第二章應(yīng)力狀態(tài)理論

1、第二章第二章 應(yīng)力狀態(tài)理論應(yīng)力狀態(tài)理論2021-9-232 應(yīng)力的概念是固體力學的最重要的概念之一,應(yīng)力分量具有張量的性質(zhì)，符合張量的坐標變換規(guī)律。 考慮單元體的平衡，得到平衡微分方程，在邊界上得到邊界條件，邊界條件在彈性力學問題的求解中占有重要的地位。2021-9-2332.1 2.1 張量的概念張量的概念2.2 2.2 應(yīng)力和一點的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力和一點的應(yīng)力狀態(tài)2.3 2.3 平衡微分方程平衡微分方程2.4 2.4 邊界條件邊界條件2.5 2.5 主應(yīng)力和應(yīng)力張量不變量主應(yīng)力和應(yīng)力張量不變量2.6 2.6 轉(zhuǎn)軸時應(yīng)力張量的變換轉(zhuǎn)軸時應(yīng)力張量的變換2.7 2.7 圣維南原理圣維南原理2.8 2

2、.8 例題例題2.1 張量的概念張量的概念指標符號(1)量與數(shù)：任何一個量都是客觀對象的數(shù)學表征，通常是由若干個數(shù)字給出的，最簡單的量稱為標量，由一個數(shù)字確定。矢量有大小、方向，就不能只用一個數(shù)值表示，由若干分量組成，引入下標記號法。 2021-9-235 可以將坐標x, y , z 軸，記為x1, x2, x3, 通常可簡記為xi,各軸的基矢記為e1,e2,e3,可簡記為ei, 在此坐標系中的矢量v的分量記為v1, v2, v3, 可簡記為vi。 矢量的點積: 一個矢量和另一個矢量的點積可以決定一個標量，用指標符號可記為:iievevevevV332211iisfsfsfsfSFW33221

3、12021-9-236 求和所得到的結(jié)果，不再含有這一指標，這一指標換為其它的指標也不會影響其結(jié)果，這一指標稱為啞標。 不求和的指標稱為自由指標。一項中有其它符號的指標，通常有泛指的意義。(2) Einstein求和約定：最后一個等式在符號 下fi si有兩個同樣的指標i。約定凡在同一項中有一對相同的指標（也就是一個指標出現(xiàn)兩次時），就認為是對這一指標從1到3全程求和，并限定在同一項中不能有同一下標出現(xiàn)3次或3次以上，求和符號略去不寫，記為： wiisf33sf2021-9-237 記基矢的點積 e i e j = ij其中稱為克羅內(nèi)克爾 代爾塔符號(Kronecker delta)。該定義表

4、明它有該定義表明它有對稱性，與指標對稱性，與指標排列順序無關(guān)，排列順序無關(guān)，即：即：ijij jiji2021-9-238記基矢的混合積 (e i e j ）e k = e ijk 其中稱為置換符號。利用置換符號，兩個矢量的矢積可記為 a i b j = e ijk ai bjek當i，j，k有兩個或三個相同當i, j, k為偶置換當i, j, k為奇置換2021-9-239將求導符號簡記為：梯度可記為：則散度可記為：iixxxeeee,332211iivxvxvxv,332211 viix,)()(2021-9-2310 標量與坐標軸的選取無關(guān)，但矢量分量和應(yīng)力分量和坐標軸的選取有關(guān)，這種與

5、坐標變換有關(guān)，滿足規(guī)定坐標變換公式的物理量稱為張量。 標量稱為零張量，矢量為一階張量，矩陣（方陣）是二階張量。二二 張量的定義張量的定義 在力學中常用的物理量（或幾何量）可分為幾類：標量（只有大小沒有方向）；矢量（既有大小又有方向）；張量（具有多重方向性的更為復(fù)雜的物理量）2021-9-2311應(yīng)力張量：一點的應(yīng)力狀態(tài)，它具有二重方向性，即應(yīng)力分量的值既與截面法線的方向有關(guān)又與應(yīng)力分量本身的方向有關(guān)，是二階張量，可記為 。 = )(ij )(ij xxxyxzyxyyyzzxzyzzxxxyxzyxyyyzzxzyzzxxyxzyxyyzzxzyz2021-9-23122.2 應(yīng)力和一點的應(yīng)力

6、狀態(tài)應(yīng)力和一點的應(yīng)力狀態(tài) 根據(jù)物體連續(xù)性的假設(shè)，可認為物體在微小面上的S力是連續(xù)分布的，內(nèi)力F則是這個分布力的合力，于是分布集度為： 即平均力。 當S很小時，這個集度的極限就稱為應(yīng)力，表示為：Sfsv F lim0FS FS2021-9-2313在給定的直角坐標系下，應(yīng)力可沿3個坐標方向分解，分別表示為： , , 。則有： 這里的 ， ， 分別表示坐標單位矢量。應(yīng)力矢量又可分別沿微分面的法向和切向方向分解，分別表示為正應(yīng)力 和切應(yīng)力 。 vxf123vvxvyvzffefefevyf1e2e3ev v vzf2021-9-2314一點的應(yīng)力狀態(tài) 通過物體內(nèi)一點可以作無數(shù)個方位不同的微分面，各微

7、分面上的應(yīng)力一般各不同，我們把物體內(nèi)同一點各微分面上的應(yīng)力情況，稱為一點的應(yīng)力狀態(tài)。 在笛卡爾坐標系下，我們分別沿平行于坐標平面的3個微分面方向進行應(yīng)力分解后，可得到9個應(yīng)力分量，我們將他們整體稱為應(yīng)力張量，其中的每一個量稱為應(yīng)力分量。應(yīng)力張量表示為：2021-9-23159個應(yīng)力分量可以完全確定一點的應(yīng)力狀態(tài)。 zzyzxyzyyxxzxyxij 2021-9-2316 在外力作用下，物體整體平衡的同時，任何一部分也將保持平衡。我們從中取出一個單元體dv=dxdydz加以分析,物體內(nèi)某點的正應(yīng)力為i。 如果僅考慮單元體的平衡，可以不考慮單元體同一方向上相隔一定距離應(yīng)力的微小變化，前后兩面的應(yīng)

8、力可認為是大小相等、方向相反。但是，在分析整體的平衡時，應(yīng)力的這個微小變化，各面的應(yīng)力差就是造成物體各處應(yīng)力變化的原因，必須加以考慮。2.3 平衡微分方程平衡微分方程2021-9-2317 圖示單元體z軸方向的平衡，在z面的負面z處，正應(yīng)力記為z,在x面的負面處，切應(yīng)力記為xz；xyzoz正面z+dz處應(yīng)力為x正面x+dx處切應(yīng)力為xzzzzzdxxxzxzdxxxzxzd2021-9-2318在y面的負面y處，切應(yīng)力記為yz,xyzoy正面y+dy處應(yīng)力為yzyyyzyzd設(shè)Fbz 為物體的Z方向的體力分量?？偤秃笳肀愕玫絲方向的靜力平衡方程Z=0:yyyzyzd2021-9-2319同理

9、得到x、y方向的靜力（或運動）平衡微分方程:其中Fbx, Fby, Fbz 為物體的體力分量。利用前后、上下、左右面中心線軸的轉(zhuǎn)距為0,可以得到：即為剪應(yīng)力互等定理。根據(jù)切應(yīng)力互等定理，應(yīng)力分量為對稱張量。,yzzyzxxzxyyx222222(ututut或）或）或）從平衡方程中看到只有6個未知數(shù)ij。2021-9-2320平面狀態(tài)的平衡微分方程為：平衡微分方程的張量形式是：2021-9-2321 平衡微分方程的矩陣形式是： L+ F = 0其中L L是微分算子：zyxzxyzxyzyFFFFbbbTx2021-9-2322 按照按照邊界條件邊界條件的不同，彈性力學問題可分為位的不同，彈性力

10、學問題可分為位移邊界問題、應(yīng)力邊界問題和混合邊界問題。移邊界問題、應(yīng)力邊界問題和混合邊界問題。 位移邊界問題：物體在全部邊界上的位移邊界問題：物體在全部邊界上的位移分量位移分量是是已知的。已知的。 應(yīng)力邊界問題：物體在全部邊界上的應(yīng)力邊界問題：物體在全部邊界上的應(yīng)力分量應(yīng)力分量是是已知的。已知的。 混合邊界條件：物體一部分邊界具有已知位移，混合邊界條件：物體一部分邊界具有已知位移，因而具有位移邊界條件，另一部分邊界具有已知因而具有位移邊界條件，另一部分邊界具有已知面力，因而具有應(yīng)力邊界條件。面力，因而具有應(yīng)力邊界條件。2.4 邊界條件邊界條件2021-9-2323在外力作用下，我們從物體從中取

11、出的單元體位于邊界處，則單元體內(nèi)部應(yīng)力形成的內(nèi)力和邊界上的外力平衡。1) 如果邊界面正好和坐標平面平行，則立即可得到應(yīng)力應(yīng)滿足的條件。2) 如果邊界面和坐標平面斜交，則應(yīng)根據(jù)形成的四面體的平衡條件得到應(yīng)力應(yīng)滿足的條件。2021-9-2324 設(shè)邊界上一點處A的外力沿軸向的分量為px, py （沿正向為正）。 在邊界A這部分可視外力分量為應(yīng)力分量，直接得到應(yīng)力邊界條件： x = px yx = py2021-9-2325 設(shè)斜面ACD為邊界面，其外法線n的方向為(l1,l2,l3)，面積為S，邊界外力p分量為(px，py，,pz)，則三角形ABC、 ABD 、 BCD的面積分別為S在各相應(yīng)方向上

12、的投影為l1S, l2S, l3S。四面體的體積為 dv。nxyzo2021-9-2326注意，這里邊界上的外力是坐標軸方向上的分量。由x方向的平衡得到：pxS = l1Sx+l2Syx+l3Szx即 px= l1x+l2yx +l3zxxyz02021-9-2327由y、z方向的平衡得到: py= l1xy+l2y+l3zy pz= l1xz +l2yz+l3z其張量形式為 Pi = ij lj2021-9-2328 如果四面體取自物體內(nèi)部，則(px，py，,pz)是斜面上的應(yīng)力v（P）沿原坐標軸方向上的分量，將其與斜面的方向矢量點積，則得到該面上的法向應(yīng)力（正應(yīng)力）2021-9-2329切

13、應(yīng)力可按矢量方法求得：n2021-9-2330n當坐標轉(zhuǎn)動時，受力物體內(nèi)任一確定點的九個應(yīng)力量將隨著改變。在坐標系不斷轉(zhuǎn)動過程中，必然能找到一個坐標系，使得該點在該坐標系中只有正應(yīng)力分量，而剪應(yīng)力分量為零。n把這樣的微分面稱為主微分面，簡稱主平面，其法向方向稱為應(yīng)力主方向，而其上的應(yīng)力稱為主應(yīng)力。主應(yīng)力和應(yīng)力不變量2.5 主應(yīng)力和應(yīng)力不變量主應(yīng)力和應(yīng)力不變量2021-9-2331前面得到的就是斜面應(yīng)力公式，它給出了物體內(nèi)一點的九個應(yīng)力分量與通過同一點的各微分面上應(yīng)力之間的關(guān)系。這樣要了解各點的應(yīng)力狀態(tài)問題，化為求出各點的九個應(yīng)力量的問題。由前面的斜面應(yīng)力公式可知，過任意一點的法向矢量為由前面的

14、斜面應(yīng)力公式可知，過任意一點的法向矢量為n n的微分斜面上，其斜面應(yīng)力為：的微分斜面上，其斜面應(yīng)力為：如果法向矢量如果法向矢量n n為應(yīng)力主方向，則斜面應(yīng)力為應(yīng)力主方向，則斜面應(yīng)力f fn n應(yīng)與斜面應(yīng)與斜面法向矢量法向矢量n n同向，此時，斜面上只有正應(yīng)力而無剪應(yīng)力，同向，此時，斜面上只有正應(yīng)力而無剪應(yīng)力，于是：于是：可得到主平面上的法向矢量可得到主平面上的法向矢量n n應(yīng)滿足的關(guān)系式：應(yīng)滿足的關(guān)系式：引入引入ijij進行換標，上式改寫為：進行換標，上式改寫為：nnjjiijjfenennnjjfnn e0iijnjnn()0iijnijn 2021-9-2332上式是上式是n ni i的線

15、性代數(shù)方程組。其非零解存在條件：的線性代數(shù)方程組。其非零解存在條件：0 xxnxyxzyxyynyzzxzyzzn3212312222222302nnnxyzxyyzzxxyyzzxxyzxyyzzxxyzyzxzxyIIIIII 方程（*）稱為應(yīng)力狀態(tài)的特征方程，它的三個特征根即為主應(yīng)力。I1、I2、I3分別稱為應(yīng)力張量的第一、第二和第三不變量。*2021-9-2333由于方程（*）的根不變，故方程總的系數(shù)一定為不變量。如果坐標軸恰好與三個主方向重合，則應(yīng)力張量簡化為？主坐標系，主向空間？主應(yīng)力的幾個重要性質(zhì)：（1) 不變性：從物理意義上講，主應(yīng)力是物體內(nèi)部受外部確定因素作用時客觀存在的量。

16、（2）實數(shù)性（3）正交性（4）極值性：通過一點的所有微分面上的全應(yīng)力中，最大和最小的全應(yīng)力分別是絕對值最大和最小的主應(yīng)力。2021-9-2334 彈性理論的適用范圍是由材料的屈服條件來確定的。大量實驗證明，剪應(yīng)力對材料進入塑性屈服階段起決定性作用，例如第三強度理論，又稱特雷斯加（Tresca H)屈服條件，是以最大剪應(yīng)力為材料是否進入塑性屈服階段的判據(jù)；第四強度理論，又稱米澤斯（Von Mises R)屈服條件，則與八面體剪應(yīng)力有關(guān)。思考題：在點M應(yīng)力i已知的主坐標空間中求最大剪應(yīng)力計算式？2021-9-2335 2.6 轉(zhuǎn)軸時應(yīng)力分量的變換轉(zhuǎn)軸時應(yīng)力分量的變換 當坐標系改變時，通過一點的各應(yīng)

17、力分量應(yīng)當坐標系改變時，通過一點的各應(yīng)力分量應(yīng)如何改變。如何改變。 可以證明，當坐標平移式，應(yīng)力張量中的各可以證明，當坐標平移式，應(yīng)力張量中的各應(yīng)力分量不會改變，我們只研究當坐標旋轉(zhuǎn)時，應(yīng)力分量不會改變，我們只研究當坐標旋轉(zhuǎn)時，應(yīng)力張量的變換。應(yīng)力張量的變換。 設(shè)在笛卡爾坐標系設(shè)在笛卡爾坐標系oxyz下，某點的下，某點的9個應(yīng)力分個應(yīng)力分量為：量為： zzyzxyzyyxxzxyxij 2021-9-2336 現(xiàn)在讓坐標系轉(zhuǎn)過某一角度，得到新的坐標系現(xiàn)在讓坐標系轉(zhuǎn)過某一角度，得到新的坐標系 設(shè)它與老坐標之間的關(guān)系為設(shè)它與老坐標之間的關(guān)系為： 其中其中 表示表示3個新坐標軸對于老坐標軸的方向余個

18、新坐標軸對于老坐標軸的方向余弦，如果：弦，如果：zyxo x y zxyz1l3l2l3m2m1m3n2n1n)3 , 2 , 1(, inmliii2021-9-2337其中新坐標系下的應(yīng)力可表示為：其中新坐標系下的應(yīng)力可表示為： zyzxzzyyxyzxyxxji 333322221111nfmflfefnfmflfefnfmflfefzxyxxxxzxzxyxxxxyxzxyxxxxx 2021-9-2338 其中，過其中，過M點并與點并與 軸垂直的微分面對老坐軸垂直的微分面對老坐標軸是傾斜微分面，它的法線方向即為標軸是傾斜微分面，它的法線方向即為 軸方軸方向，其方向余弦為向，其方向余弦

19、為 ，固有斜面上的應(yīng)力可，固有斜面上的應(yīng)力可表示為：表示為： 將此式代入上頁公式整理可得將此式代入上頁公式整理可得:oxox111,nml 111111111nmlfnmlfnmlfzyzxzzxzyyxyyxzxyxxxx 2021-9-2339212121nmlzyxx111111222mlnlnmxyzxyz212121nnmml lzyxyx)()(12211221nlnlnmnmxzyz)(1331mlmlxy313131nnmml lzyxzx)(1221mlmlxy)()(13311331nlnlnmnmxzyz2021-9-2340 應(yīng)力分量為二階張量，應(yīng)力分量的坐標變換公式為

20、用指標符號記為Tlljjijiijill2021-9-2341 以平面應(yīng)力狀態(tài)為例，設(shè)新坐標系由原坐標系逆時針轉(zhuǎn)動而成，新坐標軸的基矢e 1 、e2 對原基矢e1 、e2 的過渡矩陣為式 lij=l，則坐標變換公式 ij=lijlT2021-9-2342cossinsincoslcossinsincoscossinsincosyxyxyxyyxyxx其展開形式為2021-9-2343當坐標系變化時，應(yīng)力分量也發(fā)生變化，當坐標系轉(zhuǎn)動到某些位置時，應(yīng)力分量中切應(yīng)力為零，僅有正應(yīng)力不為零，這些正應(yīng)力稱為主應(yīng)力。這時坐標系所指方向為主方向。從變換的角度來說，主應(yīng)力是應(yīng)力矩陣的特征值，主方向是特征向量的方向。 2.7 圣維南