第9章動量矩定理課件

1、理論力學電子教案理論力學電子教案 C 機械工業(yè)出版社機械工業(yè)出版社第9章動量矩定理課件理論力學電子教案理論力學電子教案 C 機械工業(yè)出版社機械工業(yè)出版社第9章動量矩定理課件 91 動量矩動量矩 92 動量矩定理動量矩定理 93 剛體繞定軸轉動的微分方程剛體繞定軸轉動的微分方程 94 剛體對軸的轉動慣量剛體對軸的轉動慣量 95 質點系相對于質心的動量矩定理質點系相對于質心的動量矩定理 96 剛體的平面運動微分方程剛體的平面運動微分方程第第9章章 動量矩定理動量矩定理動力學動力學第第9章章 動量矩定理動量矩定理理論力學電子教案理論力學電子教案 C 機械工業(yè)出版社機械工業(yè)出版社第9章動量矩定理課件

2、由前一章知，當質心為固定軸上一點時，vC=0，其動量恒為零，質心無運動，但質點系確受外力的作用。動量定理揭示了質點和質點系動量變化與外力主矢的關系；質心運動定理揭示了質心運動與外力主矢的關系。但不是質點系機械運動的全貌。 本章要介紹的動量矩定理，動量矩定理建立了質點和質點系相對于某固定點（固定軸）的動量矩的改變與外力對同一點(軸）之矩兩者之間的關系，從另一個側面揭示出質點系對于某一點的運動規(guī)律動力學動力學第第9章章 動量矩定理動量矩定理理論力學電子教案理論力學電子教案 C 機械工業(yè)出版社機械工業(yè)出版社第9章動量矩定理課件動力學動力學第第9章章 動量矩定理動量矩定理9-1動量矩動量矩 1質點的動

3、量矩質點的動量矩 設質點Q 某瞬時動量為 mv ， 其對O 點的位置為矢徑r ， 如圖 所示，定義質點Q 的動量對于O 點的矩為質點對點O 的動量矩 定義指點動量mv 在Oxy 平面的投影（mv)xy 對于點O 的矩，為質 點動量對于z 軸的矩，簡稱對于z 軸的動量矩。分別表示如下理論力學電子教案理論力學電子教案 C 機械工業(yè)出版社機械工業(yè)出版社第9章動量矩定理課件 質點系對點O動量矩等于各質點對同一點O的動量矩的矢量和，或者稱為質點系對點O 的主矩，即vrvMmmO)()()(vvMmMmzzO)(1iiniOOmvML動量矩度量物體在任一瞬時繞固定點動量矩度量物體在任一瞬時繞固定點( (軸

4、軸) )轉動的強弱。轉動的強弱。單位：kg2/s。從圖可以看出，質點對于O點的動量矩矢在z軸上的投影，等于對z軸的動量矩。即正負號規(guī)定與力對軸矩的規(guī)定相同對著軸看：順時針為負，逆時針為正2質點系的動量矩質點系的動量矩動力學動力學第第9章章 動量矩定理動量矩定理理論力學電子教案理論力學電子教案 C 機械工業(yè)出版社機械工業(yè)出版社第9章動量矩定理課件剛體平動時剛體平動時，可把質量集中于質點，作為一個質點計算其動量矩； 質點系對某軸z的動量矩等于各質點對同一軸z動量矩的代數(shù)和，即)(1iinizzmMLv同理有zzOLL上式表明：質點系對某點質點系對某點O的動量矩矢在通過該點的的動量矩矢在通過該點的z

5、軸上的投影等于質點系對于該軸的動量矩。軸上的投影等于質點系對于該軸的動量矩。 動力學動力學第第9章章 動量矩定理動量矩定理理論力學電子教案理論力學電子教案 C 機械工業(yè)出版社機械工業(yè)出版社第9章動量矩定理課件niiiniiiiiniiiiiinizzrmrrmrvmmML12111)( v令 ，稱為剛體對z軸的轉動慣量轉動慣量，于是有niiizrmJ12zzJL 即繞定軸轉動剛體對其轉軸的動量矩等繞定軸轉動剛體對其轉軸的動量矩等于剛體對轉軸的轉動慣量與轉動角速度于剛體對轉軸的轉動慣量與轉動角速度的乘積的乘積動力學動力學第第9章章 動量矩定理動量矩定理剛體作定軸轉動時，剛體作定軸轉動時，對轉軸的

6、矩理論力學電子教案理論力學電子教案 C 機械工業(yè)出版社機械工業(yè)出版社第9章動量矩定理課件動力學動力學第第9章章 動量矩定理動量矩定理剛體的平面運動剛體的平面運動時可以分解為隨同質心的平動與繞質心的轉動，其對垂直于剛體質量對稱平面的固定軸的動量矩，等于剛體隨同質心作平動時質心的動量對該軸的動量矩與繞質心軸作轉動時的動量矩之和，即:()zzCCLMmJv理論力學電子教案理論力學電子教案 C 機械工業(yè)出版社機械工業(yè)出版社第9章動量矩定理課件11222321RRvv3232222221)(vRmmRJRJLOOCOBOAOLLLL2332222211)(RvmRvmJJ解解：例例1 滑輪A：m1，R1

7、，R1=2R2，J1 滑輪B：m2，R2，J2 ；物體C：m3 求求系統(tǒng)對O軸的動量矩。動力學動力學第第9章章 動量矩定理動量矩定理理論力學電子教案理論力學電子教案 C 機械工業(yè)出版社機械工業(yè)出版社第9章動量矩定理課件9-2動量矩定理動量矩定理1質點的動量矩定理質點的動量矩定理)(dddd)(dd)(dd vrvrvrvMmtmtmtmtO對質點動量矩求一次導數(shù)，得FrvvvMvrFvmmttmtO)(dddd,)(dd因為)(, 0FMFrvvOm動力學動力學第第9章章 動量矩定理動量矩定理)()(ddFMvMOOmt故理論力學電子教案理論力學電子教案 C 機械工業(yè)出版社機械工業(yè)出版社第9章

8、動量矩定理課件動力學動力學第第9章章 動量矩定理動量矩定理 上式表示質點對某定點的動量矩對時間的一階導數(shù)，等于作用力對同一點的矩，稱為質點動量矩定理。其投影式分別為 )()(dd)()(dd)()(ddFvFvFvzzyyxxMmMtMmMtMmMt)()(ddFMvMOOmt理論力學電子教案理論力學電子教案 C 機械工業(yè)出版社機械工業(yè)出版社第9章動量矩定理課件2質點系的動量矩定理質點系的動量矩定理i =1,2,n ; n個方程相加，有n個質點，由質點動量矩定理有)()()(dd)e() i (iOiOiiOmtFMFMvMniiOniiOniiiOmt1)e(1) i (1)()()(ddF

9、MFMvM由于OniiiOniiiOiOtmtmtMLvMvMFdd)(dd)(dd0)(11) i (于是niiOOt1)e()(ddFML動力學動力學第第9章章 動量矩定理動量矩定理理論力學電子教案理論力學電子教案 C 機械工業(yè)出版社機械工業(yè)出版社第9章動量矩定理課件動力學動力學第第9章章 動量矩定理動量矩定理 上式表明質點系對于某定點O 的動量矩對時間的導數(shù)，等于作用于質點系的外力對于同一點的矩的矢量和，（外力對點O 的主矩）稱為質點系動量矩定理，其投影式為： niizzniiyyniixxMLtMLtMLt1)e(1)e(1)e()(dd)(dd)(ddFFFniiOOt1)e()(d

10、dFML理論力學電子教案理論力學電子教案 C 機械工業(yè)出版社機械工業(yè)出版社第9章動量矩定理課件3動量矩守恒定理動量矩守恒定理 如果作用于質點的力對某定點O的矩恒為零，則質點對該點的動量矩保持不變，即恒矢量)( vMmO作用于質點的力對某定軸的矩恒為零，則質點對該軸的動量矩保持不變，即恒量)( vmMz以上結論稱為質點動量矩守恒定律質點動量矩守恒定律同理，當外力對某定點（或某定軸）的主矩等于零時，質點系對于該點（或該軸）的動量矩保持不變，這就是質點系動質點系動量矩守恒定律。量矩守恒定律。另外，質點系的內(nèi)力不能改變質點系的動量矩。動力學動力學第第9章章 動量矩定理動量矩定理理論力學電子教案理論力學

11、電子教案 C 機械工業(yè)出版社機械工業(yè)出版社第9章動量矩定理課件運動分析： ，2)(mllmlmMOvOMlv , 由動量矩定理即)()(FvOOMmMdtd0sin , sin)(2lgmglmldtd sin)()()(TmglMMMOOOPFF解解：將小球視為質點。受力分析；受力圖如圖示。例例2 圖示單擺已知m，l，t =0時= 0，從靜止開始釋放。 求求單擺的運動規(guī)律。動力學動力學第第9章章 動量矩定理動量矩定理理論力學電子教案理論力學電子教案 C 機械工業(yè)出版社機械工業(yè)出版社第9章動量矩定理課件注：計算動量矩與力矩時，正負號規(guī)定應一致（本題規(guī)定逆注：計算動量矩與力矩時，正負號規(guī)定應一致

12、（本題規(guī)定逆時針轉向為正）時針轉向為正）質點動量矩定理的應用：質點動量矩定理的應用：在質點受有心力的作用時。質點繞某心（軸）轉動的問題。動力學動力學第第9章章 動量矩定理動量矩定理lgn2微幅擺動時，并令 , sin02n 解微分方程,并代入初始條件)0, 0(00ttlgcos0擺動周期lgT2則則運動方程理論力學電子教案理論力學電子教案 C 機械工業(yè)出版社機械工業(yè)出版社第9章動量矩定理課件解解: 取整個系統(tǒng)為研究對象， 受力分析如圖示。 運動分析： v =rPPrPrPMBABAO)()()e(F)(22OBAOBAOJrgPrgPJrvgPrvgPL由動量矩定理：rPPJgrPgrPtB

13、AOBA)()(dd22OBABAgJPrPrPPrgt22)(dd例例3 已知: 。求角加速度。轉動慣量 ; ; ; rJPPPOBA動力學動力學第第9章章 動量矩定理動量矩定理理論力學電子教案理論力學電子教案 C 機械工業(yè)出版社機械工業(yè)出版社第9章動量矩定理課件解解：因 , 0)() e(FOMrvvmrvmABAA)(02vvA猴A與猴B向上的絕對速度是一樣的,均為 。2v例例4 已知：猴子A重=猴子B重，猴B以相對繩速度上爬，猴A不動，問當猴B向上爬時，猴A將如何動？動的速度多大？（輪重不計）v動力學動力學第第9章章 動量矩定理動量矩定理故系統(tǒng)的動量矩守恒。理論力學電子教案理論力學電子

14、教案 C 機械工業(yè)出版社機械工業(yè)出版社第9章動量矩定理課件)(dd ) )(dd )()(dd 12211FFFFnizzzzinizzinizzMtJMJMtJMJt或（也可為或 9-39-3剛體繞定軸的轉動微分方程剛體繞定軸的轉動微分方程如圖示一定軸轉動剛體，由質點系對z軸動量矩定理以上各式稱為剛體繞定軸轉動微分方程以上各式稱為剛體繞定軸轉動微分方程動力學動力學第第9章章 動量矩定理動量矩定理理論力學電子教案理論力學電子教案 C 機械工業(yè)出版社機械工業(yè)出版社第9章動量矩定理課件動力學動力學第第9章章 動量矩定理動量矩定理剛體繞定軸轉動主要解決兩類問題剛體繞定軸轉動主要解決兩類問題：已知作用

15、在剛體的外力矩，求剛體的轉動規(guī)律；已知剛體的轉動規(guī)律，求作用于剛體的外力（矩）。但不能求出軸承處的約束反力，需用質心運動定理求解。特殊情況特殊情況： 若外力矩恒為零，則剛體作勻速轉動或保持靜止； 若外力矩為常量，則剛體作勻變速轉動。 將 比較，剛體的轉動慣量的大小體現(xiàn)了剛體轉動狀態(tài)改變的難易程度，是剛體轉動慣性的度量。FaFmMJzz ) 與（理論力學電子教案理論力學電子教案 C 機械工業(yè)出版社機械工業(yè)出版社第9章動量矩定理課件9-4 剛體對軸的轉動慣量剛體對軸的轉動慣量定義定義：剛體對任意軸z的轉動慣量定義為：若剛體的質量是連續(xù)分布，則：niiizmJ12rmrJzd2轉動慣量恒為正值，國際

16、單位制中單位kgm2 。（1）勻質細直桿長為l ,質量為m ，其分別對z和z軸的轉動慣量1簡單形狀物體的轉動慣量計算簡單形狀物體的轉動慣量計算2222121d mlxlmxJllz202 31d mlxlmxJlz動力學動力學第第9章章 動量矩定理動量矩定理理論力學電子教案理論力學電子教案 C 機械工業(yè)出版社機械工業(yè)出版社第9章動量矩定理課件（2）勻質圓環(huán)半徑R，質量為m ，其對中心軸z的轉動慣量為222mRmRRmJiiz（3）勻質圓板半徑R，質量為m ，其對中心軸z的轉動慣量。任取一圓環(huán)，則22dRmppdrrmAAiii2222142d2mRJRprrpJoARoAO或動力學動力學第第9

17、章章 動量矩定理動量矩定理理論力學電子教案理論力學電子教案 C 機械工業(yè)出版社機械工業(yè)出版社第9章動量矩定理課件2. 回轉半徑回轉半徑 定義：mJzz 即物體轉動慣量等于該物體質量與回轉半徑平方的乘積； 對于均質物體，僅與幾何形狀有關，與密度無關。對于幾何形狀相同而材料不同（密度不同）的均質剛體，其回轉半徑是相同的。2zzmJ 則動力學動力學第第9章章 動量矩定理動量矩定理理論力學電子教案理論力學電子教案 C 機械工業(yè)出版社機械工業(yè)出版社第9章動量矩定理課件3. 平行移軸定理平行移軸定理 剛體對于某軸的轉動慣量，等于剛體對于過質心、并與該軸平行的軸的轉動慣量，加上剛體剛體質量與軸距平方的乘積，

18、即2mdJJzCz證明證明：設質量為m的剛體，質心為C，/ /COzCz動力學動力學第第9章章 動量矩定理動量矩定理22()ziiiJm xy222221()2CziiiiiiiiJm xydm xydm ydm在坐標系Oxyz中，其質心坐標： /Ciiym ymd2CzzJJmd即：理論力學電子教案理論力學電子教案 C 機械工業(yè)出版社機械工業(yè)出版社第9章動量矩定理課件當物體由幾個規(guī)則幾何形狀的物體組成時，可先計算每一部分(物體)的轉動慣量, 然后再加起來就是整個整個物體的轉動慣量。 若物體有空心部分, 要把此部分的轉動慣量視為負值來處理。4計算轉動慣量的組合法計算轉動慣量的組合法動力學動力學

19、第第9章章 動量矩定理動量矩定理理論力學電子教案理論力學電子教案 C 機械工業(yè)出版社機械工業(yè)出版社第9章動量矩定理課件動力學動力學第第9章章 動量矩定理動量矩定理盤桿OOOJJJ222221)(2131RlmRmlm)423(213122221lRlRmlm解解：例例5 鐘擺： 均質直桿m1, l ； 均質圓盤：m2 , R 。 求 JO 。理論力學電子教案理論力學電子教案 C 機械工業(yè)出版社機械工業(yè)出版社第9章動量矩定理課件例例6 提升裝置中，輪A、B的重量分別為P1 、 P2 ,半徑分別為 r1 、 r2 , 可視為均質圓盤; 物體C 的重量為P3 ; 輪A上作用常力矩M1 。求：求： 物

20、體C上升的加速度。動力學動力學第第9章章 動量矩定理動量矩定理理論力學電子教案理論力學電子教案 C 機械工業(yè)出版社機械工業(yè)出版社第9章動量矩定理課件動力學動力學第第9章章 動量矩定理動量矩定理 取輪B 連同物體C 為研究對象 (2) )21(dd232T232222rPrFvrgPrgPt 補充運動學條件 112222 ,rarvr 化簡(1) 得： 化簡(2) 得： 3T3222PFagPPT1112FrMagPgPPPPrMa22/321311(1) 211T11211rFMrgP解解: 取輪A 為研究對象 理論力學電子教案理論力學電子教案 C 機械工業(yè)出版社機械工業(yè)出版社第9章動量矩定理

21、課件1.1.對質心的動量矩對質心的動量矩CCiiiiiLMmvrmv有有CiiirLrmv由于由于iCirvvvCiiCiiirLrmvrmv得得( )0iiCiiCrmvm rv其中其中(,0)Ci iCi imrmr mrmr因9-5質點系相對于質心的動量矩定理質點系相對于質心的動量矩定理動力學動力學第第9章章 動量矩定理動量矩定理理論力學電子教案理論力學電子教案 C 機械工業(yè)出版社機械工業(yè)出版社第9章動量矩定理課件即：質點系相對質心的動量矩，無論是以相對速度還是以絕對即：質點系相對質心的動量矩，無論是以相對速度還是以絕對速度計算，質點系對于質心的動量矩的結果相同速度計算，質點系對于質心的

22、動量矩的結果相同.OiiiCiiiCiiiiiLrmvrrmvrmvrmv,iiCiiiCmvm vrmvLOCCCLrmvLOCCMmvL對任一點對任一點O的動量矩：的動量矩：動力學動力學第第9章章 動量矩定理動量矩定理理論力學電子教案理論力學電子教案 C 機械工業(yè)出版社機械工業(yè)出版社第9章動量矩定理課件 ddddeOCCCiiLrmvLrFtt2 2 相對質心的動量矩定理相對質心的動量矩定理 eeCiiirFrFdd,0ddCCCCrrvmvtt由于由于ddddddCCCCCrLmvrmvttt即即動力學動力學第第9章章 動量矩定理動量矩定理理論力學電子教案理論力學電子教案 C 機械工業(yè)出

23、版社機械工業(yè)出版社第9章動量矩定理課件 ddeeCCCCCCiiiLvmvrmarFrFt由此可得： eCCCirmarF又由于得： d()deeCiiCiLrFMFt即質點系對質心的動量矩對時間的導數(shù)，等于作用于質點系的外力質點系對質心的動量矩對時間的導數(shù)，等于作用于質點系的外力對質心力矩的矢量和，對質心力矩的矢量和，稱為質點系對質心的動量矩定理。質點系對質心的動量矩定理。質點系相對于質心和固定點的動量矩定理，具有完全相似的數(shù)學形質點系相對于質心和固定點的動量矩定理，具有完全相似的數(shù)學形式，而對于質心以外的其它動點，一般并不存在這種簡單的關系式，而對于質心以外的其它動點，一般并不存在這種簡單

24、的關系動力學動力學第第9章章 動量矩定理動量矩定理理論力學電子教案理論力學電子教案 C 機械工業(yè)出版社機械工業(yè)出版社第9章動量矩定理課件 如圖所示一平面運動剛體， D為剛體上任一點，C為質心，Cxy為固連于質心的平移參考系，剛體的運動可分解為隨質心的平移和繞質心的轉動兩個部分。該剛體上作用有力系F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，F(xiàn)n，則應用質心運動定理和相對于質心的動量矩定理，得)()(dd )e()e(FFaCCCCMJJtm9-6剛體的平面運動微分方程剛體的平面運動微分方程 CCJL動力學動力學第第9章章 動量矩定理動量矩定理理論力學電子教案理論力學電子教案 C 機械工業(yè)出版社機械工業(yè)出版社第9章動量矩定

25、理課件動力學動力學第第9章章 動量矩定理動量矩定理 也可寫成 )(dd dd)e(22)e(22FFrCCCCmJtJtm 以上兩式稱為剛體的平面運動微分方程剛體的平面運動微分方程。應用時，前一式取投影式。 )(dd dddd)e(22)e(22)e(22FCCCyCxCmJtJFtymFtxm理論力學電子教案理論力學電子教案 C 機械工業(yè)出版社機械工業(yè)出版社第9章動量矩定理課件例例7 質量為m半徑為R的均質圓輪置放于傾角為q的斜面上，在重力作用下由靜止開始運動。設輪與斜面間的靜、動滑動摩擦系數(shù)為f、f ，不計滾動摩阻，試分析輪的運動。解解：取輪為研究對象。 受力分析如圖示。 運動分析：取直角

26、坐標系 Oxy aC y =0，aC x =aC 一般情況下輪作平面運動。 根據(jù)平面運動微分方程，有動力學動力學第第9章章 動量矩定理動量矩定理理論力學電子教案理論力學電子教案 C 機械工業(yè)出版社機械工業(yè)出版社第9章動量矩定理課件動力學動力學第第9章章 動量矩定理動量矩定理由2式得qcosNmgF SsinFmgmaCqNcos 0FmgqRFJCS12341 ，3兩式中含有三個未知數(shù)aC 、FS、 ，需補充附加條件。1設接觸面絕對光滑，即f = f =0常量。q , 0 ,sin , 0SgaFC 討論討論因為輪由靜止開始運動，故 0，輪沿斜面平動下滑，輪沿斜面平動下滑。理論力學電子教案理論力學電子教案 C 機械工業(yè)出版社機械工業(yè)出版社第9章動量矩定理課件3設輪與斜面間有滑動，輪又滾又滑。FS=fFN，可解得qqqqcos ,cos2 ,)cos(sinSmgfFRgfgfaC輪作純滾動的條件：qqcossin31Nm