定積分的背景教學(xué)設(shè)計(jì)

1、定積分的背景數(shù)學(xué) 王乃雪 江西高安二中【教學(xué)目標(biāo)】1. 知識(shí)目標(biāo)通過(guò)曲邊梯形的面積問(wèn)題、 變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)物體的路程問(wèn)題、 變力 做功問(wèn)題理解定積分概念的形成的基本思想， 初步了解、 感受定積分 的實(shí)際背景。2. 能力目標(biāo)通過(guò)探索求曲邊梯形的面積的過(guò)程，了解用“分割、近似代替、 求和、取極限”的步驟分析問(wèn)題的方法，從而培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能 力；體會(huì)“以直代曲”，“逼近”的思想，理解用極限的思想方法思考 與處理問(wèn)題，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。3. . 情感目標(biāo)對(duì)不同背景下的問(wèn)題中蘊(yùn)含的統(tǒng)一數(shù)學(xué)內(nèi)涵的過(guò)程的揭示，認(rèn)識(shí) 到數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系和數(shù)學(xué)在實(shí)用性方面的巨大力量， 進(jìn)而對(duì)數(shù)學(xué)中 蘊(yùn)含的理性美產(chǎn)生發(fā)自?xún)?nèi)

2、心的欣賞情感?！窘虒W(xué)重難點(diǎn)】1. 教學(xué)重點(diǎn)了解以直代曲、 逼近的數(shù)學(xué)思想， 初步掌握求曲邊梯形面積的步 驟。2. 教學(xué)難點(diǎn)曲邊梯形的不足近似和過(guò)剩近似兩種近似面積的求法【教學(xué)過(guò)程】一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課 介紹我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽以及他的“割圓術(shù)” ： 劉徽（ 約公元 225 年295 年） ，山東臨淄人，魏晉期間偉大的數(shù) 學(xué)家，中國(guó)古典數(shù)學(xué)理論的奠基者之一。他的杰作九章算術(shù) ，是 中國(guó)最寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)， 影響、支配中國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展 1000 余年， 是東方數(shù)學(xué)的典范之一，與希臘歐幾里得的幾何原本所代表的古 代西方數(shù)學(xué)交相輝映。他對(duì)數(shù)學(xué)的主要貢獻(xiàn)是創(chuàng)造十進(jìn)小數(shù)、證了有關(guān)勾股定理與解勾 股形

3、的計(jì)算原理； 定義許多重要數(shù)學(xué)概念解決了多種幾何形、 幾何體 的面積、體積計(jì)算問(wèn)題；創(chuàng)造了割圓術(shù)，運(yùn)用極限觀念計(jì)算圓面積和 圓周率。在右圖中的圓內(nèi)作內(nèi)接正多邊形，通過(guò)變量來(lái)改變正多邊形的邊 數(shù)，用正多邊形面積來(lái)近似估計(jì)圓的面積。提問(wèn)：1. 可以用正六邊形的面積來(lái)表示圓的面積嗎可以用正 12 邊形來(lái) 表示嗎2. 要使用多邊形的面積近似表示圓的面積更精確，應(yīng)該怎么辦3. 用內(nèi)接正多邊形的面積來(lái)表示圓的面積，怎么計(jì)算圓周率n 割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體無(wú)所 失矣。 劉徽二、新課講授曲邊梯形的概念：由三條直線(xiàn)x軸、X二a、x=b和一條曲線(xiàn)y X2圍成的封閉圖形, 就叫做曲邊梯

4、形。提問(wèn)：我們知道多邊形、圓形、扇形等規(guī)則圖形的面積求法，那 怎么求曲邊梯形的面積探究一、求曲邊梯形的面積問(wèn)題1 ：求由X軸、直線(xiàn)X=1和曲線(xiàn)y x2圍成圖形的面積（一） 分割為了計(jì)算曲邊梯形的面積S,將它分割成許多小曲邊梯形，如下 圖所示。（二） 近似代替提問(wèn)：1. 我們將曲邊梯形分割后， 可以用圖 1 或者圖 2 中的小矩形的面 積和來(lái)代替由X軸、X二a、x=b和曲線(xiàn)y X2圍成的圖形的面積嗎2. 如果還有比較大的誤差，我們可以怎么做使誤差變小3將區(qū)間0,1分的越細(xì)，誤差越小嗎在圖1和圖2中不斷增加小矩形的數(shù)量，得到的陰影部分的面積 會(huì)越來(lái)越接近由x軸、直線(xiàn)x=1和曲線(xiàn)y x2圍成的面積，

5、而圖3中 的面積會(huì)越來(lái)越小，直至無(wú)限接近于0.因此，只要區(qū)間分的夠細(xì)小，我們就可以用圖1或者圖2中的矩形的面積來(lái)近似代替由x軸、x=a、 x=b和曲線(xiàn)y x2圍成的圖形的面積。下面以圖1為例求不足近似的面 積。把區(qū)間0，1等分成n個(gè)小區(qū)間：0,1,丄,勻，C -丄,，衛(wèi) 如；n n n n nn每個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度為-，第i個(gè)小矩形的高度為（匚）2，所以第i個(gè)小矩形nn的面積為-(i 1)2 。nn（三）求和S SiS2Sn丄碼2(i 1)2(n 1)212 20 1n nnnn222(n 1)131-(n 1)n (2 n 1)nn6（四）逼近（求極限）當(dāng)分割無(wú)限變細(xì)，即n 時(shí)，S 2 l（n 1）

6、n（2n 1）1，所以n 63所求曲邊梯形的面積為1。3練習(xí)1：仿照上面求不足近似面積的方法求圖2中由x軸、直線(xiàn)x=1和曲線(xiàn)y x2圍成的圖形的過(guò)剩近似面積探究二、變速運(yùn)動(dòng)的路程問(wèn)題提問(wèn)：1. 勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)路程公式是什么2. 若以時(shí)間為橫坐標(biāo)，速度為縱坐標(biāo)建立坐標(biāo)系，那么路程可以用什么表示3. 如果是變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，路程怎么求問(wèn)題 2：一輛汽車(chē)的司機(jī)猛踩剎車(chē)，汽車(chē)滑行 5s 后停下，在這 一過(guò)程中汽車(chē)的速度 v 是時(shí)間 t 的函數(shù)： v(t) t2 10t 25(0 t 5), 請(qǐng) 估計(jì)汽車(chē)在剎車(chē)過(guò)程中滑行的距離 s。用橫坐標(biāo)表示時(shí)間， 縱坐標(biāo)表示速度， 可以得到速度關(guān)于時(shí)間的 函數(shù)圖象如右圖所

7、示。提問(wèn):1. 仿照問(wèn)題 1 中的近似方法將時(shí)間區(qū)間 0,55 等分，得到的不 足近似面積和過(guò)剩近似面積分別怎么計(jì)算將區(qū)間 0,510 等分呢2. 哪種分法得到的面積誤差較小，如果還要使誤差更小，怎么 辦首先將滑行時(shí)間 5 等分，若用 v(0),v(1),v(2),v(3),v(4) 近似表示各時(shí) 間區(qū)間的平均速度，得到滑行距離是Si v(o)v(1) v(2) v(3) v(4) 155(m);若用 v(1),v(2),v(3),v(4),v(5)近似表示各時(shí)間區(qū)間的平均速度，得到滑行距離是s1 v(1) v(2) v(3) v(4) v(5) 1 3o(m)。為了使誤差更小，將滑行時(shí)間 1

8、o 等分，用類(lèi)似的方法求得過(guò)剩近似值為 S2v(0) v(0.5) v(1) v(1.5)v(4) v(4.5) 0.5 48.125(m)；不足近似值為 s2 v(o.5) v(1) v(1.5) v(2)v(4.5) v(5) o.5 35.625(m)。按照這樣的思路繼續(xù)將時(shí)間分細(xì)，我們就會(huì)得到更精確的估計(jì) 值，當(dāng)小時(shí)間間隔長(zhǎng)度趨于0時(shí)，這兩種估計(jì)值就都趨于汽車(chē)滑行的 路程。方法歸納總結(jié)：求曲邊梯形的面積分為以下幾個(gè)步驟1. 將區(qū)間分割；2. 近似代替（一般用不足近似和過(guò)剩近似兩種代替方法）；3. 求近似面積和；4. 求極限，讓n，得到準(zhǔn)確面積。練習(xí)2：由直線(xiàn)x=1,y=0和曲線(xiàn)y x3圍成一個(gè)曲邊梯形，將區(qū)間0,14 等分，則曲邊梯形面積的近似值（過(guò)剩近似）是（）.A.丄 B.空 C.空 D. 251925627064三、小結(jié)求曲邊梯形面積四步曲：1. 分割化整為零2. 近似代替以直代曲3. 求和積零為整4. 逼近刨光磨平四、作業(yè)：（思考題）一根彈性系數(shù)為cm的彈簧，其拉