層次分析法講義冀永強

1、層次分析模型講義 人們在日常生活中常常會碰到許多決策問題：買一件襯衫，你 要在棉的、絲的、滌綸的及花的、白的、方格的之中作出抉 擇；請朋友吃飯，要籌劃是辦家宴或去飯店，吃中餐、西餐或是自助 餐；假期旅游，是去風光綺麗的蘇杭，還是去迷人的北戴河海濱，或 是去山水甲天下的桂林。 如果以為這些日常小事不必作為決策問題認 真對待的話， 那么當你面臨報考學校、 挑選專業(yè)或者選擇工作崗位的 時候，就要慎重考慮、反復比較，盡可能地作出滿意的決策了。 從事各種職業(yè)的人也經(jīng)常面對各種決策： 一個廠長， 要決定購買 哪種設備，上馬什么產(chǎn)品；科技人員要選擇研究課題；醫(yī)生要為疑難 病癥確定治療方案； 經(jīng)理要從若干應試

2、者中選拔秘書； 各地區(qū)各部門 的官員則要對人口、交通、經(jīng)濟、環(huán)境等領域的發(fā)展規(guī)劃作出決策。 人們在處理上面這些決策的時候， 要考慮的因素有多有少， 有大 有小，但一個共同點就是它們通常都涉及到經(jīng)濟、社會、人文等方面 的因素。在作比較、判斷、評價、決策時，這些因素的重要性、影響 力或者優(yōu)先程度往往難以量化， 人們的主觀選擇也起著相當主要的作 用，這就給用一般的數(shù)學方法解決問題帶來實質上的困難。 美國科學家薩蒂( T. L. Saaty )等人在七十年代提出了一種能 有效地處理這樣一類問題的使用方法，稱為層次分析法( AHP)。這是 一種定性和定量相結合的、系統(tǒng)化、層次化的分析方法。 下面以假期旅

3、游為例介紹層次分析法的基本步驟和應用實例。 例：假期旅游， 有P1, P2 , P3三個旅游勝地供你選擇， 你會根據(jù)諸如 景色、費用、居住、飲食、旅途等一些準則去反復比較那三個候選地 點，最終決策去哪個旅游地。 一、建立層次結構模型 層次分析法的基本思路與人對一個復雜的決策問題的思維判斷 過程大體上是一樣的。一般分為目標層、準則層和方案層。此例中， 首先，你會確定這些準則在你的心目中占有多大比重， 如果醉心旅游， 自然會更看重景色；而平時儉樸或手頭拮據(jù)的人則會優(yōu)先考慮費用； 中老年旅游者還會對居住、飲食等條件寄予較大關注。其次，你會就 每一個準則將三個地點進行對比，譬如 P1景色最好， P2次

4、之； P2費用 最低， P3 次之等。最后，你將這兩個層次的比較判斷進行綜合，在 P1,P2,P3中作出選擇。 根據(jù)這個思路，在本例中，建立層次結構模型如下： 目標層 準則層 方案層 、構造成對比較矩陣求權向量 通過相互比較確定各準則對于目標的權重。 Satty 等人的作法是 不把所有因素放在一起比較， 而是兩兩相互對比， 對比時采用相對尺 度，以盡可能減少性質不同的諸因素相互比較的困難，提高精確度。 1、構造成對比較陣 假設要比較某一層 n 個因素 C1,C2,L,Cn 對上一層一個因素 A的影 響，如旅游決策問題中比較景色等五個準則在選擇旅游地這個目標中 的重要性。每次取兩個因素 Ci和C

5、j ，用aij 表示Ci和Cj對A的影響之 比，全部比較結果可用成對比較矩陣 A 表示： 1 A （aij ）n n, aij 0, a ji（1） aij 由于 aji aij 稱 A 為正互反矩陣。顯然， aii 1 約定比較尺度 aij 1 Ci與Cj 同等重要 3Ci比Cj 重要一點 5Ci與Cj 重要 7Ci與Cj 重要得多 9Ci與Cj 極為重要 （ 2、4、 6、8是介于 1、3、5、7、9 之間的重要性） （注： 1.從心理學觀點來看，分級太多會超越人們的判斷能力， 既增加了作判斷的難度，又容易因此而提供虛假數(shù)據(jù)。 Saaty 等人還 用實驗方法比較了在各種不同標度下人們判斷結

6、果的正確性， 實驗結 果也表明，采用 19 標度最為合適 注：2.一般地需作 n(n 1) 次兩兩判斷。 有人認為把所有元素都和 2 某個元素比較，即只作 n 1個比較就可以了。這種作法的弊病在于， 任何一個判斷的失誤均可導致不合理的排序， 而個別判斷的失誤對于 難以定量的系統(tǒng)往往是難以避免的。 進行 n(n 1) 次比較可以提供更多 2 的信息，通過各種不同角度的反復比較， 從而導出一個合理的排序。 ) 在例 1 中，成對比較陣 1 2 1 1 7 1 5 1 5 43 75 21 31 3 5 1 3 1 成對比較陣確定了 Ci與 Cj的相對重要性關系，那么如何通過成對 比較陣來確定諸因素

7、 C1,C2, ,Cn對上層因素 A的權重呢？( Ci對 A的 重要性所占的比重) 2、求權向量(和法) 43 75 1111 A 4 7 1 2 11 35 21 0.255 0.245 0.235 0.286 0.290 0.511 0.490 0.412 0.426 0.484 0.064 0.070 0.059 0.048 0.032 0.085 0.098 0.118 0.095 0.097 0.085 0.098 0.176 0.095 0.097 列向量歸一化 按行求和 1.311 2.373 0.273 0.493 0.551 1 31 0.262 0.475 歸一化 0.05

8、5 w(2)。w(2) 表示諸因素 C1,C2, ,Cn對上層因素 A的權 0.099 0.110 重，稱w(2)為權向量。例如，景色C1對 A的權重為 0.262 ，費用C2對A 的權重為 0.475 等等。 三、一致性檢驗 注 意 到 矩 陣 A 中 ， a12 CC12 21,a13 CC13 4, 由 此 應 有 a23a13 8，事實上， a23 7 ， 出現(xiàn)了不一致的情況。 C3 a12 (附 定義：對于一個正互反陣 A滿足 aij a jk aik,i, j,k 1,2, n,則 稱 A 為一致性矩陣，簡稱一致陣。否則，稱 A 不是一致陣。 (1)一、二階方陣一定是一致陣。 (2

9、) n階正互反矩陣 A是一致陣的充要條件為 A的最大特征 根 n 。) 在實際構造成對比較陣的過程中， 全部一致的要求太苛刻了， 所 以成對比較陣通常是不一致的，但是我們有一個 A 不一致的容許范 圍，也就是說，若 A 在這個容許范圍內(nèi)也是可以的。因此，需要對 A 進行一致性檢驗。 把權向量 w(2) 作為 A 的特征向量，求最大特征根 2) 1 n (Aw(2)i ni 1 wi(2) 定義一致性指標為 n1 3) 為了找出衡量 A的一致性指標 CI 的標準， Saaty 又引入所謂隨機 致性指標 RI ，如下表： n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RI 0 0 0.58

10、0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 4） CI 定義 CR RI 為一致性比率。 若CR 0.1，則稱 A 的不一致程度在容許范圍之內(nèi)。 若 否，對 A 加以調(diào)整。） 對 A 用（ 2）、 3）、 4）式進行檢驗，稱為一致性檢驗。 在例 1 中， Aw(2) 1 2 1 4 1 3 1 3 1 ( 1.347 5 ( 0.262 n 1 2 1 1 7 1 5 1 5 3 5 1 2 1 3 5 1 3 1 0.262 0.475 0.055 0.099 0.110 1.347 2.429 0.43 0.501 0.556 2.429 0.430 0

11、.501 0.475 0.055 0.099 5.073 5 CI 0.018 n 1 4 由 n 5 查得 RI 1.12 ，CR CI 0.018 0.016 0.1，于是， A 通過一 RI 1.12 致性檢驗，可用 w(2) 作為權向量。 0.556) 5.073 0.110 四、組合權向量 在旅游決策問題中，我們已經(jīng)得到了第二層（準則層）對第一層 目標層）的權向量 w（2） 。用同樣的方法構造第三層（方案層）對第 二層每一個準則的成對比較陣。 用B1,B2,B3,B4,B5,分別表示 P1, P2 , P3對準則 C1,C2, ,C5的優(yōu)越性。 對于準則 C1(景色)： B1 1 1

12、 2 1 5 25 12 同樣， B2 11 113 B3 1 1 3 3 1 1 1 33 對于每一個成對比較陣 B4 1 1 3 1 34 11 11 1 B5 1 4 4 1 4 1 Bk ，k 1,2,3,4,5 都可以計算出權向量， 分別 記為 w1(3),w2(3),w3(3),w4(3),w5(3) ，最大特征根 k和CIk,RIk,CRk，對于本例，每 個 Bk 都通過了一致性檢驗。 以 B1 為例： B1w1(3) 1 2 1 1 2 0.595 0.277 0.129 1.794 0.8325 0.3865 0.588 0.571 0.625 1.784 0.595 B1歸

13、一化 0.294 0.286 0.250 行求和 0.830 歸一化 0.277 w1(3) 0.118 0.143 0.125 0.386 0.129 1 1(1.794 0.8325 0.3865) 3.006 1 3 0.595 0.277 0.129 CI1 1n n1 3.006 3 2 0.003 0.1 經(jīng)計算，所得結果如下： n 1 2 3 4 5 w(2) 0.262 0.475 0.055 0.099 0.110 (3) wk 0.595 0.082 0.429 0.633 0.166 0.277 0.236 0.429 0.193 0.166 0.129 0.682 0.

14、142 0.175 0.668 k 3.006 3.002 3 3.009 3 CIk 0.003 0.001 0 0.005 0 RIk 0.58 CRk 0.1 ，通過 下面由各準則 Ck對目標 A的權向量 w(2) 和各方案 Pi對每個準則 Ck 的權向量 wk(3) ，計算各方案對目標的權向量，稱之為 w(3) 。 將w1(3),w2(3),w3(3),w4(3),w5(3)作為列向量組成矩陣，此矩陣記為 W(3) ，組 合權向量 0.262 0.595 0.082 0.429 0.633 0.166 0.475 0.300 w(3)W (3)w(2) 0.277 0.236 0.42

15、9 0.193 0.166 0.055 0.246 0.129 0.682 0.142 0.175 0.668 0.099 0.459 0.110 這表明，方案 P3在旅游地選擇中占的權重近于 1，遠大于 P1, P2，應選 2 P3 作為第一選擇地。 (附 若共有 s層，則最下層(第 s 層)對最上層的組合權向量 w(s) W(s)W(s 1) W (3)w(2) 其中W (k)是以第 k層對第 k 1層的權向量為列向量組成的矩陣。 ) 五、組合一致性檢驗 在層次分析的整個計算過程中，除了對每個成對比較陣進行一致 性檢驗，以判斷每個權向量是否可以應用外， 還要進行所謂組合一致 性檢驗，以確定

16、組合權向量是否可以作為最終的決策依據(jù)。 (附 組合一致性檢驗可逐層進行，若第 k 層的一致性指標為 CI1(k),CI2(k), ,CIn(k) ( n 是 k 1層因素的數(shù)目) ，隨機一致性指標為 RI1(k),RI2(k), ,RIn(k) ，定義 CI(k) CI1(k),CI2(k), ,CIn(k) w(k 1) RI(k) RI1(k),RI2(k), ,RIn(k) w(k 1) 其中 w(k 1)表示第 k 1層的權向量。定義第 k層對第一層的組合一致性 比率為 CR(k) CR(k 1) CI RI (k) (k) 若CR(k) 0.1，則通過了組合一致性檢驗。 ) 0.26

17、2 0.475 在例中， CI (3) 0.003 0.001 0 0.005 0 0.055 0.00176 0.099 0.110 0.262 RI (3) 0.58 0.58 0.58 0.58 0.475 0.58 0.055 0.58 0.099 0.110 故通過組合一致性檢驗，組合一致權向量合理，結論合理。 CR(3) CI (3) CR(2) CI RI(3) 0.016 0.00176 0.58 0.019 0.1 注 1：當準則層因素過多時，可進一步分解出子準則層。 2：在應用層次分析法研究問題時，遇到的主要困難有兩個： （i ）如何根據(jù)實際情況抽象出較為貼切的層次結構；

18、（ ii ）如何將某些定性的量作比較接近實際定量化處理。 3. 層次分析法對人們的思維過程進行了加工整理，提出了一套系 統(tǒng)分析問題的方法，為科學管理和決策提供有說服力的依據(jù)。 4. 層次分析法有其局限性，主要表現(xiàn)在： （i ）它在很大程度上依賴于人們的經(jīng)驗，主觀因素的影響很大， 它至多只能排除思維過程中的嚴重非一致性，卻無法排除決策者 個人可能存在的嚴重片面性。 （ ii ）比較、判斷過程較為粗糙，不能用于精度要求較高的決策 問題。AHP至多只能算是一種半定量 （或定性與定量結合） 的方法。 附：層次分析法應用實例 問題：蓄水池施工方案 某學院需要建立一個蓄水池，由南區(qū)方案和北區(qū)方案，按照投

19、資合理、效益顯著、運行可靠、管理方便的原則選擇最優(yōu)方案，各項 比較準則所需的相關資料都已提供（由于篇幅的關系，這里略去） 使用層次分析法確定應選的方案。 10 層次結構圖如下：分為目標層、準則層、子準則層和方案層 南區(qū)方案 P1 北區(qū)方案 P2 1. 構造第二層相對于第一層的成對比較陣： 1 5 1 2 1 5 1 1 8 求 A 的權向量 w(2) ： 求1 n i 1 2 歸一化 8 1 1 5 1 1 8 (Aw(2)i 。 wi(2) 。 0.153 0.151 0.182 0.486 0.162 0.770 0.755 0.727 行和 2.252 歸一化 0.751 0.077 0

20、.094 0.091 0.262 0.087 w(2) 11 Aw( 2) 2 0.162 8 0.751 0.087 0.262 0.486 2.257 1 ( 0.486 3 ( 0.162 2.257 0.751 0.262 ) 3.006 0.087 進行一致性檢驗： CI (2) 3.006 3 n1 0.003 查 表 得 RI(2) 0.58 ， 因 此 CR(2) CRII(2) 00.05083 0.005 0.1，故 A的不一致性在容許范圍內(nèi)，從而 0.162 接受 w( 2) 0.751 。 0.087 2. 構造第三層對第二層的成對比較陣， B1,B2 ,B3表示. B1 1 3 3 2 1 B2 1 1 2 1 8 1 6 1 4 1 3 B3是一階單位陣。 求 B1,B2 的權向量 w1(3) ,w2(3) 和特征根 1, 2 與 求 w(2) 類 似的方 法求得 0 .557 0 .124 0 .517 ,w2(3) 0 .279 0 .068 0 .359 0 .096 (3) 1 1(3) 3.0016, (23) 4.0017, CI1(3) 0.0008, RI1(3) 0.58,CR1(3) 0.0014 0.1,