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1、一、計算:一、計算:(1)(2)(3)(4)(bxaxabxbax)(2十字相乘法十字相乘法 “十字相乘法十字相乘法”是乘法公式:是乘法公式:(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的反的反向運(yùn)算,它適用于分解二次三向運(yùn)算,它適用于分解二次三項式。項式。例例1 1、把、把 x26x7分解因式分解因式762xx) 1)(7(xxxx71步驟:xxx67 1582xx) 3)(5(xxxx35xxx8)5()3(qpxx2bapabq,注意:注意: 當(dāng)當(dāng)常數(shù)項常數(shù)項是是正數(shù)正數(shù)時,分解的時,分解的兩個數(shù)必兩個數(shù)必同號同號,即,即都為正都為正或或都為都為負(fù)負(fù),交叉交叉相乘之和得一次項系數(shù)。相乘
2、之和得一次項系數(shù)。當(dāng)當(dāng)常數(shù)項常數(shù)項是是負(fù)數(shù)負(fù)數(shù)時,分解的兩個時,分解的兩個數(shù)必為數(shù)必為異號異號,交叉相乘之和交叉相乘之和仍得仍得一次項系數(shù)。因此因式分解時,一次項系數(shù)。因此因式分解時,不但要注意不但要注意首尾分解首尾分解,而且需十,而且需十分注意分注意一次項的系數(shù)一次項的系數(shù),才能保證,才能保證因式分解的正確性。因式分解的正確性。例例2 2、把、把 y4-7y2-18 分分解因式解因式例例3 3、把、把 x2-9xy+14y2 分解因式分解因式把下列各式分解因式把下列各式分解因式1. x2-11x-12 2. x2+4x-12 3. x2-x-12 4. x2-5x-14 5. y2-11y+
3、24x x2 2-5x+6-5x+6x x2 2-5x-6-5x-6X X2 2+5x-6+5x-6X X2 2+5x+6+5x+6用十字相乘法分解下列因式用十字相乘法分解下列因式1、x4-13x2+362、x2+3xy-4y2 3、x2y2+16xy+48 4、(2+a)2+5(2+a)-365、x4-2x3-48x2例例4、把、把 6x2-23x+10 分解因式分解因式1、8x2-22x+15 2、14a2-29a-153、4m2+7mn-36n24、10(y+1)2-29(y+1)+10 十字相乘法的要領(lǐng)是:十字相乘法的要領(lǐng)是:“頭尾頭尾分解,交叉相乘,求和湊中,觀分解,交叉相乘,求和湊
4、中,觀察試驗察試驗”。例例5、把、把(x2+5x)2-2(x2+5x)-24分解因式分解因式例例6、把、把 (x2+2x+3)(x2+2x-2)-6分解因式分解因式 例例7、把、把(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-3分解分解因式因式拓展創(chuàng)新拓展創(chuàng)新把下列各式分解因式把下列各式分解因式1、x2-4xy+4y2-6x+12y+82、(x2+2x)(x2+2x-11)+113、x n+1+3xn+2xn-14、(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+16 在分組分解法中,我們學(xué)習(xí)在分組分解法中,我們學(xué)習(xí)了形如了形如 x (pq)xpq 的式子的式子的因式分解問題。的因式分解問題。2即:即:
5、x (pq)xpq=(xp)(xq)2 實際在使用此公式時,需要把實際在使用此公式時,需要把一次項系數(shù)和常數(shù)項進(jìn)行分拆,在一次項系數(shù)和常數(shù)項進(jìn)行分拆,在試算時,會帶來一些困難。試算時,會帶來一些困難。 下面介紹的方法,正好解決了下面介紹的方法,正好解決了這個困難。這個困難。十字相乘法:十字相乘法: 對于二次三項式的分解因式,對于二次三項式的分解因式,借用一個十字叉幫助我們分解因式,借用一個十字叉幫助我們分解因式,這種方法叫做十字相乘法。這種方法叫做十字相乘法。即:即:x (pq)xpq=(xp)(xq)2xxpqpxqx=(pq)xx2pq例例1 分解因式分解因式 x 6x82解:解:x 6x
6、82練習(xí):分解因式練習(xí):分解因式 (xy) (xy) 62 對于一般地二次三項式對于一般地二次三項式axbxc (a0) 此法依然好用。此法依然好用。2例例2 分解因式分解因式 3x 10 x32解:解:3x 10 x32x3x319xx=10 x=(x3)(3x1)例例3 分解因式分解因式 5x 17x122解:解:5x 17x1225xx3420 x3x=17x=(5x3)(x4)1251110=11例例4 將將 2(6x x) 11(6x x) 5 分分解因式解因式222解:解:2(6x x)11(6x x) 5222= (6x x) 52(6x x)122= (6x x5) (12x
7、2x1 )22= (6x 5)(x 1) (12x 2x1 )2615156=1練習(xí):將下列各式分解因式練習(xí):將下列各式分解因式1、 7x 13x622、 y 4y1223、 15x 7xy4y224、 10(x 2) 29(x2) 102答案答案(7x6)(x1)5、 x (a1) xa2答案答案 (y6)(y2)答案答案 (3xy)(5x4y)答案答案 (2x1)(5x8)答案答案 (x1)(xa) 例例5 將將 2x 3xy2y 3x4y2 分分解因式解因式22解:解: 2x 3xy2y 3x4y222=(2x 3xy2y )3x4y222=(2x y)(x2y)3x4y2=(2x y1
8、)(x2y2)211241=3(2xy)(x2y)122(2xy) (x 2 y)=3x4y1 1.(x+2)(x+1)=.(x+2)(x+1)=請直接口答計算結(jié)果:(x+2)(x+1)(x+2)(x+1)1.1.2.2.3.3.4.4.5.5.6.6.7.7.8.8.(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab兩個一次二項式相乘的兩個一次二項式相乘的積積一個一個二次三項式二次三項式整式的乘法反過來,得x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)一個一個二次三項式二次三項式兩個一次二項式相乘的兩個一次二項式相乘的積積因式分解如果二次三項式x2+px+q中的常數(shù)項系數(shù)q能分解成兩個因數(shù)a、b
9、的積,而且一次項系數(shù)p又恰好是a+b,那么x2+px+q就可以進(jìn)行如上的因式分解。)2)(1(xx解:原式分析 (+1) (+2)2 (+1)(+2)+3xx12試一試:把試一試:把x x2 2+3x+2+3x+2分解因式分解因式常數(shù)項一次項系數(shù)十字交叉線利用十字交叉線來分解系利用十字交叉線來分解系數(shù),把二次三項式分解因數(shù),把二次三項式分解因式的方法叫做式的方法叫做十字相乘法十字相乘法。十字相乘法公式十字相乘法公式:)()(2bxaxabxbax請大家記住公式請大家記住公式分解因式分解因式: :x x2 2+4x+3=+4x+3=x x2 2-2x-3=-2x-3=(x+3)(x+1)(x+3
10、)(x+1)(x-3)(x+1)(x-3)(x+1)xxxx31-31(1)x2-7x+12 (2)x2-4x-12 (3)x2+8x+12(4)x2-11x-12 (5)x2+13x+12 (6)x2-x-12 對于x2+px+q(1)當(dāng)q0時,a、b,且a、b的符號與p的符號。(2)當(dāng)q0時,a、b,且與p的符號相同。同號同號相同相同異號異號a、b中絕對值較大的因數(shù)中絕對值較大的因數(shù)分解因式分解因式1662xx解:1662xx28xx1662xx 121315222xxxx301718322xyxy42132aa對二次三項式對二次三項式x x2 2+px+q+px+q用用x2 2+(a+b
11、)x+ab=(x+a)(x+b)進(jìn)行因式分解,進(jìn)行因式分解,應(yīng)重點(diǎn)掌握以下問題:應(yīng)重點(diǎn)掌握以下問題:2.2.掌握方法:拆分常數(shù)項,驗證一次項掌握方法:拆分常數(shù)項,驗證一次項. . 3.3.符號規(guī)律:符號規(guī)律: 當(dāng)當(dāng)q0q0時,時,a a、b b同號,且同號,且a a、b b的符號與的符號與p p的符號相同;的符號相同; 當(dāng)當(dāng)q0q0時,時,a a、b b異號,且絕對值較大的因數(shù)與異號,且絕對值較大的因數(shù)與p p的符號相同的符號相同. . 1.1.適用范圍:只有當(dāng)適用范圍:只有當(dāng)q=ab,且且p=a+b時時 才能用十字相乘法進(jìn)才能用十字相乘法進(jìn) 我我 行分解。行分解。用十字相乘法進(jìn)行因式分解:(
12、x+2)(x-3)(x+2)(x-3)1.x1.x2 2-x- 6 =-x- 6 =(x-3)(x+5)(x-3)(x+5)2.x2.x2 2+2x-15=+2x-15=(x+2)(x-5)(x+2)(x-5)3.x3.x2 2-3x-10=-3x-10=(x-5)(x-4)(x-5)(x-4)4.x4.x2 2-9x+20=-9x+20=(x-7)(x+4)(x-7)(x+4)5.x5.x2 2-3x-28=-3x-28=(x+2)(x-4)(x+2)(x-4)6.x6.x2 2-2x-8=-2x-8=(x-1)(x-3)(x-1)(x-3)7.x7.x2 2-4x+3=-4x+3=(x+3
13、)(x+4)(x+3)(x+4)(x+2)(x+3)(x+2)(x+3)(x-3)(x+7)(x-3)(x+7)8.x8.x2 2+7x+12=+7x+12=9.x9.x2 2+5x+6=+5x+6=10.x10.x2 2+4x-21=+4x-21=(y+12)(y-3)(y+12)(y-3)13.y13.y2 2+9y-36=+9y-36=(y+4)(y-15)(y+4)(y-15)(y+16)(y+3)(y+16)(y+3)(y+11)(y-10)(y+11)(y-10)(y-13)(y-3)(y-13)(y-3)(y+14)(y+4)(y+14)(y+4)14.y14.y2 2-11y-60=-11y-60=1
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