現(xiàn)代控制理論狀態(tài)空間法

1、現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第一章第一章 狀態(tài)空間法狀態(tài)空間法一一. .問題的引出問題的引出 1 -1 -古典控制理論的局限性古典控制理論的局限性 1 1、僅適用于、僅適用于SISOSISO的線性定常系統(tǒng)的線性定常系統(tǒng)( (外部描述外部描述，時不變系統(tǒng)，時不變系統(tǒng)) ) 2 2、古典控制理論本質(zhì)上是復(fù)頻域的方法、古典控制理論本質(zhì)上是復(fù)頻域的方法.(.(理理論論) ) 3 3、設(shè)計(jì)是建立在試探的基礎(chǔ)上的、設(shè)計(jì)是建立在試探的基礎(chǔ)上的.(.(應(yīng)用應(yīng)用) ) 4 4、系統(tǒng)在初始條件為零、系統(tǒng)在初始條件為零, ,或初始松馳條件下或初始松馳條件下, ,才能采用傳遞函數(shù)才能采用傳遞函數(shù). .控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描

2、述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述而實(shí)際上大多數(shù)系統(tǒng)表現(xiàn)為而實(shí)際上大多數(shù)系統(tǒng)表現(xiàn)為: : 1 1、多輸入，多輸出、多輸入，多輸出. .（抽象定義，系統(tǒng)具有（抽象定義，系統(tǒng)具有合格性）合格性） 2 2、時變、時變. .（總是可找到一些參數(shù)是隨時間變（總是可找到一些參數(shù)是隨時間變化的）化的） 3 3、非線性、非線性. .（泛指運(yùn)動本身的非線性特征）（泛指運(yùn)動本身的非線性特征） 4 4、復(fù)雜性，復(fù)雜任務(wù)和高精度、復(fù)雜性，復(fù)雜任務(wù)和高精度. . 因此古典控制理論解決問題受到限制因此古典控制理論解決問題受到限制, ,需要尋找需要尋找新的解決方法新的解決方法. .這種方法或理論應(yīng)要求這種方法或理論應(yīng)要求: : 1

3、1、描述多輸入、描述多輸入/ /輸出復(fù)雜系統(tǒng)的方法和理論基輸出復(fù)雜系統(tǒng)的方法和理論基礎(chǔ)礎(chǔ). . 2 2、具有可計(jì)算的形式、具有可計(jì)算的形式. . 3 3、解析式設(shè)計(jì)、解析式設(shè)計(jì) 4 4、能描述系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)和終端行為、能描述系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)和終端行為( (內(nèi)部描述內(nèi)部描述).). 5 5、系統(tǒng)、系統(tǒng)t=0t=0松馳狀態(tài)松馳狀態(tài), ,非松馳狀態(tài)非松馳狀態(tài), ,或非線性時或非線性時變等情況下的適用性變等情況下的適用性. . 結(jié)論結(jié)論 -對研究內(nèi)容的界定和限制對研究內(nèi)容的界定和限制 所以對于一個多輸入所以對于一個多輸入/ /輸出系統(tǒng)來說輸出系統(tǒng)來說: : 1 1、采用在時域內(nèi)進(jìn)行建模，且由于是對實(shí)際、采用

4、在時域內(nèi)進(jìn)行建模，且由于是對實(shí)際物理系統(tǒng)進(jìn)行模型描述，因而模型中的所有變量物理系統(tǒng)進(jìn)行模型描述，因而模型中的所有變量和函數(shù)均假定為實(shí)數(shù)和函數(shù)均假定為實(shí)數(shù) 。nxR 2 2、數(shù)學(xué)描述的主要手段是微分方程，并應(yīng)充、數(shù)學(xué)描述的主要手段是微分方程，并應(yīng)充分利用系統(tǒng)的內(nèi)部描述法來建立微分方程，以充分分利用系統(tǒng)的內(nèi)部描述法來建立微分方程，以充分表述系統(tǒng)的內(nèi)部特性表述系統(tǒng)的內(nèi)部特性. . 3 3、適用于非初始松馳或非零初始條件的系統(tǒng)、適用于非初始松馳或非零初始條件的系統(tǒng)狀態(tài)狀態(tài). . 4 4、主要研究線性連續(xù)時不變系統(tǒng)、主要研究線性連續(xù)時不變系統(tǒng). .二二. .問題的引出問題的引出 2 -2 -狀態(tài)空間分析

5、方法狀態(tài)空間分析方法 通過一個實(shí)例引出狀態(tài)空間分析方法的基本概通過一個實(shí)例引出狀態(tài)空間分析方法的基本概念念. . 例例: :設(shè)有如圖所示網(wǎng)絡(luò)設(shè)有如圖所示網(wǎng)絡(luò) 顯然顯然, ,若流經(jīng)電感的初始電流及電容兩端的初始若流經(jīng)電感的初始電流及電容兩端的初始電壓已知電壓已知, ,則在任何電壓驅(qū)動下則在任何電壓驅(qū)動下, ,網(wǎng)絡(luò)的行為能唯一網(wǎng)絡(luò)的行為能唯一地確定。地確定。 從從u u到到y(tǒng) y的網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)求得為的網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)求得為: : (1) 故該網(wǎng)絡(luò)的脈沖響應(yīng)為故該網(wǎng)絡(luò)的脈沖響應(yīng)為: :(1) 2( )(1)(2)g sss2( )22ttg tee 現(xiàn)將輸入電壓現(xiàn)將輸入電壓u ,)u ,)施加于網(wǎng)絡(luò)施加

6、于網(wǎng)絡(luò), ,且網(wǎng)絡(luò)設(shè)定且網(wǎng)絡(luò)設(shè)定為時不變的為時不變的. . (1) (1)若在若在 時刻系統(tǒng)是松馳的時刻系統(tǒng)是松馳的, ,則其輸出為則其輸出為: : (2) (2)(2)若在若在 時刻非松馳（時刻非松馳（ 前有輸入，系統(tǒng)有能量儲前有輸入，系統(tǒng)有能量儲存），則系統(tǒng)輸出為存），則系統(tǒng)輸出為: : (3) 0t0t0t0t0( )() ( )tty tg tud0(t ) t00( )() ( )() ( )() ( )tttty tg tudg tudg tud 顯然在顯然在 以前施加于系統(tǒng)的輸入能通過電容和以前施加于系統(tǒng)的輸入能通過電容和電感的能量存儲對電感的能量存儲對 之后的輸出產(chǎn)生影響之后的

7、輸出產(chǎn)生影響. . 現(xiàn)在我們考慮由未知輸入現(xiàn)在我們考慮由未知輸入u(-, u(-, 對對y ,)y ,)的影響的影響, ,即即: : （4） 0t0t0t0t00,)() ( )(1)ty tg tud 代入式0222122() ( )22ttttteeude cec 其中其中: : 注意到注意到 和和 與與t t無關(guān)無關(guān), ,因此如果因此如果 和和 已已知知, ,則由未知的輸入則由未知的輸入u(-, u(-, 引起的在引起的在t t 之之后的輸出就完全可以確定。后的輸出就完全可以確定。00212( ),( )ttce udceud1c2c2c1c0t0t由式（由式（3 3）得到）得到 并利用

8、式（并利用式（4 4）的結(jié)果，得）的結(jié)果，得 （5） ( )y t002012( )22tty tecec對式對式(3)(3)取關(guān)于取關(guān)于t t的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù), ,并利用并利用00() ( )() ( )() ( )tttttdg tudg tudg tudtt得到得到: :連同連同g(0)=0,g(0)=0,就意味著有就意味著有(6)(6)聯(lián)立式聯(lián)立式(5)(5)和式和式(6),(6),得到得到 0212( )24(0) ( )() ( )tttty te cecgu tg tudt 01000.52 ( )( )tcey ty t 022000.5 ( )( )tcey ty t 00201

9、2( )24tty tecec 從而若網(wǎng)絡(luò)在從而若網(wǎng)絡(luò)在 時刻非松馳則輸出由下式給出時刻非松馳則輸出由下式給出: : 結(jié)論結(jié)論: :若若 和和 已知已知( ( 時刻系統(tǒng)的一種狀態(tài)時刻系統(tǒng)的一種狀態(tài)),),即使網(wǎng)絡(luò)在即使網(wǎng)絡(luò)在 時刻非松馳時刻非松馳, ,它在它在t t u ,) u ,) 之后的輸出也能唯一的被確定之后的輸出也能唯一的被確定. .顯然是由顯然是由 和和 ，u ,)u ,)共同唯一地確定共同唯一地確定. .000()2()0000( )2 ( )( ) ( )( )() ( )tt tt tty ty ty tey ty teg tud0(t ) t0( )y t0( )y t0t

10、0t0t0( )y t0( )y t0t0t0t因此因此 和和 可以作為網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)可以作為網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài), ,同樣也可用同樣也可用 和和 作為網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)作為網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài), ,而這兩組數(shù)的原函數(shù)是微分而這兩組數(shù)的原函數(shù)是微分方程的變量方程的變量. .從例子中也可以看出來從例子中也可以看出來, ,在無限區(qū)間在無限區(qū)間(-, (-, 上上的輸入的輸入, ,其作用效果已綜合在其作用效果已綜合在 , , 和和 , , 兩個數(shù)中兩個數(shù)中, ,因此狀態(tài)概念非常有意義和有因此狀態(tài)概念非常有意義和有效效. .0( )y t0( )y t1c2c0t0( )y t0( )y t1c2c從上述例子可得到如下結(jié)論: 1 1

11、、系統(tǒng)狀態(tài)不是唯一的、系統(tǒng)狀態(tài)不是唯一的. . 2 2、狀態(tài)的選擇與物理量有關(guān)、狀態(tài)的選擇與物理量有關(guān), ,一般應(yīng)該是相互一般應(yīng)該是相互 獨(dú)立的儲能元件的物理量獨(dú)立的儲能元件的物理量. . 3 3、每一瞬時的狀態(tài)可以是僅由有限個數(shù)的集合、每一瞬時的狀態(tài)可以是僅由有限個數(shù)的集合組成組成. . 定義定義1.1.狀態(tài)狀態(tài) 系統(tǒng)在時刻系統(tǒng)在時刻 的狀態(tài)乃是時刻的狀態(tài)乃是時刻 的一種信息量的一種信息量, ,它與輸入它與輸入u ,)u ,)唯一地確定系統(tǒng)唯一地確定系統(tǒng)t t 時的行為。時的行為。 注：系統(tǒng)行為指包括狀態(tài)在內(nèi)的系統(tǒng)的所有響應(yīng)。注：系統(tǒng)行為指包括狀態(tài)在內(nèi)的系統(tǒng)的所有響應(yīng)。 狀態(tài)即指某一時刻的狀

12、態(tài)即指某一時刻的, ,可以表征系統(tǒng)特征或行為的可以表征系統(tǒng)特征或行為的數(shù)。而該數(shù)的原函數(shù)則可稱為狀態(tài)變量數(shù)。而該數(shù)的原函數(shù)則可稱為狀態(tài)變量, ,而這種函數(shù)而這種函數(shù)不但可以描述某一時刻的行為，并可在不但可以描述某一時刻的行為，并可在 ,) ,)內(nèi)描內(nèi)描述行為述行為, ,為此定義狀態(tài)變量是為此定義狀態(tài)變量是: :0t0t0t0t0t 定義定義2.2.狀態(tài)變量狀態(tài)變量 狀態(tài)變量是確定系統(tǒng)狀態(tài)的最小一組變量狀態(tài)變量是確定系統(tǒng)狀態(tài)的最小一組變量, ,如果以如果以最少的最少的n n個變量個變量 可以完全描述系統(tǒng)的行為可以完全描述系統(tǒng)的行為 ( (即當(dāng)即當(dāng)t t 時輸入和時輸入和在在t= t= 初始狀態(tài)給

13、定后初始狀態(tài)給定后, ,系統(tǒng)的狀態(tài)完全可以確定系統(tǒng)的狀態(tài)完全可以確定),),那么那么 是一組狀態(tài)變量是一組狀態(tài)變量. .12( ),( ),( )nx txtxt0t0t12( ),( ),( )nx txtxt 定義定義3.3.狀態(tài)向量（有限個數(shù)的狀態(tài)變量的集合）狀態(tài)向量（有限個數(shù)的狀態(tài)變量的集合） 如果將狀態(tài)變量如果將狀態(tài)變量 作為向量作為向量x(t)x(t)的各個分量的各個分量, ,則稱則稱x(t)x(t)為狀態(tài)向量為狀態(tài)向量, ,一旦給定一旦給定 時刻的狀態(tài)向量時刻的狀態(tài)向量, , 則它與輸入則它與輸入u ,)u ,)唯一地確唯一地確定系統(tǒng)在定系統(tǒng)在 時的狀態(tài)時的狀態(tài)x(t)x(t)。

14、12( ),( ),( )nx tx tx t0t0tt0t 定義定義4.4.狀態(tài)空間狀態(tài)空間 若狀態(tài)向量若狀態(tài)向量x(t),x(t),可唯一地由可唯一地由 空間中一組規(guī)范空間中一組規(guī)范正交基底正交基底( (單位坐標(biāo)向量單位坐標(biāo)向量) )線性組合表示線性組合表示, ,則狀態(tài)向則狀態(tài)向量量x(t)x(t)是是n n維狀態(tài)空間維狀態(tài)空間( ,n)( ,n)中的一個向量中的一個向量, ,所有所有狀態(tài)向量狀態(tài)向量x(t)x(t)集合組成集合組成n n維的狀態(tài)空間維的狀態(tài)空間( ,n)( ,n) 或定義為或定義為: : 通常狀態(tài)變量均為有實(shí)際意義的實(shí)通常狀態(tài)變量均為有實(shí)際意義的實(shí)數(shù)值數(shù)值, ,因此狀態(tài)向

15、量的取值空間是有限維實(shí)向量空因此狀態(tài)向量的取值空間是有限維實(shí)向量空間間, ,稱為狀態(tài)空間。稱為狀態(tài)空間。nRnRnR 總結(jié)總結(jié): : (1)(1)根據(jù)狀態(tài)變量的定義根據(jù)狀態(tài)變量的定義, ,狀態(tài)變量應(yīng)選取系統(tǒng)中狀態(tài)變量應(yīng)選取系統(tǒng)中相互獨(dú)立儲能元件的物理量相互獨(dú)立儲能元件的物理量, ,獨(dú)立儲能元件的個數(shù)獨(dú)立儲能元件的個數(shù)即為狀態(tài)變量個數(shù)即為狀態(tài)變量個數(shù). . (2) (2)狀態(tài)變量選取不唯一狀態(tài)變量選取不唯一, ,有時選取狀態(tài)變量僅有時選取狀態(tài)變量僅為數(shù)學(xué)描述所需為數(shù)學(xué)描述所需, ,而非明確的物理意義。而非明確的物理意義。 (3)(3)狀態(tài)變量是系統(tǒng)的內(nèi)部變量狀態(tài)變量是系統(tǒng)的內(nèi)部變量, ,一般情況

16、下輸出一般情況下輸出是狀態(tài)的函數(shù)是狀態(tài)的函數(shù), ,但輸出總是希望可量測的。但輸出總是希望可量測的。 (4)(4)僅討論有限個狀態(tài)變量的系統(tǒng)。僅討論有限個狀態(tài)變量的系統(tǒng)。 (5)(5)有限個數(shù)的狀態(tài)變量的集合有限個數(shù)的狀態(tài)變量的集合, ,稱為狀態(tài)向量。稱為狀態(tài)向量。 (6)(6)狀態(tài)向量的取值空間稱為狀態(tài)空間。狀態(tài)向量的取值空間稱為狀態(tài)空間。 例例2,2,設(shè)下圖的設(shè)下圖的RLCRLC網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò), ,如果電流如果電流 , ,電容電壓電容電壓 的初始值和的初始值和 時的輸入電壓均已知時的輸入電壓均已知, ,則則 時網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)完全由時網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)完全由 , , 確定確定. .因此因此可將可將 和和 作為這

17、個系統(tǒng)的一組狀態(tài)變量作為這個系統(tǒng)的一組狀態(tài)變量. .0( )i t0tt0tt0( )cu t( )cu t( )cu t( )i t( )i t ( (注意注意: :這個系統(tǒng)這個系統(tǒng), ,也可將也可將 (t)(t)和和R R* *i(t)i(t)選為選為一組狀態(tài)變量一組狀態(tài)變量) ) 設(shè)設(shè)i(t)i(t)和和 (t)(t)作為一組狀態(tài)向量作為一組狀態(tài)向量, ,則描述則描述系統(tǒng)的動力學(xué)方程系統(tǒng)的動力學(xué)方程: :cucuccdiLRiuudtduCidt用向量矩陣形式表示用向量矩陣形式表示, ,則上述方程可表示為則上述方程可表示為: : (1) (1) 若設(shè)若設(shè) , ,則上式可簡化為則上式可簡化

18、為: : 11100ccRiidLLuLuudtCTcxiuxAxBu110RLLAC 10BL , 當(dāng)輸出選定后當(dāng)輸出選定后, ,則可以量測的輸出則可以量測的輸出, ,總是可以通總是可以通過狀態(tài)變量和輸入的線性組合得到過狀態(tài)變量和輸入的線性組合得到. . y=Cx+Du (2) 此例中此例中 D=0, ,D=0, ,即即1xi2cxu2yx1201xyx 由此，我們可以得出，現(xiàn)代控制理論或狀態(tài)空由此，我們可以得出，現(xiàn)代控制理論或狀態(tài)空間分析方法是建立在系統(tǒng)采用有限個一階微分間分析方法是建立在系統(tǒng)采用有限個一階微分方程描述的基礎(chǔ)上，而有限個一階微分方程組方程描述的基礎(chǔ)上，而有限個一階微分方程組

19、成了向量成了向量矩陣方程，因而從本質(zhì)上來說，現(xiàn)矩陣方程，因而從本質(zhì)上來說，現(xiàn)代控制理論的分析方法是時域分析方法代控制理論的分析方法是時域分析方法. .控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述-線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式達(dá)式 狀態(tài)空間表達(dá)式是描述系統(tǒng)行為的數(shù)學(xué)模型狀態(tài)空間表達(dá)式是描述系統(tǒng)行為的數(shù)學(xué)模型, ,它包括它包括狀態(tài)方程和輸出方程狀態(tài)方程和輸出方程, ,狀態(tài)方程由有限個一階微分方狀態(tài)方程由有限個一階微分方程組成程組成, ,而輸出方程則是狀態(tài)向量和輸入的函數(shù)而輸出方程則是狀態(tài)向量和輸入的函數(shù). .1.1.狀態(tài)方程狀態(tài)方程 x(t)是n1維向量, A(t)是nn維向量,

20、B(t)是nr維向量, u(t)是r1維向量,1( )nx tR( )n nA tR( )n rB tR1( )ru tR( )( ) ( )( ) ( )x tA t x tB t u t(1)(1)如果是線性定常系統(tǒng)如果是線性定常系統(tǒng), ,則則 是常系數(shù)矩陣是常系數(shù)矩陣, ,則狀態(tài)方程可寫為則狀態(tài)方程可寫為: :(2)(2)如果是單輸入系統(tǒng)如果是單輸入系統(tǒng), ,則則 狀態(tài)方程描述了狀態(tài)方程描述了 時刻的狀態(tài)時刻的狀態(tài) 和輸入和輸入 所決定的系統(tǒng)在所決定的系統(tǒng)在 的行為的行為. .( ),( )A tA B tB( )( )( )x tAx tBu t1( )nx tRn rBRn nAR1

21、( )ru tR1 1( )u tRR( )( )( )x tAx tBu tn nAR1nBR0t0( )x t0( ,)u t 0tt2.2.輸出方程輸出方程 輸出方程是在指定輸出變量情況下輸出方程是在指定輸出變量情況下,(,(輸出變量輸出變量往往是選取可以量測的物理量往往是選取可以量測的物理量) )其輸出變量與其輸出變量與狀態(tài)變量以及輸入變量之間的關(guān)系狀態(tài)變量以及輸入變量之間的關(guān)系. . 用用 其中其中: : 是是m m1 1維向量維向量, , , 是是m mn n維向量維向量, , , 是是m mr r維向量維向量, , ,( )( ) ( )( ) ( )y tC t x tD t

22、u t( )y t( )C t( )D t1( )my tR( )m nC tR( )m rD tR 3.3.狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)空間表達(dá)式 1)1)線性時變系統(tǒng)線性時變系統(tǒng): : 2) 2)線性時不變系統(tǒng)線性時不變系統(tǒng): : 在通常情況下，大多數(shù)還是研究線性時不變在通常情況下，大多數(shù)還是研究線性時不變 系統(tǒng)，即線性定常系統(tǒng)，因此本課程的主要研究系統(tǒng)，即線性定常系統(tǒng)，因此本課程的主要研究對象是線性定常系統(tǒng)。對象是線性定常系統(tǒng)。( )( ) ( )( ) ( )x tA t x tB t u t( )( ) ( )( ) ( )y tC t x tD t u txAxBuyCxDu4.4.狀態(tài)空間

23、描述的結(jié)構(gòu)圖狀態(tài)空間描述的結(jié)構(gòu)圖( (或稱狀態(tài)變量圖或稱狀態(tài)變量圖) ) 例例: :根據(jù)上例畫出結(jié)構(gòu)圖根據(jù)上例畫出結(jié)構(gòu)圖. . 解解: :先將例子寫成下述形式先將例子寫成下述形式 11221111RxxxuLLLxxC 2yx 則結(jié)構(gòu)圖為則結(jié)構(gòu)圖為: :畫法: 1)1)根據(jù)狀態(tài)方程從方程右邊開始畫起根據(jù)狀態(tài)方程從方程右邊開始畫起. . 2) 2)通過通過積分環(huán)節(jié)得到狀態(tài)積分環(huán)節(jié)得到狀態(tài). . 3) 3)通過狀態(tài)反饋的組合得到狀態(tài)的微分通過狀態(tài)反饋的組合得到狀態(tài)的微分 4)4)通過狀態(tài)的組合得到輸出通過狀態(tài)的組合得到輸出. .5.5.輸入輸入/ /輸出描述和狀態(tài)變量描述的比較輸出描述和狀態(tài)變量描

24、述的比較 (1)(1)系統(tǒng)的輸入系統(tǒng)的輸入/ /輸出描述僅揭示系統(tǒng)在初始輸出描述僅揭示系統(tǒng)在初始松馳的假定下輸入松馳的假定下輸入輸出間的關(guān)系輸出間的關(guān)系. .因此對非松因此對非松馳系統(tǒng)不能采用這種描述馳系統(tǒng)不能采用這種描述. .尤為重要的問題尤為重要的問題, ,此此描述不能揭示非初始松馳時系統(tǒng)將發(fā)生的行為描述不能揭示非初始松馳時系統(tǒng)將發(fā)生的行為, ,也不能揭示系統(tǒng)的內(nèi)部行為也不能揭示系統(tǒng)的內(nèi)部行為. . (2) (2)對于甚為復(fù)雜的線性系統(tǒng)對于甚為復(fù)雜的線性系統(tǒng), ,求其動態(tài)方程求其動態(tài)方程描述是很繁的描述是很繁的, ,在此情況下在此情況下, ,借助于直接測量求借助于直接測量求取輸入取輸入/

25、/輸出描述可能稍容易一些輸出描述可能稍容易一些. . (3)(3)狀態(tài)變量法中的各種結(jié)果均能以傳遞函數(shù)法狀態(tài)變量法中的各種結(jié)果均能以傳遞函數(shù)法得到得到. . (4) (4)狀態(tài)空間表達(dá)式能夠推廣到時變情形狀態(tài)空間表達(dá)式能夠推廣到時變情形, ,且這且這種狀態(tài)空間描述方程可適用于多種現(xiàn)代設(shè)計(jì)方種狀態(tài)空間描述方程可適用于多種現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法法. . (5) (5)在非線性系統(tǒng)的研究中在非線性系統(tǒng)的研究中, ,可以根據(jù)不同的方可以根據(jù)不同的方法法, ,而采用上述兩種描述方法中的一種而采用上述兩種描述方法中的一種. . (6) (6)采用狀態(tài)空間描述的形式采用狀態(tài)空間描述的形式, ,可方便地進(jìn)行計(jì)可方便地進(jìn)

26、行計(jì)算機(jī)仿真算機(jī)仿真. . 三三. .狀態(tài)空間表達(dá)式的建立狀態(tài)空間表達(dá)式的建立根據(jù)系統(tǒng)的物理機(jī)理根據(jù)系統(tǒng)的物理機(jī)理, ,直接寫出狀態(tài)空間表達(dá)式直接寫出狀態(tài)空間表達(dá)式, ,如例如例2.2. 方法方法: :依據(jù)有關(guān)物理定律依據(jù)有關(guān)物理定律, ,或直接建立所選擇狀或直接建立所選擇狀態(tài)變量的一階微分方程組態(tài)變量的一階微分方程組. .或?qū)⒌玫降奈⒎址交驅(qū)⒌玫降奈⒎址匠袒癁樗x狀態(tài)變量的一階微分方程組程化為所選狀態(tài)變量的一階微分方程組. . 討論: : (1)(1)這種方法要求系統(tǒng)是完全可數(shù)學(xué)描述的這種方法要求系統(tǒng)是完全可數(shù)學(xué)描述的, ,即結(jié)構(gòu)和參數(shù)必須是確定的物理系統(tǒng)即結(jié)構(gòu)和參數(shù)必須是確定的物理系統(tǒng).

27、. (2) (2)系統(tǒng)是能描述的簡單物理系統(tǒng)系統(tǒng)是能描述的簡單物理系統(tǒng). .在一般情在一般情況下況下, ,只有簡單的物理系統(tǒng)才能直接建立按所只有簡單的物理系統(tǒng)才能直接建立按所選擇狀態(tài)變量的一階微分方程選擇狀態(tài)變量的一階微分方程. . (3) (3)復(fù)雜物理系統(tǒng)復(fù)雜物理系統(tǒng), ,在這種情況下在這種情況下, ,對系統(tǒng)的對系統(tǒng)的描述可能是描述可能是n n階的線性微分方程階的線性微分方程, ,故而需將高階故而需將高階微分方程轉(zhuǎn)成一階微分方程形式微分方程轉(zhuǎn)成一階微分方程形式. .根據(jù)系統(tǒng)微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式根據(jù)系統(tǒng)微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式. .1.1.輸入項(xiàng)中不含輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的線性系統(tǒng)空間狀態(tài)輸入

28、項(xiàng)中不含輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的線性系統(tǒng)空間狀態(tài)表達(dá)式表達(dá)式 系統(tǒng)描述為系統(tǒng)描述為: : (1) ( )(1)11nnnnya yaya yu討論討論: :狀態(tài)如何選擇狀態(tài)如何選擇 對方程對方程(1),(1),若已知若已知 和和 則可完全確定系統(tǒng)在則可完全確定系統(tǒng)在 的行為的行為, ,故而可故而可選取選取 n n個狀態(tài)作為狀態(tài)變量個狀態(tài)作為狀態(tài)變量. . 注意到注意到, ,從數(shù)學(xué)上講從數(shù)學(xué)上講, ,這種方法是方便的這種方法是方便的, ,但在實(shí)際但在實(shí)際情況下情況下, ,輸出中可能存在噪聲效應(yīng)輸出中可能存在噪聲效應(yīng), ,因而高階微分是因而高階微分是不準(zhǔn)確的不準(zhǔn)確的, ,這是需要注意的這是需要注意的. .(1

29、)000(, , (, ,(, nytytyt0 ,)u t 0tt (1),ny ty tyt 解解: :設(shè)設(shè) 則方程則方程(1)(1)可寫成可寫成: :(2) (1)123,.,nnxy xy xyxy122311121nnnnnnxxxxxxxa xaxa xu 或?qū)懗删仃囆问交驅(qū)懗删仃囆问? : 其中其中 輸出方程輸出方程: :xAxBu12 ,Tnxx xx121010000100001nnnAaaaa0001B yCx1,0,0C 顯然這種結(jié)果很容易地推廣到顯然這種結(jié)果很容易地推廣到r r個輸入個輸入( (但不含輸?shù)缓斎氲膶?dǎo)數(shù)項(xiàng)入的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)) )的情形中的情形中, ,以一個例子說

30、明以一個例子說明. .例例: : 設(shè)設(shè) 為系統(tǒng)的微分方程為系統(tǒng)的微分方程其中其中y y為輸出為輸出, , 為輸入為輸入, ,試求狀態(tài)空間表達(dá)式試求狀態(tài)空間表達(dá)式. .1261166yyyyuu12,u u 解解: :設(shè)設(shè) 則則 及及123,xy xy xy122331231261166xxxxxxxxuu 1yx 即即: : 其中其中 xAxBuyCx12312 , , ,TTxx xxuu u0100016116A000061B1,0,0C 2.2.輸入中含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的輸入中含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的n n階線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間階線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式表達(dá)式. .系統(tǒng)微分方程系統(tǒng)微分方程: : (3)( )

31、(1)( )(1)11011nnnnnnnnya yaya yb ubub ub u討論討論: : 1) 1)選擇狀態(tài)變量選擇狀態(tài)變量 顯然顯然 以及以及 和和 就可唯一確定就可唯一確定 時的行為時的行為. . 2) 2)不能單純將輸入不能單純將輸入, ,輸出作為狀態(tài)變量輸出作為狀態(tài)變量, ,必須用必須用輸入輸入/ /輸出的線性組合作為狀態(tài)變量輸出的線性組合作為狀態(tài)變量, ,且為了得且為了得到狀態(tài)空間的簡約形式到狀態(tài)空間的簡約形式, ,狀態(tài)變量的選擇必須狀態(tài)變量的選擇必須能消去狀態(tài)方程中輸入能消去狀態(tài)方程中輸入u u的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng). .(1)000(, , (, ,(, nytytyt(1)

32、000(, , (, ,(, nututut0 ,)u t 0tt用兩個方法來解決問題用兩個方法來解決問題: : (1) (1)將方程將方程(3)(3)寫成微分算子的形式寫成微分算子的形式, ,即令即令 為微分算子為微分算子, ,則原方程可寫成則原方程可寫成 （4 4） y(t)y(t)亦可表示為亦可表示為: : （5） 1111011()()nnnnnnnnpa papa yb pb pbpb u( )nnndpdt1110111( )( )( )nnnnnnnppy tb u tu tpa papa 設(shè)一新變量設(shè)一新變量v(t),v(t),并令并令 (6)(6) 將上式寫成微分形式將上式寫

33、成微分形式, ,則為則為: :(7) 1111( )( )nnnnv tu tpa papa( )(1)11( )nnnnva vava vu t 取狀態(tài)變量取狀態(tài)變量 則上式又可寫成狀態(tài)方程則上式又可寫成狀態(tài)方程 (8) (1)1213211,nnnxv xxv xxxvxxv112211121010000100000101nnnnnnnxxxxuxxxaaaax 將式將式(6)(6)代入式代入式(5)(5)得到輸出方程得到輸出方程 即即 或或 (9)(9) 式式(8)(8)和式和式(9)(9)組成狀態(tài)空間表達(dá)式組成狀態(tài)空間表達(dá)式 顯然顯然, ,上述結(jié)果亦可方便地推廣到多輸入上述結(jié)果亦可方便

34、地推廣到多輸入, ,多輸多輸出的情形出的情形. .1011( )( )() ( )nnny tb u tppv t(1)011( )( )nnny tb u tvvv12110( ),nnnxxy tb ux (2)(2)選取合適的狀態(tài)變量以消去輸入項(xiàng)中的導(dǎo)選取合適的狀態(tài)變量以消去輸入項(xiàng)中的導(dǎo)數(shù)形式數(shù)形式. .設(shè)狀態(tài)變量為設(shè)狀態(tài)變量為: : 式中式中1020111301222(1)(1)(2)012111nnnnnnnnxyuxyuuxuxyuuuxuxyuuuuxu00111022112011110nnnnnbbabaabaaa 這樣微分方程式這樣微分方程式(3)(3)可以寫成下述狀態(tài)空間表

35、可以寫成下述狀態(tài)空間表達(dá)式達(dá)式. . 上述兩情況下上述兩情況下, ,具有具有A A陣形式的矩陣稱為相伴標(biāo)陣形式的矩陣稱為相伴標(biāo)準(zhǔn)形矩陣或稱友陣準(zhǔn)形矩陣或稱友陣. .111222111121010000100001nnnnnnnnnxxxxuxxxaaaax1201,0,0nxxyux四四. .狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)空間表達(dá)式( (或動態(tài)方程或動態(tài)方程) )的線性變的線性變換換. . 對于狀態(tài)空間表達(dá)式來說對于狀態(tài)空間表達(dá)式來說, ,由于狀態(tài)變量選擇由于狀態(tài)變量選擇的非唯一性的非唯一性, ,因此所得到的動態(tài)方程形式是不因此所得到的動態(tài)方程形式是不一樣的一樣的, ,但由于是描述的同一系統(tǒng)但由于是描述的

36、同一系統(tǒng), ,故而動態(tài)方故而動態(tài)方程不論形式如何程不論形式如何, ,它們對系統(tǒng)行為的描述應(yīng)該它們對系統(tǒng)行為的描述應(yīng)該提供同樣多的信息。提供同樣多的信息。1.1.系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的非唯一性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的非唯一性. . 對于選定的狀態(tài)變量對于選定的狀態(tài)變量x,x,則線性定常系統(tǒng)為則線性定常系統(tǒng)為: : (11)xAxBuyCxDu若存在非奇異矩陣若存在非奇異矩陣P ,P ,使使 或或 則式則式(11)(11)變?yōu)樽優(yōu)?(12) (12) 其中其中 , ,初始條件變換初始條件變換det( )0P xPx1 xP xxAxBuyCxDu11,AP AP BP B CCP100( )( )x t

37、P x t 式式(12)(12)表明了狀態(tài)空間表達(dá)式的非唯一性表明了狀態(tài)空間表達(dá)式的非唯一性, ,而其根而其根本原因在于本原因在于 , ,即狀態(tài)選取的非唯一性，即狀態(tài)選取的非唯一性，因?yàn)榭偸强烧业椒瞧娈惖囊驗(yàn)榭偸强烧业椒瞧娈惖腜,P,使得使得討論討論: : (1)x (1)x和和 為同一向量在線性空間是關(guān)于不同基為同一向量在線性空間是關(guān)于不同基底的不同表示底的不同表示, ,其中其中P P也稱為基底變換矩陣。也稱為基底變換矩陣。 (2)A(2)A也被稱為線性算子也被稱為線性算子( (自身映射自身映射),),對于同一算對于同一算子子A,A,對于不同基底也有不同表示對于不同基底也有不同表示( (如如

38、 ) )，但，但A A和和 是相似的是相似的, ,即滿足即滿足1 xP x1 xP x xA1AP APA 顯而易見顯而易見, ,同一算子關(guān)于不同基底的所有矩同一算子關(guān)于不同基底的所有矩陣表示都是相似的陣表示都是相似的. . 問題問題: : (1) (1)既然一個線性算子有多種表示既然一個線性算子有多種表示, ,是否有可能是否有可能選一組基底以使算子選一組基底以使算子A A的表達(dá)最為簡潔的表達(dá)最為簡潔. . (2) (2)在不同基底下在不同基底下, ,線性算子具有不同的表示線性算子具有不同的表示, ,那那么它們的特征值是否發(fā)生了變化么它們的特征值是否發(fā)生了變化. .2.2.系統(tǒng)特征值的不變性系

39、統(tǒng)特征值的不變性(1)(1)特征值定義特征值定義, ,特征向量的定義特征向量的定義 定義定義: :設(shè)設(shè)A A為將為將 映射到自身的線性算子映射到自身的線性算子 若存在若存在C C 中的非零向量中的非零向量X X 及及C C 中的標(biāo)量中的標(biāo)量, , 使得使得 則稱則稱為為A A的特征值的特征值, , 任何滿足任何滿足 的非零向量的非零向量X X稱為稱為A A的特征向量的特征向量. .(,)nCC,( )n nACRank AnAXXAXX 按定義按定義, ,為了尋找關(guān)于為了尋找關(guān)于A A的特征值的特征值, , 將將 寫成寫成 其中其中I I 是是 的單位陣的單位陣, , 對于方程對于方程 是齊次

40、方程組，且是齊次方程組，且 也是也是 的，該方程當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?，該方程?dāng)且僅當(dāng) 方程才有非零解。故當(dāng)且僅當(dāng)方程才有非零解。故當(dāng)且僅當(dāng) 是是 的根時的根時, ,標(biāo)量標(biāo)量 才是才是A A的特征值的特征值, ,顯然顯然A A陣共有陣共有n n個個特征根特征根, ,當(dāng)然它們未必是相異的當(dāng)然它們未必是相異的. .(2)(2)特征值的不變性特征值的不變性 易證明這一結(jié)論易證明這一結(jié)論AXX0IA Xnn0IA XIAnndet0IAdet0IA3.3.化化A A陣為對角陣陣為對角陣( (化狀態(tài)方程為對角線規(guī)范形化狀態(tài)方程為對角線規(guī)范形) )( (特征值互異的情況下特征值互異的情況下) ) 這里這里, ,實(shí)際上

41、是為回答上述的第一個問題實(shí)際上是為回答上述的第一個問題-使使A A表示最簡潔表示最簡潔. . 首先研究在首先研究在A A的特征值是互異的情形下的特征值是互異的情形下: : 不加證明地給出下述結(jié)論不加證明地給出下述結(jié)論. . 若線性算子若線性算子A A或或A A陣具有互異的特征值陣具有互異的特征值, ,則在選則在選擇特征向量作為基底的情況下?lián)裉卣飨蛄孔鳛榛椎那闆r下, ,算子算子A A或或A A陣的陣的表示是一對角陣表示是一對角陣, ,對角線上的元素即為其特征對角線上的元素即為其特征值值. . 具體來說具體來說: : 對于狀態(tài)方程對于狀態(tài)方程 若若A A的特征值互異的特征值互異, , 互異互異,

42、 ,則存在則存在非奇異矩陣非奇異矩陣P,P,進(jìn)行變換進(jìn)行變換 , ,變換后的狀態(tài)變換后的狀態(tài)方程為方程為xAxBu12,n xPxxAxBu 其中其中A A為對角陣為對角陣, ,即即 且且P P由由A A陣的特征向量陣的特征向量 組成組成 滿足滿足 易證易證 組成的向量是線性無關(guān)的組成的向量是線性無關(guān)的. .121000000nAP APiV112 ,nniPV VVVRiV,(1,2,)iiiAVVin12,nV VV 上述方法成立的一個重要基礎(chǔ)是需證明上述方法成立的一個重要基礎(chǔ)是需證明 線性無關(guān)線性無關(guān), ,若作為基底若作為基底, ,則則 是是A A關(guān)關(guān)于基底的表示。于基底的表示。 一種特

43、殊情況一種特殊情況, ,若若A A為友陣時為友陣時, ,則可直接給出變則可直接給出變換陣換陣P P 稱稱P P 為范德蒙矩陣為范德蒙矩陣, ,它能使友陣它能使友陣A A, ,作相似變換作相似變換后得后得12,nV VVA123222212311111231111nnnnnnnP1AP AP4.4.化狀態(tài)方程為約當(dāng)規(guī)范形化狀態(tài)方程為約當(dāng)規(guī)范形( (化化A A陣為約當(dāng)形矩陣陣為約當(dāng)形矩陣) ) 這種情形實(shí)際是這種情形實(shí)際是A A陣特征值有重根的情形陣特征值有重根的情形.-.-如果如果A A陣有重根則只能化成約當(dāng)形矩陣陣有重根則只能化成約當(dāng)形矩陣 約當(dāng)規(guī)范形的推導(dǎo)比較復(fù)雜約當(dāng)規(guī)范形的推導(dǎo)比較復(fù)雜,

44、,我們這里不加證明地我們這里不加證明地給出下述結(jié)論給出下述結(jié)論: : 設(shè)設(shè)A A的特征值有的特征值有q q個重根個重根, ,其余其余( (n-qn-q) )個根為互異根個根為互異根, ,將將A A陣化為約當(dāng)規(guī)范形的形式為陣化為約當(dāng)規(guī)范形的形式為: :11111210000000000000000000qqnJPAP 相應(yīng)的變換矩陣相應(yīng)的變換矩陣 其中其中 是對應(yīng)于是對應(yīng)于n-qn-q個互異單根的特征向個互異單根的特征向量量, ,求法同對角規(guī)范形。求法同對角規(guī)范形。 是對應(yīng)于是對應(yīng)于q q個重根的各特征向量個重根的各特征向量, ,它們它們的計(jì)算按下式的計(jì)算按下式. .121,qqnPP PP PP1,qnPP1,qPP1 111221110qqqPAPPAPPPAPP 其中其中. . 是是 的特征根對應(yīng)的特征向量的特征根對應(yīng)的特征向量, , 稱為廣義特征向量稱為廣義特征向量 顯而易見在這種變換下顯而易見在這種變換下, ,狀態(tài)方程的約當(dāng)規(guī)范狀態(tài)方程的約當(dāng)規(guī)范形為形為1P12,qPPxJxBu五五. .狀態(tài)空間表達(dá)式與傳遞