含參數(shù)空間向量.docx

1、空間向量中含參數(shù)問題1.(2008 江蘇高考22 題）【必做題】記動(dòng)點(diǎn)P 是棱長為 1的正方體ABCD -A1 B1C1D1 的對角線 BD1 上一點(diǎn)，記D1 P的取值范圍z當(dāng) APC 為鈍角時(shí)，求D1 BD1C1A1B1DCyPABx2. 【 2017 年第一次全國大聯(lián)考江蘇卷】如圖，在四棱錐P ABCD 中，棱 AB, AD , AP 兩uuuruuur1兩垂直，且長度均為1， BCAD 0（1）若1 ，求直線 PC 與平面 PBD 所成角的正弦值；（2）若二面角BPCD 的大小為 120 ，求實(shí)數(shù)的值 .3(2015直角梯江蘇） .如圖， 在四棱錐 P形，ABCBADABCD 中，已知,

2、PAADPA 2, AB平面BCABCD ，且四邊形1ABCD 為2（ 1）求平面 PAB 與平面 PCD 所成二面角的余弦值；（2）點(diǎn) Q 是線段 BP 上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線CQ與 DP 所成角最小時(shí)，求線段BQ 的長PQADBC4. 如圖，在三棱錐 P ABC中， AB BC， ABBC kPA，點(diǎn) O、 D 分別是 AC、 PC的中點(diǎn)，OP底面 ABC.（ 1）求證 OD/ 平面 PAB；（ 2）當(dāng) k 1 時(shí)，求直線 PA與平面 PBC所成角的大??；2（3）當(dāng) k 取何值時(shí)， O 在平面 PBC內(nèi)的射影恰好為PBC的重心？(2008 江蘇高考22 題）22【必做題】記動(dòng)點(diǎn)P 是棱長為1 的

3、正方體ABCD -A1B1C1D1 的對角線 BD1 上一點(diǎn)，記D1 PAPC 為鈍角時(shí)，求的取值范圍當(dāng)D1 BzuuuruuuurD1C1uuur解：由題設(shè)可知，以DA 、 DC 、 DD1 為單位正交基底，B1A1CDy建 立 如 圖 所 示 的 空 間 直 角 坐 標(biāo) 系 D xyz ， 則 有PA(1,0,0), B(1,1,0) , C (0,1,0), D (0,0,1)ABxuuuuruuuuruuuur由D1B(1,1,1)，得D1PD1B (, )，所以uuuruuuuruuuurPAPD1D1 A(,)(1,0,1)(1,1)uuuruuuuruuuurPCPD1DC1(,

4、)(0,1,1)(,1,1)顯然APC 不是平角，所以APC 為鈍角等價(jià)于uuur uuuruuur uuuruuur uuurgPA PC，則等價(jià)于PAPC 0cosAPC cos PA, PCuuuruuur0gPA gPC即 (1)()()(1)( 1)2( 1)(3 1) 0 ，得113因此，的取值范圍是 ( 1,1)3. 【 2017 年第一次全國大聯(lián)考江蘇卷】如圖，在四棱錐P ABCD 中，棱 AB, AD , AP 兩uuuruuur1兩垂直，且長度均為1， BCAD 0（1）若1 ，求直線 PC 與平面 PBD 所成角的正弦值；（2）若二面角BPCD 的大小為 120 ，求實(shí)數(shù)

5、的值 .uuurruuurn11 11111PC所以|cos PC, n |uuur|，|PC |n333所以直線 PC 與平面 PBD 所成角的正弦值為1 . 5 分3（2）依題意， Cuuur1, ,uuur1,0,uuur0,1, 1 ，1, ,0 ，PC1 ,PB1 ,PD設(shè)平面 PBC 的一個(gè)法向量n1x1 , y1, z1，uuurx1z10n1PB0，取 z11得 n11,0,1則uuur, 即x1y1 z1，n1 PC 00設(shè)平面 PCD 的一個(gè)法向量 n2x2 , y2 , z2uuurx2y2z20n2 PC 01得 n21,1,1則uuur, 即y2z20，取 z2，n2

6、PD0所以 |cos| | n1n2|2cos120o 1，2 12n1| n2 |22解得1或5.因?yàn)?11.10分，所以如圖，在四棱錐PABCD 中，已知 PA平面 ABCD ，且四邊形ABCD 為直角梯形，ABC BAD , PA AD 2, AB BC 1 2（ 1）求平面 PAB 與平面 PCD 所成二面角的余弦值；（2）點(diǎn) Q 是線段 BP 上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線CQ與 DP 所成角最小時(shí)，求線段BQ 的長PQADBC【答案】（1）3 （ 2） 2 535考點(diǎn)：空間向量、二面角、異面直線所成角如圖， 在三棱錐底面 ABC.P ABC中， ABBC，AB BC kPA，點(diǎn) O、D 分別是A

7、C、PC的中點(diǎn)， OP（ 1）求證 OD/ 平面 PAB；（ 2）當(dāng) k 1 時(shí)，求直線 PA與平面 PBC所成角的大??；2（3）當(dāng)k 取何值時(shí)，O 在平面PBC內(nèi)的射影恰好為PBC的重心？解：（ 1）證明：因?yàn)?，OP底面ABC.， OA OC， AB BC，所以，OAOB， OAOP，OBOP，以O(shè) 為原點(diǎn)，射線OP 為非負(fù)z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz（如圖）設(shè)AB a，則 A（222a， 0，0）、 B（0，a， 0） C（a， 0， 0），設(shè) OP h，則222P（ 0，0，h）.因?yàn)椋?D 為 PC的中點(diǎn)， 所以， OD (2 a,0, 1 h) ，又 PA ( 2 a,0,h) ，422所以，OD 1PA . 所以， OD / PA ，又 OD平面 PAB，所以， OD/ 平面 PAB.2（2）因?yàn)椋?k 1，即 PA2a，所以， h7 a ，所以， PA （2a， 0，7 a ），2222可求得平面 PBC的法向量 n （1， 1，1 ），所以， cosPA n210 .7| PA | n |30設(shè) PA與平面 PBC所成的角為，則 sin| cos| 210 .30所以， PA與平面 PBC所成的角為arcsin210 .30（3） PBC的重心 G（221 )（221a,a,h ，所以， OGa,a,h) ，663663因?yàn)椋?OG平面 PBC，所以，