拉格朗日置換PPT學習教案

1、會計學1拉格朗日置換拉格朗日置換一、置換產生的一、置換產生的背景背景 1545年年Cardano的大法的出版使人們知道了三、的大法的出版使人們知道了三、四次方程的求根公式四次方程的求根公式。 自此眾多的數(shù)學家（自此眾多的數(shù)學家（Tschirnaus、Euler、Bezout 、Lagrange、Gauss 、Abel、Galois）繼續(xù)）繼續(xù)向向五次及五次以五次及五次以上方程而努力。上方程而努力。第一個歷史性的第一個歷史性的臺階臺階就是就是Lagrange。 Lagrange對代數(shù)方程求解做出了巨大貢獻：對代數(shù)方程求解做出了巨大貢獻：用置換用置換的思想進行代數(shù)方程求解以及因此而得出的代數(shù)方程求

2、的思想進行代數(shù)方程求解以及因此而得出的代數(shù)方程求解理論解理論。第1頁/共30頁 一一、徹底改變了人們的思維，使數(shù)學家們從單純的尋找徹底改變了人們的思維，使數(shù)學家們從單純的尋找代數(shù)技巧進行方程求解轉變?yōu)閷ふ乙环N一般的、通用的代數(shù)技巧進行方程求解轉變?yōu)閷ふ乙环N一般的、通用的方法，并使他們從繁重的數(shù)學計算中解脫出來；方法，并使他們從繁重的數(shù)學計算中解脫出來； 二二、改變了代數(shù)方程求解的內涵改變了代數(shù)方程求解的內涵從尋找求根公從尋找求根公式（原方程系數(shù)的表達式，是一個結果）到尋找預解式式（原方程系數(shù)的表達式，是一個結果）到尋找預解式（原方程（原方程根根的函數(shù)，是一種結構）；的函數(shù)，是一種結構）； 三三

3、、得出一系列重要的代數(shù)知識，比如域概念、得出一系列重要的代數(shù)知識，比如域概念、置換群概念的雛形，這些知識被以后的數(shù)學家置換群概念的雛形，這些知識被以后的數(shù)學家Ruffini、Gauss、Abel、Galois等恰當?shù)倪\用使代數(shù)方程求解問題等恰當?shù)倪\用使代數(shù)方程求解問題最終得以解決，并推動了代數(shù)學本身的發(fā)展。最終得以解決，并推動了代數(shù)學本身的發(fā)展。 Lagrange是代數(shù)方程求解的轉折者，也是近代代是代數(shù)方程求解的轉折者，也是近代代數(shù)學的先驅。數(shù)學的先驅。第2頁/共30頁二、置換產生的二、置換產生的原因原因 到到Lagrange時期代數(shù)方程的求解已經得到發(fā)展，偉時期代數(shù)方程的求解已經得到發(fā)展，偉

4、大的數(shù)學先驅們（大的數(shù)學先驅們（Cardan、Ferrari、Tschirnaus、Bezut、Euler）已經過不懈的努力解決了三、四次方程的求解）已經過不懈的努力解決了三、四次方程的求解; 采用純代數(shù)的方法，采用純代數(shù)的方法，都都是代數(shù)技巧方法的運用及復是代數(shù)技巧方法的運用及復雜冗長的計算。雜冗長的計算。 這五個人對這五個人對Lagrange的影響最大，雖然他們都采用的影響最大，雖然他們都采用自己的方法進行求解，但自己的方法進行求解，但Lagrange經過嚴密的驗證得出經過嚴密的驗證得出其實他們方法的本質都是一樣的，所以最終歸屬也必然其實他們方法的本質都是一樣的，所以最終歸屬也必然一樣。一

5、樣。第3頁/共30頁 Lagrange從這些解法中得到輔助方程的思想，即：從這些解法中得到輔助方程的思想，即：解一元三次方程需要預解二次輔助方程，解一元四次方解一元三次方程需要預解二次輔助方程，解一元四次方程需要預解三次輔助方程；程需要預解三次輔助方程； 解一元五次方程需要預解二十四次的輔助方程解一元五次方程需要預解二十四次的輔助方程 （ Tschirnaus、Bezut、Euler也得到同樣的結果）也得到同樣的結果）。 代數(shù)方程求解進入了困境，尋找特殊技巧進行代數(shù)代數(shù)方程求解進入了困境，尋找特殊技巧進行代數(shù)方程求解似乎是不可行的了方程求解似乎是不可行的了； 此時不僅是要為代數(shù)方程求解尋找一般

6、的、通用的此時不僅是要為代數(shù)方程求解尋找一般的、通用的方法，更重要的是得為代數(shù)方程求解謀求出路方法，更重要的是得為代數(shù)方程求解謀求出路。第4頁/共30頁 置換應時代之召喚出現(xiàn)了置換應時代之召喚出現(xiàn)了。置換的產生是必然的。置換的產生是必然的。 置換思想的出現(xiàn)有其自然置換思想的出現(xiàn)有其自然的的過程，是過程，是Lagrange經過經過認真計算、縝密思考、反復實踐而得出的。認真計算、縝密思考、反復實踐而得出的。 尋找一種區(qū)別尋找一種區(qū)別于于運用代數(shù)技巧進行代數(shù)方程求解的運用代數(shù)技巧進行代數(shù)方程求解的方法勢在必行方法勢在必行。第5頁/共30頁（1、思考思考） Lagrange明白：要解高次方程主要是解它

7、的輔助方明白：要解高次方程主要是解它的輔助方程程； 輔助方程的次數(shù)是至關重要的，因為如果輔助方程輔助方程的次數(shù)是至關重要的，因為如果輔助方程的次數(shù)小于原方程的次數(shù)則原方程就可解，若大于原方的次數(shù)小于原方程的次數(shù)則原方程就可解，若大于原方程的次數(shù)則一般不可解。程的次數(shù)則一般不可解。 Lagrange馬上注意到馬上注意到Cardan解解三次方程三次方程時時的輔助方的輔助方程程 為什么是六次的呢為什么是六次的呢？（可按二次方程求（可按二次方程求解）解）027npyy336三、置換產生的三、置換產生的過程過程第6頁/共30頁rnrxrnrxrnrxixrrrnypyynyxpxnxmxxCardanc

8、bapnxmxx3,3,3)23101,(,02730,3,032336323則易得：也為其根的根為和則令其根為有令則原方程變?yōu)榈姆椒?，令為使用的根為設一般三次方程第7頁/共30頁srmcsrmbsrmasrmsrmsrmxsrnmxx3333,3,3,33故有的三個值有，令由于第8頁/共30頁(*)(1()(1()1)(1 (1)(1)(1)(1)()(1 ()(1 (cbrcabarsrcasrbasrcasrba即上兩式聯(lián)立得：即易得第9頁/共30頁的值。的值即為即）有將上三式代入（有令對上式兩端求導得：由于yrcbarcbarxxxxxxxxxxxx3333*)(1(3)(1(3)1)

9、(1 (3, 1)(1()(1()(3)()(1(2223第10頁/共30頁 對于根對于根 y的表達式的表達式 可以任意交換可以任意交換a,b,c的位置，即的位置，即 y的值有的值有 3!=32=6個，那么關于個，那么關于y的結構的結構輔助方輔助方程一定是六次的。程一定是六次的。 正如正如Lagrange本人所說：本人所說：y 的結構為什么是六次的，的結構為什么是六次的，因為因為它它不依賴不依賴a, b, c 的值，也不依賴系數(shù)的值，也不依賴系數(shù)m, n, p的值，而的值，而是依賴是依賴r的結構在原方程根下置換出的結構在原方程根下置換出的的不同值的個數(shù)。不同值的個數(shù)。3cbary3,3,33,

10、3,3abcybacyacbycabybcaycbay第11頁/共30頁（2、實踐實踐） 置換的想法已正式的在置換的想法已正式的在Lagrange的腦海中形成的腦海中形成； 正像我們前面所講的，既然輔助方程的次數(shù)是解方正像我們前面所講的，既然輔助方程的次數(shù)是解方程的關鍵，而程的關鍵，而它又它又依賴于一個根的表達式依賴于一個根的表達式預解式（預解式（就像上面就像上面 )在原方程根的置換出不同值的在原方程根的置換出不同值的個數(shù)，那么我們只需要找到這個表達式就可以了個數(shù)，那么我們只需要找到這個表達式就可以了； 只要有了預解式，那么很容易得到只要有了預解式，那么很容易得到它它在原方程在原方程根根下下置

11、換出不同值的個數(shù)，那么輔助方程的次數(shù)就確定了。置換出不同值的個數(shù)，那么輔助方程的次數(shù)就確定了。3cbar第12頁/共30頁 為證明自己的想法，為證明自己的想法，Lagrange做了如下的工作：做了如下的工作：CaBbAcCbBaAcCaBcAbCcBaAbCbBcAaCcBbAacbacbaCBACcBbAacbacbapnxmxx下的一切排列此式在原方程根做的系數(shù)為不依賴于的函數(shù)。如：；假設預解式為根設其根為：例如解三次方程,),(,023第13頁/共30頁33233222222322)()(, 1,sysayasysyryrayaryrysaassraarrybcascbarCBAAAAB

12、ACCaBcAbrrCcBbAarCcBbAarrrr）（）易知（；的輔助方程的根為則關于若令：則為簡化，令）比較可得與（若個中的其中一個，一定等于上面除去第一則）（則若也是為其根，則令次的，故輔助方程的次數(shù)為六第14頁/共30頁的二次方程此實際為關于的輔助方程為故關于可得又由根與系數(shù)關系知故有)(0)3()2792()3(27920)(332336333333333336yzznmypmnmyynmsrpmnmsrpabcnbcacabmcbasrysry第15頁/共30頁3330)3()2792(322313231232313223123231213232zzmczzmbzzmacbamc

13、bazbcazcbazyzyzznmzpmnmz，的根聯(lián)立，即可得到原方程與即：和有和假設次方程的根為即：第16頁/共30頁 Lagrange首次采用置換的方法取得三次方程求解首次采用置換的方法取得三次方程求解的成功，這無疑給的成功，這無疑給Lagrange增添許多的信心，使他增添許多的信心，使他相相信信這種方法是有效的。這種方法是有效的。就是解輔輔助助方方程程解解方方程程關鍵是輔輔助助方方程程的的次次數(shù)數(shù)尋找合適預預解解式式 圖表圖表 解方程關鍵是解方程關鍵是解解輔助方程，輔助方程，解解輔助方程關鍵是弄輔助方程關鍵是弄清楚清楚它它的次數(shù)，弄清楚次數(shù)關鍵是找預解式（比如的次數(shù)，弄清楚次數(shù)關鍵是

14、找預解式（比如像上式中的像上式中的 ）cbar2第17頁/共30頁（3、驗證驗證1 1） 首次的勝利之后首次的勝利之后Lagrange立刻用置換的方法對四次立刻用置換的方法對四次方程進行求解。方程進行求解。qabcdpbcdacdabdabcncdbdbcadacabmdcbaCBuAuuucbadbdaccdabdcbauyFerarricdabdcbaqpxnxmxx由根與系數(shù)關系，設為的輔助方程必為三次的故關于，即的置換下只有三種在原方程根很明顯的值未知數(shù)求解四次方程方法中的為取預解式的根為設方程0,)u2(u,023234第18頁/共30頁。的根聯(lián)立，即可求得原方程與即解為此三次方程可

15、解，設其）（的方程為故關于可得dcbamdcbaucbadubdacucdabuuupqnmuqmpnuuupqnmcbadbdaccdabCqmpcbadbdaccbadcdabbdaccdabBncbadbdaccdabA,0)4(4)4()()(4)()()()()()(321321222322第19頁/共30頁 在在四次方程四次方程求解求解成功后成功后Lagrange更加相信更加相信用置換用置換的方法去解代數(shù)方程是一種正確的、有效的處理方法的方法去解代數(shù)方程是一種正確的、有效的處理方法； 為證明這種方法的一般性為證明這種方法的一般性Lagrange在解四次方程在解四次方程時對預解式的選

16、時對預解式的選取稍作取稍作改變。改變。第20頁/共30頁qabcdpbcdacdabdabcncdbdbcadacabmdcbattttttCBtAttttsxzzsbadcsdcbaqpxnxmxx由根與系數(shù)關系）（，）（，）（，設其根為：；的三次方程則輔助方程變?yōu)殛P于故令為相反數(shù)，但發(fā)現(xiàn)這六個根兩兩互顯然方程應為六次的，此即為輔助方程的根，換為在原方程根下的一切置做的系數(shù)端求解四次方程方法中右為取的根為設方程23222132123222234c-b-da d-b-ca d-c-ba 0,d-a-cb c-a-db b-a-dcc-b-da d-b-ca d-c-bas)Ferrari,2(

17、,04 4、驗證、驗證2 2第21頁/共30頁. dcbac-b-dad-b-cad-c-ba 0)84()641616163()83()84(6416161638332132123224223233212243231212321，即可得原方程的根聯(lián)立故有、易得三個根的方程為故關于可得mdcbattttttpmnmtqmpnnmmtnmttpmnmtttCqmpnnmmttttttBnmtttA 對四次方程求解的對四次方程求解的又一次又一次成功使成功使Lagrange堅信這種方法堅信這種方法用置換思想進行代數(shù)方程求解是可行的用置換思想進行代數(shù)方程求解是可行的。第22頁/共30頁（5、分析、分析

18、） 解三次方程時輔助方程實際為二次的，即是說我解三次方程時輔助方程實際為二次的，即是說我們們只需只需要找一個預解式（為原方程根的函數(shù)）使其在原要找一個預解式（為原方程根的函數(shù)）使其在原方程根的置換下只能取兩個值；而解四次方程時輔助方方程根的置換下只能取兩個值；而解四次方程時輔助方程實際為三次的，即是說我們程實際為三次的，即是說我們只需只需要找一個預解式（為要找一個預解式（為原方程根的函數(shù)）使其在原方程根的置換下只能取三個原方程根的函數(shù)）使其在原方程根的置換下只能取三個值。值。 Lagrange的確這樣做了，正如我們知道的他的預解的確這樣做了，正如我們知道的他的預解式分別為：式分別為： 和和 ，

19、并且用上述的，并且用上述的方法同樣取得了成功；并且他還得到了解任意次方程的方法同樣取得了成功；并且他還得到了解任意次方程的預解式預解式 3221xxxu4321xxxxunnxcxcxcu2211第23頁/共30頁 內涵：內涵：解代數(shù)方程實際是要解輔助方程，因此要解代數(shù)方程實際是要解輔助方程，因此要尋找一個預解式，此預解式在原方程根的置換下取不同尋找一個預解式，此預解式在原方程根的置換下取不同值的個數(shù)即為輔助方程的次數(shù)，找值的個數(shù)即為輔助方程的次數(shù)，找到到了合適的預解式就了合適的預解式就得到了輔助方程（輔助方程的系數(shù)可由原方程的系數(shù)表得到了輔助方程（輔助方程的系數(shù)可由原方程的系數(shù)表示），解答了

20、輔助方程就可以順利的得到原方程的根。示），解答了輔助方程就可以順利的得到原方程的根。我們我們以以四次方程為例用圖表表示如下：四次方程為例用圖表表示如下：第24頁/共30頁解解四四次次方方程程原方程根的函數(shù)預預解解式式在原方程根的置換下只能取三個不同值三三次次輔輔助助方方程程三三次次輔輔助助方方程程的的根根與 聯(lián)立mdcba原原四四次次方方程程找得到 解 答得到解方程第25頁/共30頁 得到了三、四次方程的一般求解方法其實就得到得到了三、四次方程的一般求解方法其實就得到了一般任意次方程的解法，所以用置換思想解代數(shù)方了一般任意次方程的解法，所以用置換思想解代數(shù)方程就可以推廣到任意程就可以推廣到任意n次。次。解解 n次次方方程程在原方程根的置換下只能取r（rn）個不同值 r次次輔輔助助方方程程原原方方程程可可解解原方程根的函數(shù)預預解解式式就是找得到若可解第26頁/共30頁 建立了如此的理論，建立了如此的理論，La