24__平面向量的數(shù)量積

1、2.4 平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積及運算律及運算律2.4 平面向量的數(shù)量積及運算律平面向量的數(shù)量積及運算律問題情境問題情境:sF 一個物體在力一個物體在力F 的作用下產(chǎn)生了位移的作用下產(chǎn)生了位移s，那么力那么力F 所做的功應(yīng)當(dāng)怎樣計算？所做的功應(yīng)當(dāng)怎樣計算？| s|F|W cos其中力其中力F 和位移和位移s 是向量，是向量， 是是F 與與s 的夾角，而功是數(shù)量的夾角，而功是數(shù)量. 如果把功如果把功W看成是兩個向量看成是兩個向量F 與與s 的某種的某種運算運算結(jié)果結(jié)果,那么這個結(jié)果那么這個結(jié)果是一個數(shù)量是一個數(shù)量,它不僅與長度有關(guān)它不僅與長度有關(guān),還與兩個向量的夾角有關(guān)還與兩個向量的夾角

2、有關(guān).顯然顯然,這是一種新的運算這是一種新的運算.平面向量的數(shù)量積的定義平面向量的數(shù)量積的定義（1）兩向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，而不是向量，符號由夾角決定）兩向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，而不是向量，符號由夾角決定 已知兩個非零向量已知兩個非零向量a 和和b ，它們的夾角為它們的夾角為 ，我們把數(shù)量，我們把數(shù)量 叫做叫做a 與與b 的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a b cos|ba cos|baba 規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即即 0 0a （2） a b不能寫成不能寫成ab ，ab 表示向量的另一種運算表示向量的另一種運算 點號點號“”不能

3、省略不能省略.2.4 平面向量的數(shù)量積及運算律平面向量的數(shù)量積及運算律方向上的投影在向量ababBAO cos|bB1 向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，那么它向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，那么它什么時候為正，什么時候為負(fù)？什么時候為正，什么時候為負(fù)？ab=|a| |b| cos當(dāng)當(dāng)0 90時時ab為正；為正；當(dāng)當(dāng)90 180時時ab為負(fù)。為負(fù)。當(dāng)當(dāng) =90時時ab為零。為零。的形狀試判斷時，或當(dāng)中，已知ABCbababACaABABC00,練習(xí)：練習(xí)：例1 已知|a|=5，|b|=4，a與b的夾角=120，求ab。解：解： a b = |a | |b |cos120cos45 )21(45 .10 例題講解

4、例題講解1,23(1) / / ,;(2),4ababa ba b 變式訓(xùn)練：已知求求2.已知已知|a |=2，|b |=3，a與與b的夾角為的夾角為 ，求，求a b135(1)(2) a /b (3)a b （1 1）當(dāng)當(dāng)a 與與b b 同向時，同向時，a b =| a | | b |，當(dāng)當(dāng)a 與與b 反向反向時，時， a b = - | a | | b | 特別地特別地aaaaaa |2或或（4） | a b | | a | | b |（2 2）ab a b=0 ( (判斷兩向量垂直的依據(jù)判斷兩向量垂直的依據(jù)) ) （3）|cosbaba (用于求兩個向量的夾角）用于求兩個向量的夾角）注意

5、注意2aaa數(shù)量積的性質(zhì)：數(shù)量積的性質(zhì)：性質(zhì)的主要應(yīng)用性質(zhì)的主要應(yīng)用: (1)求模（求模（2）求夾角（）求夾角（3）解垂直問題）解垂直問題數(shù)量積的運算律數(shù)量積的運算律)()()(bababa（2）交換律）(abba（1）分配律）()(cabacba（3）想一想：向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律嗎？想一想：向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律嗎？)()(cbacba 即：即：成立嗎？成立嗎？例例2.2.求證：求證：2222)(bbaaba22)()(bababa（一）數(shù)量積的有關(guān)運算（一）數(shù)量積的有關(guān)運算例例3（二）模的運算問題（二）模的運算問題0.:13523,2ababa b abab 例4 已知 向量 與 夾角為

6、，求，變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練| 3 | 4 ()abab已知，且與不共線 ，？互相垂直互相垂直與與向量向量，為何值時為何值時bkabkak 例例4.互相垂直的條件是與解：bkabka0）（）（bkabka0222bka即164, 932222ba4301692kk互相垂直與時，也就是說，當(dāng)bkabkak43( (二二) )與垂直有關(guān)的問題與垂直有關(guān)的問題( (四）四）夾角的運算問題夾角的運算問題.| 12 | 954 22aba bababab 例6 設(shè)， （1）求 與 的夾角 ； （ ）求與的夾角的余弦值；變式訓(xùn)練：變式訓(xùn)練：的夾角與求已知bababa,37, 3, 4（1）00 a（3）（4）若）若 ，則對于任一非零，則對于任一非零 有有0ab0 ba00 a（2）|baba（5）若）若 ，則，則 至少有一個為至少有一個為0 baba、 （6）對于任意向量）對于任意向量 都有都有cba 、）（）（cbacba （7） 是兩個單位向量，則是兩個單位向量，則ba與22ba