畢業(yè)論文_淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程思想

1、淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程思想淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程思想摘 要 本文闡述了函數(shù)思想與方程思想的概念、二者之間的相互轉(zhuǎn)換及在轉(zhuǎn)換時(shí)需要注意的一些問(wèn)題.用典型的例題闡明用函數(shù)與方程思想方法能夠輕易解決數(shù)學(xué)學(xué)科中不等式、數(shù)列、二項(xiàng)式定理、三角函數(shù)、平面向量、解析幾何、立體幾何、概率與統(tǒng)計(jì)、導(dǎo)數(shù)、實(shí)際問(wèn)題等難以突破的部分，并且它也應(yīng)用在其他學(xué)科領(lǐng)域中.并結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，提出教師應(yīng)該在教學(xué)中有意培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)與方程思想，并且給出了具體可行性的建議.關(guān)鍵詞 函數(shù)思想 方程思想 應(yīng)用 培養(yǎng)Discuss the function and equations for middleschool mathe

2、matics thoughtsAbstact This paper describes the function equation of thought and thought the concept of conversion between the two and in the conversion to note some problems.A typical example with clear thinking with functions and equations can easily solve the mathematics of inequalities, series,

3、binomial theorem, trigonometric functions, plane vectors, analytic geometry, solid geometry, probability and statistics, derivatives, and other difficult to break through the practical problems part, and it is also used in other subject areas. Combined with middle school mathematics teaching, teache

4、rs should make students interested in teaching function and the equation of thought, and the feasibility of the recommendations given in detail.Key words function thought Equation thought Application Training 目 錄一、前言5二、正文6 1、函數(shù)與方程思想的概念62、函數(shù)與方程思想的應(yīng)用73、如何在中學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生函數(shù)與方程的思想18三、結(jié)束語(yǔ)20四、結(jié)論21五、參考文獻(xiàn)22前 言數(shù)學(xué)是

5、研究現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門(mén)學(xué)科，通過(guò)抽象化和邏輯推理的使用，從計(jì)數(shù)、計(jì)算、量度和對(duì)物體形狀及運(yùn)動(dòng)的觀察中產(chǎn)生.所謂數(shù)學(xué)思想，是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識(shí)之中，經(jīng)過(guò)思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果.數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與理論經(jīng)過(guò)概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識(shí).只有通過(guò)數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，人的數(shù)學(xué)能力才會(huì)有一個(gè)大幅度的提高.掌握數(shù)學(xué)思想，就是掌握數(shù)學(xué)的精髓.在中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想方法主要有:函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想、分類討論的思想等.而函數(shù)與方程思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本、最重要的數(shù)學(xué)思想.應(yīng)用涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，應(yīng)用起來(lái)具有一定的創(chuàng)造性，更能體現(xiàn)學(xué)生的能力水平，是考

6、查創(chuàng)新實(shí)踐能力的良好載體.俗話說(shuō)得好“授之以魚(yú)，不如授之以漁”,一個(gè)學(xué)生僅僅學(xué)習(xí)了函數(shù)與方程的知識(shí)，他在解決問(wèn)題時(shí)往往是被動(dòng)的，而建立了函數(shù)與方程思想，才能主動(dòng)地去思考一些問(wèn)題.函數(shù)與方程思想的教學(xué)，既有著不可替代的重要位置，又有重要的現(xiàn)實(shí)意義.在我國(guó)古代數(shù)學(xué)中雖然沒(méi)有明確地提出函數(shù)的概念,但函數(shù)的思想在現(xiàn)今發(fā)現(xiàn)的我國(guó)最早的數(shù)學(xué)著作算數(shù)書(shū)就有所體現(xiàn).譬如“增減分”描述的就是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的單調(diào)性,雖然不夠完整,但對(duì)于以常量計(jì)算為主的中國(guó)古代數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō),這是非常難能可貴的.解析幾何中的一個(gè)重要思想是將方程中的未知數(shù)看作“變數(shù)”,讓方程中的未知數(shù)取不同的數(shù)值最早體現(xiàn)在“不定方程”的研究中.一

7、般認(rèn)為,數(shù)學(xué)史上第一個(gè)對(duì)不定方程進(jìn)行廣泛深入研究的是公元3世紀(jì)的古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖,而在公元前1世紀(jì)成書(shū)的中國(guó)數(shù)學(xué)典籍九章算術(shù)中,對(duì)不定方程就進(jìn)行了比較廣泛的討論.目前函數(shù)與方程內(nèi)容豐富，應(yīng)用廣泛.在歷年高考試題中對(duì)函數(shù)與方程及其思想方法的考查遍布于代數(shù)、三角、幾何以及各類題型的題目中，函數(shù)與方程的實(shí)質(zhì)是揭示了客觀世界中量的相互依存又互有制約的關(guān)系.而目前，人們對(duì)它的研究涉及的方面比較零散單一，只注重了其在數(shù)學(xué)方面各種題型的應(yīng)用，但函數(shù)與方程思想還應(yīng)用到了其它學(xué)科知識(shí)中.除此以外，隨著數(shù)學(xué)教學(xué)改革的深入，教師應(yīng)該在日常的教學(xué)中注重培養(yǎng)學(xué)生函數(shù)與方程思想這一方面的能力.正文1函數(shù)與方程思想的概念

8、1.1函數(shù)思想即用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題和解決問(wèn)題函數(shù)描述了自然界中量的依存關(guān)系，是對(duì)問(wèn)題本身的數(shù)量本質(zhì)特征和制約關(guān)系的一種動(dòng)態(tài)刻畫(huà)因此，函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)是提取問(wèn)題的數(shù)學(xué)特征，用聯(lián)系的變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對(duì)象，抽象其數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系1.2方程思想從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過(guò)解方程（組）或不等式（組）來(lái)使問(wèn)題獲解1.3函數(shù)與方程思想的相互轉(zhuǎn)化很明顯，只有在對(duì)問(wèn)題的觀察、分析、判斷等一系列的思維過(guò)程中，具備有標(biāo)新立異、獨(dú)樹(shù)一幟的深刻性、獨(dú)創(chuàng)性思維，才能構(gòu)造出函數(shù)原型，化歸為方程的問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程

9、的互相轉(zhuǎn)化接軌，達(dá)到解決問(wèn)題的目的笛卡爾的方程思想是：實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題代數(shù)問(wèn)題方程問(wèn)題宇宙世界，充斥著等式和不等式我們知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值問(wèn)題是通過(guò)解方程來(lái)實(shí)現(xiàn)的等等；不等式問(wèn)題也與方程是近親，密切相關(guān)而函數(shù)和多元方程沒(méi)有什么本質(zhì)的區(qū)別，如函數(shù)yf(x)，就可以看作關(guān)于x、y的二元方程f(x)y0，可以說(shuō)，函數(shù)的研究離不開(kāi)方程列方程、解方程和研究方程的特性，都是應(yīng)用方程思想時(shí)需要重點(diǎn)考慮的方程與函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，占了相當(dāng)多的份量，其中某些內(nèi)容既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)例如，列方程（組）解應(yīng)用題，函數(shù)的定義和性質(zhì)，反函數(shù)的概念，平面解幾里曲線的方程，方程的

10、曲線的概念等等方程的思想和函數(shù)的思想是處理常量數(shù)學(xué)與變量數(shù)學(xué)的重要思想，在解決一般數(shù)學(xué)問(wèn)題中具有重大的方法論意義在中學(xué)數(shù)學(xué)里，對(duì)各類代數(shù)方程和初等超越方程都作了較為系統(tǒng)的研究對(duì)一個(gè)較為復(fù)雜的問(wèn)題，常常先通過(guò)分析等量關(guān)系，列出一個(gè)或幾個(gè)方程或函數(shù)關(guān)系式，再解方程（組）或研究這函數(shù)的性質(zhì)，就能很好地解決問(wèn)題函數(shù)知識(shí)涉及到的知識(shí)點(diǎn)多，面廣，在概念性、應(yīng)用性、理解性上能達(dá)到一定的要求，有利于檢測(cè)學(xué)生的深刻性、獨(dú)創(chuàng)性思維1.4在運(yùn)用函數(shù)與方程思想解題時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題.（1）要重視基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的培養(yǎng)和訓(xùn)練,深刻理解集合、函數(shù)、反函數(shù)的有關(guān)概念.（2）要能熟練討論函數(shù)性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、極值

11、等),掌握函數(shù)圖像特征的分析(如范圍、截距、凹凸性、漸近線、變化趨勢(shì)等),函數(shù)圖像的變換(平移變換對(duì)稱變換、伸縮變換等),特別是要掌握與研究函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)(如向量的平移、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等).（3）要能將函數(shù)、方程、不等式有機(jī)結(jié)合起來(lái),互相轉(zhuǎn)化.能用集合的語(yǔ)言加以表述,用參數(shù)的工具來(lái)體現(xiàn)運(yùn)動(dòng)變化,用高等數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)指導(dǎo)問(wèn)題的解決.（4）要能充分運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的思想,從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、進(jìn)行探索與研究,培養(yǎng)實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí).（5）函數(shù)與方程思想和化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論、歸納、特殊化等數(shù)學(xué)思想同樣有著密不可分的關(guān)系2函數(shù)與方程思想的應(yīng)用 2.1函數(shù)和方程是密切相關(guān)的，可相互轉(zhuǎn)換方程

12、f(x)0的解就是函數(shù)yf(x)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，函數(shù)yf(x)也可以看作二元方程yf(x)0它們之間的這種關(guān)系為我們解決方程與函數(shù)問(wèn)題提供了思路一方面，對(duì)于有些方程問(wèn)題，可以用變量的觀點(diǎn)，將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，利用函數(shù)性質(zhì)來(lái)解決；另一方面，也可將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，利用方程性質(zhì)或通過(guò)解方程來(lái)解決例1. 若關(guān)于x的方程中有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.分析:處理此問(wèn)題可以有兩種方法:一是從“原方程有解”出發(fā)，進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，從而求出a的取值范圍;二是將已知方程變形轉(zhuǎn)化，將a作為t的函數(shù)，把求a的取值范圍轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域的問(wèn)題.解法一:令，(tO).則原方程即為 (*).當(dāng)方程（*）的根都

13、在(0，)上時(shí)，可得下式:解得即當(dāng)方程(*)的一個(gè)根在(o，)上，另一個(gè)根在(，0上時(shí)，若令，則有由可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是解法二:令 (t0)，則原方程即為所以 即 評(píng)析：解法一運(yùn)用方程中根與系數(shù)的關(guān)系及分類思想，求解過(guò)程較煩而解法二采用分離參數(shù)法，構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用均值不等式求出a的取值范圍解法簡(jiǎn)單且容易操作例2已知二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為a且不等式f(x)-2x的解集為(1,3),若方程f(x)+6a=0有兩個(gè)相等實(shí)根，求f(x)的解析式 分析：此題若能把二次不等式的解集轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問(wèn)題即可獲解 解：f(x)-2x的解集為（1，3） 即f(x)+2x0的解集為（1，3） f(x)+2

14、x=a(x-1)（x-3）且a0 得 又 所以 評(píng)析：此題若直接去求三角形的面積有難度，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造方程很容易證明例2.已知二次函數(shù)設(shè)方程f(x)=x的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為如果 設(shè)函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為 求證.證明：設(shè) 則的二根為和由a0及 可得即即 +得 評(píng)析：此題利用了“二次方程根的分布問(wèn)題”，使問(wèn)題迎刃而解小結(jié)：設(shè)，是實(shí)系數(shù)二次方程的兩根，根的分布對(duì)照?qǐng)D象，知其等價(jià)不等式組的關(guān)系是： 若，則 若 則 若 則 若 則 若 ， 有且只有一個(gè)在內(nèi)，則 2.3數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，可運(yùn)用函數(shù)與方程思想求解問(wèn)題它可以看作是自變量依次取正整數(shù)，圖像為一群孤立點(diǎn)的函數(shù)所以在解有關(guān)數(shù)列的問(wèn)

15、題時(shí)，應(yīng)注重將其與函數(shù)有關(guān)的知識(shí)結(jié)合在一起，注重函數(shù)與方程思想方法的運(yùn)用與滲透等差數(shù)列的函數(shù)化分析：等差數(shù)列函數(shù)中 令A(yù)=,B=,則=A+Bn.當(dāng)A0(d0)時(shí)，是關(guān)于n的二次式，即（n, ）在二次函數(shù)的圖像上，因此，當(dāng)d0時(shí)，數(shù)列圖像是拋物線上一群孤立點(diǎn)等比數(shù)列的函數(shù)化分析：由于等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 可以整理為，因此等比數(shù)列 即中各項(xiàng)所表示的點(diǎn)離散的分布在第一象限或第四象限，其中并且這些點(diǎn)都在函數(shù)的圖像上例1.(2005年江蘇卷第23題)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,已知=1, =6, =11,且(5n-8) -(5n+2) =An+B, n=1,2,3,其中A,B為常數(shù).()求A與B的值.()證明

16、數(shù)列為等差數(shù)列.()證明不等式對(duì)任何正整數(shù)m、n都成立.解析:()由=1, =6, =11,得=1, =7, =18.把n =1,2分別代入(5n-8) - (5n+2) =,得解得, A =-20, B =-8.()由()知,5n()-8 -2 =-20n-8,即5n -8 -2 =-20n-8, 又5(n+1) -8 -2 =-20(n+1)-8. -得:5(n+1) -5n-8-2=-20,即(5n-3) -(5n+2) =-20. 又(5n+2) -(5n+7) =-20 -得:(5n+2)( ) =0, =0=5, 又=5,因此,數(shù)列an是首項(xiàng)為1,公差為5的等差數(shù)列.()不妨設(shè)mn

17、,則可設(shè)左邊= f(m,n)= = 是關(guān)于m的一次函數(shù)且單調(diào)遞增所以f(m,n) g(1,n)= 顯然g(1,1)= 而時(shí)，f(1,n)g(1,n) =因此,不等式對(duì)任何正整數(shù)m、n都成立.評(píng)析:試題的第一問(wèn)只要簡(jiǎn)單的賦值即可得到方程組來(lái)解決;試題的第二問(wèn)也是利用方程組通過(guò)消元來(lái)獲解;試題的第三問(wèn)通過(guò)變換,可視為自變量m的一次函數(shù),再利用函數(shù)的單調(diào)性將問(wèn)題迎刃而解;以上三問(wèn)通過(guò)運(yùn)用函數(shù)與方程的思想方法都得到了解決,充分說(shuō)明了函數(shù)與方程的思想方法的實(shí)用性和重要性.2.4函數(shù)f(x) (nN*)與二項(xiàng)式定理是密切相關(guān)的用這個(gè)函數(shù)用賦值法和比較系數(shù)法可以解決很多二項(xiàng)式定理的問(wèn)題，運(yùn)用不定方程的解題思

18、想也可以解決二項(xiàng)式定理例1求證 證明：令 顯然是展開(kāi)式中的系數(shù) = 其中 的系數(shù)為 故評(píng)析：一般的，利用二項(xiàng)式定理構(gòu)造函數(shù)應(yīng)用廣泛，特別是在證明組合數(shù)恒等式，組合數(shù)求和，證明不等式，證明整除等問(wèn)題中用得較多例2：求 展開(kāi)所得的關(guān)于x的多項(xiàng)式中，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)數(shù) 解析：有理項(xiàng)的求法：解不定方程 = 依題意有 所以r為3和2的倍數(shù)，即為6的倍數(shù)，又因0r100 所以r=0,696構(gòu)成首項(xiàng)為0，公差為6，末項(xiàng)為96的等差數(shù)列由96=0+（n-1）6得n=17.故系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有17項(xiàng)評(píng)析：此題若一項(xiàng)一項(xiàng)去找較麻煩，運(yùn)用不定方程思想及等差數(shù)列的性質(zhì)則很容易解決2.5函數(shù)與方程思想在三角解題中有著

19、十分廣泛的應(yīng)用.在三角學(xué)習(xí)中，我們要善于根據(jù)問(wèn)題的特征，合理地展開(kāi)聯(lián)想，巧妙地實(shí)施轉(zhuǎn)化，增強(qiáng)運(yùn)用函數(shù)與方程思想解題的意識(shí)，使解題的水平得到大幅度的提高.“數(shù)學(xué)的精神和本質(zhì)在于它的思想和方法”，道理就在于此例1.已知函數(shù)的最大值為0，最小值為-4，求a,b的值解：因?yàn)? = = 若，則當(dāng)時(shí)，f(x)有最大值 當(dāng)時(shí)，f(x)有最小值 所以 解得 不符合，應(yīng)舍去 若，則當(dāng)時(shí)，f(x)有最大值 當(dāng)時(shí)，f(x)有最小值 所以 解得符合條件綜合可得：評(píng)析：將三角函數(shù)化為關(guān)于的簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)，是三角函數(shù)性質(zhì)的又一基本性質(zhì)小結(jié)：三角函數(shù)是一類特殊的函數(shù),高考主要在三角函數(shù)的圖像、性質(zhì)以及結(jié)合三角變換求三角函數(shù)值

20、等方面進(jìn)行考查.判斷函數(shù)單調(diào)性的問(wèn)題,可以結(jié)合導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行解答.2.6以向量為載體且融合函數(shù)的考題頻頻出現(xiàn).在解答向量相關(guān)問(wèn)題中,如能巧妙地運(yùn)用函數(shù)思想方法,常?？墒盏绞卤豆Π胫?例1. 若存在三個(gè)實(shí)數(shù)s、t、k,使 ，且()求函數(shù)s=f(t);()若s=f(t)在1,+)上遞增,求k的范圍.解：()易知 又由得 化簡(jiǎn)得s=f(t)= () ,因f(t)在1,+)上遞增,則當(dāng)t1時(shí), 0恒成立.由00k3t 只要k()min=3即可.故評(píng)析：將向量間的幾何關(guān)系,通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算數(shù)量化,構(gòu)建函數(shù),回歸函數(shù)問(wèn)題，解該題的思維取向;該題凸現(xiàn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)、不等式的工具作用,具有思路清晰、明快簡(jiǎn)潔

21、等特點(diǎn),注重其方法領(lǐng)會(huì)要領(lǐng),強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí);分離變量,利用函數(shù)的最值解恒成立問(wèn)題,是一種重要的解題策略.2.7解析幾何中的許多問(wèn)題，可運(yùn)用函數(shù)與方程思想求解例如直線和二次曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，需要通過(guò)解二元方程組才能解決，涉及到二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論例1.直線m: 和雙曲線的左支交于A、B兩點(diǎn)，直線L過(guò)點(diǎn)P(-2，0)和線段AB的中點(diǎn)M，求L在y軸上的截距b的取值范圍.剖析:b的變化是由于k的變化而引起的，即對(duì)于k的任一確定的值.b有確定的值與之對(duì)應(yīng)，因此b是k的函數(shù)，本題即為求這個(gè)函數(shù)的值域.解：由消去y得: (*)因?yàn)橹本€m與雙曲線的左支有兩個(gè)交點(diǎn)，所以方程(*)有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)根

22、所以 解得 設(shè)M 則 由P(-2，0)，M ,Q(0,b)三點(diǎn)共線，不難得出 設(shè)，則在上為減函數(shù) 所以，所以評(píng)析:根據(jù)函數(shù)的思想建立b與k的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)方程的思想，運(yùn)用二次方程的理論具體求出b的表達(dá)式，是解此題的兩個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題.不少解析幾何問(wèn)題，其中某些元素處于運(yùn)動(dòng)變化之中，存在著相互聯(lián)系、相互制約的量，它們之間往往構(gòu)成函數(shù)關(guān)系;對(duì)于直線和曲線交點(diǎn)問(wèn)題，經(jīng)常要轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，用方程的理論加以解決.2.8立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計(jì)算，經(jīng)常需要運(yùn)用列方程（組）或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決例1.如圖所示，等腰ABC的底邊AB=6，高CD=3，點(diǎn)E是線段BD上異于點(diǎn)B、D的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在B

23、C邊上，且EFAB，現(xiàn)沿EF將BEF折起到PEF的位置，使PEAE記BEx，V(x)表示四棱錐PACFE的體積（）求V(x)的表達(dá)式.（）當(dāng)x為何值時(shí)，V(x)取得最大值.分析：依題求出底面ACFE的面積表達(dá)式與高，由體積公式構(gòu)建出體積表達(dá)式，借助于求導(dǎo)來(lái)解決問(wèn)題解：（）EFAB,EFPE,且PEAE,EFAE=E,又PE在平面ACFE外，PE平面ACFE，EFAB,CDAB,（）由（）得令得，且 ； 故當(dāng)時(shí)，V(x)取得最大值評(píng)析：對(duì)幾何圖形中的動(dòng)態(tài)變化問(wèn)題，應(yīng)分析各個(gè)量在變化過(guò)程中的相互關(guān)系中找到所需要的量，構(gòu)建相應(yīng)的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求值問(wèn)題，而在立幾的翻折問(wèn)題中要注意折前與折后的變與不變

24、量，這也是正確解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在2.9在概率統(tǒng)計(jì)中，也常常通過(guò)研究相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)或方程的解的分布，從而揭示隨機(jī)變量的取值規(guī)律例1某商店采用“購(gòu)物摸球中獎(jiǎng)”的促銷(xiāo)活動(dòng)，摸球袋中裝有10個(gè)號(hào)碼為n（0n10，n）重為克的球，摸球方案如下表 方案摸獎(jiǎng)辦法獎(jiǎng)金凡一次購(gòu)物在元者，摸球一個(gè)，若球的重量小于該球的號(hào)碼數(shù)，則中獎(jiǎng)10元摸出兩球，若兩球的重量相等則中獎(jiǎng)40元試比較兩種方案中獎(jiǎng)概率的大?。ㄕf(shuō)明：每個(gè)球以等可能性從袋中被摸出，假定符合條件的顧客均參加摸獎(jiǎng)） 解：當(dāng)球的重量小于號(hào)碼數(shù)時(shí)，有 解得 3n7, 即n=4,5,6 則所求概率=設(shè)第n號(hào)與第m號(hào)的兩個(gè)球的重量相等，不妨設(shè)nm，則有即（n-m）(

25、m+n-9)=0m+n=9 所以（n,m）的取值為（1，8） （2，7） （3，6） （4，5）所求概率= 即方案的中獎(jiǎng)概率大2.10運(yùn)用函數(shù)與方程思想解決導(dǎo)數(shù)與函數(shù)問(wèn)題函數(shù)與方程思想是最重要的一種數(shù)學(xué)思想例1.設(shè)函數(shù)(1)求f(x)的最小值h(t) (2)若h(t)-2t+m對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：(1) x=-t x-t-0+減函數(shù)極小值增函數(shù)所以f(x)的最小值h(t)= (2)由（1）得h(t)= 令g(t)=h(t)-(-2t+m)= +2t-m =由 得t=1,t=-1(不合題意，舍去)t(0,1)1(1,2)+0-g(t)增函數(shù)極大值1-m減函數(shù)所以g(t)在（0,2）內(nèi)

26、有最大值g(1)=1-m所以h(t)-2t+m在（0,2）內(nèi)恒成立g(t)0在（0,2）內(nèi)恒成立 g(t)在（0,2）內(nèi)的最大值g(1)=1-m1 所以m的取值范圍為m1評(píng)析：由于含有字母系數(shù)m，直接解不等式不易得解，而運(yùn)用函數(shù)與方程思想，把求m的取值范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（t）在（0，2）內(nèi)有最大值g(1)0，從而得解2.11在應(yīng)用題中常常通過(guò)構(gòu)建函數(shù)模型或方程（組）來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題 例1.某旅游點(diǎn)有 50 輛自行車(chē)供游客租賃使用，管理這些自行車(chē)的費(fèi)用為每日115 元根據(jù)經(jīng)驗(yàn)若每輛自行車(chē)的日租金不超過(guò) 6 元，則自行車(chē)可以全部租出,若超過(guò) 6 元，則每超過(guò) 1 元，租不出去的自行車(chē)就增加 3

27、 輛，為了便于計(jì)算，每輛自行車(chē)的日租金 x( 元) 只取整數(shù)并且要求出租自行車(chē)一日總收入必須高于這一日的管理費(fèi)用用 y( 元)表示出租自行車(chē)的日凈收入( 即一日中出租自行車(chē)的總收入減去管理費(fèi)用的所得) (1)求函數(shù) y=f(x) 的解析式及其定義域.(2)試問(wèn)當(dāng)每輛自行車(chē)的日租金定為多少元時(shí)才能使一日的凈收入最多.解:(1)當(dāng)x6時(shí)，y=50x-115 令50x-1150 解得x2.3 因?yàn)? 所以x3 所以3x6 當(dāng)x6時(shí)，y=50-3(x-6)x-115 令50-3(x-6)x-1150，有 此不等式的整數(shù)解為2x20 () 所以6時(shí),0,無(wú)實(shí)數(shù)解,汽車(chē)將不能追上自行車(chē)即當(dāng)時(shí),汽車(chē)將碰上自

28、行車(chē):當(dāng)時(shí),汽車(chē)不能碰上自行車(chē)兩車(chē)的距離為:s = =3+4t- -6t+3= +0.75這就是一個(gè)函數(shù),因變量s隨自變量t的變化而變化,當(dāng)自變量t =0.75s時(shí),因變量s最小,即汽車(chē)離自行車(chē)最近,最近距離為s =0.75m生物中細(xì)胞的分裂常常也用到指數(shù)函數(shù)的一些性質(zhì)，在此不一一舉例說(shuō)明3如何在中學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生函數(shù)與方程的思想？現(xiàn)今我國(guó)的教育模式正在由應(yīng)試教育向全面素質(zhì)教育轉(zhuǎn)變,素質(zhì)教育不僅要求受教育者掌握一定的知識(shí)技能,而且還要求達(dá)到領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想、掌握數(shù)學(xué)方法、提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的因此,數(shù)學(xué)教學(xué)中,使學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與理論固然重要,但更重要的是掌握數(shù)學(xué)的基本技能,能運(yùn)用基本的數(shù)學(xué)思想

29、方法來(lái)解決各類數(shù)學(xué)問(wèn)題,引導(dǎo)他們?cè)诮忸}過(guò)程中提煉數(shù)學(xué)思想方法,提高數(shù)學(xué)能力教師要把握好滲透的契機(jī),重視數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則的提出過(guò)程,知識(shí)的形成、發(fā)展過(guò)程,解決問(wèn)題和規(guī)律的概括過(guò)程,使學(xué)生在這些過(guò)程中展開(kāi)思維,從而發(fā)展他們的科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí),形成獲取、發(fā)展新知識(shí)與運(yùn)用新知識(shí)解決問(wèn)題的能力3.1在基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)過(guò)程中，滲透數(shù)學(xué)思想方法將數(shù)學(xué)知識(shí)作為載體，把數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)滲透到數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)中.教師要把握好滲透的契機(jī),重視數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則的提出過(guò)程,知識(shí)的形成、發(fā)展過(guò)程,解決問(wèn)題和規(guī)律的概括過(guò)程,使學(xué)生在這些過(guò)程中展開(kāi)思維,從而發(fā)展他們的科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí),形成獲取、發(fā)展新

30、知識(shí),運(yùn)用新知識(shí)解決問(wèn)題，從而比較順利地完成新舊知識(shí)的過(guò)渡如等比數(shù)列前n項(xiàng)和的推導(dǎo)過(guò)程，復(fù)習(xí)回憶等差數(shù)列的求和公式，等比數(shù)列的定義和一些性質(zhì)，探究了公式推導(dǎo)的各種方法方法1:教材的推導(dǎo)過(guò)程（錯(cuò)位相減法）方法2：用解方程的思路推導(dǎo) 因?yàn)?所以解關(guān)于的方程，可得3.2在小結(jié)復(fù)習(xí)的教學(xué)過(guò)程中，概括、提煉數(shù)學(xué)思想方法.由于同一問(wèn)題可涉及到幾種不同的數(shù)學(xué)思想方法,而同一數(shù)學(xué)思想方法又常常分布在許多不同的基礎(chǔ)知識(shí)中,因此,及時(shí)小結(jié)、復(fù)習(xí)以進(jìn)行強(qiáng)化刺激,讓學(xué)生在腦海中留下深刻的印象這樣有意識(shí)、有目的地結(jié)合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí),揭示、提煉概括數(shù)學(xué)思想方法,既可避免單純追求數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)欲速則不達(dá)的問(wèn)題,又能很好地促

31、使學(xué)生認(rèn)識(shí)從感性到理性的飛躍復(fù)習(xí)小結(jié)時(shí)可配合知識(shí)點(diǎn)和典型例題強(qiáng)化訓(xùn)練如在高三復(fù)習(xí)課講評(píng)例題“已知方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍”時(shí)，首先從函數(shù)解析式的特點(diǎn)看，它是關(guān)于正余弦函數(shù)的三角方程,可在這時(shí)適當(dāng)做變化令，則原題化為方程在上有實(shí)數(shù)解，也可看成求函數(shù) 的值域本題就利用了轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，如果教師在講解時(shí)能較好地分析，注意培養(yǎng)學(xué)生此方面思想，就能充分發(fā)揮該題的功能，同時(shí)提高學(xué)生的解題能力 3.3在知識(shí)運(yùn)用過(guò)程中，不斷鞏固和深化數(shù)學(xué)思想方法.在抓住學(xué)習(xí)重點(diǎn)、突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)及解決具體數(shù)學(xué)問(wèn)題中,數(shù)學(xué)思想方法是處理這些問(wèn)題的助手,這些問(wèn)題的解決過(guò)程,也是數(shù)學(xué)思想方法反復(fù)運(yùn)用的過(guò)程因此,注意數(shù)

32、學(xué)思想方法的運(yùn)用既有條件又有可能,這是進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)行之有效的普遍途徑.數(shù)學(xué)思想方法也只有在反復(fù)運(yùn)用中,才能得到鞏固與深化.總之,在數(shù)學(xué)的教學(xué)和學(xué)習(xí)過(guò)程中,處處蘊(yùn)涵著數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)過(guò)程中,教師要善于抓住有利時(shí)機(jī),要努力向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法,自覺(jué)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問(wèn)題、解決問(wèn)題,提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力 如在初中階段，有具體的數(shù)過(guò)渡到用字母表示數(shù)，再由字母過(guò)渡到代數(shù)式、方程及簡(jiǎn)單的不等式，而后由方程、不等式過(guò)渡到函數(shù)的概念等，都需要不斷滲透變量思想的教學(xué)，在“變”與“不變”的辯證思想教學(xué)中強(qiáng)化學(xué)生的變量意識(shí)在前面的應(yīng)用中，可以看出函數(shù)與方程思想幾乎應(yīng)用在各種題型中，因此教師在講解這些

33、題型中就要注意滲透函數(shù)與方程思想并加強(qiáng)鞏固 數(shù)學(xué)思想方法是在啟發(fā)學(xué)生思維過(guò)程中逐步積累和形成的因此在教學(xué)中，要特別強(qiáng)調(diào)解決問(wèn)題以后的“反思”，因?yàn)樵谶@個(gè)過(guò)程中提煉出來(lái)的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)才是易于體會(huì)，易于接受的結(jié)束語(yǔ)綜上，函數(shù)與方程思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)思想之一，在中學(xué)數(shù)學(xué)及其他學(xué)科領(lǐng)域都有廣泛而重要的應(yīng)用.我們應(yīng)結(jié)合中學(xué)教學(xué)的實(shí)際多種途徑培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)與方程思想，達(dá)到提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力的目的.結(jié) 論 函數(shù)與方程思想一直貫穿在中學(xué)整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，是中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本、最重要的數(shù)學(xué)思想，應(yīng)用涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，是考查創(chuàng)新實(shí)踐能力的良好載體本文就闡述了函數(shù)思想與方程思想的概念，二者之間的相互轉(zhuǎn)換及在轉(zhuǎn)換時(shí)需要注意的一些問(wèn)題用典