不定積分含變上限積分和微分解題方法

1、不定積分和微分-J-J一、公式 一 f (x)dx = f (x)和 f (x)dx = f (x)dx = f(x) c 的應(yīng)用 dxdx注意：f(x)的不定積分為F(x)c= F(x)是f (x)的原函數(shù)二f (x)是F(x)的導(dǎo)數(shù),即f(x)dx 二 F(x) c或 F，(x)二 f(x)1已知不定積分的值，求被積函數(shù)或被積函數(shù)中的一部分，利用兩邊求導(dǎo)處理已知 f ( (x)dx 二 F (x) c，求 f (x)方法：求導(dǎo)得 f ( (x) F /(x)，令：(x) = t，則 x =，(t)，即 f (x) = F / (x)例 1 ( 1)f(x)dx=x2 c，求 xf(1-x2

2、)dx解：對 f(x)dx=x2 c 求導(dǎo)得 f(x) =2x， f (1-x2) =2-2x2222 2X2則 xf(1 -x )dx 二 x(2 -2x )dx 二 xcdx(2) .xf(X)dxrcsinX C,求.帀解：對.xf (x)dx 二 arcsinx c兩邊求導(dǎo)得 xf (x) 口d-x2，即f(x)二 1X i 1 - X2fXr x -壯“冷-xQ-x2)1 2 -丁一x)2 c51/402、已知導(dǎo)數(shù)值，求原函數(shù)，利用兩邊積分的方法處理已知 F /(x) = f (x)，求 F (x)方法：令：(xt，則 X=，(t)，即 F，(t) = f (t)，/ 2 2例 2(

3、 1) f (sin x)二 tan x，求 f (x)cos2 x 1 -t解：令 sin2 x = t，則 cos21 = 1 -t， tan2 x = sin X t即f/(t)詁兩邊積分的f(t)占dt_ In |t _11 c(2)已知 f / (一x) = x f / (x) -1，求 f (x)f/(x) = -xf/(-x)-1解：令 - X =t，則上式為 f/(t)二一t f/(-t) -1，即2x由上面兩式得 f /(x) = 2x +1x兩邊積分得 f (x)二 dx = ln(x 1) c x +1f(0) =0,11f (lnx：,x0 ： x _1，求f(u)(3

4、)設(shè) f (u)在-：:U ：: :內(nèi)可導(dǎo)，且解：令 In x =t得 x = ，f/(t)才0 : et 1et 1即 f/(t)1te2t0(4)設(shè) y = f (x)在 x處的改變量為-y x oGx) ( -x 0)，y(0) = 1，求 y(1)1 + x解：由.：yx oUx)知 y/1 x1 xJ即魚=竺y 1 +x兩邊積分得得 In y 二 In(1x) c而 y(0) =1=1x 故 y/(1)=153 / 40解：o f (x)dx =xf (x) |xf(5)設(shè) f(x)= ；dt，TT0 f(x)dxn si nx , (x)dx*dx-,0兀_xjsi nxdx =

5、2二、已知F(x)是f (x)的原函數(shù)二F，(x)= f(x)，求被積函數(shù)中含有j ! f (x)dx = F (x) cf (x)的積分1由f (xF/(x)求出f(x)，代入積分計(jì)算2、把積分轉(zhuǎn)化為.f ( (x)d( (x)的形式，利用.f (x)dx二F(x) c求值例3 (1)竺上是f (x)的原函數(shù)，a = 0，求x解：因?yàn)閟是f (x)的原函數(shù)，所以f(x)dx =xta xf (ax) dx asin xcx(2) e是 f (x)的原函數(shù)，求x2 f (In x)dx解：因?yàn)?f(x) (e)/ - -e1，所以 f (In x):x2x貝V x2 f (In x)dx -

6、- xdxc2三、已知f(x)的表達(dá)式，求被積函數(shù)中含有f( ;：(x)的積分1由f (x)求f：(x)，再把f：(x)的表達(dá)式代入積分計(jì)算2、由f(x)先求 f(x)dx，把含有f( (x)的積分轉(zhuǎn)化為f( (x)d (x)的形式處理例 4 (1) f (sin . 2 2解：因?yàn)?e“)/ 二 f (x)，所以 f (x)二-2xe , f (x)dx 二 e心 cx(x)dx 二 xd f (x) = xf (x) - f (x)dx 二-2x2e(4) f(x)二 xex，求 f/(x) ln xdx解：.(x) I nxdx 二 In xd f (x) = f (x) I nx-x)

7、=，求 f x f (x)dx sin x- xI解：在(f (x)dx中，令 x=sin2t得sin21、1 - sin211 -x2 2 2 2f (sin t)d (sin t)=2 s in t f(sin t)dt=2 tsin tdt 二 -2 td(cost)二-2t cost 2 costdt二-2tcost 2sint c因?yàn)?si n t = x , cost = . 1 - x , t = arcs in、x所以f(x)dx = 2丁1x arcsi門依+2依+。1 -x2(2) f(x2-1)=ln 二 ，且 f (x) = lnx求 (x)dx x -22t +1解：

8、令 x2 -1 =t,則 f (t) = In ，而 f (x)H lnxt 13(x)+1x+1則 In 亠 - =lnx 即(x)(x)-1) x-1x +1(x)dxdx = x 2In | x -11 cx T2(3) (e)/=f(x)， f / (x)連續(xù)，求 xf/(x)dxxxxx=xe Inx- e dx = xe Inx-e c(5) In f(x) =cosx，求 xf (x) dxf(x)xf (x)解：dx 二 xd|nf (x)=x|nf(x) In f (x)dxf(x)=xcosx - cosxdx 二 xcosx -sin x c257 / 40(6)設(shè) f(

9、x)二2x sintdt t1求 0 xf (x) dx解：因?yàn)閒 (x)二，所以f/(x)sin2x2x2sin x21 10xf(x)dx 石1,of (x)dxx2 f (x) 1|01 2 /0x f (x)dx 二12-xsin x dx1 122sin x dx2 0cosl 1解:1令 2x1212/oxf (2x)dx 二-0tf (t)d- 0tdf (t)二tf /(t).2h|01 2 /-4 0f(t)dt1 2 .1cos x Io 二2 2 2四、利用湊微分法求積分注意：f/g(x) g/(x)dx=f/g(x) dg(x)=df(g(x)f/(2) f (2) -

10、f (0)(2)設(shè)f (x)二階可導(dǎo),解:b / /af (x)f (x)dxf /(b)二 a，f/(a) =b，求bf/(x)f/(x)dxab二 f (x)df (x)二a/ 2f (x).b a2-b2(3)設(shè) q f (x) f (x)sin xdx = 5， f (二)=2，求 f (0)解：0 f(x)sinxdx = o sinxd f，(x) = 一 f(x)cosxdx=-|JTcosxdf (x) = f (0) - f 伍)- J：f (x) sin xdx因?yàn)?0【f(x) f(x)sinxdx =5，所以f(0) - f(二)=5 而 f(J =2，故 f(0) =

11、 7五、已知 F / (x)二 f (x)，且 f (x) F (x)二 g(x)，求 f (x)方法：兩邊積分F，(x)F(x)dx二g(x)dx，得字g(x)dx，求 f(x)例6( 1) F(x)是f (x)的原函數(shù)，且x_0時，有f (x) F(x) =sin22x，又 F(0) =1,F(x) 一0,求 f (x)解：因?yàn)镕(x)是f (x)的原函數(shù)，所以F，(x)二f (x)，由于 f(x) F(x) =sin2 2x/ 2故 F，(x) F(x)二 sin22x，# / 40(2)f (x)連續(xù)，且當(dāng)x * -1時,xf(x) 0f(t)dt 1二xxe + 2，求 2(1 x)

12、2f(x)解:x/令 g(x)二 0 f(t)dt，g (x)x= f(x)，由于 f(x).0f(t)dt 1=xxe2(1 x)2g/(x)g(x) 1=xxe2(1 x)2兩邊積分得.F/(x)F(x)dxsin2xdxgdxmco4xdx 擰-譽(yù) s 而 F，(x)F(x)dx 二 F(x)dF(x)-故 F 2(x) = x _sin4x c，又 F (0) = 1 得 c = 141 -cos4x,4 x si n 4x 4而 F(x) _0，所以 F(x)二.x-si：4x 1 f (x)兩邊積分得g/(x)g(x) 1dx =x xe2(1 x)2dxx xe葩盹2(1 Fdx

13、 Jdx - dx2 1 x 2 (1 x)g(x) 12 二因?yàn)間(x)二 0 f (t)dt 令 x = 0得 g (0)=0 ,代入上式c = 0故 g(x-；1，x-1，f/(x) =x ex2(1 x)2(3)已知f (x)為非負(fù)連續(xù)函數(shù)，且x 0時,X3f(x)f(x-t)dt =x3，求 f(x)x提示：因?yàn)?0 f (x) f (x-t)dt =六、變上限積分的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算f (x) Jo f (u)du，令 g(x) = Jo f (u)du 處理b注意：如 F(x)二 xf(t)dt,x a,b，則 F(x) - - f(t)dt，則 F，(x)二-f (x)J(x)如F(x)

14、f (t)dt，則由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則有aF/(x) dF(u) dU = f(ur ：/(x f (x) dxdx(x)(3)如 F (x)二f (t)dt，可得成 F(x)=虹)f (t)dt +f(x)f(t)dt，則x63 / 40F，(x)二 f(x) (x)- f (x)/(x)x 2例 7( 1)已知 f (x)滿足 xf (x) = 1 亠！ t f (t)dt，求 f (x)解：兩邊求導(dǎo)得 f (x) xf/(x) = x2 f (x)即ff(x)1(x )dxx(2)求一個不恒等于零的連續(xù)函數(shù)f (x)，使它滿足f2(x)x sin t0f(t)dt2 cost解：兩邊求導(dǎo)

15、得2f (x)(x)二 f (x)sin x2 cosx/sin x即f(x) (2flx)=02 + cosx因?yàn)閒 (x)是不恒等于零的連續(xù)函數(shù)，故f/(x)sin x4 2 cosx1 sin x1兩邊積分得 f (x) = dx - - 1 n(2 - cosx) - c2 2 +cosx 22xsin t在f1因?yàn)?f(1)=1，上式中令 x =1 得 2 f(u)du-f(1) =1223所以 f (x)dx 二-M41(2) 求可導(dǎo)數(shù) f(x)，使它滿足.f(tx)dt 二 f(x) xsinx(x)二 f (t)dt中令x=0,得f(0)=0代入上式有c 1n32 +cost2

16、11故 f (x)In(2 cosx) In 322(1)上題要充分利用已知條件確定初始條件f (0) = 0(2)定積分或變上限積分的被積函數(shù)有參變量時，必須通過換元，使被積函數(shù)不含參變 量，然后再求導(dǎo)例8( 1)已知f (x)連續(xù),解：令 2x -t 二 u ,貝Ux0tf (2x-t)dt=1 arcta n x222f (1) = 1 求 J f (x)dx兩邊求導(dǎo)得：2xx2 x f(u)duXf(x)=1x4即xx2x2xtf(2x-t)dt(2x-u)f (u)du = 2x f(u)du- uf (u)du0 2x x x2x2x122x f(u)du - uf (u)du a

17、rctanx1解：令 tx =u，則 p f (tx)dtx0f W)du2 xx1x2因?yàn)?o f (tx)dt = f (x) xsinx ，所以 f (u)du = xf (x) + x sinx兩邊求導(dǎo)得 f/(x)=-2sinx-xcosx兩邊積分得 f (x) - -2 sin xdx - xcosxdx = cosx - xsinx c由方程dty *2x2 si nttdt = 1 ( x 0)確定y是x的函數(shù)，求32解：對x求導(dǎo)得ey,2sinx2=0，故虬dx2eydx(4) y =y(x)是由 xy x .2/e1 dt = 0確定的函數(shù)，求y /xd3解：對 x求導(dǎo)得

18、1 -ey Uy， 1) =0故 y/ 二 e(y -1y “X2e dt =0中令x =0時，有1注意：此題確定y的方法(5)設(shè)f (x)為已知可導(dǎo)奇函數(shù),g (x)為f (x)的反函數(shù)，則 dxx(x)xg(t -x)dtx -f (x) 解：令t -x = u，貝UJx-f (x)xg(t -x)dt = x 0 g(u)du所以dx x -f (x)- .f (x)/xg(t x)dt = J。 g(u)du xf (x)，g f(x)x-f(x)/令 h(x)二 0 g(u)du，則 h (x)二-f (x) g-f (x)=xf/(x)兩邊積分得 h(x) = xf/(x)dx =

19、 xf (x) - f (x)dxdx-f(x)2 /故xg(t-x)dt = xf(x) x f (x)-f(x)dxdx vx d(6)設(shè)函數(shù) f(x)可導(dǎo)，且 f(0)=0, g(x)tnf(xn-tn)dt，求lim弩x )0 x解：令 xn -tn =ux 11，則 g(x)=J0tn f (xn tn)dt =匚 f (u)duxn由于 g / (x xn4 f (xn)故 g(x) g/(x) 故!叫丁巳叫齊嚴(yán)1f(xn)=2 丁二丄 limf(xn) f(0)2n x Qnx -0f/(0)2n七、求分段函數(shù)的不定積分先分別求分段函數(shù) f(x)的各分段在相應(yīng)區(qū)間的原函數(shù)F(x)

20、，然后考慮函數(shù) F(x)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性。如果f (x)在分段點(diǎn)x0處連續(xù)，則F (x)在x = X。處連續(xù)，X +1 X 蘭 1例 9( 1) f(x) =，求f(x)dx2x x 1x2 解：當(dāng) x _1 時， f (x)dx = (x 1)dxx C122當(dāng) x 1 時， f(x)dx 二 2xdx = xC23 11因?yàn)?f (x)dx在x =1處連續(xù)，故1 c2ci，即c2c1c2222x一 + X +c X 蘭1所以 f(x)dx 二 22 1Xc X 11 2(2) max(1,x2)dx1一 1蘭x蘭12 2解：maX 1, x ) = x x a 12 .XX T當(dāng) 一1

21、_x 一1 時，max(1,x2)dx = dx = x y2 2 x3當(dāng) x 1 時，ma1,x)dx= x dxC23x3當(dāng) x -1 時，ma1,x )dx = x dxc33求滿足F(1) =1的原函數(shù)1 2由于 1 = F =lim F (x)，即 1 = 1 & C2 得 0=0，q =i3312又由于 F (-1) = lim F (x)，即 TC3 得 C3 :xt33x c 一1 _ X_13x max(1,x2)dx = 33x-?cx 1x ： -1(3)xdx ( x_0)解：分別求出在區(qū)間n, n，1 ( n =0,1,2,3)上滿足F(0)=0的原函數(shù)在n, n 1

22、上，xdx = nx cn , F (n 1) - F(n) = n在n 1, x上，xdx = (n 1)x Cn 1 , F (x) - F (n 1) = (n 1)(x - n - 1)故xdx = 0T23 n (n 1)(x - n -1) c = (n 1)(x- -1) c2八、分段函數(shù)的變上限積分cosx例 10( 1)f (x)=!cJI0 二 x 二一2Ttx - 2x求(x o f (t)dt，并討論(x)在0,二的連續(xù)性解：當(dāng)Xx近時,xxit當(dāng) x乞二時,2(x) = f(t)dt 二 costdt =sinxX二兀(x) f (t)dt ：costdt 亠 I .

23、 cdt =12(x)在0, ),(，二上連續(xù)，在x 處，2 2 2lim (x) = lim 1 c(x ) =1， lim (x)二 lim sin x = 1 x?x2xjxj故(x)在x 處連續(xù)2(2)f (x)二解:cosx0 _ x _ 2x，求 tf (x -t)dt令 x -t =u ,則 0tf (x t)dt 二 X 0 f(u)du - 0xuf (u)du此時此時ji-x 時,2x0 f (u)du 二 o cosudu 二 sin xxuf (u)du 二 ucosudu 二 xsinx cosx-1xJf (x t)dt =1 - cosxji時，2x0f(u)dux0uf(u)dux3otf(x-t)dtu-x：-;二 72cosudu 亠 i , (