2014-2015第一學(xué)期經(jīng)管類微積分III期末試卷答案

1、廈門大學(xué)微積分（III ）期末考試試卷2014級經(jīng)管類試卷（A） 考試日期2015.1.211、（10分）計算下列極限(1) limnn 1 . k sink 1 n(2)2 2t e u dudtlim -x 2 (x 2)(3) limn_ n40解：（1）由定積分的定義得limnn 1 . ksin -1 n n1sin0xdx1cos(2)由洛必達法則得limx(3)limnn4 sin x 0 12dxxlimn7 sin x 0 12 dx xlim或利用積分中值公式nim 042、（ 20 分）(1)I1(3)I3解：（1）I1x22u dudt(x 2)nim sinn(4)0

2、41dulimx 2 2(x 2)lim e2x212dxx|12I014 e2xx2dx xarcta n 4lim(迢nn20.0.sin1nn2n0,0nsin1n2nnsinnsin汕皿0, n(0亍.計算下列積分2x dx ； .1x2(2)I22x cos(2x 1)dx ；sectdt所以h sect2另解：I122tantx2l n(x1 x2)2xdx令 x tant 、1 x2-8sin xcos7 x dxsec2 tdt sectsectdtsectd (ta nt)sectdt11sectdt sect22tant In | sect(4)142tan t sectd

3、tsect tanttant | c0 |sinx , 3cosx |dx2(sect 1)sectdt2tan t sectdtsectdtln |x 1 x2 | c.1 x2x2dx,1 dx x x2、1 x22/x2 dxln |x 1 x2 |故I1j dx 1 xJ1 x2 -In |x &2 21x2(2)212I2 x cos(2x 1)dxx dsin(2x121x sin(2x 1)xcos(2x22121x sin(2x 1)xcos(2x1) 1x2si n(2x 1) xsi n(2x1)dx(3)由于In(x 1 x2)為奇函數(shù),I3 x21n(x ,1 x2)2

4、 &n8xdx 202 COS7 xdx(4)因為sin x1) 1cos(2x 1)dx21) 1sin(2x 1) c.x21n(x . 1 x2)也為奇函數(shù)，則有sin8 x cos7 x dx 2 sin8 xdx 27 5 3 1 2-8 6 4 2 3cosx 2(sin x2-32cosx)cos xdx6 4 235162 75 3 2藥 35.2sin(x 3)，且它是以2為周期的函數(shù)，故I40 |sinx . 3 cosx |dx1 ,3sin x cosxdx2 220|sin(x ) |dx2 |sin(x -) dxx|sint |dt4 0 sintdt8.其中利用

5、積分公式若a,x (),f (xT) f(x)，則f(x)dx0 f(x)dx.3. (10分)已知f(x)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),g(x)為連續(xù)函數(shù)，且滿足f (x) Incosx0 g(x t)dt, 1叫g(shù)(x)試問：x 0是否是f (x)的極值點？(0, f (0)是否是曲線y f (x)的拐點？請論證說明理由.解：由g(x)的連續(xù)性和lim-2及極限的保號性知,g(0)100 g(x) I叫 xg(x)x(2) 0且存在x0的某個鄰域(,)，使得當(dāng)x 0時,g(x) 0，當(dāng)0 x時，g(x) 0，由 f (x)知 f (0)In cos xq g (xt)dt In cos xg(t)dt

6、，其中 g(x t)dt x t ux0 g(u)du0， x 0是f (x)的駐點，且當(dāng)0 時,f (x) In cos x 0 g(t)dt 0x當(dāng)Ox 時,f (x) In cosx 0 g(t)dt 0，即f (x)在x 0的鄰域內(nèi)不變號，所以x 0不是 f (x)的極值點。x再由 f (x) Incos x o g(t)dttanx g(x)，且 f (0) 0.當(dāng) x 0時，f (x) 0，當(dāng)0 x 時，f (x) 0，即f (x)在x 0的鄰域內(nèi)變號，故(0, f (0)是函數(shù)曲線的y f (x)的拐點。4、( 10分)設(shè)f(x)是區(qū)間a,b上單調(diào)減少的連續(xù)函數(shù)，且f(x) 0,

7、 x a,b，求證：在(a,b),b上以 f()內(nèi)存在唯一的，使得在區(qū)間a,上以y f (x)為曲邊的曲邊梯形的面積與在為高的矩形面積相等。證明：由題設(shè)條件，欲證(a,b)，使得f (x)dxf( )(b ).X),xx a,b構(gòu)造輔助函數(shù)F(x) f (t)dt f (x)(ba顯然F(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，且F(a)af (t)dt f (a)(b a) f(a)(b a) abF(b) f (t)dt f (b)(b b)abf (t)dt 0a由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點定理知，F(xiàn)(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有零點，即存在(a,b)，使得F ( ) f (x)dx f ( )(b)0，即得

8、 f(x)dx f ( )(b).aa或利用洛爾定理證.令G(x) (x b) f (t)dt, x a,b，顯然G(x)在a,b上滿足洛爾定理的三個a下面利用F(x)的單調(diào)性來證存在的唯一性.對 X!, x2 a,b,論 x2.F(X2)F(xJX2f(t)dtaf (X2)(bX2)X1f (t)dtf(xj(b xjaX2x f(t)dtX1f (X2)(bX2)f (Xi)(b xjX2x f(t)dtf(xjf(X2)(b X2) f(xJ(X2 xj 0其中上式右端第一、三項為正，第二項非負，故 F(x)在a,b上嚴格單調(diào)增加,條件，由洛爾定理，存在(a,b)，使得 G ( )=0

9、,即因此是唯的。a f(X)dX f( )(b).5、( 10分)判斷廣義積分+ arcta nex02xdx的斂散性，若收斂則求出其廣義積分值。e解：由于嗨-e2xe2x,x (0,)，因為 0e 2xdx 1 收斂,2由比較判別法知廣義積分arcta nexdx收斂.2xearctanex x 丟 dx e e=arcta ntdtt1 arcta ntd(=) t21 arcta nt1 arcta nt2Tdtt71 arctant2亍-arctant t1 arcta n exarcta n exX2x dXe所以 + arctane01 arcta n ex22xe1(2arcta

10、 n121)arcta nex1r arcta nexarcta nex e6、(15 分)現(xiàn)過點（0,2）作曲線：yx3的切線L.（ 1）求L的方程；（2）求與L所圍平面圖形D的面積；（3）求圖形D的x 0的部分繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得立體的體積. 解:（ 1）設(shè)切點為（X。, xo），則有y （x） 3x0，所以L的方程為yx0 3xo(x X。)，將 x0,y 2代入L的方程，有x031,解得唯一實根Xo 1，故切點為（1,1），切線方程為y3x 2.3由y X解得x1y 3x 21,X2 2，故所求D的面積為21(3x2 x3)dx 旦4（3）所求體積為V2o(3x2)2 (x3)2dx26

11、47f （x）在a,b上是下凸的（即函數(shù)曲線形如U型），證明：f(a2b) b1bf(x)dx f(a)2f(b)2b a a27、（ 15分）設(shè)f（x）在a,b上連續(xù)可微,且函數(shù)曲線y證：先證左邊的不等式由已知條件曲線y f（x）在a,b上是下凸的，其函數(shù)曲線y f（x）總在曲線切線的上方。令X。a b 亠，則有f (x)f(x)f (x)(x X0), X a,b，兩邊從 a 到 b積分，得2bbbbbf (x)dxaf (xo)dx af (xo)(x xo)dxa(b a)f(xo)(b a)f(其中f(x)dx f (xo) (x xo)dxaba(xb(x Xo)dxadx 0.2

12、af(x)dx fG-)，此即左邊的不等式1 b即 b a a下面證右邊的不等式再由已知條件曲線yf (x)在a,b上是下凸的，則其函數(shù)曲線yf (x)總在曲線端點弦連線的下方。則有f(x)心)f(b) f(a)a (x a)，a,b，兩邊從a到b積分，得bba f (x)dx a f (a)dxf(b) f(a)b aba(x a)dx(b2a)f(a) -(a) (b a)b a(b a)f (a)(b a) f (b)a)f(b) f(a)21 bf (b) f (a)即f(x)dx，此即要證的右邊的不等式。證畢！(b a) a8、( 1O分)某企業(yè)將投資8OO萬元生產(chǎn)一種產(chǎn)品，假設(shè)在投資的 2O年中該企業(yè)以2