高等數(shù)學(xué)34函數(shù)性態(tài)研究課件

1、 五個常用函數(shù)的麥克勞林公式五個常用函數(shù)的麥克勞林公式231111()2!3!xnnexxxxo xn 352112sin( 1)( )3!5!(21)!mmmxxxxxRxm 24221cos1( 1)( )2!4!(2 )!mmmxxxxRxm cossinixexix 五個常用函數(shù)的麥克勞林公式五個常用函數(shù)的麥克勞林公式2311ln(1)( 1)()231nnnxxxxxo xn (1)(1)(1)1()!mnnm mm nxmxxo xn (1)(1)!nmm mmnCn3.43.4 函數(shù)性態(tài)的研究函數(shù)性態(tài)的研究( (一一) ) 單調(diào)性和極值單調(diào)性和極值( (二二) ) 凸凹性和拐點凸

2、凹性和拐點（一）、單調(diào)性的判別法1( , )( )0a bfx（）如果在內(nèi)，那么( ) , yf xa b函數(shù)在上單調(diào)增加；(2)( , )( )0a bfx如果在內(nèi)，那么xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xf( ) , ()1,yf xa ba b、設(shè)函數(shù)在上定理連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，abBA( ) , .yf xa b函數(shù)在上單調(diào)減少00( )( )0yf xxxfx費馬定理：設(shè)函數(shù)在點 處可導(dǎo)， 若 是函數(shù)的極值點，則極值點與駐點之間的關(guān)系？極值點與駐點之間的關(guān)系？00()0fxx駐點：一階導(dǎo)數(shù)的點3yx|yx（二）極值，極值點，最值，最值點連續(xù)函數(shù)的極值點可能是

3、哪些點？連續(xù)函數(shù)的極值點可能是哪些點？可導(dǎo)的駐點，不可導(dǎo)的點可導(dǎo)的駐點，不可導(dǎo)的點求極值的步驟求極值的步驟: :(1)( )0fx求函數(shù)的不可導(dǎo)點和駐點（的點）；(2)判斷駐點和不可導(dǎo)點是不是極值點；(3).求極值定理定理2(2(極值的第一充分條件極值的第一充分條件) )0000( )(, )f xxxU x設(shè)函數(shù)在 處連續(xù)，在 某去心鄰域可導(dǎo)例例1 1解解.593)(23的的極極值值求求出出函函數(shù)數(shù) xxxxf963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得駐點得駐點列表討論列表討論x)1,( ), 3()3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 極大值極大值極小值極小值

4、)3(f極小值極小值.22 )1( f極大值極大值,10 )3)(1(3 xx34616(0)0( )5525ff 極大值，極小值32( )(2)f xxx例2：求函數(shù)的極值32332254( )33xxfxxxx解:40( )( )5xf xxf x即，為的不可導(dǎo)點，為的駐點。x(,0)(4/5,)(0,4/5)04/5)(xf )(xf 不存在0 極大值極大值極小值極小值定理定理2(2(第二充分條件第二充分條件) )證證)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000, 0 00()()fxxfxx 故由保號性：與異號，時，時，當(dāng)當(dāng)0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 時，時，當(dāng)

5、當(dāng)0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 所所以以，函函數(shù)數(shù))(xf在在0 x處處取取得得極極大大值值 同理可證同理可證(2).sin(02 )1 cos( )( )xtttytyy xy x 例3.已知參數(shù)方程 確定的函數(shù)，求函數(shù)的極值。0 xy 令，sin1 cosxtyt解. ，sin0tt 即21(1 cos )xyt ，104xty 當(dāng)時，( )ty x故，當(dāng)時，函數(shù)達到極大值，max1 cos2y 最值的求法閉區(qū)間閉區(qū)間 a,b 上的連續(xù)函數(shù)可以取到最值上的連續(xù)函數(shù)可以取到最值要么是極值，要么是端點值要么是極值，要么是端點值。1.求駐點和不可導(dǎo)點求駐點和不可導(dǎo)點;2.求函數(shù)值；

6、求函數(shù)值；實際問題最值求法實際問題最值求法: :(1)建立目標(biāo)函數(shù)建立目標(biāo)函數(shù);(2)求最值求最值:注意：，目標(biāo)函數(shù)只有唯一駐點，則該點的函數(shù)值即為確定有最值內(nèi)時所求的最值3.求最值求最值例例4 4解解)1)(2(6)( xxxf.4 , 314123223上的最大值與最小值上的最大值與最小值的在的在求函數(shù)求函數(shù) xxxy得得解解方方程程, 0)( xf. 1, 221 xx計算計算 )3(f;23 )2(f;34 )1(f;7;142 )4(f應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例，最大值最大值142)4( f比較得比較得. 7)1( f最最小小值值例例5、某房地產(chǎn)公司有、某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)租金定

7、套公寓要出租，當(dāng)租金定為每月為每月1200元時，公寓會全部租出去當(dāng)租金每元時，公寓會全部租出去當(dāng)租金每月增加月增加100元時，就有一套公寓租不出去，而租出元時，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費去的房子每月需花費200元的整修維護費試問房元的整修維護費試問房租定為多少可獲得最大收入？租定為多少可獲得最大收入？解解 設(shè)房租為每月設(shè)房租為每月x元，元，租出去的房子有租出去的房子有 套，套，120050100 x每月總收入為每月總收入為)(xR(200)x120050100 x(200) 62100 xx( )(200) 62100 xR xx1( )62(200)100100 xR x

8、x6450 x0)( xR3200 x（唯一駐點）（唯一駐點）故每月每套租金為3200元時收入最高.最大收入為最大收入為3200( )(3200200) 62100R x90000()元問題問題:如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向?xyo1x2x)(xfy 圖形上任意弧段圖形上任意弧段位于所張弦的上方位于所張弦的上方xyo)(xfy 1x2x圖形上任意弧段圖形上任意弧段位于所張弦的下方位于所張弦的下方（三）、曲線凹凸的定義（三）、曲線凹凸的定義( )f xI：函數(shù)在區(qū)間 上定義1有定義，( )f x函數(shù)的圖像是下凸的，注意：可取等號時，稱不嚴(yán)格下凸（或上凸）的。注意：可取等號時，稱不

9、嚴(yán)格下凸（或上凸）的。12,x xI若恒有:1212()()()22xxf xf xf 成立，( )f xI則稱函數(shù)在 上的圖像是下凸的；121212( )(),()22( )xxf xf xx xIff xI若恒有: 成立， 則稱函數(shù)在 上的圖像是上凸的。( )f x稱為下凸函數(shù)；( )( )f xf x上凸的函數(shù)的圖像是，稱為上凸函數(shù)。凹函數(shù)凸函數(shù)xyo)(xfy xyo)(xfy abAB遞遞增增)(xf abBA0 y遞遞減減)(xf 0 y( ) , ( , )( )0( )0( )f xa ba bfxfxf xab定理1：如果在上連續(xù)，內(nèi) 二階可導(dǎo)，且或), 則在 ， 上是下凸（

10、上凸）的。0個別點二階導(dǎo)數(shù)等于 ，不影響函數(shù)的凸凹性( ) , ( , )( )( )0( )0f xa ba bf xabfxfx如果在上連續(xù)，內(nèi)二階可導(dǎo)， 且在 ，上是下凸（上凸）的, 則或推論：)。( ) , f xa bl如果在上是下凸（上凸）的, 則任意直線 與曲線的交最多兩推論：個交點。( ) , ,f xa ba b在上下凸（上凸），內(nèi)可導(dǎo) 則任意點處的切線在曲線的下方（推論：上方）。000002.( ),(,)()f xIxIxf xyf xxf x定義 若函數(shù)在區(qū)間 上連續(xù)， 為 的的內(nèi)點。 曲線在點(左右凸凹性相反， 則稱點為曲線的拐點。00( )()0 xf xfx若 是

11、二階可導(dǎo)函數(shù)所表示曲線的拐點， 則必有推論：( )fx注意：不存在的點也可能是曲線的拐點( )0fx 的點也不一定是曲線的拐點例例6 6.14334凹凹、凸凸的的區(qū)區(qū)間間的的拐拐點點及及求求曲曲線線 xxy解解),(: D,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,(),32()32, 0(032)(xf )(xf 00下凸下凸上凸上凸下凸下凸拐點拐點拐點拐點)1 , 0()2711,32(21123273(01) ()(0) ()即：拐點 ， ，下凸區(qū)間，23(0)上凸區(qū)間 ，00000( ),()0,()0,(,()( )f xxfxfxxf xyf x：設(shè)函數(shù)在 的鄰域判別拐點充分條件內(nèi) 三階可導(dǎo) 且而 那么是曲線的拐點。例例7 7.)2 , 0(cossin的的拐拐點點內(nèi)內(nèi)求求曲曲線線 xxy解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy , 0 y令令.47,4321 xx得得2)43( f, 0 2)47( f, 0 內(nèi)曲線有拐點為內(nèi)曲線有拐點為在在2 , 0 ).0 ,47(),0 ,43( 三、小結(jié)單調(diào)區(qū)間；單調(diào)區(qū)間；注意最值與極值的區(qū)別：注意最值與極值的區(qū)別：最值是整體概念；極值是局部概念最值是