第二章 剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)(上)

1、高等動(dòng)力學(xué)中國礦業(yè)大學(xué)力建學(xué)院力學(xué)系李毅2-1 目 錄 第二章 剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)（上） 2-1 剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué) 2-2 自由剛體的運(yùn)動(dòng) 2-3 剛體運(yùn)動(dòng)的合成 2-22-1 剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)2-3剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，其體內(nèi)或外延部分有一點(diǎn)不動(dòng)，稱為定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。1. 運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程O：為定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的定點(diǎn)Oxyz：定系，定系，固定在參考體上Ox?y?z? ：體軸體軸，固結(jié)在剛體上 顯然，確定剛體的位置（運(yùn)動(dòng)），可以與確定體軸Ox?y?z? 位置（運(yùn)動(dòng)）等價(jià)。若能確定z? 軸的位置（需兩個(gè)參數(shù)）以及剛體繞z? 軸相對固定參考系Oxyz的轉(zhuǎn)角則剛體的位置可完全確定。因此，定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的剛體有三個(gè)

2、自由度，或需三個(gè)廣義坐標(biāo)確定剛體的位置。 廣義坐標(biāo)的選取方法有很多種，下面介紹一種常用的方法，稱為歐拉角。動(dòng)方程。稱為剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的運(yùn)，)()()(111tftftf 地球自轉(zhuǎn)軸與公轉(zhuǎn)軸夾角23.5（章動(dòng)），但這個(gè)角度以約19年為周期變化，幅度約為9。章動(dòng)改變南北回歸線的緯度。 自轉(zhuǎn)軸與公轉(zhuǎn)軸構(gòu)成的平面（其法線就是節(jié)線）繞公轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，周期約為25600年，稱為進(jìn)動(dòng)。進(jìn)動(dòng)改變季節(jié)的時(shí)間。地球的進(jìn)動(dòng)使每年冬至都有微小的提前。稱為“歲差”。次序有關(guān)。運(yùn)與轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)到另一個(gè)位置的剛體由一個(gè)位置繞定點(diǎn)有限轉(zhuǎn)繞轉(zhuǎn)繞90. 290. 131xx轉(zhuǎn)繞轉(zhuǎn)繞90. 290. 113xx 歐拉角的次序?yàn)?進(jìn)動(dòng)-章動(dòng)-

3、自旋，體軸為 3-1-3 按轉(zhuǎn)軸的不同次序有24種不同組合，即24種廣義歐拉角。 按1-2-3轉(zhuǎn)動(dòng)稱為卡爾丹角。 按3-1-2轉(zhuǎn)動(dòng)的稱為姿態(tài)角。 2. 有限轉(zhuǎn)動(dòng)的歐拉定理有限轉(zhuǎn)動(dòng)的歐拉定理討論。通過坐標(biāo)變換來進(jìn)一步有關(guān)。下面動(dòng)的結(jié)果與轉(zhuǎn)動(dòng)的次序前面已經(jīng)看出，剛體轉(zhuǎn)1000cossin0sincos1111111111111zyxzzyxyzyxxMzyOxOxyzzyxO的坐標(biāo)變換關(guān)系為：剛體上一點(diǎn)，如圖所示。，此時(shí)隨體坐標(biāo)系到達(dá)）進(jìn)動(dòng)（重合。與固定坐標(biāo)系），開始時(shí)隨體坐標(biāo)系，設(shè)一組歐拉角為：（稱為坐標(biāo)變換矩陣。令：寫成矩陣形式：1000cossin0sincos)(1000cossin0si

4、ncos111Azyxzyx的坐標(biāo)變換關(guān)系為：，如圖所示。到達(dá)，此時(shí)隨體坐標(biāo)系由）章動(dòng)（MzyOxzyOx2221112cossin0sincos0001)(cossin0sincos0001222111Azyxzyx的坐標(biāo)變換關(guān)系為：，如圖所示。到達(dá)，此時(shí)隨體坐標(biāo)系由）自轉(zhuǎn)（MzyxOzyOx22231000cossin0sincos)(1000cossin0sincos222Azyxzyxzyxzyx1000cossin0sincoscossin0sincos00011000cossin0sincos1000cossin0sincoscossin0sincos00011000cossin0

5、sincos)()()(),(AAAA令：coscossinsinsincossincoscoscossinsincossincoscossinsinsincoscossinsincoscossinsincoscos)()()(),(AAAAzyxAzyx),( 以上討論表明，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)可以由變換矩陣來表示，多次轉(zhuǎn)動(dòng)僅需要將變換矩陣依次相乘。 由于矩陣乘積不具有交換性，因此剛體有限轉(zhuǎn)動(dòng)的次序不可交換。換句話說，改變轉(zhuǎn)動(dòng)次序剛體會有不同的最終位置。 歐拉定理歐拉定理：繞定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的剛體，從一個(gè)位置到另一個(gè)位置的任何（有限或微小）位移，可以繞通過定點(diǎn)的某一軸轉(zhuǎn)動(dòng)一次而實(shí)現(xiàn)。是繞動(dòng)軸的一次轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)可

6、以認(rèn)為，剛體三次（任意次）該繞動(dòng)軸的轉(zhuǎn)角記為此固定直線為動(dòng)軸。連線上的點(diǎn)都不動(dòng)。稱事實(shí)上，該點(diǎn)與定點(diǎn)的。就是坐標(biāo)變換的不動(dòng)點(diǎn)其實(shí)，（有：特征向量（的特征矢量，即存在一存在特征值為代數(shù)理論，該矩陣為正交矩陣。根據(jù)線性事實(shí)上，一點(diǎn)的位置不變。存在一條直線，其上每（轉(zhuǎn)動(dòng)）后，點(diǎn)外，在三次坐吧變換只需證明剛體上，除定),),(),1),(000000000000zyxzyxAzyxzyxA證明：3. 瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸 角速度角速度 角加速度角加速度10101),(1000101)(1010001)(1000101)(,AAAA此時(shí)：。轉(zhuǎn)角，動(dòng)軸此稱為瞬軸，當(dāng)剛體作微小轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)。轉(zhuǎn)動(dòng)結(jié)果與轉(zhuǎn)動(dòng)次序無表

7、明對于微小轉(zhuǎn)動(dòng)，階小量后，均相等。這運(yùn)算，其乘積在略去二乘法，順序進(jìn)行矩陣不難驗(yàn)證，無論怎樣的)()()(10101),(AAAArrl，則定義矢量一點(diǎn)的位移。為此，我們研究剛體上的關(guān)系。歐拉角與下面討論繞瞬軸的轉(zhuǎn)角,knkrrrrrrrrrrrrrrrknk）（，則相應(yīng)的位移矢量為：，定義矢量tt0lim大小為：指向由右手法則確定，其方向沿瞬軸，定義角速度矢量：自轉(zhuǎn)角速度章動(dòng)角速度進(jìn)動(dòng)角速度knkknktttttttttttttt0000000limlimlimlimlimlimlim拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。上式稱為定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的歐cossincossincossinsinzyx不同。不共線，這與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

8、與一般來說，端點(diǎn)的切線。方向沿定義角加速度矢量：tttddlim04. 剛體上各點(diǎn)的速度和加速度剛體上各點(diǎn)的速度和加速度rvvr為：，則該點(diǎn)的速度的矢徑為剛體內(nèi)任意一點(diǎn)MvrrrvaatttMdddddd為：點(diǎn)的加速度)(里瓦斯公式不垂直于指向于瞬軸。法線方向，但垂直且，稱為向軸加速度，非切線方向。，稱為轉(zhuǎn)動(dòng)加速度，非記：NRNRNRaaaaavara 剛體繞定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，其上任意一點(diǎn)的速度等于加速度與矢徑的矢量積；加速度等于向軸加速度向軸加速度與轉(zhuǎn)動(dòng)加速度轉(zhuǎn)動(dòng)加速度的矢量和。2-2 自由剛體的運(yùn)動(dòng)O? ：為剛體上任意選定的 一點(diǎn)稱為基點(diǎn)基點(diǎn)Oxyz：定系，定系，固定在參考 體上O?x?y?z?

9、 ：體軸體軸，固結(jié)在剛 體上O? ：隨動(dòng)平動(dòng)參考 系，固連在剛體O? 上，但不轉(zhuǎn)動(dòng)自由剛體的運(yùn)動(dòng)方程：)()()()()()(654321tftftftfztfytfxOOO，rvvvvvrOMrea根據(jù)速度合成定理：的速度，自由剛體任意一點(diǎn)MrMvraaaaarrOMrea的加速度：自由剛體任意一點(diǎn)3-3 剛體運(yùn)動(dòng)的合成1. 平移與平移的合成平移。時(shí)，剛體的合成運(yùn)動(dòng)為顯然，當(dāng)兩個(gè)剛體平移小車上任一點(diǎn)的速度：動(dòng)系為橫梁，圖示，剛體小車12re12re2211,aaaaavvvvvavav2. 繞兩個(gè)平行軸轉(zhuǎn)動(dòng)的合成以上為矢量和。：動(dòng)系為連桿，角速度為：相對于定系的角速度為，的角速度為：，相對連桿剛體齒輪圖示，行星柱齒輪reaearII。這種情況稱為動(dòng)。，對象剛體平移，無轉(zhuǎn)時(shí)，當(dāng)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)偶偶0aerer21erCOCO瞬軸內(nèi)分兩軸指向相同時(shí)，er21erCOCO較大角速度的外側(cè)瞬軸內(nèi)分兩軸，瞬軸在指向相反時(shí)，齒輪II轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，瞬軸位置？如下圖所示：3. 繞兩個(gè)相交軸轉(zhuǎn)動(dòng)的合成12a12a，可以證明：連桿的角速度為：，：，相對橫桿的角速度為為：系的角速度定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。設(shè)相對于定齒輪顯然作圖示，行星錐齒輪。小12a21也可以證明：不垂直于對于一般情況，4. 平移與轉(zhuǎn)動(dòng)的合成 平移速度矢與轉(zhuǎn)動(dòng) 角速度矢垂直 此時(shí)，剛體內(nèi)任意點(diǎn)在z軸方向速度都為零剛體顯然作平面運(yùn)動(dòng)。OvCOz a軸平行，如