數(shù)學建模論文醫(yī)院眼科病床的合理安排優(yōu)化模型

1、 醫(yī)院眼科病床的合理安排優(yōu)化模型摘要：眼科病床的合理安排，既可以提高醫(yī)院的經(jīng)濟效益，又可以減小患者的排隊就醫(yī)時間，以便達到雙贏的目的。通過對醫(yī)院現(xiàn)有的綜合分析及優(yōu)化得到如下問題的優(yōu)化結果：問題一，給出了評價模型的指標：醫(yī)院滿意度即床位的周轉率，患者滿意度即等待隊長，及逗留時間；問題二，通過對已有數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析整理，得出結論：患者的到達服從泊松分布，服務時間服從負指數(shù)分布。將醫(yī)院的病床看做服務臺，建立了排隊系統(tǒng)的模型，通過對模型的求解過程，給出了患者流和服務臺的計算機模擬方法，進而給出了根據(jù)出院患者數(shù)來安排入住患者的方案。問題三，結合問題二的模型，利用醫(yī)院對每類患者的服務時間，服務效率以及服務臺

2、的狀態(tài)（病床的占用和空閑）來求的他們的平均等待時間，因而可預測病人的大致入院時間。問題四，若周六，周日不安排手術，而白內障手術的手術時間間隔一定，通過順延的方法得出兩種優(yōu)化方案，并對兩種方案通過類比的方法得出最優(yōu)方案，即在周三，周五安排白內障手術，而在周一，周二，周四安排其它手術。問題五，從方便管理，醫(yī)院效益最大以及患者逗留時間最短的前提出發(fā)，對醫(yī)院現(xiàn)有的病床進行分配建立了規(guī)劃模型，并通過對模型的求解最后給出了病床的分配方案：白內障單眼8張床位，白內障雙眼18張床位，青光眼11張床位，視網(wǎng)膜疾病33張床位，外傷9張床位。關鍵詞： 排隊系統(tǒng) 統(tǒng)計分析 計算機模擬 類比 規(guī)劃 一 問題重述 醫(yī)院就

3、醫(yī)排隊是大家都非常熟悉的現(xiàn)象，我們考慮某醫(yī)院眼科病床合理安排的數(shù)學建模問題，就要考慮醫(yī)院資源的合理有效利用及患者的等待隊長等因素。已知該醫(yī)院目前情況如下：1 該醫(yī)院眼科門診每天開放，住院部共有病床79張，眼科手術主要分四大類：白內障、視網(wǎng)膜疾病、青光眼和外傷。附錄中給出了2008年7月13日至2008年9月11日這段時間里各類病人的情況。2白內障手術較簡單，而且沒有急癥，目前該院是每周一、三做白內障手術，此類病人的術前準備時間只需1、2天。做兩只眼的病人比做一只眼的要多一些，大約占60%。如果要做雙眼是周一先做一只，周三再做另一只。3外傷疾病通常屬于急癥，病床有空時立即安排住院，住院后第二天便

4、會安排手術。4其他眼科疾病比較復雜，有各種不同情況，但大致住院后2-3天內就可以接受手術，主要是術后的觀察時間較長。這類疾病手術時間可根據(jù)需要安排，一般不安排在周一、周三。5該醫(yī)院眼科手術條件比較充分，通常情況下白內障手術與其他眼科手術（急癥除外）不安排在同一天做。當前該住院部對全體非急癥病人是按照fcfs（first come, first serve）規(guī)則安排住院，但等待住院病人隊列卻越來越長，現(xiàn)提出以下問題：問題一：試分析確定合理的評價指標體系，用以評價該問題的病床安排模型的優(yōu)劣。問題二：試就該住院部當前的情況，建立合理的病床安排模型，以根據(jù)已知的第二天擬出院病人數(shù)來確定第二天應該安排哪

5、些病人住院。并對你們的模型利用問題一中的指標體系作出評價。問題三：作為病人，自然希望盡早知道自己大約何時能住院。能否根據(jù)當時住院病人及等待住院病人的統(tǒng)計情況，在病人門診時即告知其大致入住時間區(qū)間。 問題四：若該住院部周六、周日不安排手術，請你們重新回答問題二，醫(yī)院的手術時間安排是否應作出相應調整?問題五：有人從便于管理的角度提出建議，在一般情形下，醫(yī)院病床安排可采取使各類病人占用病床的比例大致固定的方案，試就此方案，建立使得所有病人在系統(tǒng)內的平均逗留時間（含等待入院及住院時間）最短的病床比例分配模型。 二符號說明 表示第類患者（=1，2，3，4，5 分別表示白內障單眼；白內障雙眼；青光眼；視網(wǎng)

6、膜疾病以及外傷患者） 表示服務臺個數(shù) 表示第類患者中第個患者與第個患者到達的間隔時間 表示對第類患者中第個患者服務花費的時間 表示患者到來的時刻 表示患者等待時間 表示患者開始接受服務（入院）時刻 表示患者結束服務（出院）時刻 表示各類患者的到達速率 表示服務臺的服務速率 表示服務強度 表示時間內到來患者的總數(shù) 表示時間內服務完（出院）的患者的總數(shù) 表示時刻系統(tǒng)中的患者數(shù) 表示等待隊長（排隊等待的顧客數(shù)） 表示隊長 表示服務臺的狀態(tài)三問題的分析1背景分析本問題的難點是同時考慮醫(yī)院完善醫(yī)院的管理制度，改進患者的安置情況，提高醫(yī)院的經(jīng)濟和社會效益等諸多因素。如果僅考慮提高醫(yī)院的經(jīng)濟效益，則只要提高

7、醫(yī)院病床的使用率，運用數(shù)據(jù)分析方法可以給出患者的安排情況；如果僅考慮患者的安置情況，需要增加病床，顯然，這兩種方案都不是最佳的。于是既要考慮醫(yī)院的效益（即醫(yī)院的滿意度），又要考慮患者的等待時間最短（即患者的滿意度）。 醫(yī)院的滿意度取決于病床的使用率及其服務強度，使用率和服務強度越高，醫(yī)院的經(jīng)濟效益越好，醫(yī)院的滿意度越高；患者的滿意度取決于排隊的隊長和等待時間的長短，等待時間越短患者的滿意度越高。所以我們需要在兩個因素之間找出一個合理的匹配關系使雙方的滿意度達到最高。2數(shù)據(jù)分析通過數(shù)據(jù)分析，形成了如圖所示的柱狀圖及其以下數(shù)據(jù)表：通過柱狀圖可以比較清楚的看出，每天各類疾病的患者到達數(shù)量及所占比重：

8、視網(wǎng)膜疾病患者最多，相當于青光眼和外傷的總和，其次是白內障（雙眼）和白內障。從上圖中還可以看出患者人數(shù)基本以每兩周為一個循環(huán)周期。表 1：病種白內障白內障（雙眼）青光眼視網(wǎng)膜疾病外傷人數(shù) 1001336616764平均患者到達率2 2 1 3 1 表 2：病種白內障白內障（雙眼）青光眼視網(wǎng)膜疾病外傷病種平均服務時間59101379 平均等待時平均逗留時利用spss軟件驗證門診到達人數(shù)服從泊松分布。observed nexpected nresidual1.0012.9-1.92.0023.8-1.83.0031.81.24.0044.8-.8

9、5.0051.83.2total15test statisticsxchi-square(a)8.640df4asymp. sig.071a 5 cells (100.0%) have expected frequencies less than 5. the minimum expected cell frequency is 1.8. 通過對數(shù)據(jù)的分析整理，利用spss得到上面的兩表。由于顯著性水平為0.05，而上表中所得顯著性水平0.0710.05且到達門診的患者是隨機的，所以到達門診的患者人數(shù)服從泊松分布，認為理論分布是符合實際情況的。四模型的假設1. 患者的到達是隨機的，且患者源是無

10、限的。2. 忽略門診時間及手術時間。3. 將病床看為服務臺，總病床數(shù)即為服務臺數(shù)。4. 同一天看病的患者到達間隔時間為零。五模型的建立與求解問題一 評價性指標大致可以從患者的滿意度和醫(yī)院的滿意度兩個方面出發(fā)：患者滿意度方面：要求醫(yī)院充分調動和利用現(xiàn)有的一切資源，使得到醫(yī)院的每一位患者滿意而歸，這就要求醫(yī)院的資源合理分配，使患者在醫(yī)院停留的時間最短，因為服務時間一定，故只要求等待時間最短。醫(yī)院滿意度方面：達到醫(yī)院現(xiàn)有資源的充分利用，即效益最大，以服務更多的患者為宗旨，即要求患者的等待隊長盡可能小。資源的利用率和服務強度盡可能高。 因此，該模型的評價指標體系是等待隊長，等待時間，病床使用率，服務強

11、度。問題二1模型分析與建立從所要解決的問題和對問題所做的假設出發(fā)，在前面的數(shù)據(jù)處理中我們確定了患者的到達率服從泊松分布，有個服務臺，患者源的數(shù)量是無限的。因為患者到達的速率為，每個服務臺的服務速率為，則整個系統(tǒng)的最大速率為服務強度，顯然，要使系統(tǒng)穩(wěn)定運行，必須有。該模型的特點在于整個系統(tǒng)的服務速率與系統(tǒng)中患者到達特點有關。如果系統(tǒng)中只有一個患者，則系統(tǒng)的服務率等于，因為其他的服務臺處于閑置狀態(tài)，如果體統(tǒng)中有2個患者，則系統(tǒng)的服務速率等于，依次類推，如果系統(tǒng)中的患者有個，則系統(tǒng)的最大服務速率為，所有的服務臺均投入服務；而當系統(tǒng)中的患者數(shù)目超過個時，多余的患者只能進入派對系統(tǒng)等待服務，此時系統(tǒng)的服

12、務速率為。該模型的狀態(tài)轉移圖如下： （排隊服務系統(tǒng)狀態(tài)轉移圖）通過狀態(tài)轉移圖可得如下方程： （1） （2） （3）而 聯(lián)立可解得： （4） （5） （6） （7）設排隊隊長為，當系統(tǒng)有個患者到達時，若，則必有個患者在排隊。這樣的話，能求出每種病的等待時長，服務時長及停留的時間。而當時，服務臺空閑個數(shù)為，既有個空病床，然后可以安排其他的患者入院。 從而建立如下的模型： （8） （9） （10） （11） （12）2模型的模擬求解2.1 病人流的模擬由于已認定病人達到流服從泊松分布，在模擬的時候可以通過隨機數(shù)生成函數(shù)來產(chǎn)生模擬病人的到達，基本算法如下：步驟一：在泊松分布中，求出 x取何值時，p(x

13、=k)取最大值，設最大值為，這相當于求解在k取何值時有最大值，可以通過一個循環(huán)來得到取最大值時的整數(shù)自變量。步驟二：通過迭代，不斷生成0-1區(qū)間上的隨機數(shù)。當隨機數(shù)小于時，則終止迭代，否則重復步驟二。步驟三：記錄迭代過程的次數(shù)，即為所需要得到的符合泊松分布的隨機量。2.2 服務臺的模擬服務臺可由隨機數(shù)生成函數(shù)來模擬，其算法為：令滿足均勻分布的隨機變量 ，y的概率是，因為 x是服從均勻分布的，所以它的概率分布函數(shù)是當x的范圍在0-1之間的時候，概率分布函數(shù)即是x，因此上式的結果是，即為負指數(shù)分布。由此滿足負指數(shù)分布的隨機變量可以用得出。（具體的計算機編程見附錄1）方案的給出通過數(shù)據(jù)的統(tǒng)計和計算機

14、的模擬可以給出病人出院后床位的空閑安置情況按照下面的原則：服務時間最短的優(yōu)先考慮，即先安排白內障單眼患者入住，其次安排服務時間短（即住院時間短）的病人入住。該模型對于醫(yī)院而言，極大地提高了醫(yī)院病床的周轉率，使得醫(yī)院的效益達到最大。而對于患而言，醫(yī)院的病床周轉率提高了，服務的人多了，等待的隊列就減短了，能滿足大部分的患者滿意，當然這樣就犧牲了部分需要服務時間長的患者的利益。問題三根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)整理和統(tǒng)計，結合問題二的模型得出如下表表示的結果。平均等待時間在床等待時間平均服務時間白內障11.240513.9493675.236111111白內障(雙眼)11.384622.7788468.560

15、97561青光眼11.354172.08333310.48717949視網(wǎng)膜疾病9.9849621.48120312.54455446外傷117.036363636由上表可以大致確定每種患者入院前的平均等待時間，具體如下表：病類白內障白內障（雙眼）青光眼視網(wǎng)膜疾病外傷平均等待時間11.2411.3811.359.981根據(jù)每種病在入院前的平均等待時間，只要確定了是那類患者，便可以估計其入院時間。白內障，青光眼患者大概在門診后11天入院，視網(wǎng)膜疾病患者大概在門診后10天入院，而外傷患者在門診后的第二天就可以入院。問題四周六、周日不安排手術，故按照原有的方案，白內障病人手術在周一、周三進行，而其它

16、的手術只能在周二、周四、周五進行，這樣，以“1”表示白內障手術時間，“0”表示其它手術時間，“”表示不進行手術，得下表：一二三四五六七10100從該表可以看出若在周六、周日不進行手術，則其它手術只能在周二、周四、周五進行，這樣，本在周六、周日進行的手術只能在周二、周四、周五進行，這樣，使得患者等待期間增加病床利用率較低。而從題目中給出的數(shù)據(jù)可以統(tǒng)計出周一到周五的各類患者的人數(shù)情況如下表：（具體數(shù)據(jù)見附錄2）星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日白內障（單）1621221181012白內障（雙）23122124251315青光眼疾病99515889視網(wǎng)膜疾病25193131221824外傷1

17、06121012410現(xiàn)考慮白內障手術安排相隔時間一定，采取將白內障手術時間順延的方法，得到如下兩種方案，如圖所示：方案1一二三四五六七01010方案2一二三四五六七00101對于方案一，可以看出白內障病人在周二、周四進行，其它手術安排在周一、周三、周五，這樣，周六、周日累積下來的病人要求在周一內做完，這樣對醫(yī)院、醫(yī)生的負荷太大，否則要等到周三、周五來做，使患者的等待時間延長。而對于方案二，白內障病人安排在周三、周五，其它病人安排在一、三、四三天進行。這樣，周六、周日的病人可在周一、周二內做，較方案一而言，方案二的患者的等待時間較短，故醫(yī)院應采用方案二。問題五1分析：通過數(shù)據(jù)的整理統(tǒng)計，病床在

18、7月13號到9月11號安排的每類患者人數(shù)的如下統(tǒng)計表：病類白內障（單）白內障（雙）青光眼視網(wǎng)膜疾病外傷服務人數(shù)791035113163服務一個患者的時間5.238.5610.4912.547.04服務總時間413.17881.68534.991642.72443.52根據(jù)上表做直方圖如下（圖中橫坐標1，2，3，4，5分別代表上表中5種?。河芍狈綀D可以直觀的看出每種病在醫(yī)院接受服務的人數(shù)，服務的平均時間和服務的總時間的分布情況。根據(jù)每類病人占用時間的比例，以及題目中所給的醫(yī)院的目前現(xiàn)有的床位數(shù)，建立規(guī)劃模型。設白內障（單眼），白內障（雙眼），青光眼，視網(wǎng)膜疾病及外傷分配的床位數(shù)分別為。床位的服

19、務效率分別為。2.模型的建立建立模型如下： 且為整數(shù)模型的求解：利lingo軟件求解得：，故從便于管理的角度出發(fā)，將病床采取病人占用病床的比例可將醫(yī)院現(xiàn)有病床按照各類病人的情況分為：白內障單眼8張，白內障雙眼18張，青光眼11張，視網(wǎng)膜疾病33張，外傷9張。六 模型的改進與評價 對醫(yī)院的排隊系統(tǒng)而言，要使醫(yī)院在經(jīng)濟上獲得最大效益，可以等價的轉化為用時間費用來衡量經(jīng)濟效益，將等待時間轉化為等待費用。根據(jù)統(tǒng)計的資料估計，由于隊列過長導致等待費用增加。因而該問題費用函數(shù)期望取最小的問題屬于非線性規(guī)劃問題。對于眼科這種類型的離散型隨機變量，也可以用邊際分析法進行求解。該模型綜合考慮了醫(yī)院的滿意度和患者

20、的滿意度，從雙方互利的目的出發(fā)給出了病床的合理安排方案；還可以利用計算機模擬的方法由患者的就診時間預測住院時間和出院時間。該模型的不足在于：1.沒能用量化的方法準確給出指標體系；2.忽略了一些偶然因素，導致結果與實際情況有一定的偏差；但都不影響模型的實用性。七 參考文獻【1】 鄭阿奇，matlab實用教程，北京：電子工業(yè)出版社，2004。【2】 李大潛，中國大學生數(shù)學建模競賽，北京：高等教育出版社，1998?！?】 盧向南，應用運籌學，杭州：浙江大學出版社，2005?！?】 陳杰，matlab寶典，北京：電子工業(yè)出版社，2007?！?】 吳建國，數(shù)學建模案例精編，北京：中國水利水電出版社，20

21、05?！?】 葉其孝，大學生數(shù)學建模競賽輔導教材，湖南：湖南教育出版社，2000。附錄1（算法模擬）第一周期病床使用情況：x = 117l = 38程序：r=input(r=);x=13 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0;tt=size(x,2);y=;for i=1:1:tt if i=1 y(i)=x(i); else y(i)=x(i-1)+x(i); end if y(i)r break; endendn=i-1;d=18 16 15 15 15 18 17 19 20 20 19 20 19 18 18

22、 16 16 18 19 18 18 17 17 21 23 22 21 20 19 19;e=;for i=1:1:tt e(i)=y(i)+d(i); if e(i)r break; endendm=i-1;x1=n-m;x=13 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 2 0 2 0;tt=size(x,2);y=;for i=1:1:tt if i=1 y(i)=x(i); else y(i)=x(i-1)+x(i); end if y(i)r break; endendn=i-1;d=20 18 19 19 18 25 24 2

23、4 22 22 23 22 24 22 23 22 21 22 21 20 19 19 19 19 26 25 23 21 22;e=;for i=1:1:tt e(i)=y(i)+d(i); if e(i)r break; endendm=i-1;x2=n-m;x=13 1 1 0 1 1 1 1 0 3 1 0 1 2 0;tt=size(x,2);y=;for i=1:1:tt if i=1 y(i)=x(i); else y(i)=x(i-1)+x(i); end if y(i)r break; endendn=i-1;d=23 21 21 22 22 21 21 23 28 25 2

24、4 24 24 23 22;e=;for i=1:1:tt e(i)=y(i)+d(i); if e(i)r break; endendm=i-1;x3=n-m;x=13 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0;tt=size(x,2);y=;for i=1:1:tt if i=1 y(i)=x(i); else y(i)=x(i-1)+x(i); end if y(i)r break; endendn=i-1;d=26 22 29 23 25 26 23 28 25 26 25 26 24 2

25、2 24 21 24 26 26 20 23 24 25 27 26 26 28 25 27 31 26 29 26 24 28 26;e=;for i=1:1:tt e(i)=y(i)+d(i); if e(i)r break; endendm=i-1;x4=n-m;x=13 3 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0;tt=size(x,2);y=;for i=1:1:tt if i=1 y(i)=x(i); else y(i)=x(i-1)+x(i); end if y(i)r break; endendn=i-1;d=6 6 11 8 7 6 9 8 8 6 6 9 7;e=;fo

26、r i=1:1:tt e(i)=y(i)+d(i); if e(i)r break; endendm=i-1;x5=n-m;x=x1+x2+x3+x4+x5l=max(x-79,0)輸入 r=20,第二周期病床使用情況：x = 100l =21程序：r=input(r=);x=1 0 2 1 0 3 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 2;tt=size(x,2);y=;for i=1:1:tt if i=1 y(i)=x(i); else y(i)=x(i-1)+x(i); end if y(i)r break; endendn=i-1;d=18 17 16 16 14 20 1

27、8 17 16 15 15 14 14 17 20 21 20 21 19;e=;for i=1:1:tt e(i)=y(i)+d(i); if e(i)r break; endendm=i-1;x1=n-m;x=27 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1;tt=size(x,2);y=;for i=1:1:tt if i=1 y(i)=x(i); else y(i)=x(i-1)+x(i); end if y(i)r break; endendn=i-1;d=19 20 19 18 17 15 21 22 23 22 21

28、 20 20 20 20 19 19 17 18 24 24 24 23 24 23 23 22 20;e=;for i=1:1:tt e(i)=y(i)+d(i); if e(i)r break; endendm=i-1;x2=n-m;x=27 1 0 0 0 1 0 2 0 0 0 1 2 0 2 2 1;tt=size(x,2);y=;for i=1:1:tt if i=1 y(i)=x(i); else y(i)=x(i-1)+x(i); end if y(i)r break; endendn=i-1;d=23 23 22 23 22 24 24 18 16 19 23 22 20 2

29、1 20 29 26;e=;for i=1:1:tt e(i)=y(i)+d(i); if e(i)r break; endendm=i-1;x3=n-m;x=27 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0;tt=size(x,2);y=;for i=1:1:tt if i=1 y(i)=x(i); else y(i)=x(i-1)+x(i); end if y(i)r break; endendn=i-1;d=26 27 28 28 27 27 23 26 21 24

30、 28 25 27 28 22 21 27 23 25 26 23 23 26 27 25 23 24 19 26 23 26 26 26 29 22 24 25 30 29 22 21 28 26;e=;for i=1:1:tt e(i)=y(i)+d(i); if e(i)r break; endendm=i-1;x4=n-m;x=27 0 1 0 2 0 1 0 1 0 0 3 2 1 0 1;tt=size(x,2);y=;for i=1:1:tt if i=1 y(i)=x(i); else y(i)=x(i-1)+x(i); end if y(i)r break; endendn=

31、i-1;d=6 9 9 8 12 7 7 9 9 8 7 9 9 9 5 6;e=;for i=1:1:tt e(i)=y(i)+d(i); if e(i)r break; endendm=i-1;x5=n-m;x=x1+x2+x3+x4+x5l=max(x-79,0)輸入 r=31附錄2門診匯總2008-7-28 星期一11452122008-8-18 星期一144112122008-9-1 星期一113151112008-7-14 星期一1131492008-7-21 星期一125292008-8-25 星期9-8 星期一1413192008-8-4 星期一1131162008-8-11 星期一111461 匯總162392510832008-8-19 星期二22417142008-7-15 星期二23223102008-8-12 星期二2331