shù)，得兩邊取對(duì)數(shù)，得 niiniiInxInxnInL11!)()(d)(Llnd=0得得對(duì)對(duì) 求導(dǎo)，并令其為求導(dǎo)，并

55、令其為0 0，xxnnii 11所以參數(shù)所以參數(shù) 的極大似然估計(jì)量為：的極大似然估計(jì)量為：XXn1n1ii xnn1ii 000),(1xxeaxxfaxa，其中其中總體總體X 的樣本值，求參數(shù)的樣本值，求參數(shù) 的極大似然估計(jì)值的極大似然估計(jì)值.例例6.6. 設(shè)總體設(shè)總體X的概率密度為的概率密度為為待估參數(shù)，為待估參數(shù)，是已知常數(shù)，是已知常數(shù)，),(21nxxx是取自是取自解解: : niixfL1),()(aixniaieax 11 niaixaniinnexa111)(兩邊取對(duì)數(shù)，得兩邊取對(duì)數(shù)，得)(lnLalnnlnn n1iain1iix)xln()1a(對(duì)對(duì) 求導(dǎo)求導(dǎo), ,并令其為并

56、令其為0 0，dLd)(ln n1iaixn0 得得 niaixn1這就是這就是 的極大似然估計(jì)值的極大似然估計(jì)值. 0 01 12 23 3222(1)12 X XP P其中其中 是未知參數(shù)是未知參數(shù)，3，1，3，0，3，1，2，3，是來自總體是來自總體X的樣本觀察值的樣本觀察值,求參數(shù)求參數(shù) 的極大似的極大似然估計(jì)值然估計(jì)值. .）（210 例例7.7. 設(shè)總體設(shè)總體X的分布律的分布律解：解： )(L2211221 ）（）（）（）（）（）（2112212 2461214）（）（ 兩邊取對(duì)數(shù)，得兩邊取對(duì)數(shù)，得 )(lnL)1ln(2)21ln(4ln64ln 對(duì)對(duì) 求導(dǎo)，并令其為求導(dǎo)，并令其

57、為0 0，=0得得12137 12137 和和因?yàn)橐驗(yàn)?2112137 不合題意，不合題意，所以所以 的極大似然估計(jì)值為的極大似然估計(jì)值為 12137 dLd)(ln 1221861.1.可證明極大似然估計(jì)具有下述性質(zhì)：可證明極大似然估計(jì)具有下述性質(zhì)： 設(shè)設(shè) 的函數(shù)的函數(shù)g=g( )是是 上的實(shí)值函數(shù)上的實(shí)值函數(shù),且有唯一反且有唯一反函數(shù)函數(shù) . 如果如果 是是 的極大似然估計(jì)，則的極大似然估計(jì)，則g( )也是也是g( )的極大似然估計(jì)的極大似然估計(jì). 此性質(zhì)稱為此性質(zhì)稱為極大似然估計(jì)的不變性極大似然估計(jì)的不變性例例8. 設(shè)設(shè)X1 X2 ， ，Xn為取自參數(shù)為為取自參數(shù)為 的指數(shù)分布的指數(shù)分布

58、總總體的樣本，體的樣本，a0為一給定實(shí)數(shù)。求為一給定實(shí)數(shù)。求p=PXa的極大似的極大似然估計(jì)然估計(jì)，其其它它 001),(xexfx解：解：概率密度和分布函數(shù)分別為概率密度和分布函數(shù)分別為 其其它它001),(xexFx由總體由總體X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的指數(shù)分布的指數(shù)分布知，知， X 的的 niixfL1),()(xniie 11xnniie 11)(lnLxnnii 1ln兩邊取對(duì)數(shù)，得兩邊取對(duì)數(shù)，得對(duì)對(duì) 求導(dǎo)，并令其為求導(dǎo)，并令其為0 0，dLd)(ln21xnnii 0 得得 的極大似然估計(jì)值為的極大似然估計(jì)值為 xnxnii 1因?yàn)橐驗(yàn)樗?，所以，p=PXa的極大似然估計(jì)值為的極大

59、似然估計(jì)值為axnniiep 11ae 1aXPp )a(F 2 2、當(dāng)似然函數(shù)不是可微函數(shù)時(shí)，須用極大似、當(dāng)似然函數(shù)不是可微函數(shù)時(shí)，須用極大似然原理來求待估參數(shù)的極大似然估計(jì)然原理來求待估參數(shù)的極大似然估計(jì). .例例9. 設(shè)設(shè) X U (a,b), x1, x2, xn 是是 X 的一個(gè)樣本的一個(gè)樣本值值, 求求 a , b 的極大似然估計(jì)值與極大似然估計(jì)量的極大似然估計(jì)值與極大似然估計(jì)量.解：解：由由X U (a,b)知，知，X 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 其其它它, 0,1),;(bxaabbaxf似然函數(shù)為似然函數(shù)為 niibaxfbaL1),(),( 其其它它0)(1bxaabin似然

60、函數(shù)只有當(dāng)似然函數(shù)只有當(dāng) a xi b, i = 1,2, n 時(shí)才能獲得最時(shí)才能獲得最大值大值, 且且 a 越大越大, b 越小越小, L（a，b） 越大越大.令令xmin = min x1, x2, xnxmax = max x1, x2, xn取取maxminxb,xa 則對(duì)滿足則對(duì)滿足bxxa maxmin的一切的一切 a 1) . 證明證明）（2121221)(1XXXXnXXniniinii 2121XXnnii ）（211221XnXXXnniinii ）（221221XnXnXnnii ）（2121XnXnnii 212121)(1XXnXXnniinii 所以所以2)()(,