2020-2021中考數(shù)學(xué)平行四邊形-經(jīng)典壓軸題及答案

1、2020-2021 中考數(shù)學(xué)平行四邊形 -經(jīng)典壓軸題及答案、平行四邊形1已知，在矩形 ABCD中， AB=a， BC=b，動(dòng)點(diǎn) M 從點(diǎn) A 出發(fā)沿邊 AD向點(diǎn) D1）如圖 1，當(dāng) b=2a，點(diǎn) M 運(yùn)動(dòng)到邊 AD 的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)證明 BMC=90 ；運(yùn)動(dòng)2）如圖 2，當(dāng) b2a時(shí)，點(diǎn) M 在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在 BMC=90 ，若存在，請(qǐng)給與 證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；3）如圖 3，當(dāng) b2a，a0，b0，即可判定 0，即可確定方程有 兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且兩根均大于零，符合題意；（3）由（ 2），當(dāng) b0，b0，判定方程 x2 bx+a2=0 的根的情況，即可求得答 案試題解析：（ 1）

2、b=2a，點(diǎn) M 是 AD 的中點(diǎn)， AB=AM=MD=DC=a，又在矩形 ABCD中， A=D=90， AMB= DMC=45 ， BMC=90 （2）存在， 理由：若 BMC=90 ， 則 AMB+ DMC=90 ， 又 AMB+ABM=90 ， ABM= DMC， 又 A=D=90， ABMDMC，AM ABabx CD DM ，x設(shè) AM=x ，則a整理得： x2 bx+a2=0，b2a， a0，b 0， =b24a20， 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且兩根均大于零，符合題意， 當(dāng) b2a 時(shí)，存在 BMC=90 ，（3）不成立 理由：若 BMC=90 ， 由（ 2）可知 x2 bx+a

3、2=0， b0，b 0， =b24a2 0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，當(dāng) b 2a時(shí)，不存在 BMC=90 ，即（ 2）中的結(jié)論不成立 考點(diǎn)： 1、相似三角形的判定與性質(zhì)； 2、根的判別式； 3、矩形的性質(zhì)2如圖，將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線 AC 折疊，使點(diǎn)B 落到到 B的位置，AB與 CD 交于點(diǎn)解析】E.（1）求證： AED CEBPGAE于 G， PH BC于 H.求 PG +【分析】（1）由折疊的性質(zhì)知， ， ，則由得到 ；（2）由，可得 ，又由 ，即可求得 的長(zhǎng)，然后在中，利用勾股定理即可求得 的長(zhǎng)，再過(guò)點(diǎn) 作 于 ，由角平分線的性 質(zhì)，可得，易證得四邊形是矩形，繼而可求得答案 .【詳解】（1

4、）四邊形為矩形，又，；，在 中， ， 過(guò)點(diǎn) 作 于 ，、 、 共線，四邊形 是矩形，.【點(diǎn)睛】 此題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及勾 股定理等知識(shí) .此題難度較大，注意掌握折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意掌握輔助線的作 法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 .3如圖，四邊形 ABCD中，ADBC，A=90，BD=BC，點(diǎn) E為CD的中點(diǎn)，射線 BE交 AD 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F，連接 CF（1）求證：四邊形 BCFD是菱形；（2）若 AD=1，BC=2，求 BF 的長(zhǎng)【答案】（ 1）證明見(jiàn)解析（ 2）2 3【解析】（1）AF BC，DCB=CDF，F(xiàn)BC=BFD， 點(diǎn)

5、E 為 CD的中點(diǎn)， DE=EC，F(xiàn)BC BFD在 BCE與FDE中， DCB CDF ，DE EC BCE FDE， DF=BC，又 DFBC，四邊形 BCDF為平行四邊形， BD=BC， 四邊形 BCFD是菱形；2）四邊形 BCFD是菱形， BD=DF=BC=2，在 RtBAD中， AB= BD2 AD23 ，AF=AD+DF=1+2=3，在 Rt BAF中， BF= AB2 AF2 =2 3 4已知 RtABD 中，邊 AB=OB=1，ABO=90 問(wèn)題探究：（1）以 AB為邊，在 Rt ABO的右邊作正方形 ABC，如圖（ 1），則點(diǎn) O與點(diǎn) D 的距離 為（2）以 AB為邊，在 Rt

6、 ABO的右邊作等邊三角形 ABC，如圖（ 2），求點(diǎn) O 與點(diǎn) C的距 離問(wèn)題解決：（3）若線段 DE=1，線段 DE的兩個(gè)端點(diǎn) D，E分別在射線 OA、OB 上滑動(dòng)，以 DE為邊向 外作等邊三角形 DEF，如圖（ 3），則點(diǎn) O 與點(diǎn) F 的距離有沒(méi)有最大值，如果有，求出最大 值，如果沒(méi)有，說(shuō)明理由22【解析】【分析】試題分析： （1）、如圖 1中，連接 OD，在 RtODC中，根據(jù) OD= OC2 CD2 計(jì)算即 可 （2）、如圖 2中，作 CE OB于 E， CF AB于 F，連接 OC在 RtOCE中，根據(jù)OC= OE2 CE2 計(jì)算即可 （3）、如圖 3 中，當(dāng) OF DE時(shí)， O

7、F 的值最大，設(shè) OF交 DE于 H，在 OH上取一點(diǎn) M，使得 OM=DM ，連接 DM分別求出 MH、OM、FH 即可解決問(wèn) 題【詳解】 試題解析： （1）、如圖 1 中，連接 OD，四邊形 ABCD是正方形， AB=BC=CD=AD=1，C=90 在 RtODC中， C=90 ， OC=2，CD=1，OD= OC2 CD 222 125(2) 、如圖 2中，作 CEOB于E，CFAB于 F，連接 OC FBE=E= CFB=90 ，四邊形 BECF是矩形，BF=CF=1 ， CF=BE= 3 ，22在 RtOCE中， OC= OE2 CE21 2= 6 22 = 2（3）、如圖 3 中，

8、當(dāng) OFDE 時(shí)， OF的值最大，設(shè)OF交DE于H，在 OH上取一點(diǎn) M，使得 OM=DM ，1FD=FE=DE=1，OFDE， DH=HE，OD=OE， DOH= DOE=22.5 ， 212MOD=MDO=22.5 ，DMH=MDH=45， DH=HM= ， DM=OM=，22 FH= DF 2 DH 2 3 ， OF=OM+MH+FH= 2 1 3 = 3 2 12 2 2 2 232 1OF 的最大值為32 12考點(diǎn)：四邊形綜合題5已知正方形 ABCD中， E為對(duì)角線 BD上一點(diǎn)，過(guò) E點(diǎn)作 EFBD交 BC于 F，連接 DF， G為 DF中點(diǎn)，連接 EG，CG（1）請(qǐng)問(wèn) EG與 CG

9、存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）將圖 中BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 45，如圖 所示，取 DF中點(diǎn) G，連接 EG，CG問(wèn)（ 1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由（3）將圖 中BEF繞 B 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖 所示，再連接相應(yīng)的線段，問(wèn)（ 1）中 的結(jié)論是否仍然成立？（請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果，不必寫(xiě)出理由）答案】（ 1）證明見(jiàn)解析（ 2）證明見(jiàn)解析3）結(jié)論仍然成立解析】 【分析】（1）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證出CG=EG（2）結(jié)論仍然成立，連接 AG，過(guò) G點(diǎn)作MNAD于M，與 EF的延長(zhǎng)線交于 N點(diǎn)；再證 明 DAGDCG，得出 AG=CG

10、；再證出 DMGFNG，得到 MG=NG；再證明 AMG ENG，得出 AG=EG；最后證出 CG=EG（3）結(jié)論依然成立【詳解】（1）CG=EG理由如下：1四邊形 ABCD是正方形， DCF=90在 RtFCD中， G為DF的中點(diǎn)， CG= FD，1同理在 RtDEF中， EG= FD，CG=EG2（2）（ 1）中結(jié)論仍然成立，即 EG=CG 證法一：連接 AG，過(guò) G點(diǎn)作 MNAD于 M，與 EF的延長(zhǎng)線交于 N點(diǎn) 在 DAG與DCG中，AD=CD， ADG=CDG，DG=DG，DAGDCG（SAS）， AG=CG；在DMG 與 FNG中， DGM= FGN， FG=DG， MDG= NF

11、G， DMG FNG （ASA）， MG=NGEAM=AEN=AMN=90 ，四邊形 AENM是矩形，在矩形 AENM中，AM=EN在 AMG 與ENG中， AM=EN，AMG=ENG，MG=NG，AMGENG（SAS）， AG=EG，EG=CG證法二：延長(zhǎng) CG至 M，使 MG=CG，連接 MF，ME，EC在DCG與FMG 中， FG=DG，MGF=CGD，MG=CG，DCGFMG，MF=CD， FMG= DCG， MFCD AB，EFMF在 Rt MFE與 Rt CBE中， MF=CB，MFE=EBC=90，EF=BE，MFECBE MEF=CEB， MEC=MEF+FEC= CEB+CE

12、F=90 ，MEC為直角三角形 1MG=CG，EG= MC， EG=CG2（3）（ 1）中的結(jié)論仍然成立理由如下：過(guò) F作CD的平行線并延長(zhǎng) CG交于 M 點(diǎn)，連接 EM、EC，過(guò) F作 FN垂直于 AB于 N 由于 G為 FD中點(diǎn)，易證 CDGMFG，得到 CD=FM，又因?yàn)?BE=EF，易證EFM=EBC，則 EFMEBC，F(xiàn)EM=BEC， EM=EC FEC+BEC=90 ，F(xiàn)EC+FEM=90 ，即 MEC=90 ，MEC是等腰直角三角形 G為 CM中點(diǎn)， EG=CG，EGCG點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題（ 1）關(guān)鍵是利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答；（2）關(guān)鍵是利用了直角三

13、角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)、全等三角形的判定和 性質(zhì)解答6圖 1、圖 2 是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為 1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)（1）在圖 1中畫(huà)出等腰直角三角形 MON，使點(diǎn) N在格點(diǎn)上，且 MON=90 ；（2）在圖 2 中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)一個(gè)正方形 ABCD，使正方形 ABCD面積等于（ 1）中等腰直 角三角形 MON 面積的 4 倍，并將正方形 ABCD 分割成以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的四個(gè)全等的直角三角 形和一個(gè)正方形，且正方形 ABCD面積沒(méi)有剩余（畫(huà)出一種即可）【答案】（ 1）作圖參見(jiàn)解析；（ 2）作圖參見(jiàn)解析 .【解析】試題分析：（ 1）

14、過(guò)點(diǎn) O 向線段 OM 作垂線，此直線與格點(diǎn)的交點(diǎn)為 N，連接 MN 即可； （2）根據(jù)勾股定理畫(huà)出圖形即可試題解析：（ 1）過(guò)點(diǎn) O 向線段 OM 作垂線，此直線與格點(diǎn)的交點(diǎn)為 N，連接 MN ，如圖 1 所示；定理畫(huà)出圖 3：20，如圖 2 所示；于是根據(jù)勾股考點(diǎn)： 1.作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖； 2.勾股定理 .7如圖，在正方形 ABCD中， E是邊 AB 上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) F在邊 BC的延長(zhǎng)線上，且 CF AE ，連接 DE，DF， EF. FH平分 EFB交 BD于點(diǎn) H.（1）求證： DE DF ；（2）求證： DH DF ：（3）過(guò)點(diǎn) H作HM EF 于點(diǎn) M ，用等式表示線段 AB，

15、HM與 EF之間的數(shù)量關(guān)系，并 證明.【答案】（ 1）詳見(jiàn)解析；（ 2）詳見(jiàn)解析；（3） EF2AB2HM ，證明詳見(jiàn)解析 .【解析】【分析】（1）根據(jù)正方形性質(zhì)，CF AE 得到 DEDF .（2）由 AED CFD ，得DE DF .由ABC90 ，BD 平分ABC得 DBF 45 .因?yàn)镕H 平分 EFB ，所以EFHBFH.由于DHF DBFBFH 45 BFH ,DFHDFEEFH 45EFH所以 DH DF .（3）過(guò)點(diǎn) H 作 HNBC 于點(diǎn) N ，由正方形ABCD性質(zhì)，得BDAB2 AD 22AB.由 FH 平分 EFB，HM EF , HN BC，得HM HN .因?yàn)?HBN

16、 45 ， HNB 90，所以BH HNsin 452HN2HM由 EF DF 2 DF 2DH ，得 EF2AB2HM .cos45【詳解】（1）證明： 四邊形 ABCD 是正方形， AD CD ， EAD BCD ADC 90 . EAD FCD 90 . CF AE 。 AED CFD . ADE CDF . EDF EDC CDF EDC ADE ADC 90 DE DF .（2）證明： AED CFD ， DE DF .EDF90 ，DEFDFE 45 .ABC90 ， BD 平分 ABC ，DBF45 .FH 平分EFB，EFHBFH .DHFDBF BFH 45BFH ,DFH

17、DFE EFH 45 EFH DHF DFH . DH DF .（3） EF 2 AB 2HM .證明：過(guò)點(diǎn) H 作HN BC于點(diǎn) N ，如圖，F(xiàn)H 平分 EFB， HMEF , HN BC ，HMHN .HBN45 ，HNB90 ，BH HNsin 452HN2HM .DHBD BH2 AB 2HM .EF DF2DF2DH ，正方形 ABCD 中， AB AD ， BAD 90 ， BD AB2 AD22AB .cos45 EF 2 AB 2HM .【點(diǎn)睛】 本題考查正方形的性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)、三角函數(shù)，題目難度較大，解題的 關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)

18、、三角函數(shù) .8（問(wèn)題情境）在 ABC中， ABAC，點(diǎn) P為 BC所在直線上的任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P作 PDAB，PEAC，垂足分別為 D、E，過(guò)點(diǎn) C作CFAB，垂足為 F當(dāng) P在BC邊上時(shí)（如 圖 1），求證： PD+PE CF證明思路是：如圖 2，連接 AP，由 ABP 與 ACP面積之和等于 ABC 的面積可以證得： PD+PECF（不要證明）（變式探究）（ 1）當(dāng)點(diǎn) P 在 CB延長(zhǎng)線上時(shí)，其余條件不變（如圖3），試探索 PD、PE、CF之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；請(qǐng)運(yùn)用上述解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和方法完成下列兩題：（結(jié)論運(yùn)用）（ 2）如圖 4，將長(zhǎng)方形 ABCD沿 EF折疊，使點(diǎn) D 落在點(diǎn)

19、 B上，點(diǎn) C落在點(diǎn) C處，點(diǎn) P 為折痕 EF上的任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P作 PGBE、PHBC，垂足分別為 G、H，若 AD 16， CF6，求 PG+PH的值42x+8 相交于點(diǎn)P 到直線 l1 的遷移拓展）（ 3）在直角坐標(biāo)系中，直線 l1： y- x+8 與直線 l2： y3A，直線 l1、l2與 x軸分別交于點(diǎn) B、點(diǎn) C點(diǎn) P是直線 l2上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn) 距離為 2求點(diǎn) P 的坐標(biāo)【答案】【變式探究】證明見(jiàn)解析【結(jié)論運(yùn)用】 8【遷移拓展】（ 1， 6） 【解析】【變式探究】連接 AP，同理利用 ABP與ACP面積之差等于 ABC的面積可以證得； 【結(jié)論運(yùn)用】過(guò)點(diǎn) E作 EQBC，垂足為

20、Q，根據(jù)勾股定理和矩形的性質(zhì)解答即可； 【遷移拓展】分兩種情況，利用結(jié)論，求得點(diǎn) P到 x 軸的距離，再利用待定系數(shù)法可求出 【詳解】變式探究 :連接 AP，如圖 3：1，10）P 的坐標(biāo)PD AB， PE AC， CFAB，且 SABC SACP S ABP，111 AB?CF AC?PE AB?PD222ABAC，CFPDPE；結(jié)論運(yùn)用 :過(guò)點(diǎn) E 作 EQ BC，垂足為 Q，如圖 ，四邊形 ABCD是長(zhǎng)方形，ADBC，CADC90 AD16，CF 6，BFBCCFADCF5， 由折疊可得： DF BF，BEFDEF DF 5C90 ，DC DF 2 CF 2102 62 8EQBC，CA

21、DC90 ， EQC 90 CADC四邊形 EQCD是長(zhǎng)方形EQ DC 4ADBC， DEF EFB BEF DEF， BEF EFBBEBF，由問(wèn)題情境中的結(jié)論可得： PG+PHEQPG+PH 8PG+PH的值為 8；遷移拓展 :如圖，由題意得： A（0， 8）， B（ 6，0）， C（ 4，0）AB 62 82 10，BC10AB BC，（1）由結(jié)論得： P1D1+P1E1OA 8P1D112，P1E16 即點(diǎn) P1 的縱坐標(biāo)為 6又點(diǎn) P1在直線 l2 上，y2x+8 6， x 1，即點(diǎn) P1 的坐標(biāo)為（ 1， 6）；（2）由結(jié)論得： P2E2 P2D2 OA8P2D22，P2E210

22、即點(diǎn) P1 的縱坐標(biāo)為 10又點(diǎn) P1 在直線 l2 上，y2x+8 10，x 1，即點(diǎn) P1 的坐標(biāo)為（ 1， 10）【點(diǎn)睛】 本題考查了矩形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，利用面積 法列出等式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵9菱形 ABCD中、BAD120，點(diǎn) O為射線 CA上的動(dòng)點(diǎn)，作射線 OM 與直線 BC相交于 點(diǎn) E，將射線 OM 繞點(diǎn) O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60，得到射線 ON，射線 ON 與直線 CD 相交于點(diǎn) F（1）如圖 ，點(diǎn) O與點(diǎn) A 重合時(shí)，點(diǎn) E，F(xiàn)分別在線段 BC，CD上，請(qǐng)直接寫(xiě)出 CE，CF， CA三條段段之間的數(shù)量關(guān)系；1（2）如圖 ，點(diǎn) O在 CA的延長(zhǎng)

23、線上，且 OA AC， E， F分別在線段 BC的延長(zhǎng)線和線3段 CD的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)寫(xiě)出 CE，CF， CA三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）點(diǎn) O在線段 AC上，若 AB6，BO2 7 ，當(dāng) CF1 時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出 BE的長(zhǎng)BE的值為 3或 5或 1解析】ADF ACE（ SAS）即可解決問(wèn)題；分析】1）如圖 中，結(jié)論： CA=CE+CF只要證明4OGAD交 CF于 G，則OGC是等邊三角（2）結(jié)論： CF-CE= AC如圖 中，如圖作3形只要證明 FOG EOC（ASA）即可解決問(wèn)題；（3）分四種情形畫(huà)出圖形分別求解即可解決問(wèn)題 【詳解】 ABC， ACD都是等邊三角形， DAC=

24、 EAF=60 ， DAF= CAE， CA=AD，D=ACE=60， ADFACE（SAS）， DF=CE， CE+CF=CF+DF=CD=A，C CA=CE+CF4（2）結(jié)論： CF-CE= AC3理由：如圖 中，如圖作 OGAD交 CF于 G，則OGC是等邊三角形 GOC=FOE=60 ， FOG= EOC，OG=OC，OGF=ACE=120， FOGEOC（ASA），CE=FG，OC=OG，CA=CD，OA=DG，14CF-EC=CF-FG=CG=CD+DG=AC+AC= AC，33（3）作 BHAC 于 HAB=6，AH=CH=3，BH=3 3 ，如圖 -1中，當(dāng)點(diǎn) O在線段 AH上

25、，點(diǎn) F在線段 CD上，點(diǎn) E在線段 BC上時(shí)OB=2 7 ，OH= OB2 BH 2 =1， OC=3+1=4，由（ 1）可知： CO=CE+C，F(xiàn) OC=4，CF=1，CE=3， BE=6-3=3DC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E 在線段 BC上時(shí)CE=4+1=5，BE=1CD上，點(diǎn) E 在線段同法可證： OC=CE+C，F(xiàn)BC上時(shí)OC=CH-OH=3-1=2，CF=1，CE=1，BE=6-1=5DC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E 在線段 BC上時(shí)如圖 -4 中，當(dāng)點(diǎn) O在線段 CH上，點(diǎn) F在線段同法可知： CE-CF=OC，CE=2+1=3，BE=3，綜上所述，滿足條件的 BE的值為 3或5或 1【點(diǎn)睛】 本題屬

26、于四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān) 鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題， 屬于中考?jí)狠S題10正方形 ABCD，點(diǎn) E在邊 BC上，點(diǎn) F 在對(duì)角線 AC上，連 AE（1）如圖 1，連 EF，若 EFAC，4AF3AC， AB4，求 AEF的周長(zhǎng)；（2）如圖 2，若 AF AB，過(guò)點(diǎn) F作 FGAC交 CD于 G，點(diǎn) H 在線段 FG上（不與端點(diǎn)重合 ）， 連 AH若 EAH 45，求證： ECHG+ 2 FC【答案】（ 1） 2 5 4 2 ；（ 2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由正方形性質(zhì)得出 ABBCCDA

27、D4， B D90， ACBACDBAC ACD 45 ，得出 AC 2 AB4 2， 求出 AF 3 2 ，CFACAF 2 ，求出 CEF 是等腰直角三角形，得出 EFCF 2 ， CE 2 CF2，在 RtAEF中，由勾股定理求出 AE，即可得出 AEF的周長(zhǎng)；（2）延長(zhǎng) GF交 BC于 M，連接 AG，則 CGM 和CFG是等腰直角三角形，得出 CM CG，CG 2 CF，證出 BMDG，證明 RtAFGRtADG 得出 FGDG，BMFG，再證 明 ABE AFH，得出 BEFH，即可得出結(jié)論【詳解】（1） 四邊形 ABCD是正方形，ABBCCDAD4，BD90 ，ACBACDBAC

28、ACD45 ，AC 2 AB4 2，4AF 3AC 12 2 ，AF 3 2 ，CF ACAF 2，EFAC， CEF是等腰直角三角形，EFCF 2， CE 2 CF2，在 RtAEF中，由勾股定理得： AE AF2 EF2 2 5 ， AEF的周長(zhǎng) AE+EF+AF 2 5 2 3 2 2 5 4 2 ；（2）證明：延長(zhǎng) GF交 BC于 M，連接 AG，如圖 2 所示：則 CGM和CFG是等腰直角三角形， CM CG， CG 2 CF，BM DG，AFAB，AFAD，在 RtAFG和 RtADG 中，AG AGAF AD ，Rt AFG RtADG（HL）， FGDG，BMFG， BACEA

29、H45 ， BAE FAH，F(xiàn)G AC， AFH 90 ，在 ABE和AFH中，B AFH 90AB AF ，BAE FAH ABEAFH（ASA），BEFH，BMBE+EM， FGFH+HG，EMHG，EC EM+CM， CM CG 2 CF，EC HG+ 2 FC【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾 股定理等知識(shí)；熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵11如圖 1，在正方形 ABCD中， AD=6，點(diǎn) P是對(duì)角線 BD上任意一點(diǎn)，連接 PA，PC過(guò)點(diǎn) P作 PEPC交直線 AB于 E（1）求證： PC=PE;（2）延

30、長(zhǎng) AP交直線 CD 于點(diǎn) F. 如圖 2，若點(diǎn) F 是 CD的中點(diǎn)，求 APE的面積；216 若 APE的面積是，則 DF 的長(zhǎng)為25（3） 如圖 3，點(diǎn) E在邊 AB 上，連接 EC交 BD于點(diǎn) M,作點(diǎn) E關(guān)于 BD的對(duì)稱點(diǎn) Q，連接72PQ，MQ，過(guò)點(diǎn) P作 PNCD交EC于點(diǎn) N，連接 QN，若 PQ=5，MN=，則MNQ 的35面積是【答案】（ 1）略；（ 2）8，4 或 9；（3）6【解析】【分析】（1）利用正方形每個(gè)角都是 90，對(duì)角線平分對(duì)角的性質(zhì)，三角形外角等于和它不相鄰的 兩個(gè)內(nèi)角的和，等角對(duì)等邊等性質(zhì)容易得證 ;（2）作出 ADP 和 DFP的高，由面積法容易求出這個(gè)高

31、的值.從而得到 PAE的底和高，并求出面積 .第 2 小問(wèn)思路一樣，通過(guò)面積法列出方程求解即可 ;（3）根據(jù)已經(jīng)條件證出 MNQ 是直角三角形，計(jì)算直角邊乘積的一半可得其面積 . 【詳解】（1）證明： 點(diǎn) P在對(duì)角線 BD 上， ADPCDP,AP=CP, DAP = DCP, PEPC，EPC=EPB+BPC=90,PEA=EBP+EPB=45+90 - BPC=135 -BPC,PAE=90-DAP90 -DCP,DCP=BPC-PDC=BPC-45, PAE=90-（BPC-45 ）= 135 -BPC, PEA=PAE,PC=PE;（2） 如圖 2，過(guò)點(diǎn) P分別作 PHAD,PGCD,

32、垂足分別為 H、G.延長(zhǎng) GP交 AB 于點(diǎn)M.6,四邊形 ABCD是正方形， P 在對(duì)角線上，四邊形 HPGD 是正方形， PH=PG,PMAB,設(shè) PH=PG=a,F 是 CD中點(diǎn)，AD6 ，則 FD=3,S n ADF=9, Sn ADF =Sn ADP1Sn DFP = AD2PH1DF2PG ,1a 6 1a223 9 , 解得 a=2,AM=HP=2,MP=MG-PG=6-2=4, 又 PA=PE,AM=EM,AE=4, Sn APE = 2 EAMP14428, 設(shè) HP b,由 可得AE=2b,MP=6-b,1 Sn APE =2b 62b 21625解得 b=2.4 或3.6

33、,1 SnADF =SnADPSnDFP = ADnADF nADP nDFP2PH1DF2PG ,1 6 b 1 DF b 1 DF2 2 2當(dāng) b=2.4 時(shí)， DF=4；當(dāng) b3.6 時(shí)， DF9, 即 DF 的長(zhǎng)為 4 或 9;（3）如圖，E、Q關(guān)于 BP對(duì)稱， PNCD, 12，2+3BDC=45, 1+4=45 , 3=4,易證 PEMPQM, PNQPNC, 5= 6, 7=8 ,EM=QM,NQ=NC, 6+7=90 ,MNQ 是直角三角形 ,設(shè) EM=a,NC=b 列方程組a b 5 2 7 232 2 7 2 ,ab315可得 ab= ,26 SVMNQ,6【點(diǎn)睛】本題是四

34、邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角 形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角 形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵 .要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想 .12如圖 1，在正方形 ABCD中，點(diǎn) E， F分別是邊 BC，AB 上的點(diǎn)，且 CE=BF連接 DE， 過(guò)點(diǎn) E作 EG DE，使 EG=DE，連接 FG， FC（1）請(qǐng)判斷： FG與 CE的關(guān)系是 _；（2）如圖 2，若點(diǎn) E， F分別是邊 CB，BA 延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其它條件不變，（ 1）中結(jié)論是 否仍然成立？請(qǐng)作出判斷并給予證明；（3）如圖 3，若點(diǎn) E， F分別是邊 BC，AB 延長(zhǎng)線

35、上的點(diǎn)，其它條件不變，（ 1）中結(jié)論是 否仍然成立？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的判斷試題分析：（ 1）只要證明四邊形 CDGF是平行四邊形即可得出 FG=CE， FGCE； （2）構(gòu)造輔助線后證明 HGE CED，利用對(duì)應(yīng)邊相等求證四邊形 GHBF是矩形后，利 用等量代換即可求出 FG=C， FG CE；（3）證明 CBF DCE后，即可證明四邊形 CEGF是平行四邊形試題解析：解：（ 1） FG=CE， FG CE；（2）過(guò)點(diǎn) G作 GHCB的延長(zhǎng)線于點(diǎn) HEGDE， GEH+ DEC=90 GEH+HGE=90 ， DEC= HE在 HGE與 CED中， GHE=DCE，HGE=DEC，EG=DE， H

36、GECED（AAS）， GH=CE， HE=CD CE=BF，GH=BFGHBF，四邊形 GHBF是矩形， GF=BH，F(xiàn)GCH， FGCE四邊形 ABCD是正方形， CD=BC，HE=BC， HE+EB=BC+EB，BH=EC， FG=EC；（3）四邊形 ABCD是正方形， BC=CD，F(xiàn)BC=ECD=90在 CBF與DCE中， BF=CE，F(xiàn)BC=ECD，BC=DC，CBFDCE（SAS）， BCF= CDE， CF=DE EG=DE，CF=EGDEEG，DEC+CEG=90CDE+DEC=90， CDE=CEG，BCF=CEG，CFEG，四邊形 CEGF平行四邊形， FGCE，13（1）

37、問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖 ，在等邊三角形 ABC中，點(diǎn) M 為BC邊上異于 B、 C的一點(diǎn)，以 AM為邊作等邊三 角形 AMN，連接 CN，NC 與 AB的位置關(guān)系為；（2）深入探究：如圖 ，在等腰三角形 ABC中， BA=BC，點(diǎn) M為BC邊上異于 B、C的一點(diǎn)，以 AM為邊 作等腰三角形 AMN，使ABC=AMN，AM=MN ，連接 CN，試探究 ABC與ACN的數(shù)量 關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）拓展延伸：如圖 ，在正方形 ADBC中， AD=AC，點(diǎn) M為 BC邊上異于 B、C的一點(diǎn)，以 AM為邊作正方形 AMEF，點(diǎn) N 為正方形 AMEF 的中點(diǎn)，連接 CN，若 BC=10，CN= 2 ，試求 E

38、F的長(zhǎng)【答案】（ 1）NCAB；理由見(jiàn)解析；（ 2）ABC=ACN；理由見(jiàn)解析；（ 3） 2 41； 【解析】分析：（ 1）根據(jù) ABC，AMN 為等邊三角形，得到 AB=AC， AM=AN 且 BAC= MAN=60 從而得到 BAC-CAM=MAN- CAM，即 BAM=CAN，證明 BAM CAN，即可得到 BM=CN（2）根據(jù) ABC， AMN 為等腰三角形，得到 AB： BC=1： 1 且ABC=AMN，根據(jù)相似 AB AC三角形的性質(zhì)得到 AB AC ，利用等腰三角形的性質(zhì)得到 BAC=MAN ，根據(jù)相似三 AM AN角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）如圖 3，連接 AB，AN，根據(jù)正

39、方形的性質(zhì)得到 ABC=BAC=45， MAN=45 ，根據(jù) BM AB相似三角形的性質(zhì)得出 ，得到 BM=2， CM=8，再根據(jù)勾股定理即可得到答案 CN AC詳解：（ 1） NC AB，理由如下： ABC與 MN 是等邊三角形， AB=AC，AM=AN， BAC= MAN =60 ， BAM= CAN，在ABM 與ACN中，AB ACBAM CAN ，AM AN ABMACN（SAS）， B=ACN=60 ， ANC+ACN+CAN=ANC+60 +CAN=180 ， ANC+MAN+BAM=ANC+60 +CAN=BAN+ANC=180 ， CNAB；（2）ABC=ACN，理由如下：AB AM=1 且 ABC= AMN，BC MN ABC AMN AB AC ，AM ANAB=BC，1 BAC= ( 180ABC)，2AM