拉格朗日中值定理的應(yīng)用畢業(yè)論文

1、本科畢業(yè)論文設(shè)計(jì)題目：拉格朗日中值定理的應(yīng)用學(xué)生姓名：任雯蕾學(xué) 號(hào)：201000820223專 業(yè)：信息與計(jì)算科學(xué)指導(dǎo)教師：范進(jìn)軍學(xué) 院：數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院1 2014 年 5 月 8 日畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）內(nèi)容介紹論文（設(shè)計(jì)）題目拉格朗日中值定理的應(yīng)用選題時(shí)間20131125完成時(shí)間201458論文（設(shè)計(jì)） 字?jǐn)?shù)8000關(guān)鍵詞拉格朗日中值定理、應(yīng)用、極限、收斂論文（設(shè)計(jì)）題目的來(lái)源、理論和實(shí)際意義：以羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是整個(gè)微分學(xué)地理論基 礎(chǔ)，而拉格朗日中值定理是這幾個(gè)中值定理中最重要的一個(gè)，具有中值性，在微分中值定理和高等 數(shù)學(xué)中有著承上啟下的重要作用。中值定

2、理的主要用于理論分析和證明，例如為利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)取極值、單調(diào)性、拐點(diǎn)、凹凸 性等多項(xiàng)重要函數(shù)性態(tài)提供重要理論依據(jù)，從而可以把握函數(shù)圖像的各種幾何特征?？傊?，微分中 值定理是溝通導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)值之間的橋梁，是利用導(dǎo)數(shù)的局部性質(zhì)推斷函數(shù)的整體性質(zhì)的重要工 具。拉格朗日中值定理作為微分中值定理中一個(gè)承上啟下的一個(gè)定理， 研究其定理的證明方法， 力 求正確地理解和掌握它，并在此基礎(chǔ)上深入了解它的一些重要應(yīng)用，是十分必要的，鑒于課本中對(duì) 拉格朗日中值定理的應(yīng)用只是簡(jiǎn)單的舉了例子， 而很多研究者也只是研究了它在某個(gè)方面的特殊應(yīng) 用，并沒(méi)有進(jìn)行系統(tǒng)的總結(jié)，有鑒于此，本文將對(duì)其應(yīng)用進(jìn)行了深入的總結(jié)。論文（設(shè)計(jì)

3、）的主要內(nèi)容及創(chuàng)新：課本中對(duì)拉格朗日中值定理的應(yīng)用只是簡(jiǎn)單的舉了例子， 而很多研究者也只是研究了它在某個(gè) 方面的特殊應(yīng)用，因而本文對(duì)拉格朗日中值定理的理解進(jìn)行了深入的分析，介紹了它的幾種證法， 并在此基礎(chǔ)上就拉格朗日中值定理的應(yīng)用進(jìn)行了系統(tǒng)的總結(jié)。附：論文（設(shè)計(jì)）本人簽名： 任雯蕾 2014 年 5 月 8 日2目錄中文摘要 1矚慫潤(rùn)厲釤瘞睞櫪廡賴。英文摘要 2聞創(chuàng)溝燴鐺險(xiǎn)愛(ài)氌譴凈。引言 3殘騖樓諍錈瀨濟(jì)溆塹籟。一、拉格朗日中值定理及其證明 3釅錒極額閉鎮(zhèn)檜豬訣錐。1. 定理內(nèi)容 . 3彈貿(mào)攝爾霽斃攬磚鹵廡。2. 定理意義 3謀蕎摶篋飆鐸懟類蔣薔。3. 定理證明 4廈礴懇蹣駢時(shí)盡繼價(jià)騷。二、拉

4、格朗日中值定理的應(yīng)用 4煢楨廣鰳鯡選塊網(wǎng)羈淚。1. 利用拉格朗日中值定理證明不等式 5鵝婭盡損鵪慘歷蘢鴛賴。2. 利用拉格朗日中值定理證明等式 . 6籟叢媽羥為贍僨蟶練淨(jìng)。3. 利用拉格朗日中值定理求極限 7預(yù)頌圣鉉儐歲齦訝驊糴。4. 利用拉格朗日中值定理判別級(jí)數(shù)斂散性 . 8滲釤嗆儼勻諤鱉調(diào)硯錦。6. 利用拉格朗日中值定理估值 . 9鐃誅臥瀉噦圣騁貺頂廡。7. 利用拉格朗日中值定理延吉函數(shù)性態(tài) 10擁締鳳襪備訊顎輪爛薔。8. 利用拉格朗日中值定理判斷根的存在性 12贓熱俁閫歲匱閶鄴鎵騷。三、結(jié)束語(yǔ) 14壇摶鄉(xiāng)囂懺蔞鍥鈴氈淚。參考文獻(xiàn) 14蠟變黲癟報(bào)倀鉉錨鈰贅。拉格朗日中值定理的應(yīng)用任雯蕾（山

5、東師范大學(xué) ，數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 信息與計(jì)算科學(xué)， 2010 級(jí) 2 班） 摘要： 以羅爾中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定 理是整個(gè)微分學(xué)的重要理論基礎(chǔ)，而拉格朗日中值定理因其中值性是幾個(gè)中值定理中 最重要的一個(gè)，在微分中值定理和高等數(shù)學(xué)中有著承上啟下的重要作用。中值定理的 主要用于理論分析和證明，例如利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、凹凸性、取極值、拐點(diǎn)等 項(xiàng)重要函數(shù)性態(tài)提供重要理論依據(jù)，從而把握函數(shù)圖像的各種幾何特征?？傊?，微分 學(xué)中值定理是溝通導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)值之間的橋梁，是利用導(dǎo)數(shù)的局部性質(zhì)推斷函數(shù)的整 體性質(zhì)的重要工具。而拉格朗日中值定理作為微分中值定理中一個(gè)承上啟下的一個(gè)定

6、理，研究其定理的證明方法，力求正確地理解和掌握它，并在此基礎(chǔ)上深入了解它的 一些重要應(yīng)用，是十分必要的，鑒于課本中對(duì)拉格朗日中值定理的應(yīng)用只是簡(jiǎn)單的舉 了例子，而很多研究者也只是研究了它在某個(gè)方面的應(yīng)用，并沒(méi)有進(jìn)行系統(tǒng)的總結(jié)， 有鑒于此，本文將對(duì)其應(yīng)用進(jìn)行了深入的總結(jié)。 買鯛鴯譖曇膚遙閆擷凄。關(guān)鍵詞 ：拉格朗日中值定理；應(yīng)用；極限；收斂Applications of Lagranges mean value theoremRen Wenlei(Class 2 Grade 2010 , Information and Computing Science,綾 鏑鯛駕櫬鶘蹤韋轔糴。School of

7、 Mathematical Science, Shandong Normal University驅(qū)) 躓髏彥浹綏譎飴憂錦。Abstract： A group of mean value theorem which includes Rolles mean value theorem , Lagranges mean value theorem and Cauchys mean value theorem is the theoretical basis of the differential calculus. And Lagranges mean value theorem is the

8、most important one of these mean value theorems because of its property median and continuity. Mean value theorems main function include theory analysis and proof, such as providing theoretical basis for judging function monotonicity, convexity, inflection point ， and calculating extreme value by de

9、rivative, so that we can grasp the various geometric characteristic function image. All in all, differential mean value theorem is the communication bridge between the derivative value and the function value. And it is even the tool of inferring the whole nature of function by the local nature of de

10、rivative. As a structure connecting ecosystem and individuals in differential mean value theorem, it is very important to research Lagranges mean value theorems way to prove, understand and master it correctly, even keep gaining insight into its important applications. There is no special explanatio

11、n about the applications of Lagranges mean value theorem and many researchers also just studied it in some applications and no systematic summary. This article will give the in-depth summary貓. 蠆驢繪燈鮒誅髏貺廡。Keywords： Lagranges mean value theorem; Application; Limit; Convergence鍬籟饗逕瑣筆襖鷗婭薔。拉格朗日中值定理的應(yīng)用引言：柯

12、西定理羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西定理以及泰勒公式因其中值性，是微分學(xué)的 重要的和基本的定理 , 所以統(tǒng)稱微分中值定理， 以拉格朗日中值定理作為中心， 它們之 間的密切關(guān)系可用示意圖表示如下： 構(gòu)氽頑黌碩飩薺齦話騖。特例 推廣泰勒公式羅爾定理 拉格朗日定理以羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是整個(gè)微分 學(xué)的理論基礎(chǔ)，特別是拉格朗日中值定理。因?yàn)樗⒘藢?dǎo)數(shù)值與函數(shù)值之間的定量 聯(lián)系，因而可用中值定理通過(guò)導(dǎo)數(shù)從而研究出函數(shù)的性態(tài)。中值定理的主要用于理論 分析和證明，例如為利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、凹凸性、拐點(diǎn)、取極值等各項(xiàng)重要函 數(shù)性態(tài)提供重要理論依據(jù)，從而可以準(zhǔn)確的把

13、握函數(shù)圖像的各種幾何特征。 輒嶧陽(yáng)檉籪癤 網(wǎng)儂號(hào)澩?？傊⒎种兄刀ɡ硎菧贤ê瘮?shù)值與導(dǎo)數(shù)值之間的重要橋梁，是利用導(dǎo)數(shù)的局部 性質(zhì)推斷函數(shù)的整體性質(zhì)的工具。 而拉格朗日中值定理作為其中一個(gè)承上啟下的定理， 力求正確地理解和掌握它，并在此基礎(chǔ)上深入了解它的一些重要應(yīng)用，這是十分必要 的。 堯側(cè)閆繭絳闕絢勵(lì)蜆贅。一、拉格朗日中值定理及其證明1. 定理內(nèi)容：若函數(shù) f x 滿足如下條件： 1 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)； 2 在開區(qū)間 a,b 內(nèi)可導(dǎo)； 則在 a,b 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使 f f b f a 。ba2. 幾何意義：函數(shù) y f x 在區(qū)間 a,b 上的圖形是連續(xù)光滑曲線弧 AB 上至少有

14、一點(diǎn) C ，曲線 在C 點(diǎn)的切線平行于弦 AB。如圖3. 定理證明：（1）教材證法從拉格朗日中值定理的條件與結(jié)論可見(jiàn)， 若 f x 在閉區(qū)間 a,b 兩端點(diǎn)的函數(shù)值相 等，即 f a f b ，則拉格朗日中值定理就是羅爾中值定理 （如果函數(shù) f x 滿足條件： 1 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)； 2 在開區(qū)間 a,b 內(nèi)可導(dǎo)；（3） f a f b , 則在 a,b 內(nèi)至 少存在一點(diǎn) , 使得 f 0 ）。 換句話說(shuō)，羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的 一個(gè)特殊情形。所以，我們只須對(duì)函數(shù) f x 作適當(dāng)變形，便可借助羅爾中值定理導(dǎo)出 拉格朗日中值定理 . 識(shí)饒鎂錕縊灩筧嚌儼淒。證明：作輔助函數(shù) F

15、x f x f b f a xba顯然，函數(shù) F x 滿足在閉 區(qū)間 a,b 上連 續(xù)，在開區(qū)間 a,b 內(nèi) 可導(dǎo)，而且F a F b 于 是由 羅 爾中 值定 理 知道 ，至 少 存在 一點(diǎn) a b ，使 F f f b f a 0.即 f f b f a .b a b a（2）用作差法引入輔助函數(shù)法證明：作輔助函數(shù)x f x f a f bb af a x a ，顯然，函數(shù) x 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，在開區(qū)間 a,b 內(nèi)可導(dǎo)， a b 0 。 因此，由羅爾中值定理得，至少存在一點(diǎn) a,b ，使得 f f b f a 0， ba 即 f f b f aba二、拉格朗日中值定理的應(yīng)用 拉格

16、朗日中值定理作為微分中值定理的核心，有著廣泛的應(yīng)用，主要有以下幾個(gè) 方面：利用拉格朗日中值定理證明等式和不等式、利用拉格朗日中值定理求極限、證 明級(jí)數(shù)收斂、研究函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)、估值等問(wèn)題。 凍鈹鋨勞臘鍇癇婦脛糴。1. 利用拉格朗日中值定理證明不等式例1當(dāng) x 0時(shí)，證明 x ln 1 x x。1x證明：做輔助函數(shù) f t ln 1 t 。函數(shù) f t 在定義域 -1， 上可導(dǎo)，故對(duì)于 x0, 有 f t ln 1 t 在閉區(qū)間 0， x 上連續(xù)，在開區(qū)間 0，x 上可導(dǎo)。則至少存在一點(diǎn)0，x ，使得 f x f 0 = f x 0 =1x而 f 0 0， f x x1當(dāng)x0時(shí)，有 1xx

17、1x x，即1xx 1x x，又當(dāng) x 0 時(shí)，有 x f x x，1x所以 x ln 1 x x 得證。1x對(duì)于證明不等式， 關(guān)鍵怎樣構(gòu)造函數(shù)， 其后巧用拉格朗日中值定理， 畫龍點(diǎn) 睛恰到好處。例 2 已知 0 ，證明 -2tan tan-2 。2 cos cos證明：做輔助函數(shù) f x tanx,x 0, 。2由于函數(shù) f x tanx 在 0， 上連續(xù)可導(dǎo)，且 f x12 ，2 cos x于是當(dāng) 0 時(shí)， f x 在閉區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，2 即滿足拉格朗日中值定理的條件。所以 ， ，使得 f f f 。有 tan tan 2 （ 1）。cos2又 cos2 x 1 cos2x 在 0， 上單調(diào)遞

18、減，22所以當(dāng) 0 時(shí)，有 0 cos2 cos2 cos2 ，2 -即轉(zhuǎn)化成 2 2 2 （2）。 cos cos cos-綜合（ 1）、（ 2）可得 2 tan tan 2 成立。cos cos- 綜上所得當(dāng) 0 ， -2tan tan-2 。2 cos2cos2拉格朗日定理的應(yīng)用使本題簡(jiǎn)化了計(jì)算量，對(duì)于構(gòu)造函數(shù)也比較簡(jiǎn)單，其優(yōu)勢(shì)表 現(xiàn)的淋漓盡致。2. 利用拉格朗日中值定理證明等式（包含恒等式和等式）1 2x例 3 證明 arct gx arccos 2 （x 1）恒等。2 1 x2 4101 2x 證明：令 (x) arct gx arccos 2 (x 1)，2 1 x2 4則在 (x

19、 1)時(shí) arccos 2x2 有意義，且1 x211(x ) 21 x2 2 11(1x2) x 2 x 2(1x 2 2)221 1x2 1x2 x21 2(1(1 xx2)22) 0 。在 x 1時(shí)， (x) c (為常數(shù))。又取 (1, ) 內(nèi)任一點(diǎn)，如 3，有 ( 3) 3 2 6 4且 (1) 0 ，所以端點(diǎn)值也成立，441 2x有推論 arct gxarccos 2 (x 1) 恒等。2 1 x 4由拉格朗日中值定理知，函數(shù)在定義域內(nèi)取兩點(diǎn)x1,x2 ，(不妨設(shè) x1 x2 )有f (x2) f (x1) f ( )(x2 x1) 。 那 么 若 f (x )恒 為 0 ， 則

20、有 f ( ) 0， 所 以f (x2) f (x1) ，由 x1,x2 的任意性可知， f (x) 在定義域內(nèi)函數(shù)值恒等。 恥諤銪滅縈歡煬鞏 鶩錦。例4 設(shè) f (x) 在a,b 上連續(xù)，在 (a,b) 內(nèi)可導(dǎo)，且 f(a) f (b) 1，試求 , (a,b)，使得 e f( ) f ( ) =1.證明：令 F(x) ex f (x)，則 F(x) 在 a,b上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，故存在 (a,b) ，使得 e f (b) e f (a) ef ( ) f ( ) baf( ) f ( )eb ea由條件 f (a) f (b) 1，可得 eb ae e11再令 (x) ex ，則

21、(x) 在a,b上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件。 ba故存在( a, b) ，使得 e e e ，ba綜合上述兩式可得 e ef ( ) f ( ) 即 e f ( ) f ( ) =1用拉格朗日中值定理證明等式也是它的應(yīng)用中很重要的一項(xiàng)，證明的目標(biāo)在于湊 出形式類似于拉格朗日中值定理的式子，尋找機(jī)會(huì)應(yīng)用。 鯊腎鑰詘褳鉀溈懼統(tǒng)庫(kù)。3. 利用拉格朗日中值定理求極限例5 求極限 lxim n10 n 110 。解：分母是兩式相減的情形，可構(gòu)造 f (x) x10， f /(x) 10x9，易知函數(shù)在區(qū)間 (n 1，n) 上是符合定理?xiàng)l件的。所以 n10 (n 1)10 10 9，其中 n 1 n，當(dāng)

22、n 時(shí)， 。nn9 1所以lnim n10 nn 110 lxim 10n 9 110。在有些求極限問(wèn)題當(dāng)中，用常規(guī)方法很難入手，但是運(yùn)用拉格朗日中值定理卻可以迎刃而解，尤其是一些比較復(fù)雜的分式的極限計(jì)算問(wèn)題。 碩癘鄴頏謅攆檸攜驤蘞。lxim f x 0x例 6 證 明 如 果 函 數(shù) f x 在 R 上 可 導(dǎo) ， 極 限 lim f x 與 lim f x 都存在，則極限 xx證明：運(yùn)用拉格朗日中值定理設(shè) lxim f x A,則lxim f x 1 A。于是有 f x 1 f x f 。 xx x0)收斂sn證明：做輔助函數(shù)1f x ，則有 f x 1 ， x xx當(dāng) n 2 時(shí) 在 閉

23、 區(qū) 間 sn1,sn 上 用 拉 格 朗 日 中 值 定 理 得 到 f s nf s n 1 f ( ), ， 氬嚕躑竄貿(mào)懇彈瀘頷澩。fn (sn 1 n s n),s n s n 1于是 有a1na1n 1 1 1 。snnsn 1 sn由n21sn 11sn收斂 ，所以原題得證。5. 利用拉格朗日中值定理估值13對(duì)于證明估值問(wèn)題， 尤其是二級(jí)或者二級(jí)以上的導(dǎo)函數(shù)估值， 一般情況下通常選 用泰勒公式證明比較簡(jiǎn)便。 但是對(duì)于某些積分上的估值，可以采用拉格朗日中值定 理中值定理來(lái)證明。 釷鵒資贏車贖孫滅獅贅。例 9 設(shè)導(dǎo)函數(shù) f x 在 a,c 上連續(xù)，且有 f a f b 0 ，記 M=m

24、axma ax cx f x axc求證：4cc 4a )2 a f x dx M 。設(shè)設(shè)導(dǎo)函數(shù) f(x)在a,c上連續(xù)且 f(a) = f(b) = 0, 記 M =證明 : 對(duì)任意的 b a,c, 由拉格朗日中值定理可知c c c ca f x dx a f x dx= a f x f a dx b f c f x dxb=Mc1 x adx b f 2 c xdx Mca dx b c x(b a)22令b a b ，則有 b-a 2 c b 2 c a 2 ，2 2 2 44c所以，原題得證，即 4 2 f x dx M 。( c a)2 a例10設(shè) f (x) 在a,b上連續(xù)，且 f

25、 (a) f (b) 0，試證a4ba f (x) dx b4a f (x)證明：若 f (x) 0 ，不等式顯然成立。f (c)f ( 1), f ( 2 )caf (c)cb若 f ( x)不恒等于零， c (a,b) 使 f (x) = f (c)，在 (a,c)及a ,c 上 分別用拉氏中值定理，有從而得：af (x) dx f (x)dx f (x)dx b 2 2f ( 2) f ( 1)1c (b) (ab c)1)(a14再利用 (c a)(b c)(b a)24即得所證6. 利用拉格朗日中值定理研究函數(shù)性態(tài)若f x 在 a,b上連續(xù)，在 a,b 內(nèi)可導(dǎo)，則在 a,b 上 f

26、x f x0 f x x0 （若 在x與x0之間），這可視為函數(shù) f x 的一種變形，它建立了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系， 我們可以用它來(lái)研究有關(guān)函數(shù)性態(tài)，如函數(shù)的一致連續(xù)、單調(diào)性等 .慫闡譜鯪逕導(dǎo)嘯畫長(zhǎng)涼。 （1）一致連續(xù)例 11 證明如果 f x 在 a, 上可導(dǎo)，且 x a, ，有 f x M , 其中 M 0 為常數(shù)，則 f x 在 a, 上一致連續(xù) .證明 ： x1,x2 a, ，在以 x1,x2 為端點(diǎn)的區(qū)間上，有 ff x2 f x1，且 介于 x1, x2之間。x2 f x2f x1 。 2 x11再利用已知條件，有 f x2 f x1 M x2 x1即 f x 在 a, 上滿足 Lip

27、schitz 條件，則 f x 在 a, 上一致連續(xù)。（2）單調(diào)性例 12 試證：若函數(shù) f x 在 0,a a 0 上可導(dǎo)， f x 單調(diào)遞增，且 f 0 0 ，則 函數(shù) f x 在 0,a 上單調(diào)遞增。x證明：對(duì)任意的 x1,x2 0,a ，且 x1 x2 ，則 f x 在 o,x1 和 x1,x2 上均滿足拉格朗日中值定理，于是分別存在0,x1 ，x1,x2 使f x1 f 0 , f x1 o由于 f x 單調(diào)遞增，且 f 0 0，所以 f f ，15即： fx1fx2fx1，通分移項(xiàng)整理得 fx1fx2 ，x1x2 x1x1x2即函數(shù) f x 在 0,a 上單調(diào)遞增。x(3) 有界性

28、例13設(shè)在 (a,b)內(nèi) f (x)可導(dǎo)且 f (x)有界，試證 f (x)在(a,b)有界證明：任取 x0 (a,b) ，有拉格朗日中值定理知：f (x) f(x0) g( )(x x0)( 在 x, x0之間)，可得：f (x) f (x0) + f( )x x0 f (x0) M(b a)， 式中 M 是 f (x)在(a,b)內(nèi)的界，有 f (x) M ， 即 f (x) 在 (a,b)內(nèi)有界。7. 利用拉格朗日中值定理證明方程根的存在性 運(yùn)用拉格朗日中值定理證明根的存在性的關(guān)鍵在于：構(gòu)造輔助函數(shù)，運(yùn)用拉格朗 日中值定理或者它的特殊形式羅爾中值定理與連續(xù)函數(shù)的介值性等證明根的存在性。

29、諺 辭調(diào)擔(dān)鈧諂動(dòng)禪瀉類。例14設(shè) F(x)在0,1 上可導(dǎo)，且 0 f(x) 1,對(duì)于 (0,1)內(nèi)的所有點(diǎn) x，有f (x) 1,證明方程 f (x) x 1 0在(0,1) 內(nèi)有唯一實(shí)根。證明：存在性：令 F (x) f (x) x 1,則 F (x)在0,1 上可導(dǎo)，又因F(0) f (0) 0 1 0, F(1)=F(1) +1-10 ，且 0 f( x) 1 ， 嘰覲詿縲鐋囁 偽純鉿錈。故由介值定理得 F(x)在 (0,1)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)， 即方程 f (x) x 1 0 在( 0,1)內(nèi)至少有一實(shí)根。唯一性：設(shè)方程 f (x) x 1 0在 (0,1)內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根， x1、x2，

30、不妨設(shè)0x1x21,則有f (x1)1x1, f(x2 )1x2 .因 f (x) 在x1,x2 上滿16足拉格朗日中值定理，所以至少存在一點(diǎn)(x1,x2 ), 使f ( ) f ( x2 ) f ( 1x ) (1 2x ) (11x )1f ( ) 。1x2 x1x2 x1即在(0,1)內(nèi)是少存在一點(diǎn) ，使得 f( ) 1,這與題設(shè) f ( ) 1矛盾。所以 ， 假設(shè)不成立，即方程 f (x) x 1 0 在 (0,1)內(nèi)有唯一實(shí)根。例 15 設(shè) f x 在 0,1 可導(dǎo)，且對(duì)任何 x 0,1 ，都有 f x 1，又 0 f x 1，試 證明在 0,1 內(nèi)，方程 f x x 0 有唯一實(shí)根

31、。證明：(存在性)令 F x f x x 在 0,1 利用零點(diǎn)定理易證。(唯一性)反證法，假設(shè)有兩個(gè)實(shí)根 x1, x2 ，使得 f x1 x1, f x2 x2。不妨設(shè) x1 x2 在 x1,x2 0,1 上對(duì) f x 應(yīng)用拉格朗日中值定理，有f f x2 f x1 x2 x1 1, x1,x2x2 x1x2 x1。這與 f x 1矛盾， 故結(jié)論得證。三、結(jié)束語(yǔ) 本文從數(shù)學(xué)分析中幾個(gè)比較常用的方法出發(fā)，總結(jié)了拉格朗日中值定理的證明方 法，又從高等數(shù)學(xué)中比較常用的幾個(gè)方面， 概述了拉格朗日中值定理的一些重要應(yīng)用， 以便使讀者能夠更好的理解和掌握拉格朗日中值定理。鑒于拉格朗日中值定理的應(yīng)用 是一個(gè)

32、非常龐大的、復(fù)雜的研究課題，并且因?yàn)槲易陨砝碚摗⒛芰Φ戎T多方面的不足， 造成本文當(dāng)中還有很多不足和無(wú)法涉及到的方面和內(nèi)容。對(duì)于本文對(duì)拉格朗日中值定 理的應(yīng)用的某些相關(guān)論述所產(chǎn)生的不可避免的諸多不足、漏洞，懇請(qǐng)各位老師予以批 評(píng)和改正，以使學(xué)生能夠更好的進(jìn)步。 熒紿譏鉦鏌觶鷹緇機(jī)庫(kù)。參考文獻(xiàn)：1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 數(shù)學(xué)分析(第三版)(上冊(cè))M 北京：高等教育出版社， 2001 ，119-121鶼 漬螻偉閱劍鯫腎邏蘞。2 華東師范大學(xué) .數(shù)學(xué)分析習(xí)題解析 M 陜西：陜西師范大學(xué)出版社， 2004， 87-913 裴禮文 . 數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法 M. 北京 : 高等教育出版社 , l993

33、.4 韓應(yīng)華，姚貴平等 . 微分中值定理的應(yīng)用及推廣 J.內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)， 2009,95 朱智和 .微分中值定理在解題中的若干應(yīng)用 J. 紹興文理學(xué)院學(xué)報(bào)， 2009,126 劉坤林，譚澤光 .大學(xué)數(shù)學(xué)概念、方法與技巧 M. 北京：清華大學(xué)出版社 ,2006, 67-70 紂憂蔣氳頑 薟驅(qū)藥憫騖。177 沈樹民微積分解題分析上 M. 南京：江蘇科學(xué)技術(shù)出版社， 2008， 140.8 余慶紅 .中值定理的應(yīng)用探討 D. 西安航空技術(shù)高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)， 2007（ 25）：34-36.穎芻莖蛺餑 億頓裊賠瀧。9 錢吉林 .數(shù)學(xué)分析題解精粹 M 武漢：崇文書局， 2003， 61-8310

34、G.A.Beauchamp Curriculum Theory （2nd）JPeacock Press， 1986，6-6濫驂膽閉驟羥闈詔寢賻。11 G 波利砸，涂泓譯怎樣解題數(shù)學(xué)M 上海：上?？萍冀逃霭嫔?， 2002，6-6.12 周煥芹 .淺談中值定理在解題中的應(yīng)用 J. 高等數(shù)學(xué)研究， 1999,2（3）,30-32.13 Pullman N.J, Positive definite matrices, Amer Math MonthlyJ Oxford University Press, Aug 2000, 259 264銚銻縵嚌鰻鴻鋟謎諏涼。山東師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）題目審批

35、表學(xué)院：數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 （章） 系別/教研室：信息與計(jì)算 時(shí)間： 2013 年 11 月 25 日課 題 情 況題目名稱拉格朗日中值定理的應(yīng)用課題性質(zhì)A 基礎(chǔ)研究 B 基礎(chǔ)應(yīng)用研究 （ ） C 應(yīng)用研究教師姓名范進(jìn)軍 職稱 教授 學(xué)位 碩士課題來(lái)源A.科研 B. 生產(chǎn) C. 教學(xué) D. 學(xué)生自擬 （ ） E. 其它成果類別A.論文 （） B. 設(shè)計(jì)主要 研究 內(nèi)容 與研究 目標(biāo)在文章中我首先介紹了拉格朗日中值定理及其證明，并在此基礎(chǔ)上深入研究并系統(tǒng)總 結(jié)了其應(yīng)用，包括利用拉格朗日中值定理證明等式、不等式、求極限、證明級(jí)數(shù)收斂、證 明根的存在性、估值、研究函數(shù)性態(tài)等等指導(dǎo)教師（簽名） ：年 月 日

36、選題學(xué)生（簽名） ：年 月 日18系所 或教 研室 審題 意見(jiàn)負(fù)責(zé)人（簽名） :年月日學(xué)院 審批 意見(jiàn)學(xué)院學(xué)位分委員會(huì)主任（簽名） :年月日19表 4 （學(xué)生用）山東師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）開題報(bào)告論文題目： 拉格朗日中值定理的應(yīng)用學(xué)院名稱： 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院專 業(yè)： 信息與計(jì)算科學(xué)學(xué)生姓名： 任雯蕾學(xué) 號(hào)： 201000820223指導(dǎo)教師： 范進(jìn)軍2013年 12 月 16 日20、選題的性質(zhì) 基礎(chǔ)應(yīng)用的性質(zhì)二、選題的目的和意義 拉格朗日中值定理是微分學(xué)上的重要、基礎(chǔ)定理之一，是溝通導(dǎo)數(shù)及其函數(shù)之間關(guān)系的橋梁， 是利用導(dǎo)數(shù)的局部性質(zhì)推斷函數(shù)的整體性質(zhì)的有力工具， 從拉格朗日中值定理的思想出

37、發(fā)， 學(xué)習(xí)構(gòu) 造輔助函數(shù)的方法，對(duì)于進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有深遠(yuǎn)意義。三、與本課題相關(guān)的國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀，預(yù)計(jì)可能有所創(chuàng)新的方面 研究現(xiàn)狀：課本中關(guān)于拉格朗日中值定理的應(yīng)用并沒(méi)有專門的講解， 而很多學(xué)者也只是研究了 某一方面的應(yīng)用，并沒(méi)有進(jìn)行深入、系統(tǒng)的總結(jié)。有所創(chuàng)新的方面： 先給出拉格朗日中值定理的本質(zhì)， 深入了解拉格朗日中值定理及其證明過(guò)程， 并在此基礎(chǔ)上總結(jié)它的廣泛應(yīng)用及其重要作用。四、課題研究的可行性分析 大學(xué)期間，我們學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)分析、數(shù)學(xué)學(xué)分析方法等課程，并在論文準(zhǔn)備期間閱讀了很多關(guān)于 這方面的資料， 為我在這個(gè)課題上能夠獲得成績(jī)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，而且我們的這兩門課程的老師 都十分注重教授給同

38、學(xué)們關(guān)于數(shù)學(xué)分析一些基礎(chǔ)應(yīng)用方面的東西， 授課時(shí)給我們補(bǔ)充了大量的關(guān)于 應(yīng)用的內(nèi)容，耳濡目染，使得我能對(duì)拉格朗日中值定理的應(yīng)用做出十分系統(tǒng)的總結(jié)。21五、課題研究的策略、方法和步驟思路： 首先敘述拉格朗日中值定理內(nèi)容和該定理的證明，在此基礎(chǔ)上再使用拉格朗日中值定理來(lái)求極限、證明恒等式、證明不等式、研究函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)、估值、證明方程根的存在性，深 入理解該定理方法：打算采用文獻(xiàn)研究法、演繹推理、邏輯推理、反證法等多種方法步驟。六、預(yù)期成果形式描述預(yù)計(jì)形成 8000 字左右的論文 七、指導(dǎo)教師意見(jiàn)指導(dǎo)教師（簽名） 年月日八、學(xué)院學(xué)位分委員會(huì)意見(jiàn)學(xué)院學(xué)位分委員會(huì)主任（簽名） 年月日22表 5 （

39、學(xué)生教師合用）山東師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）教師指導(dǎo)記錄表學(xué)院： 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 系別： 信息與計(jì)算 專業(yè)： 信息與計(jì)算科學(xué) 論文（設(shè)計(jì)）題目：拉格朗日中值定理的應(yīng)用學(xué)生姓名任雯蕾學(xué)號(hào)201000820223指導(dǎo)教師范進(jìn)軍職稱教授計(jì)劃完成時(shí)間： 2014-5-6指導(dǎo)情況紀(jì)錄（含指導(dǎo)時(shí)間、指導(dǎo)內(nèi)容） 范進(jìn)軍導(dǎo)師在先后幾次見(jiàn)面中都對(duì)我提出了許多寶貴和有價(jià)值的建議，我對(duì)他的建議非常重 視，并且都有仔細(xì)記錄并且認(rèn)真思考，我總結(jié)了一下幾點(diǎn)：1. 主要指導(dǎo)內(nèi)容 ： 與學(xué)生進(jìn)行初步談話， 確定論文寫作的大致方向， 包括涉及到的主要結(jié)構(gòu)等， 經(jīng)過(guò)分析、 帥選， 確定最終的選題。2014 年 1 月 6 號(hào)2.

40、 主要指導(dǎo)內(nèi)容： 下達(dá)任務(wù)，知道學(xué)生根據(jù)任務(wù)書，查閱、收集、整理文獻(xiàn)，開展調(diào)研，確定思路，并指導(dǎo)學(xué)生 完成開題報(bào)告，同時(shí)指導(dǎo)學(xué)生將畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）題目匯總表（初選）報(bào)教務(wù)處。2014 年 1 月 9 號(hào)3. 主要指導(dǎo)內(nèi)容：導(dǎo)學(xué)生論 文初稿的 撰寫和批改。主要是對(duì)論文 結(jié)構(gòu)的指 導(dǎo)，還包括：內(nèi)容是 否與論 點(diǎn)和 論題 相關(guān)，論點(diǎn)的闡述 是否完 整，指導(dǎo)學(xué) 生文章中邏輯混 亂的地方 ，并 指導(dǎo)修改常見(jiàn)的語(yǔ)法 錯(cuò)誤 和表述錯(cuò)誤。另外指 出學(xué)生抄襲的地 方，指導(dǎo) 其改正、重寫。2014 年 3 月 7 號(hào)4. 主要指導(dǎo)內(nèi)容： 組織學(xué)生進(jìn)行畢業(yè)設(shè)計(jì) （論文） 中期檢查， 并完成論文第二稿的批閱和修改。

41、主要指導(dǎo)學(xué)生第 一稿中尚未修改的遺留問(wèn)題， 還包括論文中存在的其他新的問(wèn)題。 進(jìn)一步完善論文的寫作， 指導(dǎo)學(xué) 生刪減和添加的部分，使其文章更加具體，完整。2014 年 4 月 18 號(hào)5. 主要指導(dǎo)內(nèi)容： 完成論文三稿的修改和定稿工作，指導(dǎo)學(xué)生論文中遺留的問(wèn)題，進(jìn)一步審查了論文中的細(xì)節(jié) 部分， 包括字體大小， 文章編排， 指導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)閱讀畢業(yè)論文的格式要求， 并完全按照標(biāo)準(zhǔn)完成論 文。完成畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）的批閱、評(píng)閱，答辯資格審查和答辯安排，并將答辯安排報(bào)教務(wù)處。2014 年 5 月 4 號(hào)指導(dǎo)教師（簽名） ：學(xué)生（簽名） ：學(xué)院學(xué)位分委員會(huì)主任（簽名） ： 年 月 日 注：本科論文（設(shè)計(jì)）的

42、指導(dǎo)應(yīng)不少于 5 次，如表格空間不足可另附頁(yè)。23指導(dǎo)教師意見(jiàn)主要觀（包括選題的意義， 資料收集或?qū)嶒?yàn)方法、 數(shù)據(jù)處理等方面的能力， 論證或?qū)嶒?yàn)是否合理， 點(diǎn)或結(jié)果是否正確，有何獨(dú)到的見(jiàn)解或新的方法，基礎(chǔ)理論、專業(yè)知識(shí)的掌握程度及寫作水平等， 并就該論文是否達(dá)到本科畢業(yè)論文水平做出評(píng)價(jià)）成績(jī)：指導(dǎo)教師（簽名）年 月 日注：成績(jī)按優(yōu)、良、中、合格、不合格五級(jí)分制計(jì)。24評(píng)閱人意見(jiàn)（包括選題的意義，資料收集或?qū)嶒?yàn)方法、數(shù)據(jù)處理等方面的能力，論證或?qū)嶒?yàn)是否 合理，主要觀點(diǎn)或結(jié)果是否正確，有何獨(dú)到的見(jiàn)解或新的方法，基礎(chǔ)理論、專業(yè)知識(shí) 的掌握程度及寫作水平等，并就該論文是否達(dá)到本科畢業(yè)論文水平做出評(píng)價(jià)）成績(jī)：評(píng)閱人（簽名）：年月日注：成績(jī)按優(yōu)、良、中、合格、不合格五級(jí)分制計(jì)25答辯委員會(huì)意見(jiàn)應(yīng)根據(jù)論文內(nèi)容和答辯情況， 并參考指導(dǎo)教師意見(jiàn)、 評(píng)閱人意見(jiàn)對(duì)論文的綜合水平做出具體評(píng)價(jià)）成績(jī)：答辯委員會(huì)主任（簽名）年 月 日學(xué)院學(xué)位分委員會(huì)意見(jiàn)成績(jī)：學(xué)位分委員會(huì)主任（簽名） ： （公章）年月日注：成績(jī)按優(yōu)、良、中、合格、不合格五級(jí)分制計(jì)。26表 6（學(xué)院用 ）山東師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）答辯記錄表學(xué)院： 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 （章）系別