統(tǒng)計學非參數(shù)檢驗

1、第六章第六章 非參數(shù)檢驗非參數(shù)檢驗方法的回顧方法的回顧l單個因素（兩水平）的作用評價：兩組比較完全隨機設(shè)計下的單因素兩組比較匹配設(shè)計的兩組比較l單個因素（多水平）的作用評價：多組比較完全隨機設(shè)計下的單因素多水平比較l兩個因素的分析問題無交互作用、有交互作用l單因素兩組比較：t檢驗完全隨機兩組均數(shù)比較的t檢驗（獨立t檢驗）匹配設(shè)計下兩組均數(shù)比較的t檢驗（匹配t檢驗）l單因素多組比較：方差分析完全隨機設(shè)計下的多組均數(shù)比較局限性局限性lt檢驗獨立t檢驗要求：正態(tài)、方差相等（或不相等）、個體獨立匹配t檢驗要求：差值正態(tài)、個體獨立l方差分析單因素多水平比較方差分析要求：正態(tài)、方差相等、個體獨立未解決問題

2、未解決問題l兩組性別結(jié)構(gòu)是否相同？l療效用痊愈、顯效、有效、無效四級分類法進行評價時，兩組或多組如何比較？l如何檢驗樣本數(shù)據(jù)來自的總體服從正態(tài)分布？l總體不是正態(tài)分布，小樣本情況下，如何檢驗總體的集中趨勢？l有6名歌手參加比賽，4名評委進行評判打分，推斷評委的評判標準是否一致ll參數(shù)檢驗：樣本被視為從分布族的某個參數(shù)族抽取出來的總體的代表，而未知的僅僅是總體分布具體的參數(shù)值推斷問題就轉(zhuǎn)化為對分布族的若干個未知參數(shù)的估計問題，用樣本對這些參數(shù)做出估計或者進行某種形式的假設(shè)檢驗，這類推斷方法稱為參數(shù)方法。l非參數(shù)檢驗（nonparametric tests）又稱為任意分布檢驗（distributi

3、on- free test），它不考慮研究對象總體分布具體形式，也不對總體參數(shù)進行統(tǒng)計推斷僅僅依賴于數(shù)據(jù)觀測值的相對大小(秩)等，而是通過檢驗樣本所代表的總體分布形式是否一致來得出統(tǒng)計結(jié)論。l非參數(shù)統(tǒng)計的名字中的“非參數(shù)(nonparametric)”意味著其方法不涉及描述總體分布的有關(guān)參數(shù)；l它被稱為“和分布無關(guān)”(distributionfree)，是因為其推斷方法和總體分布無關(guān)；不應理解為與所有分布(例如有關(guān)秩的分布)無關(guān) l對總體假定較少，有廣泛的適用性，對總體假定較少，有廣泛的適用性，結(jié)果穩(wěn)定性較好。結(jié)果穩(wěn)定性較好。假定較少假定較少不需要對總體參數(shù)的假定不需要對總體參數(shù)的假定與參數(shù)結(jié)

4、果接近與參數(shù)結(jié)果接近l針對幾乎所有類型的數(shù)據(jù)形態(tài)。針對幾乎所有類型的數(shù)據(jù)形態(tài)。l容易計算容易計算在計算機盛行之前就已經(jīng)發(fā)展起來。在計算機盛行之前就已經(jīng)發(fā)展起來。非參數(shù)檢驗的優(yōu)點l可能會浪費一些信息可能會浪費一些信息特別當數(shù)據(jù)可以使用參數(shù)模型特別當數(shù)據(jù)可以使用參數(shù)模型的時候的時候l大樣本手算相當麻煩大樣本手算相當麻煩l一些表不易得到一些表不易得到非參數(shù)檢驗的弱點非參數(shù)檢驗的特點非參數(shù)檢驗的特點非參數(shù)檢驗不需要嚴格假設(shè)條件，因而比參數(shù)檢驗有更廣泛的適用面。非參數(shù)檢驗幾乎可以處理包括定類數(shù)據(jù)和定序數(shù)據(jù)在內(nèi)的所有類型的數(shù)據(jù)，而參數(shù)檢驗通常只能用于定量數(shù)據(jù)的分析。在參數(shù)檢驗和非參數(shù)檢驗都可以使用的情況下

5、，非參數(shù)檢驗的功效（power）要低于參數(shù)檢驗方法。以下情況下應當首選非參數(shù)方法以下情況下應當首選非參數(shù)方法參數(shù)檢驗中的假設(shè)條件不滿足，從而無法應用。例如總體分布為偏態(tài)或分布形式未知，且樣本為小樣本時。檢驗中涉及的數(shù)據(jù)為定類或定序數(shù)據(jù)。所涉及的問題中并不包含參數(shù)，如判斷某樣本是否來自正態(tài)分布等，判斷某樣本是否為隨機樣本。常用的非參數(shù)檢驗方法常用的非參數(shù)檢驗方法l用于單個樣本的c2擬合優(yōu)度檢驗、K-S擬合優(yōu)度檢驗、中位數(shù)的符號檢驗l用于兩個匹配樣本的Wilcoxon符號秩檢驗l用于兩個獨立樣本的Wlicoxon秩和檢驗l用于多個獨立樣本的Kruskal-Wallis檢驗。第六章第六章 非參數(shù)檢驗

6、非參數(shù)檢驗l非參數(shù)檢驗概述非參數(shù)檢驗、特點及應用l單樣本的非參數(shù)檢驗l兩個樣本和多個樣本的非參數(shù)檢驗單樣本的非參數(shù)檢驗單樣本的非參數(shù)檢驗lc2擬合優(yōu)度檢驗lK-S擬合優(yōu)度檢驗l中位數(shù)的符號檢驗分類數(shù)據(jù)檢驗分布對中位數(shù)的推斷l(xiāng)c2統(tǒng)計量用來測定定類變量之間的相關(guān)程度c2統(tǒng)計量的分布與自由度有關(guān)； c2統(tǒng)計量描述了觀察值與期望值的接近程度eefff202)(c表示期望值頻數(shù)表示觀察值頻數(shù)，其中eff002cl擬合優(yōu)度檢驗（goodness of fit test）用c2統(tǒng)計量進行統(tǒng)計顯著性檢驗的重要內(nèi)容之一；依據(jù)總體分布狀況，計算出分類變量中各類別的期望頻數(shù)，與分布的觀察頻數(shù)進行對比，判斷期望頻數(shù)

7、與觀察頻數(shù)是否有顯著差異，從而達到對分類變量進行分析的目的。l1912年4月15日，豪華巨輪泰坦尼克號與冰山相撞沉沒。當時船上共有2208人，其中男性1738人，女性470人。l海難發(fā)生后，幸存者共718人，其中男性374人，女性344人，以顯著性水平為0.1檢驗存活狀況與性別是否有關(guān)？706. 2) 1 (21 . 0cl提出零假設(shè)和備擇假設(shè)H0：觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)一致H1：觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)不一致l計算期望頻數(shù) 男性的期望頻數(shù) ，女性為153人l計量c2統(tǒng)計量l查表 （自由度為類別數(shù)-1）l做出判斷：決絕原假設(shè)，認為存活狀況與性別顯著相關(guān)ef56522081738718220()303ee

8、fffc706. 2) 1 (21 . 0cl一種飲料的容器材料可以選擇玻璃、塑料或者金屬。l為了比較消費者對包裝材料的偏好，抽樣調(diào)查了120名消費者發(fā)現(xiàn)，最喜歡玻璃、塑料和金屬容器的分別有55、25和40人。l根據(jù)調(diào)查結(jié)果，能否認為消費者對3種材料的偏好程度是無差異的（顯著性水平a=0.05）？ 分析分析l如果消費者對3種材料的偏好程度是無差異的，也就是說消費者對材料的偏好服從均勻分布，則理論上來說，調(diào)查120名消費者，偏好每種材料的人數(shù)應該是相等的，也就是40人。l各組觀測到的人數(shù)與理論人數(shù)（期望值）之間的差異應該都是由于抽樣的隨機性造成的，因此不應該太大。l如果二者之間的差異特別大，則說

9、明我們所作的假設(shè)（消費者對3種材料的偏好程度是無差異的）很可能不成立。 l檢驗統(tǒng)計量k是樣本分類的個數(shù)，表示實際觀察到的頻數(shù)，表示理論頻數(shù)。觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)越接近，則c2值越小。根據(jù)皮爾遜定理，當n充分大時， c2統(tǒng)計量漸近服從于k-1個自由度的c2分布。 kiiiiEEO122)(c軟件操作：數(shù)據(jù)錄入軟件操作：數(shù)據(jù)錄入軟件操作：方法設(shè)定軟件操作：方法設(shè)定l選擇“分析”“非參數(shù)檢驗”“卡方”，在彈出的對話框中將“材料”設(shè)定為檢驗變量；單擊對話框中的“精確”，選中彈出對話框中的“精確”，單擊“繼續(xù)”、“確定” 軟件操作：結(jié)果分析（軟件操作：結(jié)果分析（1）軟件操作：結(jié)果分析（軟件操作：結(jié)果分析（

10、2）結(jié)果分析（結(jié)果分析（3）l結(jié)論：計算出的c2統(tǒng)計量的值為11.250，自由度為2，相應的p值（漸近顯著性）為0.004，小于a=0.05。所以檢驗的結(jié)論是拒絕總體中消費者對3種材料的偏好程度無差異的零假設(shè)。特別說明特別說明l大樣本、每個單元中的期望頻數(shù)大于等于5時可以使用c2分布。 l小樣本時應該按照精確方法計算得到的p值得出結(jié)論。lc2檢驗也可以按照同樣的思想對正態(tài)分布或者任何想象的其他分布進行檢驗，但主要用于對定性變量的檢驗。另外，c2檢驗也可以用于對兩個總體分布的比較。單樣本的非參數(shù)檢驗單樣本的非參數(shù)檢驗lc2擬合優(yōu)度檢驗對定類變量用c2統(tǒng)計量進行統(tǒng)計顯著性檢驗lK-S擬合優(yōu)度檢驗l

11、中位數(shù)的符號檢驗檢驗分布l單樣本K-S檢驗檢驗總體分布是否為理論分布（正態(tài)、Possion、均勻、指數(shù)）是以兩位蘇聯(lián)數(shù)學家Kolmogorov 和 Smirnov 命名的，全稱為Kolmogorov- Smirnov檢驗。通過對兩個分布差異的分析確定能否認為樣本的觀察值來自所設(shè)定的理論分布總體。l定義 ，顯然若對每一個x值來說，如果經(jīng)驗分布函數(shù)與特定分布函數(shù)的擬合程度很高，則有理由認為樣本數(shù)據(jù)來自具有該理論分布的總體。l檢驗統(tǒng)計量：l根據(jù)檢驗統(tǒng)計量的精確分布或漸進分布，可以計算出假設(shè)檢驗的p值，從而得出檢驗的結(jié)論。( )( )niiDF xF xmaxmax( )( )niiDF xF xlS

12、PSS K-S檢驗中檢驗統(tǒng)計量Z的計算lSPSS K-S檢驗中p值的計算l有100名兒童每周看電視時間的數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)文件：電視時間.sav）。檢驗能否認為總體中兒童每周看電視的時間服從正態(tài)分布（顯著性水平a=0.05）。l這里K-S檢驗的零假設(shè)和備擇假設(shè)為：H0：總體中兒童每周看電視的時間服從正態(tài)分布。H1：總體中兒童每周看電視的時間不服從正態(tài)分布。l在SPSS軟件中打開數(shù)據(jù)文件，選擇“分析” “非參數(shù)檢驗”“1樣本K-S”，在彈出的對話框中將“時間”設(shè)定為檢驗變量；檢驗分布為默認的“常規(guī)”（正態(tài)分布）。單擊 “確定”l檢驗結(jié)論相應的p值（漸近顯著性）為0.315。由于0.315大于0.05，所

13、以在5%的顯著性水平下不能拒絕原假設(shè)，也就是說根據(jù)樣本數(shù)據(jù)不能認為總體分布是非正態(tài)的。注意這里并不能得出總體服從正態(tài)分布的嚴格結(jié)論?？傮w服從正態(tài)分布的結(jié)論可能犯第二類錯誤（取偽錯誤），這個概率是未知的，在有些情況下可能會很大。l特別聲明在K-S檢驗中如果使用的是小樣本，則根據(jù)漸進分布計算p值的誤差會增大。這時應該通過相應的設(shè)定要求軟件輸出精確檢驗的p值，根據(jù)精確檢驗的p值得出檢驗結(jié)論。K-S檢驗也可以用于對兩個總體分布是否一致的檢驗。單樣本的非參數(shù)檢驗單樣本的非參數(shù)檢驗lc2擬合優(yōu)度檢驗對定類變量用c2統(tǒng)計量進行統(tǒng)計顯著性檢驗lK-S擬合優(yōu)度檢驗檢驗總體分布形態(tài)l中位數(shù)的符號檢驗對中位數(shù)的推斷

14、l單樣本中位數(shù)的檢驗秩符號檢驗Wilcoxon符號秩檢驗l秩（rank）是指全部觀察值按某種順序排列的位序；通常是將數(shù)據(jù)按照升冪排列之后，每個觀測值的位置，秩次在一定程度上反映了等級的高低。下面一行Ri就是上面一行數(shù)據(jù)Xi的秩。l數(shù)據(jù)中有相同的數(shù)值，稱為結(jié)。結(jié)中數(shù)字的秩為它們所占位置的平均值Xi159173178513719Ri758.518.54263105 . 8298A組： 、 、+、+、+、+、+、+、+、+、+、+ - + + + + + + + + + + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 4.5 4.5 4.5 4.5 8.5 8.5 8.5 8.5

15、11.5 11.5平均秩次平均秩次=（3+6)/2=4.5l利用秩的大小進行推斷就避免了不知道背景分布的困難。這也是非參數(shù)檢驗的優(yōu)點。l多數(shù)非參數(shù)檢驗明顯地或隱含地利用了秩的性質(zhì)；但也有一些非參數(shù)方法沒有涉及秩的性質(zhì)。l符號檢驗（sign test）在非正態(tài)總體小樣本的情況下，如果要對總體分布的位置進行推斷，由于t檢驗不適用，也可使用符號檢驗的方法。在數(shù)據(jù)呈偏態(tài)分布的情況下，我們可能對總體的中位數(shù)更感興趣，希望對總體的中位數(shù)作出推斷，這時可以使用符號檢驗的方法。l例6.3 在某地區(qū)隨機調(diào)查了60個家庭的月收入。 （數(shù)據(jù)文件：家庭月收入.sav）。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)能否認為總體中家庭月收入的中位數(shù)等于

16、5000元（顯著性水平a=0.05）？01:5000:5000eeHMHMl符號檢驗的基本思想：每個數(shù)據(jù)都減去零假設(shè)中的中位數(shù)，記錄其差值的符號。計算正、負符號的個數(shù)（差值為0的不計算在任何一個中）當原假設(shè)為真時二者應該很接近；若兩者相差太遠，就有理由拒絕原假設(shè)。l檢驗統(tǒng)計量原假設(shè)成立時，檢驗統(tǒng)計量S服從二項分布。根據(jù)二項分布計算得到p值，從而得出檢驗的結(jié)論。當正號和負號個數(shù)之和大于25時，可以按照正態(tài)分布進行近似計算。min()SSS，( ,0.5)SB nnSS(0.5) 2(0,1) 2SnZNnl例6.3 在某地區(qū)隨機調(diào)查了60個家庭的月收入。 （數(shù)據(jù)文件：家庭月收入.sav）。根據(jù)樣

17、本數(shù)據(jù)能否認為總體中家庭月收入的中位數(shù)等于5000元（顯著性水平a=0.05）？01:5000:5000eeHMHMl在SPSS中打開數(shù)據(jù)文件。為了對中位數(shù)進行檢驗，先在SPSS中生成一個新的變量Median，取值為5000：單擊“轉(zhuǎn)換”“計算變量”，在彈出的對話框中按照圖6-3進行設(shè)置，單擊確定。l選擇“分析”“非參數(shù)檢驗”“2個相關(guān)樣本”，在彈出的對話框中將“Median”和“家庭月收入”設(shè)定檢驗的一對變量；選中“符號檢驗”，取消選擇“Wilcoxon”，單擊 “確定” l用正態(tài)分布進行近似計算時，Z統(tǒng)計量的值為-0.129，雙側(cè)檢驗的p值為0.897。由于p值大于0.05，檢驗的結(jié)論是不

18、能拒絕原假設(shè)，即沒有充分證據(jù)證明中位數(shù)不等于5000。l特別聲明如果樣本量較小，則需要使用軟件輸出的精確檢驗的p值進行推斷在小樣本時，如果要求進行精確檢驗，SPSS會自動按照二項分布進行概率計算。 lWilcoxon符號秩檢驗符號檢驗只用到差值的符號，而對差值數(shù)值的大小未能考慮，因而失去了部分信息。Wilcoxon符號秩檢驗既考慮差值的符號，又考慮差值的大小，因此在所需的假設(shè)條件滿足時其功效比符號檢驗高。lWilcoxon符號秩檢驗計算差值絕對值的秩 。將差值絕對值從小到大排序，其位次就是的秩（rank），等于0值不參與排序。分別計算出差值序列中正數(shù)的秩和W+以及負數(shù)的秩和W- 。顯然，如果零

19、假設(shè)成立，W+與W-應該比較接近。如果二者過大或過小，則說明零假設(shè)不成立。 將正數(shù)的秩和或者負數(shù)的秩作為檢驗統(tǒng)計量，根據(jù)其統(tǒng)計分布計算p值，從而可以得出檢驗的結(jié)論。 前提假設(shè)：樣本點來自連續(xù)對稱總體分布lWilcoxon符號秩檢驗計算 ，將其按照大小排序，得到 的秩；把 的正負號加到相應的秩上；計算計算檢驗統(tǒng)計量做出判斷，W太小時，決絕零假設(shè)01:5000:5000eeHMHMeimx eimx iexm0()ieiixmWrank xm0()ieiixmWrank xm),min(WWW第六章第六章 非參數(shù)檢驗非參數(shù)檢驗l非參數(shù)檢驗概述非參數(shù)檢驗、特點及應用l單樣本的非參數(shù)檢驗c2擬合優(yōu)度檢

20、驗、K-S檢驗、中位數(shù)的符號檢驗及Wilcoxon符號秩檢驗l兩個樣本和多個樣本的非參數(shù)檢驗l兩個樣本和多個樣本的非參數(shù)檢驗兩個匹配樣本的Wilcoxon符號秩檢驗兩個獨立樣本的Wlicoxon秩和檢驗多個獨立樣本的Kruskal-Wallis檢驗 l匹配樣本的非參數(shù)檢驗如果t檢驗的假設(shè)條件不滿足，t檢驗就不適用了。符號檢驗和Wilcoxon符號秩檢驗都可以用做替代的檢驗方法。 用樣本數(shù)據(jù)中對應的數(shù)值相減得到新的序列 ：零假設(shè)：差值總體的中位數(shù)=0；備擇假設(shè)：差值總體的中位數(shù)0。l例6.4 從實施適時管理（JIT）的企業(yè)中隨機抽取10家進行效益分析，得到它們在實施JIT前后三年的平均資產(chǎn)報酬率

21、（數(shù)據(jù)文件： JIT管理.sav）。在5的顯著性水平下企業(yè)在實施JIT前后的資產(chǎn)報酬率是否有顯著差異？ l在SPSS軟件中打開數(shù)據(jù)文件，選擇“分析”“非參數(shù)檢驗”“2個相關(guān)樣本”，在彈出的對話框中將“JIT后”和“JIT前”設(shè)定檢驗的一對變量；選中“Wilcoxon”和“符號檢驗”。由于這里樣本量很小，我們要求進行精確檢驗：單擊對話框中的“精確”，選中彈出對話框中的“精確”，單擊“繼續(xù)”、“確定” l符號檢驗結(jié)果（1）l符號檢驗結(jié)果（2）l結(jié)論：不能拒絕零假設(shè) ，沒有證據(jù)表明小于企業(yè)在實施JIT前后的資產(chǎn)報酬率有顯著變化 lWilcoxon符號秩檢驗結(jié)果（1）lWilcoxon符號秩檢驗結(jié)果（

22、2）l兩個獨立樣本的Wlicoxon秩和檢驗在兩個獨立樣本的t檢驗不適用時，Wlicoxon秩和檢驗可以作為一種替代的非參數(shù)檢驗方法使用。這一檢驗可以用來對兩個總體的中位數(shù)進行檢驗。l基本原理如果兩個總體具有相似的分布形狀，并且中位數(shù)相同，那么由m個x、n個y組成的m十nN個觀察值可以被看作來自同一總體的一個隨機樣本。將全部x和y從小到大排序確定每個數(shù)值的秩，然后計算m個x的秩的和W x 、n個y的秩的和W y 。由于抽樣的隨機性，x、y應較均勻地分布在混合排列的樣本中。如果零假設(shè)成立，在樣本量相同的情況下兩個秩和應該比較接近；樣本量不同的情況下平均秩和的平均秩應該比較接近。否則就說明兩個總體

23、的中位數(shù)是不相等的。 l由于對稱性，兩個秩和W x、 W y都可以用作Wilcoxon秩和檢驗的檢驗統(tǒng)計量。lSPSS軟件中使用的是平均秩較小的一組的秩和。l統(tǒng)計量W的統(tǒng)計分布可以精確推導出來l在樣本量較大時（m和n都不小于10）可以用正態(tài)分布來進行近似。l得到p值之后，再通過比較p值和a的大小得出結(jié)論。 l相關(guān)說明由于Wilcoxon秩和檢驗與Mann和Whitney提出的U檢驗完全等價，因此這種方法也被稱為Wlicoxon-Mann-Whitney檢驗，或者Mann-Whitney U檢驗。在樣本量較小時，應當使用精確檢驗的結(jié)果嚴格來說用Wilcoxon秩和檢驗對中位數(shù)進行假設(shè)檢驗，需要假

24、定兩個總體分布有類似的形狀才能得出可靠的結(jié)論。 l例6.5 已知某企業(yè)職工的收入調(diào)查中20名本科畢業(yè)生和15名研究生的月收入（元） （數(shù)據(jù)文件：本科研究生收入.sav） ，試比較本科生和研究生的收入水平（顯著性水平a=0.05）。l分析由于收入一般是右偏分布，因此不適合用t檢驗進行分析。我們用Wilcoxon秩和檢驗來比較兩個總體的中位數(shù)。檢驗的零假設(shè)和備擇假設(shè)如下：H0：本科和研究生月收入的中位數(shù)相等；H1：本科和研究生月收入的中位數(shù)不相等。l在SPSS軟件中打開數(shù)據(jù)文件，選擇“分析”“非參數(shù)檢驗”“2個獨立樣本”，在彈出的對話框中將“月收入”設(shè)定為檢驗變量，“學歷”設(shè)定為分組變量，然后單擊

25、“定義組”，按照“學歷”的取值進行設(shè)定，然后單擊“繼續(xù)”，檢驗類型使用默認“Mann-Whitney U”，單擊 “確定” l結(jié)果分析：l根據(jù)精確檢驗的p值，在顯著性水平大于0.002時我們應該拒絕原假設(shè)，結(jié)論是本科與研究生的收入的中位數(shù)不相等。l多個獨立樣本的Kruskal-Wallis檢驗Kruskal-Wallis檢驗是Wlicoxon秩和檢驗的推廣，用來對多個總體的中位數(shù)進行比較。在單因素方差分析模型不適用于所研究的問題時，Kruskal-Wallis往往是一種可以替代的非參數(shù)檢驗方法。l基本原理Kruskal-Wallis檢驗也是根據(jù)秩和來構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量的。將所有樣本的數(shù)據(jù)合在一起，

26、從小到大排序得到每個數(shù)值的秩，然后計算各樣本的秩和以及平均秩。如果各組沒有顯著性差異，則各組的平均秩應該趨于相等；如果各組的平均秩相差較大，則各組中位數(shù)有顯著性差異的可能性較大。 l檢驗統(tǒng)計量kMMMH210:不全相等), 2 , 1(:1kiMHi) 1(3/) 1(12)() 1(121212nnRnnRRnnnHkiiikiiiiiinRR/nRRkii/1l基本原理：當樣本組數(shù)k，每組樣本樣本容量ni不是很小時，檢驗統(tǒng)計量H的抽樣分布近似服從自由度為k-1的c2分布。在k=3，n5時，用c2分布近似的誤差較大，應該使用精確檢驗方法如果p值小于顯著性水平a，則拒絕零假設(shè)，說明k個總體中位數(shù)之間存在顯著差異l例5.1用單因素方差分析的方法對4個專業(yè)的平均起薪進行了比較分析（數(shù)據(jù)文件起薪1.xls）。由于不確定總體是否服從正態(tài)分布，請使用Kruskal-Wallis檢驗比較四個專業(yè)畢業(yè)生的起薪是否有顯著差異。H0