群決策和社會(huì)選擇

1、.第十二章群決策與社會(huì)挑選group decision-making and social choice theory12-1 概述一、為什么要討論群決策a. 在現(xiàn)實(shí)生活中任何決策會(huì)影響一群人, 因此在公正、的社會(huì)中 ,重大的決策應(yīng)盡量滿意受該決策影響的群眾的愿望和要求 .群眾通過(guò)代表反映愿望和要求, 代表們構(gòu)成各種委員會(huì) .行政機(jī)構(gòu)中的領(lǐng)導(dǎo)班子社會(huì)進(jìn)展信息和學(xué)問(wèn)的積存與更新速度加快, 領(lǐng)導(dǎo)個(gè)人難以在掌和應(yīng)對(duì)智囊團(tuán)和詢問(wèn)機(jī)構(gòu)應(yīng)運(yùn)而生并廣泛存在, 作用加強(qiáng) .委員會(huì)、代表大會(huì)、議會(huì)、協(xié)會(huì)、俱樂(lè)部,領(lǐng)導(dǎo)班子、組織,智囊團(tuán)等等都是群 , 群中的成員各有偏好 ,要形成集體看法需要討論群決策和社會(huì)挑選理

2、論.b. 世界上沖突無(wú)處不在 ,人與人、組織與組織、國(guó)與國(guó)之間的沖突如何解決, 如何防止沖突升級(jí) , 需要討論協(xié)商、談判、仲裁、調(diào)解、合作計(jì)策等沖突分析方法,因而沖突分析也是群決策的主要討論容.二、分類涉與容與解決方法投票表決社會(huì)挑選社會(huì)挑選函數(shù)社會(huì)福利函數(shù)委員會(huì)激發(fā)制造性集專家判定采集看法體和系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的探究決群體參與仿真策 team theory實(shí)施與治理群一般均衡理論遞階優(yōu)化決組織機(jī)構(gòu)決策組織決策策治理正規(guī)型多一般計(jì)策論擴(kuò)展型人特點(diǎn)函數(shù)決nash策沖協(xié)商與談判k-s突mid-mid分均衡增量析主從計(jì)策與勉勵(lì)強(qiáng)制仲裁仲裁與調(diào)解最終報(bào)價(jià)仲裁 亞計(jì)策論組合仲裁三、社會(huì)挑選的定義與方式1. 定義

3、: luce & raiffa 社會(huì)挑選就是依據(jù)社會(huì)中各成員的價(jià)值觀與其對(duì)不同方案的挑選產(chǎn)生社會(huì)的決策; 即把社會(huì)中各成員對(duì)各種狀況的偏好序集結(jié)成為單一的社會(huì)偏好模式2. 社會(huì)挑選的常用方式 :慣例、常規(guī)、法規(guī)、職權(quán)、獨(dú)裁者的命令、投票表決和市場(chǎng)機(jī)制.其中 : 投票 :少數(shù)聽(tīng)從多數(shù) ,大多用于解決政治問(wèn)題; 市場(chǎng)機(jī)制 : 本質(zhì)是用貨幣投票,大多用于經(jīng)濟(jì)決策; 獨(dú)裁 :依據(jù)個(gè)人意志進(jìn)行 取代 社會(huì)挑選 ; 傳統(tǒng) : 以慣例、常規(guī)、法規(guī)等代替社會(huì)中各成員的意志.傳統(tǒng)到獨(dú)裁的演化 : 傳統(tǒng) 無(wú)論慣例、常規(guī)仍是法規(guī) 在開(kāi)頭時(shí)是社會(huì)上大部分公民或成員認(rèn)可的規(guī)章 以與規(guī)定、法規(guī) , 隨著社會(huì)的進(jìn)展 , 總

4、有新的問(wèn)題、新情形是原先的規(guī)章 以與規(guī)定、法規(guī) 所無(wú)法解決的 , 解決這些新的問(wèn)題、新情形的新規(guī)章就要由社會(huì)上比較有威望的某些人制訂 , 這些人在解決新問(wèn)題、新情形時(shí)就代替整個(gè)社會(huì)進(jìn)行了挑選. 只要這些人不是以方式選舉產(chǎn)生的, 他們的權(quán)力就會(huì)逐步增大, 成為代替社會(huì)進(jìn)行決策的小團(tuán)體.這個(gè)小團(tuán)體中最強(qiáng)有力的人物最終也就有可能成為獨(dú)裁者.12.2投票表決 選舉voting投票表決可分成兩步 : 1.投票 , 應(yīng)簡(jiǎn)潔易行2. 計(jì)票 , 應(yīng)精確有效一、非排序式投票表決 non-ranked voting systems 一 只有一人當(dāng)選1. 候選人只有兩個(gè)時(shí):計(jì)點(diǎn)制 spot vote投票 :每人一票

5、 ; 計(jì)票:簡(jiǎn)潔多數(shù)票 simple plurality法就 即相對(duì)多數(shù) .2. 候選人多于兩個(gè)時(shí) 簡(jiǎn)潔多數(shù) 相對(duì)多數(shù) 過(guò)半數(shù)規(guī)章 確定多數(shù) majority第一次投票無(wú)人獲得過(guò)半數(shù)選票時(shí),a. 二次投票 , 如法國(guó)總統(tǒng)選舉 .b. 反復(fù)投票 : i.候選人自動(dòng)退出 , 如美國(guó)兩黨派的總統(tǒng)候選人提名競(jìng)選;ii.得票最少的候選人的強(qiáng)制剔除, 如奧運(yùn)會(huì)申辦城市的確定.例12.1由 11 個(gè)成員組成的群 ,要在 a、b、c、d四個(gè)候選人中選舉一人 . 設(shè)各成員心目中的偏好序如下 :成員 i12345678910 11排序第一位aaabbbbcccd其次位 cccaaaaaaaa第三位 dddcccc

6、dddc第四位 bbbddddbbbb按簡(jiǎn)潔多數(shù)票法就, b得 4 票當(dāng)選 .實(shí)際上 , 雖然有 4 人認(rèn)為 b 最好 , 但是有 7 人認(rèn)為 b 最差;雖然只有 3 人認(rèn)為 a 最好 , 但是其余 8 人認(rèn)為 a 是其次位的 ;所以 , 由 a 當(dāng)選為宜 .例12.2設(shè)各成員心目中的偏好序如下:成員 i : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11排序第一位bbbbbbaaaaa其次位 aaaaaacccdd第三位 cccddddddcc第四位 dddccccbbbb按簡(jiǎn)潔多數(shù)票法就或過(guò)半數(shù)規(guī)章, b得 6 票當(dāng)選 .實(shí)際上 , 雖然有 6 人認(rèn)為 b 最好 , 但是有 5 人認(rèn)為 b

7、 最差 ; 雖然只有 5 人認(rèn)為 a 最好 , 但是其余 6 人認(rèn)為 a 是其次位的 ;所以 , 由 b 當(dāng)選未必合適 .例12.3設(shè)各成員心目中的偏好序如下:成員 i : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11排序第一位 b b b c c c c d d a a其次位 a a a a a a a a a b d 第三位 d c d b b b d c b d c 第四位 c d c d d d b b c c b按過(guò)半數(shù)規(guī)章 ,第一次投票無(wú)人獲得過(guò)半數(shù)選票, c 、 b得票多 , 其次投票時(shí) ,6人認(rèn)為 c比 b 優(yōu), c當(dāng)選 .而在該問(wèn)題中沒(méi)有人認(rèn)為a 處于其次位以下 , 卻有

8、4 人認(rèn)為 c最差 .由上面三個(gè)例子可知 , 無(wú)論簡(jiǎn)潔多數(shù)票法就、 過(guò)半數(shù)規(guī)章仍是二次投票, 都有不盡合理之處. 二.同時(shí)選出二人或多人1. 單一非轉(zhuǎn)移式投票表決single nontransferable voting投票人每人一票 ,得票多的候選人當(dāng)選 .如: 日本議員選舉采納選區(qū)制, 每選區(qū)當(dāng)選人數(shù)超過(guò)2 個(gè), 1890年起即用此法 .2. 復(fù)式選舉 multiple voting每個(gè)投票人可投票數(shù) =擬選出人數(shù)但對(duì)每個(gè)候選人只能投一票弊端 :在猛烈的黨派競(jìng)爭(zhēng)中 , 實(shí)力稍強(qiáng)的黨派將擁有全部席位. 因此該方法只能用于存在共同利益的團(tuán)體、組織部,如黨團(tuán)組織和班干部的選舉.3. 受限的選舉

9、limited voting每個(gè)投票人可投票數(shù)擬選出人數(shù)對(duì)每個(gè)候選人只能投一票弊端 :同上.1868年英國(guó)議會(huì)選舉采納此法, 1885年即取消 .4. 累加式選舉 cumulate voting每個(gè)投票人可投票數(shù) =擬選出人數(shù) . 這些選票由選舉人自由支配, 可投同一候選人如干票利:可切實(shí)保證少數(shù)派的利益.大多用于學(xué)校董事會(huì)的選舉, 例: 英國(guó) 1870-1902.留意:公司董事會(huì)的選舉與此不同.5. 制list system由各黨派團(tuán)體開(kāi)列候選人,投票人每人一票 ,投給黨團(tuán) .此法于 1899 年用于比利時(shí) ,以后被荷蘭、丹麥、挪威和瑞典等用.計(jì)票分兩種 : .最大均值法 ; .最大余額法3

10、 / 25例12. 4 24000人投票 , 選舉 5 人, a 、b、c、 d 四個(gè)黨派分別得8700、 6800、5200、3300票,如何安排議席 .1 最大均值法 :a 黨第一分得第一席 . 其次席分給各黨派時(shí) ,各黨派每一議席的均值如下:黨派得票除數(shù)均值 每一議席的得票均值 a870024350b680016800c520015200d330013300由于 b 黨的均值最大b 黨得其次席 . 分第三席時(shí)各黨派每一議席的均值如下:黨派得票除數(shù)均值a870024350b680023400c520015200d330013300c 黨得第三席 ,分第四席時(shí)各黨派每一議席的均值如下:黨派得

11、票除數(shù)均值a870024350b680023400c520022600d330013300由于 a 黨的均值最大 , a黨得第四席 . 分第五席時(shí)各黨派每一議席的均值如下:黨派得票除數(shù)均值a870032900b680023400c520022600d330013300b 黨的均值最大 b 黨得第五席 .最終 a b 各得 2 席, c得 1 席. .最大余額法 :第一運(yùn)算 q=n/k的值 : q=24000/5=4800,用各黨派得票數(shù)除以q并運(yùn)算余數(shù) :黨派得票除數(shù)分得席位余額a8700480013900b6800480012000c520048001400d3300480003300按每

12、4800 票得一席 ,a 、b、c 黨各得一席 , 剩余 2 席, 由于 a、d 兩黨的余額大 , 最終 a 黨得 2席, b 、c和 d黨各得一席 .可以證明 ,最大均值法對(duì)大黨有利 ;最大余額法對(duì)小黨有利.6. 簡(jiǎn)潔可轉(zhuǎn)移式選舉single nontransferable voting經(jīng)常用于 3-6 個(gè)席位的選區(qū) . 投票人每人一票 .現(xiàn)況值 q=n/k+1,得票數(shù)大于q的候選人人選 , 得票最少的候選人被剔除,由未被剔除的未當(dāng)選候選人在下一輪中競(jìng)爭(zhēng)剩余席位.仍以例 12.4說(shuō)明 . n=24000, k=5,故 q=n/k+1=24000/6=4000,設(shè)各黨派候選人的第一次投票得票數(shù)

13、為 :候選人 :a1a2a3b 1b2c1c2d1得票數(shù) :410041005004100 270040501150 3300其中 , a 1 ,a 2 , b1 , c 1 第一次投票后可入選, a3 被剔除 , b2 , c2 , d1 通過(guò)其次次投票競(jìng)爭(zhēng)最終一席 . 這時(shí) q=24000/2=12000.支持 a 黨的可轉(zhuǎn)移投票方向 ,他們?cè)谧屨l(shuí)入選上有打算性影響 .7. 認(rèn)可選舉 approval vote 每個(gè)投票人可投任意選票,但他對(duì)每個(gè)候選人只能投一票.得票最多的前 k 個(gè)候選人當(dāng)選 .如職稱評(píng)定 ,評(píng)獎(jiǎng) ,評(píng)先進(jìn)等 . 三.其它投票表決 選舉 方法1. 資格認(rèn)定 .候選人數(shù) m

14、= 當(dāng)選人數(shù) k即等額選舉 ,用于不存在競(jìng)爭(zhēng)或不答應(yīng)競(jìng)爭(zhēng)的場(chǎng)合. .不限定入選人數(shù)如學(xué)位點(diǎn)評(píng)審, 職稱評(píng)定 ,評(píng)獎(jiǎng)等 .目的不是排序 . 而是按某種標(biāo)準(zhǔn)來(lái)衡量被選對(duì)象.2. 非過(guò)半數(shù)規(guī)章 2/3 多數(shù),例美國(guó)議會(huì)推翻總統(tǒng)拒絕需要2/3 多數(shù) . 2/3多數(shù)60%多數(shù) , 例如希臘議會(huì)總統(tǒng)選舉, 第一次需要2/3 多數(shù) , 其次次要60% 多數(shù). 3/4多數(shù),美國(guó)憲法修正案需要3/4 州議會(huì)的批準(zhǔn) . 過(guò)半數(shù)支持 ,反對(duì)票少于 1/3.例如 1993 年前我國(guó)博士生導(dǎo)師的資格認(rèn)定. 一票拒絕 ,安理睬常任理事國(guó)的拒絕權(quán).二、偏好選舉與投票悖論 paradox of voting 1. 記號(hào)n=

15、1, 2, ,n 表示群 , 即投票人的集合 ;a= a1 , ,am 備選方案 候選人 集合;i, i 成員 投票人 i的偏好 ; g ,g 群的排序 .njk 或 na ja k 群中認(rèn)為 a j 優(yōu)于 a k 的成員數(shù)采納上述記號(hào) ,過(guò)半數(shù)規(guī)章可以表示為:對(duì) aj ,a k a如 n jk n kj 就 a jg a k ;如 n jk =n kj 就 aj g a k2. borda 法 1770年提出 由每個(gè)投票人對(duì) m 個(gè)候選人排序 ,排在第一位的得 m-1 分,排在其次位的得 m-2 分, 依據(jù)各候選人所得總分多少確定其優(yōu)劣.3. condorcet原就 1785年提出 對(duì)候選人

16、進(jìn)行成對(duì)比較,如某個(gè)候選人能按過(guò)半數(shù)規(guī)章?lián)魯∑渌亢蜻x人,就稱為condorcet候選人 ;如存在 condorcet候選人 , 就由其當(dāng)選 .用上述記號(hào)表示, 即:如 n jk n kj a k a aj ,就 a j 當(dāng)選 .例 12. 5 群由 60 個(gè)成員組成 , a= a, b, c ,群中成員的態(tài)度是: 23 人認(rèn)為acb 即 a 優(yōu)于 c ,c優(yōu)于 b, a也優(yōu)于 b5 / 2519 人認(rèn)為16b人認(rèn)為ccaba2人認(rèn)為caba 與b 相比nab=25,nba=35因此有 ba 與c 相比nac=23,nca=37因此有 cb 與c 相比nbc=19,ncb=41因此有 cg

17、ag ag b由于候選人 c 能分別擊敗 a 與 b,所以 c 是 condorcet 候選人 , 由 c 當(dāng)選 .但是 , 經(jīng)常不存在 condorcet候選人 .4. 多數(shù)票循環(huán) 投票悖論 23人認(rèn)為abc17人認(rèn)為bca2人認(rèn)為bac8人認(rèn)為cba10人認(rèn)為cab由于 nab=33,nba=27因此有 a例 12. 6如群中 60 個(gè)成員的態(tài)度是 :g b nbc=42, nca=18因此有 bg c nac=25, nca=35因此有 cg a每個(gè)成員的偏好是傳遞的,但是按過(guò)半數(shù)原就集結(jié)得到的群的排序并不傳遞, 顯現(xiàn)多數(shù)票循環(huán) , 這種現(xiàn)象稱作 condorcet效應(yīng) 也叫投票悖論 5

18、. 顯現(xiàn) condorcet效應(yīng)的概率成員數(shù) n :357111525方案數(shù) m= 3.0556 .0694.0750 .0798.082.0843.08774.111.14.15.17555.16.20.22.25136.20.25.27.31528.4152110.488715.608720.681130.791449.8405三、策略性投票 操縱性 1. 小集團(tuán)掌握群例:百人分蛋糕2. 謊報(bào)偏好而獲益例 12.7群由 30 個(gè)成員組成 , a= a, b, c ,群中成員的態(tài)度是:4人認(rèn)為bca8人認(rèn)為cba23 人認(rèn)為acb19 人認(rèn)為bca16 人認(rèn)為cba2 人認(rèn)為cab144認(rèn)為

19、人認(rèn)為abcbac依據(jù) borda 法和 condorcet原就 , 都應(yīng)由 b 當(dāng)選 ,但是 ,如認(rèn)為 abc 的 14 人中有 8人撒謊 ,稱他們認(rèn)為 acb ,就按 borda 法,將由 a 當(dāng)選 .3.程序 議程 問(wèn)題例 12.6 所述問(wèn)題 :后參與表決的方案獲勝.四、衡量選舉方法優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn) 能否充分利用各成員的偏好信息 如存在 condorcet候選人 , 應(yīng)能使其當(dāng)選 . 能防止策略性投票12.3社會(huì)挑選函數(shù)一、引言1.仍以例 12.5為例: 群由 60 個(gè)成員組成 , a= a, b, c ,群中成員的態(tài)度是:依據(jù) condorcet原就依據(jù)簡(jiǎn)潔多數(shù)規(guī)章ca當(dāng)選當(dāng)選依據(jù)過(guò)半數(shù) 二

20、次投票 規(guī)章 b 當(dāng)選該例中一共只有三個(gè)候選人, 采納不同選舉方法時(shí) , 這些候選人都有可能當(dāng)選. 那么這些方法中到底何者合理 .據(jù)何判定選舉方法的合理性.2例 12.6 說(shuō)明多數(shù)票循環(huán)不行防止,問(wèn)題是 :顯現(xiàn)多數(shù)票循環(huán)時(shí)該誰(shuí)當(dāng)選.討論社會(huì)挑選問(wèn)題的理論家提出：應(yīng)當(dāng)采納某種與群中成員偏好有關(guān)的數(shù)量指標(biāo)來(lái)反映群 即社會(huì) 對(duì)各方案的總體評(píng)判 .這種數(shù)量指標(biāo)稱為社會(huì)挑選函數(shù).二、社會(huì)挑選函數(shù)的幾個(gè)性質(zhì)0.記號(hào)在對(duì) x,y比較時(shí)1如 xiydi =0如 x i y-1如 yi x群中各成員的偏好分布d = d1 , ,d n n偏好分布的集合d = -1, 0, 1 社會(huì)挑選函數(shù)fd = f d1 ,

21、 ,d n d dn即 f : -1, 0, 1 -1, 0, 1 7 / 251. 明確性 decisiveness d 0 f d 02. 中性 neutrality又稱對(duì)偶性對(duì)侯選人的公正性f -d1 , ,-d n = - f d1 , ,d n 3. 匿名性 anonymity又稱公平原就各成員的權(quán)力一樣f d1 , ,d n = f d1 , ,d n 其中是 1, ,n 的新排列4. 單調(diào)性 monotonicity又稱正的響應(yīng)如 d d 就 f d f d 5. 一樣性 unanimity又稱 weak pareto性f 1, 1, , 1 = 1 or f -1, -1, -

22、1 = -16. 齊次性 homogeneity對(duì)任意正整數(shù) m f md = fd 7. pareto性d i 1, 0 for all i and d = 1 for some k fd =1 di = 0 for all ifd =0三、社會(huì)挑選函數(shù)1.condorcet- 函數(shù)fc x =min n xi y y a xfc .值愈大愈優(yōu) .例 12. 6群中 60 個(gè)成員的態(tài)度是 : 23 人認(rèn)為abc17 人認(rèn)為bca2 人認(rèn)為 bac8 人認(rèn)為cba10 人認(rèn)為cabnab=33, nac=25因此fnba=27, nbc=42,因此fnca=18, nca=35,因此fc a

23、= 25 c b = 27 c c = 18 bg ag ccondorcet-函數(shù)值仍可以用下法求得:依據(jù)各方案成對(duì)比較結(jié)果列出表決矩陣- 33 25矩陣中各行最小元素 : 25n = 27 - 422735 18 -18即 condorcet- 函數(shù)值 .condorcet-函數(shù)滿意性質(zhì) 16.2.borda- 函數(shù)fbx =n xiy y a xfbx即表決矩陣中 x 各元素之和 , fb .值愈大愈優(yōu) .例12. 6 中方案 a , b , c 的 borda- 函數(shù)值分別是 58, 69, 53,bgagcborda- 函數(shù)滿意性質(zhì) 16.3. copeland-函數(shù)依據(jù)各方案兩兩比

24、較的勝敗次數(shù)的差來(lái)定fcp x = my: y a且 xg y- my: y a 且 yg xfcp .值愈大愈優(yōu) . 例 12.6 中方案 a , b , c 的 copeland 函數(shù)值均為 0,三者平局 .copeland-函數(shù)滿意性質(zhì) 16.4.nanson 函數(shù)用 borda- 函數(shù)求解 ,每次剔除 borda- 函數(shù)值最小的方案:即: a1= a ,aj 1= aj xa j ;fxb fby,且對(duì)某些 yfbxfby直到 a j 1 = aj 為止.例12. 6 中 fb c的 borda- 函數(shù)值最小 ,a2 = a1 c = a, b a3 = a 2 b = a nanso

25、n 函數(shù)不滿意性質(zhì)agbgc4.5.dodgson 函數(shù) c.j.dodgson,英， 1832 1898使某個(gè)候選人成為condorcet候選人需要 n 中成員轉(zhuǎn)變偏好的總選票數(shù).n 個(gè)成員 ,m 個(gè)候選人記 njk= n ajia k n為偶數(shù)時(shí) n0 =n/2n為奇數(shù)時(shí) n0 =n+1/2njj= 0mf aj =k|n01n jk | n0n jk 2j=1, ,m例 12.6 中, a,b,c的 dodgson 函數(shù)值分別為 5, 3, 12, bg ag cdodgson函數(shù)不滿意 4.6. kemeny 函數(shù) 使社會(huì)排序與各成員對(duì)方案的偏好序有最大的一樣性.第肯定義： 社會(huì)挑選排

26、序矩陣l = ljk 9 / 251ajgakljk =0aj gka-1akgaja 上的每一線性序都對(duì)應(yīng)一個(gè)l記 njk= n ajga k nkj= n akgaj n= n a*jkjagk 比例矩陣m = mjk mjk= njk+n* jk/2/n 投票矩陣e = m-mtejkn jk=nnkjn定義 =e jk ljkjk即, 群中認(rèn)為 a ja k 的成員的比例與群的排序l jk 的積 ,它反映群的排序與成員排序的一樣性 .kemeny函數(shù) f k = max ；7. cook-seiford函數(shù)設(shè)成員 i把方案 j排在 rij 位,方案 j 的群體序?yàn)?k就成員 i 與群體

27、序的總偏差:| rij -k |j各成員排序與群體序的總偏差d jk =ij| rij -k |數(shù)學(xué)規(guī)劃 minjkd jk p jks. t .jkp jk = 1p jk = 1的解中 p jk = 1表示方案 j 的群體序?yàn)?k8. 本征向量函數(shù)dodgson 矩陣 d = djk 其中 : djk = n jk /n kj ,明顯 d jk = 1/dkj,但是 d jk djl *dlk ,可由 d - m i w=0求得 w后. 按各重量的大小排相應(yīng)方案的次序.9. bernardo函數(shù)上述各種方法只依據(jù)各成員對(duì)各方案的總體優(yōu)劣集結(jié)成群體序. 對(duì)某些多人多準(zhǔn)就問(wèn)題,特別是實(shí)際工程問(wèn)

28、題 ,應(yīng)當(dāng)依據(jù)每個(gè)準(zhǔn)就下各方案的優(yōu)劣次序集結(jié)成群體序.一般的多準(zhǔn)就社會(huì)挑選問(wèn)題可以表述為:對(duì)有限方案集 a= a 1 , ,am , 由委員會(huì) n= 1, 2, ,n 依據(jù)準(zhǔn)就集 即評(píng)判指標(biāo)體系 c= c1,c1, , cr 來(lái)確定各方案的優(yōu)先次序 .ll在求解問(wèn)題時(shí) , 第一要依據(jù) r 種不同的準(zhǔn)就中的每一種準(zhǔn)就, 分別描述各方案 aj 的優(yōu)劣 . 為了集結(jié)各成員的看法, 可以用協(xié)商矩陣 表示委員會(huì)對(duì)各方案優(yōu)劣的總體感覺(jué). 是 mm 方陣 ,其元素jk 表示將方案 aj 排在第 k 位的成員人數(shù) .為了反映各準(zhǔn)就的重要性,可以對(duì)各準(zhǔn)就加權(quán) . 權(quán)向量 w=w1, w2 , wr .設(shè)依據(jù)準(zhǔn)就

29、 cl ,有 x jk 位成員將 ajr. x排在第 k 位,就 jk =wl1jk, bernardo定義一個(gè) 0-1 矩陣 p,其每行、每列只有一個(gè)元素為 1, 余者均為 0.使j ,kjk p jk 極大 ,即maxjkp jkjkms.t.p jk=1k=1,2, ,mj 1mp jkk 1=1j=1,2, ,mp jk 0,1p 中的非 0 元素 p jk =1 表示方案 aj 應(yīng)當(dāng)排在 k 位.12.4社會(huì)福利函數(shù) social welfare function11 / 25一、社會(huì)福利 social welfare1. 福利經(jīng)濟(jì)學(xué)是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個(gè)學(xué)派，主要討論社會(huì)的福利與福利的判

30、定問(wèn)題；2. 福利經(jīng)濟(jì)學(xué)家 例 bergson, samulson等 認(rèn)為：社會(huì)福利是一種可以測(cè)度的量，人們可據(jù)以判定一種社會(huì)狀況是優(yōu)于，無(wú)差異于仍是劣于另一種社會(huì)狀況；即可以用social welfare function來(lái)度量社會(huì)福利；定義：swf是社會(huì)狀態(tài) x 的實(shí)值函數(shù)，是社會(huì)福利的測(cè)度，記作wx =g w1 x, , wn x note:社會(huì)福利是社會(huì)中各成員所享受福利的綜合，而非總和; 個(gè)人的福利 wi x 與該成員對(duì)社會(huì)的奉獻(xiàn)、位置、個(gè)人的愛(ài)好、愛(ài)好等多種因素有關(guān) .3. 如用 u i x 表示社會(huì)狀態(tài)x 帶給成員 i 的福利，就 wx=gu 1 x , ,u n x,n在相互效

31、用獨(dú)立時(shí)g可表示為加性，即wx=i 1i ui x但是，由于存在不確定性,設(shè)導(dǎo)致 x j 的自然狀態(tài) j 的概率為 j 故應(yīng)有： max ew x =w x j jj ,所以社會(huì)福利的判定極其復(fù)雜.即使對(duì)確定性的 xa) 各成員間的效用并不獨(dú)立：不患寡而患不均;b) 兩個(gè)人的福利相加并無(wú)意義 一個(gè)人享受雙分福利與二人各享受一份絕不等價(jià),所以加性社會(huì)福利函數(shù)并無(wú)實(shí)際意義.而且使用 swf存在如下問(wèn)題 : 各成員的福利 效用 函數(shù)如何確定 . 人與人間的福利函數(shù)如何校定基準(zhǔn)值與比例尺，即如何進(jìn)行效用的人際比較. 由誰(shuí)評(píng)判 . 怎樣評(píng)判 . 即個(gè)人的誠(chéng)懇性與評(píng)判的公正性如何檢驗(yàn).社會(huì)福利函數(shù)的實(shí)質(zhì)：

32、是一種規(guī)章，是潛在的群決策過(guò)程, 是從個(gè)人對(duì)社會(huì)狀況的排序得出社會(huì)總體排序的方法 .二、偏好斷面 profile of preference ordering偏好分布 1 可能的偏好序(1) 二個(gè)方案xy , xy ,xy(2) 三個(gè)方案r1 : xyz , r2 : xzy , , r13 : xyz記各方案間可能的偏好序集合r = r1 , r 2 , , r s , 就可能的偏好序種類s 為:方案數(shù) m 234578只考慮強(qiáng)序時(shí) m.26241207205040全部 s313755414386460332 偏好斷面：記成員 i 的排序?yàn)?oi , o i rn 偏好斷面 p = o1,o

33、2, ,onp r 社會(huì)福利函數(shù) f :p r3.可能的社會(huì)福利函數(shù)92個(gè)成員 , 2個(gè)方案成員的偏好序s=3 時(shí),f的定義域即偏好分布有3 2 = 9 種, f的值域即群的排序?yàn)?3,因此, f的可能形式有 3=19683 種.3個(gè)成員 , 2個(gè)方案時(shí) , f的可能形式有 3 27 =7.6256 10 12 種.2個(gè)成員 , 3個(gè)方案時(shí) , f的可能形式有 13169 =1.8 10188 種.3個(gè)成員 , 3個(gè)方案 ,只考慮強(qiáng)序時(shí) , f的可能形式有 6 216 =1.2 10 168 種.在這很多可能形式中 , 哪些比較合理呢 . k. j. arrow討論了社會(huì)福利函數(shù)應(yīng)當(dāng)滿意的條件

34、.三、 arrow 的條件 即社會(huì)福利函數(shù)應(yīng)當(dāng)具有的性質(zhì)條件 1.完全域 廣泛性 universality a.m 3b). n 2c). 社會(huì)福利函數(shù)定義在全部可能的個(gè)偏好分布上;條件 2.社會(huì)與個(gè)人價(jià)值的正的聯(lián)系 positive association of social and individual value如對(duì)特定 p, 原先有 xg y，就在 p 作如下變動(dòng)后仍有有xg yi. 對(duì)除 x 以外的方案成對(duì)比較時(shí)偏好不變ii. x與其他方案比較時(shí)或者偏好不變，或者有利于x；有利于 x 是指 xi y xi y 或者 yi x xi y 或 xi y 原先有 xg y,就在 p 作如上

35、變動(dòng)后仍有xg y 或 xg y條件 3 無(wú)關(guān)方案獨(dú)立性 i ndependence ofi rrelevantalternativesi. a1a , a 1 a1 =a 對(duì) a1 中方案的偏好變化不影響a1 中方案的排序 , 換言之ii. x ,y的優(yōu)劣不因 z 的加入而轉(zhuǎn)變 .條件 4.非強(qiáng)加性 公權(quán) citizen sovereignty 總要有某些成員認(rèn)為xi y 時(shí)，才能有 xg y. 條件 5.非獨(dú)裁性 non- dictatorship 群中任一成員 i都沒(méi)有這樣的權(quán)力: xi yxg y此外，個(gè)人和群的優(yōu)先序應(yīng)滿意連通性 可比性 ，傳遞性 .條件 2 加條件 4 即 pare

36、to條件 .四、 arrow的可能性定理13 / 25定理 1 m=2 的可能性定理 如方案總數(shù)為 2, 過(guò)半數(shù)決策方法是一種滿意條件1 5 的社會(huì)挑選函數(shù)， 它能對(duì)每一偏好分布產(chǎn)生一個(gè)社會(huì)排序；定理 2 一般可能性定理 即 arrow 不行能定理如 m 3，社會(huì)中的成員可以對(duì)方案以任何方式自由排序，就滿意條件2 和 3 且所產(chǎn)生的社會(huì)排序滿意連通性和傳遞性的社會(huì)福利函數(shù)就必定是，要么是獨(dú)裁的，要么是強(qiáng)加的；arrow不行能定理的本質(zhì)是condorcet效應(yīng) 投票悖論 的公理化描述 .另一種表述法 *:滿意 u.p.i的防投票策略性選舉都可能產(chǎn)生一個(gè)獨(dú)裁者, 即沒(méi)有一種選舉方法是非獨(dú)裁的且是防

37、投票策略的 .五、單峰偏 black好與 coombs條件要使 arrow 的不行能定理成為某種可能性定理,必需放松 arrow 的條件 1、 2、 3.第一放松條件 1 完全域 .1. 單峰偏好背景 :在議會(huì)中 , 通?？梢罁?jù)各黨團(tuán)的政治傾向從左到右 或從激進(jìn)到保守 依次排列 . 此時(shí)議員對(duì)各黨派 以與該黨派的議案或候選人 的排序就和這些黨派的政治傾向與議員本人的政治觀點(diǎn)的距離有關(guān) ,即滿意單峰偏好約束 .2. coombs 條件背景 : 給 aj 賦值 a j ,成員 i 的抱負(fù)點(diǎn)為 i i ,方案 aj 的優(yōu)劣與 | aj - ii |的大小成反比例 .coombs條件與單峰偏好的區(qū)分：

38、coombs條件要求對(duì)稱于 i i .3. 多樣性程度 不考慮 ,只考慮強(qiáng)序 fbm = 2m 1fc m =m1m+12m3457104f b m/m.2/38/2416/120.0131.41105f c m /m.2/37/2411/120.0041.27104. 使過(guò)程多數(shù)規(guī)章具有傳遞性的偏好斷的規(guī)模 228六、 scf與 swf的比較同異：均為集結(jié)方法采納數(shù)學(xué)的投表決法 排序 以方案成對(duì)比較作基礎(chǔ)swc的方案可以無(wú)限，scf中方案有限性質(zhì)與條件： 2 單調(diào)性2+4pareto 最優(yōu) 一樣性 (3) ，5匿性性1b中性自反連道明確性12.5 群效用函數(shù)一、導(dǎo)致 arrow 不行能定理的

39、緣由 否認(rèn)效用的基數(shù)性； 否認(rèn)效用的人際比較的可能性以咖啡或茶待客問(wèn)題為例： 甲認(rèn)為咖啡茶乙認(rèn)為茶咖啡由甲乙構(gòu)成的群不能作結(jié)論但如拋開(kāi)無(wú)關(guān)方案獨(dú)立性條件：甲認(rèn)為咖啡茶牛奶汽水可樂(lè)啤灑乙認(rèn)為茶牛奶汽水啤灑可樂(lè)咖啡就似以茶待客為宜 .但是 , 如甲乙表達(dá)的對(duì)飲料的偏好強(qiáng)度如下就仍以咖啡待客為宜.即: 如各成員的偏好可比強(qiáng)度可測(cè), 就集結(jié)成員偏好序就成了集地各成員的基數(shù)效用 . 這一效用函數(shù)滿意兩個(gè)公理和五個(gè)條件，阿羅的不行能定理就成為可能定理.二、群效用函數(shù)與多目標(biāo)效用函數(shù)的比較形式一樣 :對(duì)方案的評(píng)判都涉與多個(gè)準(zhǔn)就實(shí)就不同： mauf是由一個(gè)決策人作判定的，只要量化他對(duì)各屬性的偏好 即可以由他一

40、個(gè)人對(duì)各屬性值作權(quán)衡 這種量化是可以實(shí)現(xiàn)的;guf要考慮群中各成員的偏好，再設(shè)法集結(jié)，由于a+ui x仍是成員 i的效用，如何確定各成員的aa 為效用基準(zhǔn) 、bb 為比例尺度 , 使群中各成員的效用可比, 這是很難 假如不是不行能 . 實(shí)現(xiàn)的 .有人提出 :集結(jié)群體效用應(yīng)當(dāng)找一個(gè)超脫于各成員之外, 公正無(wú)私的人 , 他要想象自己處于群種各個(gè)成員的客觀位置且具有其一樣的主觀愛(ài)好,去估量各種社會(huì)狀況對(duì)群中各成 員的效用 ,再據(jù)以集結(jié)成群的效用.但是, 在現(xiàn)實(shí)生活中 ,不行能找到這樣的人 .三、群決策提法本身存在缺陷在第一章中 , 我們指出 : 決策是自由意志行動(dòng) .因此 , 個(gè)人能決策；群不是統(tǒng)一

41、實(shí)體，不具備自己意志，不能決策，群是社會(huì)的作用：群中成員只能打算： 如何投票；是否接受他人看法；是否要提反對(duì)看法15 / 2512.6談判與仲裁12.6.1引言一、群決策的分類harsanyi依據(jù)群中成員的行為準(zhǔn)就把群決策分為兩大類： 從倫理道德動(dòng)身，追求群作為整體的利益，屬于集體決策, 即社會(huì)挑選問(wèn)題例如：委員會(huì)，董事會(huì)，智囊團(tuán)所作的決策; 追求自身利益與與他人對(duì)立的價(jià)值，是計(jì)策即博奕問(wèn)題, 談判可以歸入這一類 .二、討論沿革 1994 von-neumann-morgensterm,用數(shù)學(xué)模型討論談判問(wèn)題 nash1950 談判問(wèn)題 bargaining problem luce, r.d

42、 & raifa, h1957, games and decision raiffa, h.1982:the art and science of negotiation12-6-2 nash 談判模型一、問(wèn)題表述 ：甲、乙兩個(gè)談判者 ,效用分別為 u1 和 u2 ;可行域?yàn)?r，現(xiàn)況點(diǎn)為 xc , yc pareto最優(yōu)邊界 qp的子集 mn較現(xiàn)況點(diǎn)占優(yōu)勢(shì), mn 稱為談判集 見(jiàn)下圖 .圖 12.2二、基本假設(shè)1. 每個(gè)人都盼望對(duì)方是合乎理性的;2. 談判雙方的效用函數(shù)u1 和 u2 能足夠精確地反映各自的偏好;3. 任何協(xié)議一經(jīng)達(dá)成就具有強(qiáng)制性，不得違約.三、 nash 提出的四條公理 為

43、了預(yù)先求得談判結(jié)果公理一后果限于談判集談判雙方一樣達(dá)成的協(xié)議點(diǎn)x* , y* 是談判集中的點(diǎn)，是可行的, pareto最優(yōu)的，不劣于現(xiàn)況點(diǎn)的值；公理二對(duì)稱性假如可行域是對(duì)稱的，現(xiàn)況點(diǎn)是對(duì)稱的 即 如x,y r,就y,x r; xc = yc ,就達(dá)成*的協(xié)議點(diǎn)也是對(duì)稱的 即 xy* ；即雙方均合乎理性，策略互為鏡象對(duì)稱協(xié)議點(diǎn)公理三策略上等價(jià)表示的不變性由 u1 u 1 = 1 u1 + 1*u2 u 2 = 2 u2 + 2 構(gòu)成新問(wèn)題 ,*如 x , y 是原問(wèn)題的協(xié)議點(diǎn) ,就 1 x1 ,2 y2 是新問(wèn)題的協(xié)議點(diǎn) .由此公理， 在求解談判問(wèn)題時(shí)不必對(duì)雙方的偏好強(qiáng)度作人際比較, 且可以對(duì)談

44、判問(wèn)題進(jìn)行座標(biāo)變換使之規(guī)化再求解；公理四無(wú)關(guān)方案獨(dú)立性*有二個(gè)談判問(wèn)題 ,如 r2r1 ;兩個(gè)問(wèn)題的現(xiàn)況點(diǎn)一樣, 且 xc , yc r 2，且第一個(gè)談判問(wèn)題的協(xié)議點(diǎn) x , y r 2,就 x , y 也是談判問(wèn)題二的協(xié)議點(diǎn).四、定理*如公理一到四成立，且r中存在 x xc ,y yc 的點(diǎn),就 x , y上的函數(shù) x- xc y- yc 取極大值 .更一般的，對(duì)n 2 的多人談判問(wèn)題 ,nash-harsanyi談判模型為：n 唯獨(dú)，它使定義在rmaxxici i 1s. t.xi cii=1,2, ,nx r其中 ci為判談人 i 的現(xiàn)況值 ,xi 為判談人 i 的后果 ,x = x1,

45、 x2, , xn,r為 x 的可行域五、評(píng)注 ：對(duì)實(shí)際的談判問(wèn)題： pareto邊界于復(fù)雜，難以求得; 效用難以設(shè)定 足夠精確 ; 公理四的合理性可疑例：1 y1 y17 / 25.5, .5r2.5, .5r1 r2xxa1b1圖 12.3圖 12.3 之 a 所示為談判問(wèn)題一, 現(xiàn)況點(diǎn)為 0,0,由于可行域的對(duì)稱性 ,以0.5, 0.5作為協(xié)議點(diǎn)是談判雙方都可以接受的 ; 依據(jù)公理四 , 在 r1 中去掉無(wú)關(guān)方案 r2, 得到新的談判問(wèn)題二 , 可行域?yàn)?r2, 見(jiàn)圖 12.3 之 b. 問(wèn)題二的協(xié)議點(diǎn)仍為 0.5, 0.5. 在問(wèn)題一中 , 談判雙方各得最大可能值的一半 , 雙方都能接受 ; 問(wèn)題二中 , 甲方只得最大可能值的一半 , 而乙方得到了最大可能值 , 即在談判中乙方未作任何讓步 , 甲對(duì)此確定難以接受 . 事實(shí)上 , 可行域反映了談判人的實(shí)力位置 , 沒(méi)有什么無(wú)關(guān)方案.12-6-3 其