高等數(shù)學(2017高教五版)課件格林公式·曲線積分與路線的無關性(工科類)

1、一、格林公式 二、曲線積分與路線的 無關性 在計算定積分時, 牛頓-萊布尼茨公式反映了區(qū)間上的定積分與其端點上的原函數(shù)值之間的聯(lián)系; 本節(jié)中的格林公式則反映了平面區(qū)域上的二重積分與其邊界上的第二型曲線積分之間的聯(lián)系.3格林公式曲線積分與路線的無關性數(shù)學分析 第二十一章重積分*點擊以上標題可直接前往對應內(nèi)容設區(qū)域 D 的邊界 L 是由一條或幾條光滑曲線所 組成.規(guī)定為:時, 區(qū)域 D 總在它的左邊, 如圖 21-12 所示. 2112 圖圖LD.L為負方向,記為3格林公式曲線積分與路線的無關性格林公式曲線積分與路線的無關性 格林公式邊界曲線的正方向當人沿邊界行走與上述規(guī)定的方向相反的方向稱 定理

2、20.1若函數(shù) ( ,),( ,)P x yQ x y在閉區(qū)域 D 上有連續(xù)的一階偏導數(shù), 則有ddd ,LDQPP xQ yxy (1)這里 L 為區(qū)域 D 的邊界曲線, 并取正方向. 公式(1)稱為格林公式. 證 根據(jù)區(qū)域 D 的不同形狀, 這里對以下三種情形 (i) 若 D 既是 x 型又是 y 型區(qū)域(圖21-13), 作出證明:3格林公式曲線積分與路線的無關性格林公式曲線積分與路線的無關性 12( )( ),xyxaxb 又可表為 12( )( ),.yxyy1( )yx 2( )yx 這里和分 CAE分別是曲線 和 CBE的方程. ACBAEB別為曲線 和 的方程,Ox1( )x

3、AbEaBC2( )x yD圖 21-133格林公式曲線積分與路線的無關性格林公式曲線積分與路線的無關性 則 D 可表為1( )xy 2( )xy 和 則而 dDQx 21( ),)d( ),)dQyyyQyyy( ,)d( ,)dCBECAEQ x yyQ x yy( ,)d( ,)dCBEEACQ x yyQ x yy( ,)d .LQ x yy3格林公式曲線積分與路線的無關性格林公式曲線積分與路線的無關性 于是,21( )( )ddyyQyxxd( ,)d .LDPP x yxy 將上述兩個結果相加即得ddd .LDQPP xQ yxy (ii) 若區(qū)域 D 是由一條 按段光滑的閉曲線圍

4、成,且可用幾段光滑曲線將D 分成有限個既是 x 型 3格林公式曲線積分與路線的無關性格林公式曲線積分與路線的無關性 同理又可證得 又是 y 型的子區(qū)域 , 格林公式, 然后相加即可. 則可逐塊按 (i) 得到它們的如圖21-14 所示的區(qū)域 D, 是 y 型的區(qū)域123,.DDDdDQPxy 123dddDDDQPQPQPxyxyxy 3格林公式曲線積分與路線的無關性格林公式曲線積分與路線的無關性 于是 可將它分成三個既是 x型又 21 14圖圖 3L1D2L1L3D2D123ddddddLLLP xQ yP xQ yP xQ ydd .LP xQ y(iii) 若區(qū)域 D 由幾條閉曲線 所圍

5、成, 如圖21-15 所示. 把區(qū)域化為 (ii) 的情形來處 2115 圖圖1LD3L2LCABEFG時可適當添加線段 ,AB CE理. 后, D 的邊界則由 23,AB L BA AFC CE L ECCE3格林公式曲線積分與路線的無關性格林公式曲線積分與路線的無關性 這 在圖21-15中添加了,AB及 構成. 由(ii)知 CGAdDQPxy 23( dd )ABLBAAFCCELECCGAP xQ y 231( dd )LLLP xQ ydd .LP xQ y注1 并非任何單連通區(qū)域都可分解為有限多個既是 xy型又是 型區(qū)域的并集, 3格林公式曲線積分與路線的無關性格林公式曲線積分與路

6、線的無關性 31sin,(0,1;1;0;1yxxyxxx 所圍成的區(qū)域便是如此. 例如由注2 為便于記憶, 格林公式 (1) 也可寫成下述形式: ddd .LDxyPQP xQ y 注3 應用格林公式可以簡化某些曲線積分的計算. 請看以下二例: 3格林公式曲線積分與路線的無關性格林公式曲線積分與路線的無關性 第一象限部分 (圖21-16). 解 對半徑為 r 的四分之一圓域 D, 應用格林公式: ddLDx y ddd .OAABBOx yx yx y由于d0,d0,OABOx yx y ddABDx y 例1 計算d ,ABx y其中曲線 是半徑為 r 的圓在 ABOx2116 圖圖BLA

7、Dy3格林公式曲線積分與路線的無關性格林公式曲線積分與路線的無關性 因此21.4r 例2 計算22dd,Lx yy xIxy其中 L 為任一不包含原 點的閉區(qū)域 D 的邊界線.解 因為2222222,()xyxxxyxy 2222222,()yyxyxyxy 于是，由格林公式 3格林公式曲線積分與路線的無關性格林公式曲線積分與路線的無關性 2222=d0,Dxyxxyyxy 22ddLx yy xxy在格林公式中, 令,Py Qx 則得到一個計算平 面區(qū)域 D 的面積 SD 的公式: 1ddd .2DLDSx yy x (2)3格林公式曲線積分與路線的無關性格林公式曲線積分與路線的無關性 例3

8、 計算拋物線 2()(0)xyax a與 x 軸所圍圖 形的面積 (圖21-17). 解 曲線AMO由函數(shù) ,0, yaxx xa表示, ONA0,y 為直線 于是 1dd2DSx yy xx2117 圖圖O( ,0)A aNMy11dddd22ONAAMOx yy xx yy x3格林公式曲線積分與路線的無關性格林公式曲線積分與路線的無關性 1dd2AMOx yy x011() d22aaxaxxxax020111dd.2246aaaaxxx xa3格林公式曲線積分與路線的無關性格林公式曲線積分與路線的無關性 在第二十章2 中計算第二型曲線積分的開始兩個 例子中, B 為終點的曲線積分, 若

9、所沿的路線不同, 則其積分 值也不同, 點有關, 與路線的選取無關. 什么條件下, 它的值與所沿路線的選取無關. 首先介紹單連通區(qū)域的概念. 若對于平面區(qū)域 D 內(nèi)任一封閉曲線, 皆可不經(jīng)過 D 3格林公式曲線積分與路線的無關性格林公式曲線積分與路線的無關性 曲線積分與路線的無關性讀者可能已經(jīng)注意到, 在例1中, 以 A 為起點 但在例2 中的曲線積分值只與起點和終 本段將討論曲線積分在 以外的點而連續(xù)收縮于屬于 D 的某一點, 面區(qū)域為單連通區(qū)域; 否則稱為復連通區(qū)域.2118 圖圖1D4D3D2D1D2D3D4D在圖 21-18 中, 與是單連通區(qū)域, 而與 則 是復連通區(qū)域. 一封閉曲線

10、所圍成的區(qū)域只含有 D 中的點. 3格林公式曲線積分與路線的無關性格林公式曲線積分與路線的無關性 則稱此平單連通區(qū)域也可以這樣敘述: D 內(nèi)任 定理21.12更通俗地說, 單連通區(qū)域就是沒有“洞”的區(qū)域, 復連 通區(qū)域則是有“洞”的區(qū)域. 設 D 是單連通閉區(qū)域. 若函數(shù) ( ,),P x y( ,)Q x y 在 D 內(nèi)連續(xù), 且具有一階連續(xù)偏導數(shù), 下四個條件等價: (i) 沿 D 內(nèi)任一按段光滑封閉曲線 L, 有dd0;LP xQ y(ii) 對 D 中任一按段光滑曲線 L, 曲線積分 3格林公式曲線積分與路線的無關性格林公式曲線積分與路線的無關性 ddLP xQ y則以 與路線無關,

11、只與 L 的起點及終點有關; 定理21.12ddP xQ y ( ,)u x y(iii) 是 D 內(nèi)某一函數(shù) 的全微分, 即在 D 內(nèi)有 ddd ;uP xQ y (iv) 在 D 內(nèi)處處成立 .PQyx 3格林公式曲線積分與路線的無關性格林公式曲線積分與路線的無關性 ddddARBBSAP xQ yP xQ ydd0,ARBSAP xQ y所以 dddd .ARBASBP xQ yP xQ y3格林公式曲線積分與路線的無關性格林公式曲線積分與路線的無關性 ddddARBASBP xQ yP xQ y2119 圖圖BARS(i) 沿 D 內(nèi)任一按段光滑封閉曲線 L, 有 dd0;LP xQ

12、y(ii) 對 D 中任一按段光滑曲線 L, 曲線積分 ddLP xQ y與路線無關, 只與 L 的起點及終點有關;ARBASB證 (i)(ii) 如圖 21-19, 設 與 為聯(lián)結點 A, B 的任意兩條按段光滑曲線, 由 (i) 可推得 D 內(nèi)任意一點. ddABP xQ y故當 ( , )B x y在 D 內(nèi)變動時, 其 積分值是 ( , )B x y的函數(shù), ( , )dd .ABu x yP xQ y取x 充分小, 使 (,),C xx yD 則函數(shù) ( ,)u x y對于 x 的偏增量(圖21-20) 00(,)A xy( , )B x y(ii)(iii) 設 為 D 內(nèi)某一定點

13、, 為 3格林公式曲線積分與路線的無關性格林公式曲線積分與路線的無關性 與路線的選擇無關, 由 (ii), 曲線積分即有Ox2120 圖圖B0 xADCxxx 0yyy(,)( ,)xuu xx yu x y dddd .ACABP xQ yP xQ y因為在 D 內(nèi)曲線積分與路線無關, ddACP xQ y因直線段 BC 平行于 x 軸, 故 d0,y 3格林公式曲線積分與路線的無關性格林公式曲線積分與路線的無關性 dddd .ABBCP xQ yP xQ yOx2120 圖圖B0 xADCxxx 0yyy(ii) 對 D 中任一按段光滑曲線 L, 曲線積分 ddLP xQ y與路線無關,

14、只與 L 的起點及終點有關;ddP xQ y ( ,)u x y(iii) 是 D 內(nèi)某一函數(shù) 的全微分, 即在 D 內(nèi)有 ddd ;uP xQ y從而由積分中值定理可得 00limlim(,)( ,).xxxuuP xx yP x yxx 同理可證( ,).uQ x yy 所以證得 ddd .uP xQ y 3格林公式曲線積分與路線的無關性格林公式曲線積分與路線的無關性 ddxBCuP xQ y( ,)d(,),xxxP t ytP xx yx 01. 其中 ( ,)P x y根據(jù) 在 D 上連續(xù), 于是有 (ii) 對 D 中任一按段光滑曲線 L, 曲線積分 ddLP xQ y與路線無關,

15、 只與 L 的起點及終點有關;ddP xQ y ( ,)u x y(iii) 是 D 內(nèi)某一函數(shù) 的全微分, 即在 D 內(nèi)有 ddd ;uP xQ y( ,),u x y(iii)(iv) 設存在函數(shù)使得ddd ,uP xQ y 因此 ( ,)( ,),( ,)( ,).xyP x yux yQ x yux y 于是由 ( , ),( , ),xyyxPQux yux yyx以及 P, Q 具有一階連續(xù)偏導數(shù), 便可知道在 D 內(nèi)每 一點處都有 ( , )( , ),xyyxux yux y 3格林公式曲線積分與路線的無關性格林公式曲線積分與路線的無關性 ddP xQ y ( ,)u x y(

16、iii) 是 D 內(nèi)某一函數(shù) 的全微分, 即在 D 內(nèi)有 ddd ;uP xQ y(iv) 在 D 內(nèi)處處成立 .PQyx .PQyx 即即(iv)(i) 設 L 為 D 內(nèi)任一按段光滑封閉曲線, 所圍的區(qū)域為. 含在 D 內(nèi). 的條件, 就得到 3格林公式曲線積分與路線的無關性格林公式曲線積分與路線的無關性 由于 D 為單連通區(qū)域, 所以區(qū)域 ddd0.LQPP xQ yxy 上面我們將四個條件循環(huán)推導了一遍, 這就證明了 它們是相互等價的.記 LPQyx 應用格林公式及在 D 內(nèi)恒有 (i) 沿 D 內(nèi)任一按段光滑封閉曲線 L, 有 dd0;LP xQ y(iv) 在 D 內(nèi)處處成立 .P

17、Qyx 應用定理21.12 中的條件(iv)考察第二十章2 中的 在例1中( ,),( ,).P x yxy Q x yyx由于,1,PQPQxyxyx 故積分與路線有關. 在例2 中( ,),( ,),P x yy Q x yx 由于 3格林公式曲線積分與路線的無關性格林公式曲線積分與路線的無關性 例1 與例2. 1,PQyx所以積分與路線無關.例4 計算 22(0.5)d(0.5)d,(0.5)Lxyxxyyxy其中 到點 D(0,1) 的路徑(見圖21-21). 分析 如果第二型曲線積分路徑無關的條件,L 為沿著右半圓周221(0)xyx由點 A(0, -1) 3格林公式曲線積分與路線的

18、無關性格林公式曲線積分與路線的無關性 圖 21-21xyO(0, 1)A(1, 1)B(1,1)C(0,1)D1L2LL E在某單連通區(qū)域內(nèi)滿足與積分路徑, 使易于計算. 則可改變記 220.5( , ),(0.5)xyP x yxy 2222 2(0.5)2 (0.5). (0.5)QPxyy xxyxy 220.5( , ).(0.5)xyQ x yxy 易知除去點 E(0.5, 0) 外, 處處滿足 1L(0, 1)A (1, 1),B (1,1),C設 為由點 到點 再到點 最 圖 21-21xyO(0, 1)A(1, 1)B(1,1)C(0,1)D1L2LL E3格林公式曲線積分與路

19、線的無關性格林公式曲線積分與路線的無關性 解 (0,1)D的折線段. 后到點 1LL因因為為與與可被包含在某 一不含奇點 E 的單連通區(qū)域內(nèi), 所以有22(0.5)d(0.5)d(0.5)Lxyxxyyxy1( , )d( , )dLP x yxQ x yy( , )d( , )dABBCCDP x yxQ x yy1102220110.50.51.5ddd(0.5)10.25(0.5)1xyxxyxxyx3格林公式曲線積分與路線的無關性格林公式曲線積分與路線的無關性 4arctan0.52arctan2. 注1 定理 21.12中對“單連通區(qū)域”的要求是重要的. 何不包含原點的單連通區(qū)域,

20、已證得在這個區(qū)域內(nèi) 的任何封閉曲線 L 上, 皆有 22dd0.Lx yy xxy (3)如本例若取沿 y 軸由點 A 到點 D 的路徑 , 雖 2L然算起來很簡單, 但卻不可用. 的單連通區(qū)域必定含有奇點 E . 3格林公式曲線積分與路線的無關性格林公式曲線積分與路線的無關性 又如本節(jié)例 2, 對任 2LL與與因為任何包含 2222( ,),( ,)yxP x yQ x yxyxy 只在剔除原點外的任何區(qū)域 D 上有定義, 含在某個復連通區(qū)域內(nèi). 的條件, 因而就不能保證(3)式成立. 為繞原點一周的圓 :cos,sin(02),L xaya 則有 倘若 L 為繞原點一周的封閉曲線, 則函數(shù)

21、 3格林公式曲線積分與路線的無關性格林公式曲線積分與路線的無關性 這時它不滿足定理 21.12 22ddLx yy xxy所以 L 必 事實上, 若取 L 2222220cossindaaa 20d2 . 注2 若 ( ,),( ,)P x yQ x y滿足定理21.12 的條件, 則 由上述證明可看到二元函數(shù) ( ,)( ,)d( ,)dABu x yP x yxQ x yy00(,)(,)(,)d(,)dB xyA xyP x yxQ x yy具有性質(zhì)d ( ,)( ,)d( ,)d .u x yP x yxQ x yy 3格林公式曲線積分與路線的無關性格林公式曲線積分與路線的無關性 我們也稱( ,)u x y為ddP xQ y 的一個原函數(shù). 例5 試應用曲線積分求(2sin)d( cos )dxyxxyy 的原函數(shù). 解 這里( ,)2sin,( ,)cos,P x yxy Q x yxy 在整個平面上成立 cos.PQyyx由定理21.12, 曲線積分(2sin )d( cos )dABxyxxyy3格林公式曲線積分與路線的無關性格林公