傳熱學(xué)第4章z

1、第第 4 章章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法傳熱學(xué)第4章z求解導(dǎo)熱問題的三種基本方法：求解導(dǎo)熱問題的三種基本方法：l 理論分析法理論分析法 在理論分析基礎(chǔ)上，直接對微分方程在給定的定解在理論分析基礎(chǔ)上，直接對微分方程在給定的定解條件下積分，獲得的解稱為分析解，或叫理論解。條件下積分，獲得的解稱為分析解，或叫理論解。特點(diǎn)：特點(diǎn)：u 能獲得所研究問題的精確解，可為實(shí)驗(yàn)和數(shù)值計能獲得所研究問題的精確解，可為實(shí)驗(yàn)和數(shù)值計算提供比較依據(jù)；算提供比較依據(jù)；u 局限性很大，對復(fù)雜問題無法求解。局限性很大，對復(fù)雜問題無法求解。l 實(shí)驗(yàn)法實(shí)驗(yàn)法傳熱學(xué)的基本研究方法，但適應(yīng)性不好、費(fèi)用昂貴。傳熱學(xué)的基本研究

2、方法，但適應(yīng)性不好、費(fèi)用昂貴。l 數(shù)值計算法數(shù)值計算法4.1.1 4.1.1 基本思想基本思想 把原來在時間和空間連續(xù)的物理量的場，用有限把原來在時間和空間連續(xù)的物理量的場，用有限個離散點(diǎn)上的值的集合來代替，通過求解按一定方法個離散點(diǎn)上的值的集合來代替，通過求解按一定方法建立的關(guān)于這些值的代數(shù)方程，來獲得離散點(diǎn)上被求建立的關(guān)于這些值的代數(shù)方程，來獲得離散點(diǎn)上被求物理量的值，這些值的集合稱為該物理量的數(shù)值解。物理量的值，這些值的集合稱為該物理量的數(shù)值解。特點(diǎn)：很大程度上彌補(bǔ)了分析法的缺點(diǎn)，適應(yīng)性強(qiáng)，特點(diǎn)：很大程度上彌補(bǔ)了分析法的缺點(diǎn)，適應(yīng)性強(qiáng)，特別對于復(fù)雜問題更顯優(yōu)越性；與實(shí)驗(yàn)法相比成本低。特別

3、對于復(fù)雜問題更顯優(yōu)越性；與實(shí)驗(yàn)法相比成本低。數(shù)值解法：數(shù)值解法：u有限差分法（有限差分法（finite-difference）u有限元法（有限元法（finite-element） u邊界元法（邊界元法（boundary- element）4.1 4.1 導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想4.1.2 4.1.2 導(dǎo)熱問題數(shù)值求解基本步驟導(dǎo)熱問題數(shù)值求解基本步驟建立控制方程及定解條件建立控制方程及定解條件確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化）確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化）建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程設(shè)立溫度場的迭代初值設(shè)立溫度場的迭代初值求解代數(shù)方程求解代數(shù)方程是否收斂是否收斂解的分

4、析解的分析改進(jìn)初場改進(jìn)初場是是否否0tyf3thf2thf1thxu幾何條件：二維矩形域內(nèi)；幾何條件：二維矩形域內(nèi)；u時間條件：穩(wěn)態(tài)；時間條件：穩(wěn)態(tài)；u物理條件：無內(nèi)熱源、常物性；物理條件：無內(nèi)熱源、常物性；u邊界條件：第一類和第三類。邊界條件：第一類和第三類。l 建立控制方程及定解條件建立控制方程及定解條件22220ttxyxyxynm(m,n)MNl 區(qū)域離散化區(qū)域離散化基本概念：網(wǎng)格線、節(jié)點(diǎn)、步長、元體（控制容積）基本概念：網(wǎng)格線、節(jié)點(diǎn)、步長、元體（控制容積）l 建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程離散方程離散方程xyxynm(m,n)MN,1,1,1,114m nmnmnm

5、 nm nttttt內(nèi)節(jié)點(diǎn)（內(nèi)節(jié)點(diǎn)（m，n），若），若x =yl 設(shè)立設(shè)立迭代初場迭代初場代數(shù)方程組的求解方法：代數(shù)方程組的求解方法：u 直接解法直接解法u 迭代法：求解時需要對被求解的溫度場預(yù)先假迭代法：求解時需要對被求解的溫度場預(yù)先假定一個解，稱為初場，在求解過程中這一溫度場定一個解，稱為初場，在求解過程中這一溫度場不斷得到改進(jìn)。不斷得到改進(jìn)。l 求解代數(shù)方程組求解代數(shù)方程組xyxynm(m,n)MN m=1的左邊界上各節(jié)點(diǎn)溫度已知；的左邊界上各節(jié)點(diǎn)溫度已知； 其余（其余（M-1）N個節(jié)點(diǎn)需建立個節(jié)點(diǎn)需建立（M-1）N個個代數(shù)代數(shù)方程，構(gòu)成一個封閉的代數(shù)方程組。方程，構(gòu)成一個封閉的代數(shù)方程

6、組。l 解的分析解的分析所得出的溫度場可進(jìn)一步計算熱流量或計算設(shè)備、所得出的溫度場可進(jìn)一步計算熱流量或計算設(shè)備、零部件的熱應(yīng)力及熱變形等。零部件的熱應(yīng)力及熱變形等。l本章重點(diǎn)本章重點(diǎn)：u 如何建立離散方程組；如何建立離散方程組；u 如何求解離散方程組。如何求解離散方程組。l 建立內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的常用方法：建立內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的常用方法：uTaylor（泰勒）級數(shù)展開法；（泰勒）級數(shù)展開法；u熱平衡法；熱平衡法；u多項式擬合法。多項式擬合法。4.2 4.2 內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法4.2.1 4.2.1 泰勒級數(shù)展開法泰勒級數(shù)展開法l 根據(jù)泰勒級數(shù)展開式，用節(jié)點(diǎn)根據(jù)泰勒級數(shù)

7、展開式，用節(jié)點(diǎn)(m,n)的溫度的溫度tm,n來表來表示節(jié)點(diǎn)示節(jié)點(diǎn)(m+1,n)的溫度的溫度tm+1,nl 用溫度用溫度tm,n來表示節(jié)點(diǎn)來表示節(jié)點(diǎn)(m-1,n)的溫度的溫度tm-1,n! 3! 23,332,22, 1xxtxxtxxtttnmnmnmnmnm! 3! 23,332,22, 1xxtxxtxxtttnmnmnmnmnm將兩式相加，移項整理得將兩式相加，移項整理得24421,1,24,212mnmnm nm nm ntxttttxxx 同樣可得：同樣可得：)(2221,1,22yoytttytnmnmnmnm截斷誤差截斷誤差表示未明確寫出的表示未明確寫出的級數(shù)余項中的級數(shù)余項中的

8、x的的最低階數(shù)為最低階數(shù)為2 2)(222, 1, 1,22xoxtttxtnmnmnmnm24421,1,24,212mnmnm nm nm ntxttttxxx 2,1,122,2m nm nm nm nttttyyl 二階導(dǎo)數(shù)的中心差分：二階導(dǎo)數(shù)的中心差分：21,1,22,2mnm nmnm nttttxx22220ttxy代入：代入：l 節(jié)點(diǎn)的離散方程為：節(jié)點(diǎn)的離散方程為：1,1,1,122220mnm nmnm nm nm nttttttxy,1,1,1,114m nmnmnm nm nttttt若若x =y(m, n)oyx(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1) x x y y

9、 (m,n+1)4.2.2 4.2.2 熱平衡法熱平衡法l基本思想：對每個節(jié)點(diǎn)所代表的元體用基本思想：對每個節(jié)點(diǎn)所代表的元體用Fourier導(dǎo)熱導(dǎo)熱定律直接寫出能量守恒表達(dá)式，獲得溫度場的代數(shù)方定律直接寫出能量守恒表達(dá)式，獲得溫度場的代數(shù)方程組。它從基本物理現(xiàn)象和基本定律出發(fā)，不必事先程組。它從基本物理現(xiàn)象和基本定律出發(fā)，不必事先建立控制方程。建立控制方程。l能量守恒：流入控制體的總熱流量能量守恒：流入控制體的總熱流量流出控制體的流出控制體的總熱流量控制體內(nèi)熱源生成熱總熱流量控制體內(nèi)熱源生成熱 控制體內(nèi)能增量控制體內(nèi)能增量 iov 注意：該式對內(nèi)部節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)均適用。注意：該式對內(nèi)部節(jié)點(diǎn)和邊

10、界節(jié)點(diǎn)均適用。單位：單位：Wu 穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源時：穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源時： 從所有方向進(jìn)入控制體的總熱流量從所有方向進(jìn)入控制體的總熱流量0 001,1, 1, 1nmnmnmnm對內(nèi)部節(jié)點(diǎn)（對內(nèi)部節(jié)點(diǎn)（m，n）：）：0右左下上(m, n)oyx(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1) x x y y (m,n+1)xtyxtAdddd左可見：當(dāng)溫度場未求可見：當(dāng)溫度場未求出前，出前， 未知未知 所以，必須假設(shè)相鄰所以，必須假設(shè)相鄰節(jié)點(diǎn)間的溫度分布形節(jié)點(diǎn)間的溫度分布形式，這里假定溫度呈式，這里假定溫度呈分段線性分布。分段線性分布。xt dd(m, n)oyx(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1)

11、 x x y y (m,n+1)單位：單位：W/m(m,n)(m-1,n)(m+1,n)tm,ntm-1,ntm+1,nxttyxtynmnm, 1dd左節(jié)點(diǎn)越多，假設(shè)的分段線性分布越接近真實(shí)的溫度分節(jié)點(diǎn)越多，假設(shè)的分段線性分布越接近真實(shí)的溫度分布。此時：布。此時：xttynmnm, 1右yttxnmnm,1,上yttxnmnm,1,下0下左右上1,1,1,1,0mnm nmnm nm nm nm nm nttttttyyxxxyttxy yx時：時：1,1,1,1,40mnmnm nm nm nttttt,1,1,1,114m nmnmnm nm nttttt說明：所求節(jié)點(diǎn)溫度前的系數(shù)一定等

12、于其他所有相鄰說明：所求節(jié)點(diǎn)溫度前的系數(shù)一定等于其他所有相鄰節(jié)點(diǎn)溫度前的系數(shù)之和。這一結(jié)論也適用于邊界節(jié)點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)溫度前的系數(shù)之和。這一結(jié)論也適用于邊界節(jié)點(diǎn)。4.3 4.3 邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解l對于第一類邊界條件的導(dǎo)熱問題，所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)的離對于第一類邊界條件的導(dǎo)熱問題，所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)的離散方程組成封閉的代數(shù)方程組，已知邊界溫度，可將散方程組成封閉的代數(shù)方程組，已知邊界溫度，可將其以數(shù)值形式加入到離散方程中，直接求解。其以數(shù)值形式加入到離散方程中，直接求解。l對于第二類或第三類邊界條件，內(nèi)節(jié)點(diǎn)的離散方程對于第二類或第三類邊界條件，內(nèi)節(jié)點(diǎn)的離散方程

13、組成的代數(shù)方程組不封閉，其中包含未知邊界溫度，組成的代數(shù)方程組不封閉，其中包含未知邊界溫度，需用熱平衡法，建立邊界節(jié)點(diǎn)的離散方程，與內(nèi)節(jié)點(diǎn)需用熱平衡法，建立邊界節(jié)點(diǎn)的離散方程，與內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程一起組成封閉的代數(shù)方程組，才能求解。離散方程一起組成封閉的代數(shù)方程組，才能求解。l為求解方便，將第二類及第三類邊界條件合并起來為求解方便，將第二類及第三類邊界條件合并起來考慮，用考慮，用qw表示邊界上的熱流密度或熱流密度表達(dá)式。表示邊界上的熱流密度或熱流密度表達(dá)式。用用 表示內(nèi)熱源強(qiáng)度。表示內(nèi)熱源強(qiáng)度。4.3.1 4.3.1 邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立qw(1) (1) 平直邊界上的節(jié)點(diǎn)

14、平直邊界上的節(jié)點(diǎn)2,1,1, 1,224xttqxttnmnmnmwnmnm1,1,1,2202mnm nwm nm nm nm nm nttyyqxttxyttxyxy xy xyqw(2) (2) 外部角點(diǎn)外部角點(diǎn)2222,1, 1,xqxtttnmwnmnmnm0222222,1, 1yxyttxqxqyxttynmnmnmwwnmnmxy xyqw(3) (3) 內(nèi)部角點(diǎn)內(nèi)部角點(diǎn)22,1,1,11,132(22)62m nmnm nm nmnwxxtttttq 1,1,1,1,2222304mnm nmnm nwm nm nm nm nwm nttttyyyqxxttxyttxxqyx

15、 y xy xyqwl qw 的情況：的情況：(1) 第二類邊界條件：將第二類邊界條件：將 ，帶入上面各式，帶入上面各式即可，以傳入計算區(qū)域的熱量為正。即可，以傳入計算區(qū)域的熱量為正。 若為絕熱邊界或?qū)ΨQ邊界條件呢？若為絕熱邊界或?qū)ΨQ邊界條件呢？ 第三類邊界條件：將第三類邊界條件：將 ，帶入上面各，帶入上面各式即可，如平直邊界上的節(jié)點(diǎn)。式即可，如平直邊界上的節(jié)點(diǎn)。constqw)(,nmfwtthq(3) 輻射邊界條件：輻射邊界條件： ，)(4,4nmfwTTqconstqw2,1,1,1,2,1,1,1,2422242m nmnwm nm nm nm nmnm nm nm nfxxttqtt

16、h xxh xttttt4.3.3 4.3.3 求解代數(shù)方程組的迭代法求解代數(shù)方程組的迭代法nnnnnnnnnnnbtatatatbtatatatbtatatat.2211222221212112121111寫出所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)的溫度差分方程。寫出所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)的溫度差分方程。n個未知節(jié)點(diǎn)溫度，個未知節(jié)點(diǎn)溫度，n個代數(shù)方程式：個代數(shù)方程式：代數(shù)方程組的求解方法：直接解法、迭代解法代數(shù)方程組的求解方法：直接解法、迭代解法l直接解法：通過有限次運(yùn)算獲得代數(shù)方程精確解；直接解法：通過有限次運(yùn)算獲得代數(shù)方程精確解； 矩陣求逆、高斯消元法矩陣求逆、高斯消元法l迭代解法：先對要計算的場作出假設(shè)、

17、在迭代計算迭代解法：先對要計算的場作出假設(shè)、在迭代計算過程中不斷予以改進(jìn)、直到計算結(jié)果與假定值結(jié)果相過程中不斷予以改進(jìn)、直到計算結(jié)果與假定值結(jié)果相差小于允許值，稱迭代計算已經(jīng)收斂。差小于允許值，稱迭代計算已經(jīng)收斂。缺點(diǎn)：所需內(nèi)存大、方程數(shù)目多時不方便、不適用于缺點(diǎn)：所需內(nèi)存大、方程數(shù)目多時不方便、不適用于非線性問題（若物性為溫度的函數(shù)，節(jié)點(diǎn)溫度差分方非線性問題（若物性為溫度的函數(shù)，節(jié)點(diǎn)溫度差分方程中系數(shù)不再是常數(shù)，而是溫度的函數(shù)。這些系數(shù)在程中系數(shù)不再是常數(shù)，而是溫度的函數(shù)。這些系數(shù)在計算過程中要相應(yīng)地不斷更新）。計算過程中要相應(yīng)地不斷更新）。u高斯高斯- -賽德爾迭代法：特點(diǎn)是每次迭代時總是

18、使用賽德爾迭代法：特點(diǎn)是每次迭代時總是使用節(jié)點(diǎn)溫度的最新值。節(jié)點(diǎn)溫度的最新值。例：一例：一 個個n 元方程組元方程組11 112 21121 122 2221 12 2.n nn nnnnn nna ta ta tba ta ta tba ta ta tb1112 213 31112221 123 32221 12 2111.1.1.n nn nnnnnn nn nnntba ta ta tatba ta ta tatba ta tata改成關(guān)于改成關(guān)于t1，t2， tn的顯式形式（迭代方程）的顯式形式（迭代方程）假設(shè)一組解（迭代初場），記為假設(shè)一組解（迭代初場），記為由迭代方程計算出改進(jìn)值由

19、迭代方程計算出改進(jìn)值(0)(0)(0)12n.ttt、每次計算都用每次計算都用 t 的新值代入，重復(fù)計算，直至收斂。的新值代入，重復(fù)計算，直至收斂。(1)(2)(3)12n.ttt、 10001112 213 311111002221 123 322211111 12 2111.1.1.n nn nnnnnn nn nnntba ta ta tatba ta ta tatba ta tata根據(jù)第根據(jù)第 k 次迭代的數(shù)值次迭代的數(shù)值(k)n(k)2(k)1.ttt、可以求得節(jié)點(diǎn)溫度：可以求得節(jié)點(diǎn)溫度：(1)( )( )( )111 112 211.kkkkn nta ta ta tb(1)(1

20、)( )( )221 122 222(1)(1)(1)( )331 132 233(1)(1)(1)1 12 211.kkkkn nkkkkn nkkknnnnnnta ta ta tbta ta ta tbta ta tat(1)( )kknn nna tb另一種迭代方程形式：另一種迭代方程形式：u 迭代過程是否已經(jīng)收斂的判據(jù)：迭代過程是否已經(jīng)收斂的判據(jù)：)(max)() 1()()() 1()() 1(maxmaxmaxkkikikikikikikitttttttt第第 k 次迭代得到的最大值；次迭代得到的最大值；(k)maxt當(dāng)計算區(qū)域中有接近于零的當(dāng)計算區(qū)域中有接近于零的 t 時，用第三個較好。時，用第三個較好。36 1010 允許的偏差；相對偏差 值一般取u 迭代過程能否收斂的判據(jù)：迭代過程能否收斂的判據(jù)：主對角線占優(yōu)主對角線占優(yōu)對于常物性導(dǎo)熱問對于常物性導(dǎo)熱問題所組成的差分方題所組成的差分方程組，迭代公式的程組，迭代公式的選擇應(yīng)使每一個迭選擇應(yīng)使每一個迭代變量的系數(shù)代變量的系數(shù)該式該式中其他變量系數(shù)絕中其他變量系數(shù)絕對值之和，此時一對值之和，此時一定收斂。定收斂。12131112123222121111nnnnn nnnaaaaaaaaaaaa例例1：一等截面直肋，高為：一等截面直肋，高為H=45mm，