復(fù)變函數(shù)第六章第6節(jié)

1、第六節(jié)第六節(jié) 施瓦茨施瓦茨-克里斯托費爾映射克里斯托費爾映射(Schwarz-christoffel)一、施瓦茨一、施瓦茨-克里斯托費爾映射的引入克里斯托費爾映射的引入二、施瓦茨二、施瓦茨-克里斯托費爾映射的概念克里斯托費爾映射的概念三、應(yīng)用舉例三、應(yīng)用舉例四、小結(jié)與思考四、小結(jié)與思考2一、施瓦茨一、施瓦茨-克里斯托費爾映射的引入克里斯托費爾映射的引入 平面上平面上映射成映射成平面上的上半平面如何平面上的上半平面如何wz?的多角形域的多角形域問題問題: :邊界由直線邊界由直線,線段線段,或射線組成或射線組成3O)(z1x.O)(w1 1w.111)( xzww 可看作特殊的多角形域可看作特殊的

2、多角形域 .)(dd 1111確定確定此映射可由方程此映射可由方程 xzzw例如例如, ,4將上例推廣將上例推廣: 的的多多角角形形區(qū)區(qū)域域的的把把上上半半平平面面映映射射成成一一般般映射可用下列方程來確定映射可用下列方程來確定:11211)()()(dd21 nnxzxzxzKzw , , 2121都都是是實實的的常常數(shù)數(shù)和和其其中中nnxxxK .21nxxx 且且5驗證驗證)(Arg1ArgArgd11xzKw ),(Arg1)(Arg122nnxzxz :)( )111xzxz 即即之之前前未未達達到到當(dāng)當(dāng)不變不變wArgd :)( )2111xzxzxz 即即時時經(jīng)經(jīng)過過當(dāng)當(dāng)由由負(fù)負(fù)

3、變變正正1xz ,)(Arg1 變變化化xz而其它項不變而其它項不變,1Argd w是是w欲沿下一條邊移動所必須轉(zhuǎn)過的角欲沿下一條邊移動所必須轉(zhuǎn)過的角6依次下去依次下去: 當(dāng)當(dāng) z歷經(jīng)整個歷經(jīng)整個x軸時軸時, w沿著多角形沿著多角形的邊界移動的邊界移動. (如圖示如圖示)O)(z1x.2x.3x.O)(w.1w.2wz.w.1 2 3 可見可見:由此方程確定的映射將上半平面映射成內(nèi)由此方程確定的映射將上半平面映射成內(nèi) . , 21的的多多角角形形域域角角依依次次為為n 1 2 3 7二、施瓦茨二、施瓦茨-克里斯托費爾映射的概念克里斯托費爾映射的概念1. 定義定義對于方程對于方程,)()()(d

4、d1121121 nnxzxzxzKzw 兩邊積分兩邊積分, , 解得解得czxzxzxzKwnn d)()()(1121121 稱為施瓦茨稱為施瓦茨- -克里斯托費爾映射克里斯托費爾映射施瓦茨施瓦茨克里斯托費爾克里斯托費爾8 )( nx例例如如點點作作為為多多角角形形域域的的一一個個頂頂若若選選取取施瓦茨施瓦茨- -克里斯托費爾映射成為克里斯托費爾映射成為:czxzxzxzKwnn d)()()(1121121 說明說明:所以映射在這些點以外的上半平面是共形的所以映射在這些點以外的上半平面是共形的. , 外外除了在除了在ixz 與前式相差一個因子與前式相差一個因子 , 0dd zw92. 將

5、上半平面映射為已知的多角形區(qū)域?qū)⑸习肫矫嬗成錇橐阎亩嘟切螀^(qū)域czxzxzxzKwnn d)()()(1121121 可分解為可分解為:cKtw zxzxzxztnnd)()()(1121121 .)()()(dd 1121121 nnxzxzxzzt 即即10上式表示把上式表示把 z 平面上的上半平面映射成平面上的上半平面映射成 t 平平 ), 2 , 1( 的的多多角角形形區(qū)區(qū)域域面面上上的的一一個個內(nèi)內(nèi)角角為為nii 的映射的映射.與已知多角形域相似的多角形域與已知多角形域相似的多角形域cKtw ztd因此因此: 上半平面上半平面已知多角形域已知多角形域?11補充補充: 在實際問題中在實

6、際問題中, 常見的多角形是變態(tài)多角常見的多角形是變態(tài)多角形形, 即它的頂點有一個或幾個在無窮遠即它的頂點有一個或幾個在無窮遠. .Ak .1 kA.1 kA)( kA)( kA規(guī)定規(guī)定: : 交角等于它們的反交角等于它們的反處兩條射線的處兩條射線的在無窮遠點在無窮遠點kA . 1 處處的的交交角角乘乘以以向向延延長長線線在在有有限限遠遠交交點點 A例如，例如，1201 2 03 4 三、應(yīng)用舉例三、應(yīng)用舉例映映射射成成帶帶形形域域求求把把上上半半平平面面 0)Im( z例1 . )Im(0的映射的映射 w解解)(z,01Ax 選選取取: ., 0 , 0,見見下下表表分分別別為為四四邊邊形形的

7、的內(nèi)內(nèi)角角 CBOA . CAOBC邊形邊形把帶形看作一個變態(tài)四把帶形看作一個變態(tài)四O .4x.1A )( BC )(wOBAACi B,12Ox ,43CxBx 13iiziwi 123401 i 0 4x00 軸軸從從左左至至右右順順次次經(jīng)經(jīng)沿沿且且使使xz,3214移移動動時時過過xxxx.移移動動沿沿四四邊邊形形邊邊界界CAOBCw兩區(qū)域繞向相同兩區(qū)域繞向相同.所求映射為所求映射為czxzzzKw d)()1()0(14110,d1czzK . lnczKw 即即14 ,0時時因因為為當(dāng)當(dāng) w.lnzKw 所以所以 , 1 , zw在在實實軸軸上上時時又又因因為為 4xiw對對應(yīng)應(yīng)著著

8、 4lnxKi 所所以以.arg4 xK , 1 z, 0 c得得 為為實實數(shù)數(shù)知知K,argln44xiKxK 15 , 0 不不能能為為因因 K . , 1 4舍舍去去時時與與前前式式矛矛盾盾且且 x.lnzw 于于是是所所求求映映射射為為 , 1 4 x所以所以, 1 , 14 Kx所所以以16 , 對對應(yīng)應(yīng)圖圖區(qū)區(qū)域域的的映映射射求求把把左左圖圖區(qū)區(qū)域域映映射射成成右右點如圖示點如圖示. .解解)(zOA B 1 02 )(wOBCBC21 Ai 看作有三個頂點看作有三個頂點C,A,B的多角形的多角形, B,C在無窮遠在無窮遠 ;2,1 A這時在頂點這時在頂點例例2 2; Cx 選選取

9、取;1Ax .0Bx . 0 ,2 B在在頂頂點點17czzzKw d)0()1(1012所所以以czzK d)11(,)ln(czzK ,)argln)(2121iccziziyxikkivu 即即,argln21221czkzkxkykv 18,0時時趨趨于于的的沿沿含含又又當(dāng)當(dāng) OBvw. 00arg, 0的的正正實實軸軸趨趨于于沿沿含含 zyz.)0(lim02210cckx 故故有有. 02 c即即;, vABw趨于無窮趨于無窮沿沿當(dāng)當(dāng) ;arg, 0, zyz沿沿負(fù)負(fù)實實軸軸趨趨于于零零這這時時，所所以以21ck 19, 11 k所所以以1lnczzw ,時時當(dāng)當(dāng)iw 11cii

10、因此所求映射為因此所求映射為. 1ln zzw, 121 ikkK, 11 c:1 z20例例3 平行板電容器中等位線與電力線的分布情況平行板電容器中等位線與電力線的分布情況. .分析分析由于理想平行板電容器無邊緣由于理想平行板電容器無邊緣, 其電力線其電力線和等位線是互相垂直的兩族平行線和等位線是互相垂直的兩族平行線.等位線等位線電力線電力線平行于平行板平行于平行板垂直于平行板垂直于平行板邊緣邊緣中心線中心線 2平行板電容器實際是平行板電容器實際是有邊緣的有邊緣的. 電場分布電場分布關(guān)于中心線對稱關(guān)于中心線對稱.21考慮中心線上方的一半帶有割痕的半平面考慮中心線上方的一半帶有割痕的半平面帶形

11、區(qū)域的映射帶形區(qū)域的映射,若能求出若能求出w平面中帶割痕的上半平面與平面中帶割痕的上半平面與z平面中平面中欲求平行板電容器的等位線和電力線只需欲求平行板電容器的等位線和電力線只需將將z平面中的兩族互相垂直的平行線映射到平面中的兩族互相垂直的平行線映射到w平平面即可面即可.就可推知電容器的電場分布就可推知電容器的電場分布22解解O)(z O)(wO)( ze 1ln w因此把因此把z平面中帶形區(qū)域平面中帶形區(qū)域映射到映射到w平面中帶割痕的平面中帶割痕的上半平面的映射是上半平面的映射是, 1 zezw 23將所求出映射的實部和虛部分離得將所求出映射的實部和虛部分離得,1cos yexuxyeyvx

12、sin : , 為參數(shù)的電力線方程為參數(shù)的電力線方程得以得以常數(shù)常數(shù)令令yx ,1cos yeu yeyvsin : , 為為參參數(shù)數(shù)的的等等位位線線方方程程得得以以常常數(shù)數(shù)令令xy 1cos xexu sinxev 24uOv0 x21 x1 x電力線電力線等位線等位線 43y2 y4 y 此問題也可看成由兩條半直線構(gòu)成的開口此問題也可看成由兩條半直線構(gòu)成的開口槽中流體的流線與等位線的分布情形槽中流體的流線與等位線的分布情形, 此時圖中此時圖中說明：說明：的等位線變?yōu)榱骶€的等位線變?yōu)榱骶€, 而電力線變?yōu)榈任痪€而電力線變?yōu)榈任痪€.25四、小結(jié)與思考四、小結(jié)與思考 施瓦茲施瓦茲-克里斯托費爾公式是反映上半平面克里斯托費爾公式是反映上半平面到多角形區(qū)域的映射公式到多角形區(qū)域的映射公式. 它的實際應(yīng)用比較困它的實際應(yīng)用比較困難難. 充分了解本課內(nèi)容充分了解本課內(nèi)容.放映結(jié)束，按放映結(jié)束，按EscEsc退出退出. .26施瓦茨資料施瓦茨資料Herman SchwarzBorn: 25 Jan 1843 i