第二章力系的簡化分析

1、2021年10月12日理論力學(xué)教案1第二章 力系的簡化 2.1 匯交力系匯交力系 各力的作用線都匯交于一點的力系。2021年10月12日理論力學(xué)教案2工程結(jié)構(gòu)中的匯交力系2021年10月12日理論力學(xué)教案31. 匯交力系的簡化匯交力系的簡化幾何法1F2F3F4F力多邊形力多邊形1RF2RFF3F4FA1F2FF封閉邊代表合力2021年10月12日理論力學(xué)教案4 可用力多 邊形方法求合力。即：合力等于各分力的矢量和inFFFFFF321 n 個力的力多邊形2021年10月12日理論力學(xué)教案5 由于 代入上式kjiFiziyixiFFFkjiFiziyixFFFixxFFiyyFFizzFF合力投

2、影定理合力投影定理： 匯交力系的合力在任一軸上的投影， 等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。合力分析法2021年10月12日理論力學(xué)教案6 定理定理：匯交力系的合力對任一點的矩，等于所有各分力匯交力系的合力對任一點的矩，等于所有各分力 對同一點的矩的矢量和。對同一點的矩的矢量和。2. 2. 合力之矩定理合力之矩定理()()nOOii=1=MFMF2021年10月12日理論力學(xué)教案7例 2.1 設(shè)例1.3討論的槽形架在點A，B處分別受對稱分布的傾斜角為 的力F1和F2的作用，F(xiàn)1和F2的模均為F，尺寸如圖示。求此力系對Oz軸的力矩。解:F1和F2匯交于點C，其合力F = F1 + F2 沿垂直方向

3、。利用合力之矩定理算出此力系對Oz軸的力矩為21)()(iOziOzFMFM)2(sin2baF2021年10月12日理論力學(xué)教案82.2 平行力系2021年10月12日理論力學(xué)教案9 兩個同向平行力的合力兩個同向平行力的合力()()CCMFMFCBFACF21FA CC BF1. 兩個平行力的簡化兩個平行力的簡化方向：平行于方向：平行于F1 、F2，F(xiàn)1F2AB大?。捍笮。篎 = F1+ F2合力作用點合力作用點C由合力矩定理確定由合力矩定理確定CF2021年10月12日理論力學(xué)教案10 兩個反向平行力的合力兩個反向平行力的合力 (F1 F2 )方向：平行于方向：平行于F1 、F2 ，合力在

4、較大的力一邊。合力在較大的力一邊。大小：大?。汉狭Φ淖饔命c合力的作用點C由合力矩定理由合力矩定理確定確定21FA CC BFF = F1 - F2合力的作用點合力的作用點C 稱為稱為平行力系的力心平行力系的力心。ABF1F2()()CCMFMFFC2021年10月12日理論力學(xué)教案112.2.平行力系的簡化平行力系的簡化 當(dāng)力系平行于當(dāng)力系平行于Z 軸時：軸時： iFFizzFF 平行力系，當(dāng)它有合力時，合力的作用點C 就是平行平行力系的力心力系的力心。 一般情況下簡化為一個合力一般情況下簡化為一個合力2021年10月12日理論力學(xué)教案12CCC 性質(zhì)：平行力系力心位置與各平行力系的方向無關(guān)。

5、性質(zhì)：平行力系力心位置與各平行力系的方向無關(guān)。2021年10月12日理論力學(xué)教案13FzFzFyFyFxFxiiCiiCiiC , , :投影式力系的力心位置力系的力心位置: :iinnCirrrrFFFFrFF矢量式：矢量式：由合力矩定理：( )( )ooiM FM FnnCFrFrFrFr 22112021年10月12日理論力學(xué)教案14平行力系的簡化在工程中的具體應(yīng)用之一是計算物體重心。平行力系的簡化在工程中的具體應(yīng)用之一是計算物體重心。 3. 重心重心重心的應(yīng)用2021年10月12日理論力學(xué)教案15偏心電機2021年10月12日理論力學(xué)教案16各類工程對象的重心2021年10月12日理論

6、力學(xué)教案172021年10月12日理論力學(xué)教案18CiiW xW xWWzzWWyyWWxxiCiCiC,1、分割法、分割法：重心的計算重心的計算物體分割的越多，每一小部分體積越小，求得的重心位置就越準(zhǔn)確。在極限情況下，(n)，常用積分法求物體的重心位置。2021年10月12日理論力學(xué)教案19dVdVdV,VVVCCCxyzxyzWWW 設(shè) W i 表示第i個小部分的重量， Vi 第i個小體積，則 代入上式并取極限，可得：iiiVWdVVW式中 ，上式為重心重心C 坐標(biāo)的精確公式坐標(biāo)的精確公式。2021年10月12日理論力學(xué)教案20對于均質(zhì)物體，對于均質(zhì)物體，比重比重 = 恒量，上式成為：恒量

7、，上式成為：,VVVCCCx dVy dVz dVxyzVVV 重心的位置完全取決于物體的幾何形狀，故重心的位置完全取決于物體的幾何形狀，故又稱為物體的形心。又稱為物體的形心。2021年10月12日理論力學(xué)教案21 同理：均質(zhì)體，均質(zhì)板，均質(zhì)細桿的同理：均質(zhì)體，均質(zhì)板，均質(zhì)細桿的形心公式形心公式 為：為：VzVzVyVyVxVxiiCiiCiiC,:均質(zhì)體AzAzAyAyAxAxiiCiiCiiC,:均質(zhì)板lzlzlylylxlxiiCiiCiiC,:均質(zhì)細桿2021年10月12日理論力學(xué)教案22WzWzWyWyWxWxiiCiiCiiC,若以Wi= mig , W= mg 代入上式可得 質(zhì)心

8、公式質(zhì)心公式mzmzmymymxmxiiCiiCiiC,2021年10月12日理論力學(xué)教案23解解：由于對稱關(guān)系，該圓弧重心在Ox軸，即yC=0。取微段ddLRcos ddLCRx LxLR sinRxC例例 求半徑為R，頂角為2 的均質(zhì)圓弧的重心。O cosxR2021年10月12日理論力學(xué)教案24 組合形體的重心組合形體的重心2021年10月12日理論力學(xué)教案25 組合形體的重心組合形體的重心2021年10月12日理論力學(xué)教案26圓板半徑為R,等邊三角形邊長為R摳去 組合形體的重心組合形體的重心2021年10月12日理論力學(xué)教案27例：試確定由九根均質(zhì)桿組成的桁架的重心位置。解:由圖知CE

9、 = CH = AE = HB ,每根桿重設(shè)為P，則受力如圖，建立坐標(biāo)系，由對稱知xc=AD。)aPPaPaPPPPyPyiiiC443. 02364222224022iiCW yyW2021年10月12日理論力學(xué)教案28. cmiiCA yA yA yyAAA 解解：2 2180cm , cmAAR 求圖示拱形門的重心？求圖示拱形門的重心？分割法分割法cm cmRy,y() 2021年10月12日理論力學(xué)教案29 均質(zhì)梯形薄板ABCE，在A處用細繩懸掛。今欲使AB邊保持水平，則需在正方形ABCD的中心挖去一個圓形薄板。試求圓形薄板的半徑。 32ar 2021年10月12日理論力學(xué)教案30Fq

10、W重力壩的重心重力壩的重心簡化模型2021年10月12日理論力學(xué)教案31不規(guī)則物體求重心的實驗法：不規(guī)則物體求重心的實驗法：重心在懸線連線上（1） 懸掛法2021年10月12日理論力學(xué)教案32（2） 稱重法稱重法見例4.7不規(guī)則物體求重心的實驗法：不規(guī)則物體求重心的實驗法：2021年10月12日理論力學(xué)教案332.3 力偶及力偶系1.力偶力偶兩力大小相等，作用線不重合的反向平行力叫力偶。力偶既沒有合力，本身又不平衡，是一個基本力學(xué)量。力偶既沒有合力，本身又不平衡，是一個基本力學(xué)量。合力 R=F-F=01FFCACBCBdCBCA必有成立若,合力的作用點在無限遠處.2021年10月12日理論力學(xué)

11、教案34工程中的力偶實例工程中的力偶實例2021年10月12日理論力學(xué)教案35工程中的力偶實例工程中的力偶實例2021年10月12日理論力學(xué)教案36工程中的力偶實例2021年10月12日理論力學(xué)教案37 由于空間力偶除大小、轉(zhuǎn)向外，還要確定力偶的作用面，所以空間力偶矩必須用矢量表示。力偶矩矢量力偶矩矢量力偶的轉(zhuǎn)向為右手螺旋定則。從力偶矢末端看去，逆時針轉(zhuǎn)動為正。2021年10月12日理論力學(xué)教案38力偶矩矢量的計算力偶矩矢量的計算)FrFrrFrFrFrFrBABABAFrM力偶對任意點之矩等于力偶矩，與矩心無關(guān)。FhFrM2021年10月12日理論力學(xué)教案39力偶矩是自由矢量力偶矩是自由矢量

12、，它有三個要素：3. 轉(zhuǎn)向遵循右手螺旋規(guī)則。1. 力偶矩的大小=M=F h；2. 力偶作用面；2021年10月12日理論力學(xué)教案40力偶的等效定理力偶的等效定理 作用在同一剛體的兩平行平面的兩個力偶，若它們的轉(zhuǎn)向相作用在同一剛體的兩平行平面的兩個力偶，若它們的轉(zhuǎn)向相同，力偶矩的大小相等，則兩個力偶等效。同，力偶矩的大小相等，則兩個力偶等效。力偶矩矢相同力偶矩矢相同2021年10月12日理論力學(xué)教案41力偶系中的所有力偶可以合成一合力偶，合力偶矩為nii1MMkjiMkjiMiziyixizyxMMMMMMniizzniiyyniixxMMMMMM111,2. 力偶系力偶系 由于空間力偶系是自由

13、矢量，只要方向不變，可移至任意一點，故可使其滑至匯交于某點，由于是矢量，它的合成符合矢量運算法則。2021年10月12日理論力學(xué)教案42空間力偶系2021年10月12日理論力學(xué)教案43 例：例：在一鉆床上水平放置工件,在工件上同時鉆四個等直徑 的孔,每個鉆頭的力偶矩為 求工件的總切削力偶矩？ 123415N mMMMM)1234 41560N mMMMMM 解解: 各力偶的合力偶矩為2021年10月12日理論力學(xué)教案44 工件如圖所示，它的工件如圖所示，它的四個面上同時鉆四個孔，四個面上同時鉆四個孔，每個孔所受的切削力偶每個孔所受的切削力偶矩均為矩均為60 Nm。求工件。求工件所受合力偶矩矢在

14、所受合力偶矩矢在x，y，z軸上的投影軸上的投影Mx，My，Mz及它的大小。它的大小。2021年10月12日理論力學(xué)教案45四個力偶的四個力偶的合力偶矩矢合力偶矩矢在坐標(biāo)軸上的投影在坐標(biāo)軸上的投影mN 85.8445 cosmN 60mN 85.8445 cos41243MMMMMMMMzyx可得可得mN 16.134222zyxMMMM所以合力偶矩矢的大小所以合力偶矩矢的大小解：解：2021年10月12日理論力學(xué)教案46 2.3 空間一般力系nFFFF321, 作用在剛體上的力成任意分布,稱空間一般力系。2021年10月12日理論力學(xué)教案47作用在剛體上的空間一般力系2021年10月12日理論

15、力學(xué)教案481. 力作用線的平移 把作用在平板上把作用在平板上A點的力點的力 F 平行移到平行移到任任一點一點B，但必但必須同時附加一個力偶。這個力偶須同時附加一個力偶。這個力偶 的矩等于原來的力的矩等于原來的力 F 對對新作用點新作用點B的矩。的矩。），力偶（力FFF 證證 力力FBFrABFrFF”ABFF”AM = r FFFF ,力系力系2021年10月12日理論力學(xué)教案49逆過程逆過程 一個力與一個力偶，如果力矢量與力偶矩矢量如果力矢量與力偶矩矢量相互垂直相互垂直，則可合成為一個合力，大小與原力大小相同，但作用線平移：2F MFr)rFrFMFFrM2FFMrF證：2222FFFFF

16、MFMrr2021年10月12日理論力學(xué)教案502. 力系的主矢和主矩2021年10月12日理論力學(xué)教案51niinii11FFF)nniOiiiMMMF主矢主矢主矩主矩將力系諸力平移到O點，相應(yīng)地附加一力偶，匯交力系nFFF,21力偶系nMMM,212021年10月12日理論力學(xué)教案52Poinsot(布安索布安索)簡化簡化 力系在一般情況下可以簡化為在任意選定的簡化中心力系在一般情況下可以簡化為在任意選定的簡化中心上作用的一個力和一個力偶，該力矢量等于力系的主矢，上作用的一個力和一個力偶，該力矢量等于力系的主矢，該力偶的力偶矩等于力系關(guān)于簡化中心的主矩。該力偶的力偶矩等于力系關(guān)于簡化中心的

17、主矩。nii1FF)nOiiMMFFM2021年10月12日理論力學(xué)教案53主矢和主矩的性質(zhì)主矢和主矩的性質(zhì)力系無論向何點簡化，主矢是一個不變量nii1FF力系關(guān)于不同點的主矩有如下關(guān)系)MFrFrFrFrrFrM 0110101niiiniiniiiniiiooAiFirOririoorOFMF M 力系第一不變量力系第一不變量?2021年10月12日理論力學(xué)教案54力系的第二個不變量力系的第二個不變量O MrFM)OF MFrFMF M主矢與主矩的點積也是一個不變量，與簡化中心無關(guān)。ooFrOMF M 2021年10月12日理論力學(xué)教案553. 合力矩定理( )()nOOOiiMMFMF(

18、 )()nOOiiMFMF0OM當(dāng)主矩為零（ ）時,上式簡化為力系關(guān)于不同點的主矩有如下關(guān)系主失主失合力合力ooAiFirOririFMo合力合力2021年10月12日理論力學(xué)教案56合力矩定理合力矩定理 - Varignon( (伐里農(nóng)伐里農(nóng)) )定理定理若力系主矩為若力系主矩為零零( )()nOOiiMFMF空間一般力系諸力對任意點的矩矢量等于該力系的空間一般力系諸力對任意點的矩矢量等于該力系的合力對同一點之矩。合力對同一點之矩。2021年10月12日理論力學(xué)教案57例：(i)求圖示力系對A點的簡化結(jié)果； (ii)圖示力系對O點的力矩之和。N,N m,m,. mFFMlb )NiiFF F

19、Fijij0321kMMlFlFAN mOb Mi Fk主矢主矩合力矩定理得：力系對A點的簡化結(jié)果為一個力。一個力。Mo2021年10月12日理論力學(xué)教案58例：路燈在自重例：路燈在自重W=100N、風(fēng)載、風(fēng)載F=20N及拉力及拉力FP、FQ的作用下，的作用下，其合力通過其合力通過O點。點。試求：拉力試求：拉力FP、FQ的大小的大小 。)2222222514251425142514.kj.iF.kj.iFQPQPFFN 20 N 100jFkW寫出各力的 坐標(biāo)表達式2021年10月12日理論力學(xué)教案59)010062514420222.:QPyFFM. N. NPQFF )0620251445

20、10222.:PQzFFM合力矩定理合力矩定理兩個獨立方程解兩個未知量2021年10月12日理論力學(xué)教案60例：在正方形ABCD中，已知：力F1=4N，F(xiàn)2=2N，F(xiàn)3=1N，F(xiàn)4=2N，a =1m，試求此力系向向A處處的簡化結(jié)果簡化結(jié)果。 N31431RFFFFxxN42242RFFFFyyR34Fij主矢主矩)233N mAMFF a力系向A處的簡化結(jié)果為一主矢和一主矩。2021年10月12日理論力學(xué)教案614. 力系的簡化結(jié)果nii1FF)nOiiMMF0, 0MF0, 0MF0, 0MF0, 0MF平衡力系：合力：合力偶：一般情況：進一步簡化：分兩種情況討論2021年10月12日理論力

21、學(xué)教案620, 0MF力系的進一步簡化(i) 若F與M相互垂直， ，最終可簡化為一合力最終可簡化為一合力。合力作用點位置為0MF2FMFrFMrF2021年10月12日理論力學(xué)教案63時圖形上分析MF 將 M 變成( F , ,F )使 F 與 F抵消只剩下F 。FMr 2021年10月12日理論力學(xué)教案64(ii)若 時， 簡化為為力螺旋力螺旋 。 MF /2021年10月12日理論力學(xué)教案65力螺旋的實例左力螺旋左力螺旋2021年10月12日理論力學(xué)教案66力螺旋的實例2021年10月12日理論力學(xué)教案67(iii) 當(dāng)F 與與 M ，成一般的任意角 時： ，由不變量 ，得到力系不存在單獨的合力。0MFMFMF FMrM MFM2FMFr 簡化結(jié)果為力螺旋力螺旋0MF右力螺旋0MF左力螺旋2021年10月12日理論力學(xué)教案68所以在O點處形成一個力螺旋點處形成一個力螺旋。當(dāng)F 與與 MO，成一般的任意角 時圖形上分析： 在此種情況下，首先把MO 分解為M 和M 。M和 F 垂直，簡化為一個力 F ， F 與M組成力螺旋