142a正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)課件

1、1.4.2 1.4.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì) 問題提出問題提出t57301p2問題問題1.1.根據(jù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象，根據(jù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象，你能說出它們具有哪些性質(zhì)？你能說出它們具有哪些性質(zhì)？y y-1xO123456-2-3-4-5-6-y=sinxy=sinxxyO1-1222222222222y=cosxy=cosx正余弦函數(shù)的性質(zhì)正余弦函數(shù)的性質(zhì).4.21定義域和值域定義域和值域.Rxxcosy ，yy奇偶性奇偶性正弦函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)余弦函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)關(guān)于原點對稱關(guān)于原點對稱定義域定義域Rxxsin)sin( xxcos)co

2、s( 判斷下列函數(shù)的奇偶性)225sin()() 1 (xxfxxxxxf2244sincoscossin)()2( 解：)225sin()() 1 (xxf.2cosRxx，)2cos()(xxf且x2cos)(xf.)225sin()(是偶函數(shù)xxfxxxxxxxf222222sincos)cos)(sincos(sin)()2(xxxx2222sincoscossin.0Rx，0)(xf且，)(xf)(0)(xfxf.)(既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)xf1sin1cos) 3(2xxy. 1例例1sin1cos) 3(2xxy解：解：函數(shù)的定義域是1sin0sin1xx即，22|Zkkxx，定義

3、域關(guān)于原點不對稱.數(shù)原函數(shù)非奇函數(shù)非偶函1sin1cos2xxy錯解：1sin1sin12xx1sin1xxsinxxsin)sin(又.原函數(shù)是奇函數(shù)注意：注意：求函數(shù)定義域首先應(yīng)考察函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點求函數(shù)定義域首先應(yīng)考察函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點 對稱這一必要條件對稱這一必要條件.cosRxxy，yy為其對稱中心為其對稱中心稱，即稱，即是奇函數(shù)，關(guān)于原點對是奇函數(shù)，關(guān)于原點對)0 , 0(sin xy 的對稱中心的對稱中心均為均為xyZkksin)(0 ,( 的對稱中心的對稱中心均為均為xyZkkcos)(0 ,2( 為其對稱軸為其對稱軸軸對稱，即軸對稱，即是偶函數(shù)，關(guān)于是偶函數(shù)，關(guān)

4、于0cos xyxy的對稱軸的對稱軸均為均為xyZkkxsin)(2 的對稱軸的對稱軸均為均為xyZkkxcos)( 對稱性對稱性和對稱軸：和對稱軸：求下列函數(shù)的對稱中心求下列函數(shù)的對稱中心例例 . 21sin)1( xyxy2cos)3( )4sin()2( xy周期函數(shù)的概念周期函數(shù)的概念 思考思考1 1：觀察上圖觀察上圖, , 正弦曲線每相隔正弦曲線每相隔 個個單位重復(fù)出現(xiàn)單位重復(fù)出現(xiàn). .y y-1xO123456-2-3-4-5-6-y=sinxy=sinx2sin(2 ) sin ()x kx k Z誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式其理論依據(jù)是什么？其理論依據(jù)是什么？當自變量當自變量x x的值增加

5、的值增加22的整數(shù)倍時，函的整數(shù)倍時，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)數(shù)值重復(fù)出現(xiàn). .數(shù)學(xué)上，用周期性這個概數(shù)學(xué)上，用周期性這個概念來定量地刻畫這種念來定量地刻畫這種“周而復(fù)始周而復(fù)始”的變的變化規(guī)律化規(guī)律思考2：設(shè)設(shè)f(x)=sinxf(x)=sinx，則，則 可以怎樣表示？可以怎樣表示？sin(2) sinxkx f(x+2k)=f(x) 這就是說：當自變量這就是說：當自變量x x的值增加到的值增加到x+2kx+2k時，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)時，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn). . 為了突出函數(shù)的這個特性，我們把函數(shù)f(x)=sinx稱為周期函數(shù)，2k為這個函數(shù)的周期 ( (其中其中kzkz且且k0)k0).思考思考3 3：把函

6、數(shù)f(x)=sinx稱為周期函數(shù).那么，一般地，如何定義周期函數(shù)呢？【周期函數(shù)的定義【周期函數(shù)的定義】對于函數(shù)對于函數(shù)f(xf(x) )，如，如果存在一個果存在一個非零常數(shù)非零常數(shù)T T，使得當，使得當x x取定義取定義域內(nèi)的每一個值域內(nèi)的每一個值時，都有時，都有f(x+T)=f(xf(x+T)=f(x) ) 那么函數(shù)那么函數(shù)f(xf(x) )就叫做周期函數(shù)，非零常就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)數(shù)T T就叫做這個函數(shù)的周期就叫做這個函數(shù)的周期. . 思考思考4 4：周期函數(shù)的周期是否唯一？正弦周期函數(shù)的周期是否唯一？正弦函數(shù)函數(shù)y=sinxy=sinx的周期有哪些？的周期有哪些？ 答：答：周期函數(shù)的

7、周期不止一個周期函數(shù)的周期不止一個. . 22，44，66，都是正弦函數(shù)都是正弦函數(shù)的 周 期 ， 事 實 上 ， 任 何 一 個 常 數(shù)的 周 期 ， 事 實 上 ， 任 何 一 個 常 數(shù)2k(kz2k(kz且且k0)k0)都是它的周期都是它的周期. .【周期函數(shù)的定義【周期函數(shù)的定義】對于函數(shù)對于函數(shù)f(xf(x) )，如果存在一個，如果存在一個非零常非零常數(shù)數(shù)T T，使得當，使得當x x取定義域內(nèi)的每一個值取定義域內(nèi)的每一個值時，都有時，都有f(x+T)=f(xf(x+T)=f(x) ) 那么函數(shù)那么函數(shù)f(xf(x) )就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T T就叫做這個

8、函就叫做這個函數(shù)的周期數(shù)的周期. . 【最小正周期【最小正周期】 如果在周期函數(shù)如果在周期函數(shù)f(xf(x) )的的所有周期中存在一個最小的正數(shù)所有周期中存在一個最小的正數(shù), , 則這則這個最小正數(shù)叫做個最小正數(shù)叫做f(xf(x) )的的最小正周期最小正周期. .今后本書中所涉及到的周期，如果不加特今后本書中所涉及到的周期，如果不加特別說明，一般都是指函數(shù)的最小正周期別說明，一般都是指函數(shù)的最小正周期. .【周期函數(shù)的定義【周期函數(shù)的定義】對于函數(shù)對于函數(shù)f(xf(x) )，如果存在一個，如果存在一個非零常數(shù)非零常數(shù)T T，使得當使得當x x取定義域內(nèi)的每一個值取定義域內(nèi)的每一個值時，都有時，

9、都有f(x+T)=f(xf(x+T)=f(x) )那么函數(shù)那么函數(shù)f(xf(x) )就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T T就叫做這個函數(shù)的周就叫做這個函數(shù)的周期期. . 【最小正周期【最小正周期】如果在周期函數(shù)如果在周期函數(shù)f(xf(x) )的所有周期中存在一個最的所有周期中存在一個最小的正數(shù)小的正數(shù), , 則這個則這個最小正數(shù)最小正數(shù)叫做叫做f(xf(x) )的的最小正周期最小正周期. . 答：答：正弦函數(shù)正弦函數(shù)y=sinxy=sinx有最小正周期，有最小正周期，且且最小正周期最小正周期T=2T=2思考思考5 5：我們知道：我們知道 22，44，66，都是都是y=sinxy

10、=sinx的周期的周期, ,那么那么函數(shù)函數(shù)y=sinxy=sinx有最小正有最小正周期嗎？若有，那么最小正周期周期嗎？若有，那么最小正周期T T等于多少？等于多少？ 正弦函數(shù)正弦函數(shù)y=sinxy=sinx是周期函數(shù)，是周期函數(shù)，2k2k（kZkZ且且 k0k0）都是它的周期，最小正周期都是它的周期，最小正周期 T=T=22 余弦函數(shù)余弦函數(shù)y=cosxy=cosx是周期函數(shù)，是周期函數(shù)，2k2k（kZkZ且且 k0k0）都是周期，最小正周期都是周期，最小正周期 T=T=22思考思考6 6：就周期性而言，對正弦函數(shù)有就周期性而言，對正弦函數(shù)有什么結(jié)論？對余弦函數(shù)呢？什么結(jié)論？對余弦函數(shù)呢？y

11、 y-1xO123456-2-3-4-5-6-y=sinxy=sinxxyO1-1222 2 2 2 22 22 2 2y=cosxy=cosx二：二：周期概念的拓展周期概念的拓展 思考思考1 1：判斷下列說法是否正確：判斷下列說法是否正確思考思考2 2：周期函數(shù)的定義域有什么特點？周期函數(shù)的定義域有什么特點？ 函數(shù)f(x)=sinx（x0）是周期函數(shù)( )函數(shù)f(x)=sinx（x0）是周期函數(shù)( )函數(shù)f(x)=sinx（x3k）是周期函數(shù)( )函數(shù)f(x)=sinx，x0，10是周期函數(shù)( )例例1 1 求下列函數(shù)的周期：求下列函數(shù)的周期： y=3cosx,xR;y=3cosx,xR;

12、y=sin2x,xR; y=sin2x,xR; y=2sin( - ),xRy=2sin( - ),xR; ; 2x6 3cos(x+2)=3cos(x+2)= 由周期函數(shù)的定義可知，原由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為函數(shù)的周期為22【解【解】3cosx3cosxy=sin2x,xR;y=sin2x,xR; sin2(x+)=sin2(x+)= 由周期函數(shù)的定義可知，原由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為函數(shù)的周期為sin2xsin2xsin(2x+2)sin(2x+2)= =解：解：y=2sin( - ),xRy=2sin( - ),xR; ; 由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)由周期函數(shù)的定

13、義可知，原函數(shù)的周期為的周期為446)4(21sin2x)621sin(2x2)621sin(2x2x6解：解：一般地，函數(shù)一般地，函數(shù)y=Asin(x+y=Asin(x+) ) (A(A0 0， 0 0) )的最小正周期是多少的最小正周期是多少? ? |2T 由上例知函數(shù)由上例知函數(shù)y=3cosxy=3cosx的周期的周期 T= 2T= 2； 函數(shù)函數(shù)y=sin2xy=sin2x的周期的周期 T=T=； 函數(shù)函數(shù)y=2sin( - )y=2sin( - )的周期的周期 T=4T=4想一想：以上這些函數(shù)的周期與解析式想一想：以上這些函數(shù)的周期與解析式中哪些量有關(guān)嗎？中哪些量有關(guān)嗎？ 2x6自變

14、量的系數(shù)的絕對值T2 例例2 2 已知定義在已知定義在R R上的函數(shù)上的函數(shù)f(xf(x) )滿足滿足f(xf(x2)2)f(xf(x)=0)=0，試判斷，試判斷f(xf(x) )是否為周是否為周期函數(shù)？期函數(shù)？分析由已知有：分析由已知有：f(xf(x2)= -f(x2)= -f(x) ) f(x+4)= f(x+4)= 即即 f(xf(x4)=f(x4)=f(x) )由周期函數(shù)的定義知，由周期函數(shù)的定義知，f(x)是周期函數(shù)是周期函數(shù).f(xf(x) )=-f(x=-f(x)=)=-f(x-f(x2)2)f(xf(x2)+2=2)+2= 如果在周期函數(shù)如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中的所有

15、周期中存在存在一個最小的一個最小的正數(shù)正數(shù), 則這個最小正數(shù)叫做則這個最小正數(shù)叫做f(xf(x) )的最小正周期的最小正周期 對于函數(shù)對于函數(shù)f(xf(x) )，如果存在一個非零常數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)T T，使得當，使得當x x取取定義域內(nèi)的每一個值時，都有定義域內(nèi)的每一個值時，都有f(x+T)=f(xf(x+T)=f(x) )那么函數(shù)那么函數(shù)f(xf(x) )就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T T就叫做這個函數(shù)的周期就叫做這個函數(shù)的周期. . 歸歸 納納 整整 理理 1.1.說說周期函數(shù)的定義說說周期函數(shù)的定義. .3.3.什么叫周期函數(shù)的最小正周期？什么叫周期函數(shù)的最小正周期？ 2.2.函數(shù)的周期性是函數(shù)的一個基本性質(zhì)，判斷一個函數(shù)函數(shù)的周期性是函數(shù)的一個基本性質(zhì)，判斷一個函數(shù)是