第七講參數(shù)估計(jì)_685304785

1、第七講第七講 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)一、什么是參數(shù)估計(jì)一、什么是參數(shù)估計(jì) 參數(shù)估計(jì)就是用樣本統(tǒng)計(jì)量對(duì)總體的未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，簡(jiǎn)稱參數(shù)估計(jì)。 以樣本的統(tǒng)計(jì)值來估計(jì)總體的參數(shù)值，有兩類做法，一類是點(diǎn)估計(jì)，另一類是區(qū)間估計(jì)。 1 1、點(diǎn)估計(jì)、點(diǎn)估計(jì) 是以一個(gè)最適當(dāng)?shù)臉颖窘y(tǒng)計(jì)值來代表總體的參數(shù)值。 合適的樣本統(tǒng)計(jì)量作為參數(shù)估計(jì)量，如下：11niiXXn2211()1niiSXXn2 2、區(qū)間估計(jì)、區(qū)間估計(jì) 就是以兩個(gè)數(shù)值之間的間距來估計(jì)參數(shù)值。 區(qū)間估計(jì)要包括兩個(gè)要素：區(qū)間估計(jì)要包括兩個(gè)要素： 一是要有合理的允許誤差范圍。指樣本統(tǒng)計(jì)量與被估計(jì)總體參數(shù)離差的絕對(duì)值可允許變動(dòng)的上限或下限； 二是要有一個(gè)可接受的

2、置信度。置信度又稱推斷的概率保證程度，這是估計(jì)的可靠性問題。二、點(diǎn)估計(jì)的估計(jì)方法二、點(diǎn)估計(jì)的估計(jì)方法 點(diǎn)估計(jì)，以一個(gè)最適當(dāng)?shù)臉颖窘y(tǒng)計(jì)值代表總體的參數(shù)值。點(diǎn)估計(jì)，以一個(gè)最適當(dāng)?shù)臉颖窘y(tǒng)計(jì)值代表總體的參數(shù)值。 評(píng)價(jià)估計(jì)量優(yōu)劣的三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：評(píng)價(jià)估計(jì)量優(yōu)劣的三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：（1 1）無偏性。即樣本統(tǒng)計(jì)量的期望值（平均值）等于被估）無偏性。即樣本統(tǒng)計(jì)量的期望值（平均值）等于被估計(jì)的總體參數(shù)。計(jì)的總體參數(shù)。雖然每一次抽樣的統(tǒng)計(jì)量取值和總體參數(shù)的真值可能雖然每一次抽樣的統(tǒng)計(jì)量取值和總體參數(shù)的真值可能有誤差，但在多次反復(fù)抽樣中，所有樣本統(tǒng)計(jì)量取值的平有誤差，但在多次反復(fù)抽樣中，所有樣本統(tǒng)計(jì)量取值的平均數(shù)應(yīng)該等于總體參數(shù)

3、本身。均數(shù)應(yīng)該等于總體參數(shù)本身。（2 2）一致性。即當(dāng)樣本的單位數(shù)充分大時(shí)，樣本）一致性。即當(dāng)樣本的單位數(shù)充分大時(shí)，樣本統(tǒng)計(jì)量充分靠近總體參數(shù)。統(tǒng)計(jì)量充分靠近總體參數(shù)。 （）有效性。即作為優(yōu)良估計(jì)量的方差比其他（）有效性。即作為優(yōu)良估計(jì)量的方差比其他估計(jì)量的方差小。估計(jì)量的方差小。 用樣本均值作為總體均用樣本均值作為總體均值的點(diǎn)估計(jì)，用樣本方差值的點(diǎn)估計(jì)，用樣本方差作為總體方差的點(diǎn)估計(jì)。作為總體方差的點(diǎn)估計(jì)。 對(duì)于是定類變量，對(duì)于是定類變量，X X取值取值為（為（1 1，0 0），可以用樣本），可以用樣本成數(shù)作為總體成數(shù)估計(jì)值。成數(shù)作為總體成數(shù)估計(jì)值。11niiXXn2211()1niiSXX

4、n11niimpXnn例例1 1、工會(huì)為了解春游期間需租用幾輛公共、工會(huì)為了解春游期間需租用幾輛公共汽車，在全廠汽車，在全廠1000010000名職工中隨機(jī)抽取名職工中隨機(jī)抽取100100人進(jìn)行調(diào)查。結(jié)果顯示，其中有人進(jìn)行調(diào)查。結(jié)果顯示，其中有2020名愿意外名愿意外出旅游。設(shè)每輛車可載乘客出旅游。設(shè)每輛車可載乘客5050名，問估計(jì)要名，問估計(jì)要預(yù)租多少輛公共汽車？預(yù)租多少輛公共汽車？ 解：解：P=20/100=0.2P=20/100=0.2可以用可以用P P 作為愿意外出春游總體成數(shù)的點(diǎn)估計(jì)，因作為愿意外出春游總體成數(shù)的點(diǎn)估計(jì)，因此全廠估計(jì)將有：此全廠估計(jì)將有：1000010000* *0.

5、2=20000.2=2000（人）（人）參加春游。又因?yàn)槊枯v公共汽車可容乘客參加春游。又因?yàn)槊枯v公共汽車可容乘客5050人，因人，因此有：此有：2000/50=402000/50=40（輛）（輛）三、區(qū)間估計(jì)的估計(jì)方法三、區(qū)間估計(jì)的估計(jì)方法1 1、置信區(qū)間、置信區(qū)間 置信區(qū)間是用來估計(jì)參數(shù)取值范圍的，是根據(jù)置信區(qū)間是用來估計(jì)參數(shù)取值范圍的，是根據(jù)給定的置信度要求，指出總體參數(shù)被估計(jì)的上限給定的置信度要求，指出總體參數(shù)被估計(jì)的上限和下限。和下限。2 2、置信度與顯著性水平、置信度與顯著性水平 對(duì)于總體被估計(jì)參數(shù)對(duì)于總體被估計(jì)參數(shù) ，找出樣本的兩個(gè)估計(jì)量，找出樣本的兩個(gè)估計(jì)量11和和22，（，（1

6、212）使被估計(jì)參數(shù)落在區(qū)間（）使被估計(jì)參數(shù)落在區(qū)間（11，22）內(nèi)的）內(nèi)的概率為概率為1-1-，其中，其中 為介于為介于0 01 1之間的已知數(shù)，即之間的已知數(shù)，即 P P（1212）=1-=1- 稱區(qū)間（稱區(qū)間（11，22）為總體參數(shù)的估計(jì)區(qū)間，）為總體參數(shù)的估計(jì)區(qū)間，11為估計(jì)下限，為估計(jì)下限，22為估計(jì)上限，為估計(jì)上限，1-1-為估計(jì)置信度（表為估計(jì)置信度（表示用置信區(qū)間估計(jì)的可靠性），示用置信區(qū)間估計(jì)的可靠性）， 為顯著性水平（表為顯著性水平（表示用置信區(qū)間估計(jì)不可靠的程度）。示用置信區(qū)間估計(jì)不可靠的程度）。3 3、置信區(qū)間與置信度的關(guān)系、置信區(qū)間與置信度的關(guān)系 置信區(qū)間指被估計(jì)參數(shù)

7、的可能范圍，置信度為對(duì)參數(shù)落在這一范圍內(nèi)給定的概率保證程度。 參數(shù)的可能范圍是估計(jì)的準(zhǔn)確性問題，而相應(yīng)的概率保證程度（置信度）是估計(jì)的可靠性問題。 在作估計(jì)時(shí)我們常常希望準(zhǔn)確性盡可能提高，在作估計(jì)時(shí)我們常常希望準(zhǔn)確性盡可能提高，而且可能性也不能小，但這兩個(gè)要求是矛盾的。在而且可能性也不能小，但這兩個(gè)要求是矛盾的。在樣本容量不變的條件下，要縮小估計(jì)區(qū)間，提高估樣本容量不變的條件下，要縮小估計(jì)區(qū)間，提高估計(jì)的準(zhǔn)確性，勢(shì)必減少置信度，降低估計(jì)的可靠性計(jì)的準(zhǔn)確性，勢(shì)必減少置信度，降低估計(jì)的可靠性。樣本變量3438424650343436384042383638404244423840424446464

8、042444648504244464850例例2、用有放回抽樣的方法，從、用有放回抽樣的方法，從5人中間抽取人中間抽取2個(gè)構(gòu)成樣本，個(gè)構(gòu)成樣本，求樣本日平均工資，并推算總體的工資水平置信區(qū)間求樣本日平均工資，并推算總體的工資水平置信區(qū)間樣本日平均工資樣本日平均工資頻數(shù)頻數(shù)頻率頻率3411/253622/253833/254044/254255/254444/254633/254822/255011/25合計(jì)合計(jì)251（1 1）計(jì)算樣本日平均平均數(shù)和方差為）計(jì)算樣本日平均平均數(shù)和方差為4242和和3333。 （2 2）根據(jù)以上分布資料可以寫出樣本日平均工資落在各種）根據(jù)以上分布資料可以寫出樣本日

9、平均工資落在各種區(qū)間的概率區(qū)間的概率p p。例如： P（40 44）=（4/25）+（5/25）+（4/25）=13/25 P（38 46）=（3/25）+（4/25）+（5/25）+（4/25）+（3/25）=19/25 P（34 50）=（1/25）+（2/25）+（19/25）+（2/25）+（1/25） =1 xxx 在重復(fù)抽樣中，樣本日平均工資與總體日平在重復(fù)抽樣中，樣本日平均工資與總體日平均工資的絕對(duì)離差不超過均工資的絕對(duì)離差不超過2 2元的概率為元的概率為13/2513/25，即，即有有52%52%的概率保證總體日平均工資落在的概率保證總體日平均工資落在40404444元元之間。

10、之間。 絕對(duì)離差不超過絕對(duì)離差不超過4 4元的概率為元的概率為19/25=76%19/25=76%，抽樣誤差不超過抽樣誤差不超過8 8元的概率為元的概率為100%100%。 抽樣誤差范圍和估計(jì)置信度是密不可分的，抽樣誤差范圍和估計(jì)置信度是密不可分的，抽樣誤差愈小，估計(jì)準(zhǔn)確度愈高，但置信度愈小。抽樣誤差愈小，估計(jì)準(zhǔn)確度愈高，但置信度愈小。置信度與準(zhǔn)確性的關(guān)系當(dāng)均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1時(shí)，正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布。4 4、抽樣誤差范圍的計(jì)算、抽樣誤差范圍的計(jì)算 假定我們以Z表示置信度，S表示樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，SE= 表示抽樣平均誤差（抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤），n是樣本的大小，為抽樣誤差范圍 =Z nSnS例3、經(jīng)抽樣

11、調(diào)查計(jì)算樣本畝產(chǎn)糧食600公斤，并求得抽樣平均誤差為3公斤，現(xiàn)在給定抽樣誤差范圍為6公斤，求總體平均畝產(chǎn)落在估計(jì)區(qū)間的概率。 已知：已知：X=600X=600公斤，公斤，SE=3SE=3公斤，公斤，=6=6公斤，公斤，則：估計(jì)區(qū)間是為（則：估計(jì)區(qū)間是為（600-6600-6，600+6600+6）= =（594594，606606） Z= /SE = 6/3=2Z= /SE = 6/3=2 查正態(tài)概率表，落在估計(jì)區(qū)間內(nèi)的概率為查正態(tài)概率表，落在估計(jì)區(qū)間內(nèi)的概率為 F F（Z Z）=F=F（2 2）=95.45%=95.45%例4、麥當(dāng)勞餐館在7星期內(nèi)抽查49位顧客的消費(fèi)額（元）如下：求在概率9

12、0%的保證下，顧客平均消費(fèi)額的估計(jì)區(qū)間。15243826304218302526344420352426344818284619303642243245362147262831424536242827323647532224324626第一步：第一步：根據(jù)樣本計(jì)算樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差： =32， s=9.45， =9.45/7=1.35第二步：第二步：根據(jù)給定的置信度F（Z）=90%，查概率表得Z=1.64第三步：第三步：計(jì)算=Z*SE=1.64*1.35=2.2元 據(jù)此估計(jì)總體平均消費(fèi)額下限=32-2.2=29.8元。估計(jì)總體平均消費(fèi)額上限=32+2.2=34.2元點(diǎn)估計(jì)：點(diǎn)估計(jì)：麥當(dāng)勞餐館總

13、體顧客平均消費(fèi)額為32元。區(qū)間估計(jì)：區(qū)間估計(jì)：以90%的概率保證，麥當(dāng)勞餐館顧客消費(fèi)額在29.834.2之間。nxxsSEn 例5、麥當(dāng)勞抽查49位顧客的消費(fèi)額如下表，抽樣誤差范圍不超過2.2元，試估計(jì)顧客平均消費(fèi)額的置信區(qū)間，并計(jì)算其置信度。15243826304218302526344420352426344818284619303642243245362147262831424536242827323647532224324626第一步：抽取樣本，計(jì)算樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差第一步：抽取樣本，計(jì)算樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差： =32， =9.45， =9.45/7=1.35第二步：根據(jù)給定的第二步：根

14、據(jù)給定的=2.2=2.2，計(jì)算總體平均消費(fèi)額的上限和下限。，計(jì)算總體平均消費(fèi)額的上限和下限。 總體平均消費(fèi)額下限=32-2.2=29.8元。 估計(jì)總體平均消費(fèi)額上限=32+2.2=34.2元第三步：根據(jù)第三步：根據(jù) Z=/SE = 2.2/1.35 = 1.63Z=/SE = 2.2/1.35 = 1.63，查概率表得，查概率表得F F（Z Z）= 90%= 90% 計(jì)算結(jié)果表明以90%的概率保證麥當(dāng)勞顧客平均消費(fèi)的置信區(qū)間為29.834.2之間。nxxsSEn四、總體成數(shù)（比例、百分比）的估計(jì)四、總體成數(shù)（比例、百分比）的估計(jì) 例例6 6，在一項(xiàng)新廣告活動(dòng)的跟蹤調(diào)查中，被，在一項(xiàng)新廣告活動(dòng)的

15、跟蹤調(diào)查中，被調(diào)查的調(diào)查的400400人中有人中有240240人能記起廣告的標(biāo)語。試人能記起廣告的標(biāo)語。試求能記起廣告標(biāo)語占總體比率的求能記起廣告標(biāo)語占總體比率的95%95%置信度的置信度的估計(jì)區(qū)間。估計(jì)區(qū)間。第一步第一步，根據(jù)樣本資料計(jì)算： P = n1/n2 = 240/400 = 60%SE = =0.024549. 0) 6 . 01 ( 6 . 0)1 (Ppnpp)1 ( 第二步：根據(jù)給定的置信度要求第二步：根據(jù)給定的置信度要求F F（Z Z）=0.95=0.95， 查概率表求查概率表求Z Z值，得值，得Z=1.96Z=1.96第三步：根據(jù)第三步：根據(jù)p=Zp=Z* *SESE，=

16、1.96=1.96* *2.45%=4.8%2.45%=4.8%，則，則 總總體比率的上下限為：體比率的上下限為： 下限下限 = P-p = 60%-4.8%=55.2%= P-p = 60%-4.8%=55.2% 上限上限 = P+p = 60%+4.8%=64.8%= P+p = 60%+4.8%=64.8% 區(qū)間估計(jì)：以概率區(qū)間估計(jì)：以概率95%95%的保證程度，估計(jì)會(huì)記起廣告的保證程度，估計(jì)會(huì)記起廣告 標(biāo)標(biāo)語的人數(shù)占總體比率在語的人數(shù)占總體比率在55.2%55.2%64.8%64.8%之間。之間。 例7，估計(jì)某市居民住戶擁有冰箱的普及率，隨機(jī)抽取900戶居民戶，其中有675戶居民有冰箱

17、。在抽樣極限誤差不超過2.8%的情形下，試對(duì)該市居民住戶冰箱普及率進(jìn)行估計(jì)。 第一步，計(jì)算成數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差，并推算抽樣平均誤差第一步，計(jì)算成數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差，并推算抽樣平均誤差SESE。P = 675 / 900 = 75%s= 0.43SE =1.4%第二步，根據(jù)給定的第二步，根據(jù)給定的p=2.8%p=2.8%，計(jì)算總體成數(shù)估計(jì)區(qū)間的下，計(jì)算總體成數(shù)估計(jì)區(qū)間的下限和上限限和上限。估計(jì)區(qū)間下限 = P p = 75% - 2.8% =72.2%估計(jì)區(qū)間上限 = P +p =75% + 2.8% = 77.8%第三步，根據(jù)第三步，根據(jù)Z =p/SE = 2.8%/1.4% = 2Z =p/SE = 2.8%/1.4% = 2。查概率。查概率表得表得F F（2 2）= 95.45%= 95.45% 點(diǎn)估計(jì)：點(diǎn)估計(jì)：估計(jì)該市居民冰箱普及率為75%。 區(qū)間估計(jì)：區(qū)間估計(jì)：以概率95.45%的保證程度，估計(jì)該市居民冰箱普及率在72.277.8%之間。五、樣本的確定2理論上講，樣本越大越有代表性。但樣本大，所需要理論上講，樣本越大越有代表性。但樣本大，所需要的研究費(fèi)用也越大。因此在調(diào)查前需要結(jié)合置信度、個(gè)案的研究費(fèi)用也越大。因此在調(diào)查前需要結(jié)合置信度、個(gè)案之間相互差異的大